廣東省2023-2024學年高考數(shù)學一模試卷含解析

廣東省揭陽一中、潮州金中重點中學2023-2024學年高考數(shù)學一模試卷

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知a=（2sin學,cos學）力=（Qcos學,2cos學），函數(shù)/（x）=a%在區(qū)間[0,『]上恰有3個極值點，則正

實數(shù)。的取值范圍為（）

85、75、57、7?

A.[r―,—）B.[r一,—）C.r[―,一）D.（—,2]

5242344

.（九-1）先

sin—-------]<%V3

2.已知函數(shù)〃x）=2'一一，若函數(shù)/（%）的極大值點從小到大依次記為4;出？4,并記相應(yīng)的極

2/（x-2）,3<x<100

大值為仇也,???％則之（%+2）的值為（）

i=l

A.250+2449B.25°+2549C.249+2449D.249+2549

3.設(shè)i是虛數(shù)單位，則（2+3。（3_2，）=（）

A.12+5zB.6-6zC.5zD.13

y<x

4.已知不等式組y2-冗表示的平面區(qū)域、的面積為9,若點門,」-、，則」>?的最大值為（）

x<a

A.3B.6C.9D.12

5.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120。，并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在

背面用導線相連（弧的兩端各一個，導線接頭忽略不計），已知扇形的半徑為30厘米，則連接導線最小大致需要的長度

為（）

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

6.已知數(shù)列｛4｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，也｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)g=旬，

〈=。]+。2++%（“€^）,則當7；<2020時，九的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

7.已知函數(shù)/（%）=依2一%+inx有兩個不同的極值點再，馬,若不等式/（%）+/5）>2（玉+々）+1有解，貝心的

取值范圍是（）

A.（—00,—2In2）B.（—co,-2In2]

C.（f-Il+21n2）D.（-oo,-ll+21n2]

8.已知定義在R上的函數(shù)〃尤），若函數(shù)y=/（x+2）為偶函數(shù)，且/（九）對任意王，％12,+8）（九尸馬）,都

有"/）—"xj<0,若〃a）v〃3a+l）,則實數(shù)。的取值范圍是（）

A?'-51,小31B.[-2,-1]13

C.-00,-------D.—,+GO

24

9.設(shè)/（%）=?,點0（0,0）,A（0,l）,4僅，“叫，neN*，設(shè)乙其耳=么對一切〃金N*都有不等式

sin^sin^sin^sin?%

++++〈r-252成立，則正整數(shù)/的最小值為（）

I22232n2

A.3B.4C.5D.6

kx-l,x>Q,

10.己知函數(shù)〃x）=<若函數(shù)/（九）的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對,則實數(shù)k的取值范圍是（）

-ln（-x）,x<0,

A.—8,0）B.（0,1）C.（。,+“）D.

11.M是拋物線丁=4%上一點，N是圓（x—iy+（y—2）2=1關(guān)于直線x—y—1=。的對稱圓上的一點，貝！最

小值是（）

A.2TB.73-1C.2-x/2-lD.|

12.雙曲線的離心率為則其漸近線方程為

p-p=/（z>aoo）v

A，二=+/二B-Z=C,_.7D._

0=±y0口=±和

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知三棱錐P—ABC,PA=PB=PC,.ABC是邊長為4的正三角形，D,E分別是24、的中點，F(xiàn)

JT7

為棱上一動點（點C除外），ZCDE=-,若異面直線AC與。尸所成的角為。，且cos6=一，則CF=_____.

210

14.曲線/（x）=4x—/在點（0,/（0））處的切線方程為.

15.?+5｝1+”6展開式中爐的系數(shù)為.

16.已知曲%則（x+y+1）〃展開式中工2y的系數(shù)為一

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）設(shè)橢圓C：=+二=1（?！?〉0）的左右焦點分別為耳,耳，離心率是e,動點P（%,為）在橢圓。上運

ab

動，當軸時，%=1,%=6.

Av

（1）求橢圓c的方程；

（2）延長PE，P8分別交橢圓于點A,3（A,3不重合）.設(shè)人尸一丸耳尸，質(zhì)求2+〃的最小值.

18.（12分）如圖1,在等腰及AABC中，ZC=90°,D,E分別為AC,AB的中點，尸為CD的中點，G在線

段8C上，且BG=3CG。將AADE沿。E折起，使點4到A的位置（如圖2所示），且

（2）求平面ABG與平面ABE所成銳二面角的余弦值

2

19.（12分）已知數(shù)列｛4｝滿足：xn+1=X?-6,〃eN*,且對任意的〃eN*都有七＜叵匚,

(I)證明：對任意〃eN*,都有—3<x〈匕叵；

“2

(II)證明：對任意〃eN*,都有k+i+2|N2氏+2|；

(IU)證明：%=—2.

20.(12分)已知數(shù)列｛4｝的前幾項和為S",且點5同)(〃€“)在函數(shù)3；=2向-2的圖像上；

(1)求數(shù)列｛。“｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足：4=0,bn+l+bn=an,求｛bn｝的通項公式；

(3)在第(2)問的條件下，若對于任意的〃cN*，不等式包<力如］恒成立，求實數(shù)2的取值范圍；

21.(12分)己知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,4c.設(shè)當空+當!￡=a叱_+40

sinCsinBsinBsinC

(1)求tanA的值；

(2)若應(yīng)sinB=3sinC，且S&■。=20，求。的值.

%=l+/cosa

22.(10分)在直角坐標系尤0y中，直線/的參數(shù)方程為?。為參數(shù)，0Va<〃).在以。為極點，x軸

y=l+tsma

正半軸為極軸的極坐標中，曲線C：夕=4cos0.

n

(1)當。二一時，求。與/的交點的極坐標；

4

(2)直線/與曲線。交于A,B兩點,線段45中點為M(L1),求|A3|的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

TT

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出/(x)=2sin(?x+A+l,函數(shù)在區(qū)間［0,——］上恰有3個極值點即為三個最

值點，0X+工=工+左〃，左eZ解出，%=—+—,Z:eZ,再建立不等式求出左的范圍，進而求得口的范圍.

623Gg

【詳解】

解：f(x)=Gsinsr+2cos《―=A/3sina)x+coscox+l

=2sin(6t>x+—)+1

令OX+-=工+左〃，左eZ,解得對稱軸工=二+幺，左eZ,/(0)=2,

623a)co

又函數(shù)/(九)在區(qū)間［0,生］恰有3個極值點，只需^-+—<^<^+—

35a>co33?&>

75

解得:三。<一.

42

故選：B.

【點睛】

本題考查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.

(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成y=Asin(0r+e)+t或y=Acos(a)x+(p)+t的形式;(2)根據(jù)

自變量的范圍確定。x+9的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.

2、C

【解析】

對此分段函數(shù)的第一部分進行求導分析可知，當尤=2時有極大值/(2)=1,而后一部分是前一部分的定義域的循環(huán),

而值域則是每一次前面兩個單位長度定義域的值域的2倍，故此得到極大值點a?的通項公式可=2n,且相應(yīng)極大值

b?=2"-',分組求和即得

【詳解】

當時，r(x)=、cosj;[,

顯然當％=2時有，/(了)=。，

...經(jīng)單調(diào)性分析知

x=2為7Xx)的第一個極值點

又???3<xW100時，/(x)=2/(x—2)

；?x=4,x=69%=8,…，均為其極值點

??,函數(shù)不能在端點處取得極值

工(1n=2n,1<n<49,neZ

???對應(yīng)極值a=1<n<49,neZ

,%D，+98)X49+1X(1-249)=+2449

321-2

故選：C

【點睛】

本題考查基本函數(shù)極值的求解，從函數(shù)表達式中抽離出相應(yīng)的等差數(shù)列和等比數(shù)列，最后分組求和，要求學生對數(shù)列

和函數(shù)的熟悉程度高，為中檔題

3、A

【解析】

利用復數(shù)的乘法運算可求得結(jié)果.

【詳解】

由復數(shù)的乘法法則得(2+3z)(3-2z)=6+5Z-6Z2=12+5i.

故選：A.

【點睛】

本題考查復數(shù)的乘法運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

分析：先畫出滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域，利用平面區(qū)域的面積為9求出a=3,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂

點，即求出邊界線的交點坐標，代入目標函數(shù)求得最大值.

詳解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示：

則A(a,a),B(a,-a),所以平面區(qū)域的面積S=-a-2a=9,

2

解得a=3,此時A(3,3),6(3,—3),

由圖可得當z=2x+y過點A(3,3)時，z=2x+y取得最大值9,故選C.

點睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目

標函數(shù)的形式，判斷Z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個點是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最

優(yōu)解的坐標，代入求值，要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相

應(yīng)的方法求解.

5、B

【解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.

【詳解】

因為弧長比較短的情況下分成6等分，

所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，

27r

故導線長度約為——x30=20乃?63(厘米).

3

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.

6、B

【解析】

,,+1

根據(jù)題意計算4=2〃-1,bn=2小，Tn=2-n-2,解不等式得到答案.

【詳解】

???{?}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，.??4=2”—1.

???也}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，.冷??？"]

a

/.Tn=C2~\------1-Cn=a瓦+----bn=+…+

=(2xl—1)+(2X2—1)+(2X4—1)+…+(2X2"T—1)=2(l+2+4+---+2^')-n=2x：j=2'+】

V7；,<2020,：.2n+}-n-2<2020,解得〃W9.則當4<2020時，九的最大值是9.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.

7、C

【解析】

先求導得r(x)=2"7+l(%>0),由于函數(shù)/(九)有兩個不同的極值點』，X2,轉(zhuǎn)化為方程2^2—X+1=0有

X

兩個不相等的正實數(shù)根，根據(jù)/,石+々，士—2，求出。的取值范圍，而/(玉)+/(%2)>2(%+*2)+，有解，通

過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)/7(a)=-：-lTn(2a)[o<a<J,通過利用導數(shù)研究人(。)單調(diào)性、最值，即可得出，

的取值范圍.

【詳解】

由題可得：f\x)=2aX~X+X(x>0),

X

因為函數(shù)/'(x)=。犬-x+lnx有兩個不同的極值點再，x2,

所以方程2依2一%+1=o有兩個不相等的正實數(shù)根，

A=1—8〃>0,

于是有百+%2二—〉°，解得0<。<—?

2a8

——〉0,

122a

若不等式/(石)+/(%)>2(%+9)+/有解，

所以，<[/(%)+/(九2)—2(%+%)]1mx

因為/(%)+/(%2)一2(芯+%)=鬲一%+ln%+應(yīng)一入2+lnx2一2(%+%)

=O[(X]+%2)2—2%犬2]—3(玉+x2)+ln(x1x2)=--^--l-ln(2a).

設(shè)h(a)=----1-ln(2a)f0<(2<—|,

4aI8)

//(?)=Izf￡>o,故以。)在[o3]上單調(diào)遞增，

46rI8J

故丸(a)</z[g]=—ll+21n2,

所以/<—n+21n2,

所以/的取值范圍是(—8,—11+21n2).

故選：c.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍，以及運用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法，還考查分析和計算

能力，有一定的難度.

8、A

【解析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)/(九)的圖象關(guān)于龍=2對稱且在［2,+8)上為減函數(shù)，則不等式/⑷"(3。+1)等價于

|?-2|>|3?-1|,解得。的取值范圍，即可得答案.

【詳解】

解:因為函數(shù)y=/(x+2)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于龍=2對稱,

因為/(%)對任意為，％目2,+8)(%1A%)，都有"")<0,

%2—%

所以函數(shù)/(%)在［2,+8)上為減函數(shù)，

貝！j/(a)W/(3a+l)o/(|a_2|)W/(|3a+l-2|)o|a-2|2|3a-l|,

13

解得：—<a<—.

24

「131

即實數(shù)〃的取值范圍是-于工.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數(shù)的對稱性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于綜合題.

9、A

【解析】

先求得?%——L,再求得左邊的范圍，只需2t—221,利用單調(diào)性解得t的范圍.

nn+nnn+1

【詳解】

n.sin2^_1_11

由題意知sin2??-------------------------------

+〃n2n2nn+1

..sin^sin^sin^sin?。”11111

+十=U1-—I------------F...H--------隨n的增大而增大,

I222322+2334nn+1n+1

-<1--------<1,

2n+1

At2-2t-2>l,即產(chǎn)—2f—120,又f(t)=?—2)-1在tNl上單增,f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

正整數(shù)/的最小值為3.

【點睛】

本題考查了數(shù)列的通項及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

10、B

【解析】

考慮當%＞0時，丘—l=lnx有兩個不同的實數(shù)解，令〃（x）=lnx—丘+1,則做了）有兩個不同的零點，利用導數(shù)和

零點存在定理可得實數(shù)k的取值范圍.

【詳解】

因為/（%）的圖象上關(guān)于原點對稱的點有2對，

所以%＞0時，立—1=Inx有兩個不同的實數(shù)解.

令〃（x）=lnx-Ax+l,則在（0,+8）有兩個不同的零點.

「7、1-kx

又h（%）=-----,

x

當左40時，〃（x）＞0,故〃（X）在（0,+。）上為增函數(shù)，

在（o,+。）上至多一個零點，舍.

當左＞0時,

,則可尤）在（0,）

若XC上為增函數(shù);

若.*,則〃(尤)<0,0(九)在］,+co

上為減函數(shù);

因為妝X）有兩個不同的零點，所以ln：＞0,解得0〈上＜1.

又當〈左＜時，工〈工且丸1

01＜0,故從%）在0,上存在一個零點.

ek

ppI

又h=ln———+l=2+21n%—々，其中/二一〉1.

k2kk

令g(/)=2+21nf—ef,則=

當/>1時，gr(t)<0,故且⑺為(1,+℃)減函數(shù),

所以g1)<g(l)=2_e<0即丸<0.

因為我/I,所以3)在1

,+oo上也存在一個零點.

綜上，當0＜左＜1時，妝了)有兩個不同的零點.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的零點，一般地，較為復雜的函數(shù)的零點，必須先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理說

明零點的存在性，本題屬于難題.

11、C

【解析】

求出點(1,2)關(guān)于直線x—y—1=。的對稱點C的坐標，進而可得出圓(x—iy+(y—2)2=l關(guān)于直線x—y—1=0的

對稱圓C的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出|的\心血=|MC|n.n-l,即可得解.

【詳解】

如下圖所示：

設(shè)點(1,2)關(guān)于直線x-y-l=O的對稱點為點C(a,b),

。+1b+21八

22a-b-3=0a=3/、

則,整理得,。八，解得,八，即點C（3,0）,

b-2.a+b—3=0p=0

、a—I

所以，圓(x—l)?+(y—2)2=1關(guān)于直線x—y—1=0的對稱圓C的方程為(x—3)?+y2=i,

設(shè)點河匕",則四=口.3]+y2=,H+9=M(y2—4丫+8，

當尸±2時，MC取最小值2夜，因此，\MN\mm=1^0^-1=272-1.

故選：C.

【點睛】

本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等

題.

12、A

【解析】

分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.

詳解：..；

匚=三=、3.?'?.,z?=~

因為漸近線方程為一所以漸近線方程為二=±、：二，選A.

□=±zC

點睛：已知雙曲線方程一：求漸近線方程：_：_；..

±—±，=/(匚二>4a-芻=。=二=士=二

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

5

13、一

2

【解析】

取AC的中點G,連接GP,GB,取PC的中點"，連接DM，MF,DF,直線AC與。歹所成的角為NMD產(chǎn),

22

計算板2=4—2a+2,DF-?-4?+10,根據(jù)余弦定理計算得到答案。

【詳解】

取AC的中點G,連接GP,GB,依題意可得ACGP,AC±GB,

所以AC，平面GPB,所以

TT

因為。，E分別K4、的中點，所以DE//BP,因為NCDE=—,所以MLCD,

2

所以3P_L平面PAC,故5P_LAP,故PA=PB=PC=2也,

故PA,P&PC兩兩垂直。

取PC的中點"，連接DM，MF,DF,因為。朋7/AC,

所以直線AC與。咒所成的角為ZMDF,

設(shè)CF=a（O<aW4）,則+”2一2MC.”COS?=4—2a+2,

LJ2

。尸2=。22+尸尸2=2+8+〃2—2x2j2axJ=〃2—4〃+10,

2

八12—2〃6—a7

所以cos'=,—=,—=—,

4V?-4a+102Va-4a+1010

化簡得（6a+41）（2a—5）=0,解得a=g,即

故答案為：一.

2

本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

14、3x-y-l=0

【解析】

求導，得到了'(o)和/(o),利用點斜式即可求得結(jié)果.

【詳解】

由于/(。)=一1，f'(x)=4-ex,所以廣(。)=4一1=3,

由點斜式可得切線方程為3x-y-1=0.

故答案為：3x-y-l=Q.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，屬基礎(chǔ)題.

15、30

【解析】

先將問題轉(zhuǎn)化為二項式(1+X)''的系數(shù)問題，利用二項展開式的通項公式求出展開式的第r+1項，令x的指數(shù)分別等于

2,4,求出特定項的系數(shù).

【詳解】

由題可得：{+g](1+”6展開式中X2的系數(shù)等于二項式(1+%)6展開式中X的指數(shù)為2和4時的系數(shù)之和，

6

由于二項式(1+%)的通項公式為Tr+l=CR,

令r=2,得(l+x)6展開式的/的系數(shù)為C；=15,

令r=4,得(1+4展開式的一的系數(shù)為C：=15,

所以1+(1+工丫展開式中x2的系數(shù)15+15=30,

故答案為30.

【點睛】

本題考查利用二項式展開式的通項公式解決二項展開式的特定項的問題，考查學生的轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、1.

【解析】

由題意求定積分得到〃的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，求出展開式中dy的系數(shù).

【詳解】

042

???已知1％3公=、=4=〃，貝！I(%+y+l)〃=(%+y+l)4,

24o.

它表示4個因式(尤+y+l)的乘積.

故其中有2個因式取X,一個因式取y,剩下的一個因式取1,可得dy的項.

故展開式中x2y的系數(shù)C}-C\-C\=12.

故答案為：1.

【點睛】

本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17、(1)—+/=i；(2)-

23

【解析】

(1)根據(jù)題意直接計算得到6=1,a2=b2+c~=2,得到橢圓方程.

(2)不妨設(shè)尸(牡〃)，且">0,設(shè)人(%,％),3(%,%)，代入數(shù)據(jù)化簡得到

[(3+2/77)2-1](2+1)=0,故彳+〃=+=得到答案.

3+2m3-2m9—4加~

【詳解】

(1)e=￡，所以/=1,屋化簡得二￡=1=1,

aIa)—+TT=1a2b2b2

ab

所以b=l,a2=b2+c2=2,所以方程為J+V=l；

(2)由題意得，P不在x軸上，不妨設(shè)P(犯")，且〃>0,設(shè)4(%,x),3(々,%)，

所以由通」=4耳P，得(一1—七,一%)=2(m+l,ri),

所以一項=2m+A+l,-y1=An,

由》…得四守+3)一，代入

化簡得：[(3+2m)2-l](2+l)=0,

由于4+1/0,所以力=丁],同理可得〃=

3+2機3-2/71

116

所以4+4=------1------所以當加=0時,%+〃最小為—

3+2m3-2m9-4m2

【點睛】

本題考查了橢圓方程，橢圓中的向量運算和最值，意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

18、(1)證明見解析

⑵萼

【解析】

⑴要證明線面平行，需證明線線平行，取6C的中點連接DM，根據(jù)條件證明?！?/8后,。M///6,即

BE//FG,

(2)以歹為原點，F(xiàn)C所在直線為X軸，過尸作平行于CB的直線為y軸，E4］所在直線為z軸，建立空間直角坐標

系尸一孫z,求兩個平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：取的中點連接DM.

；BG=3CG,???G為CM的中點.

又尸為CD的中點，???bG/ADM.

依題意可知。則四邊形為平行四邊形，

：.BE//DM,從而6E//FG.

又FGu平面APG,BE.平面A^G,

:.5E//平面A^G.

(2)DE_LAD},DE_LDC,且4。DC=D,

二￡)石_1_平面ADC,AFu平面ADC,

DEL\F,

A.FLDC,且DEcDC=D,

AjF_L平面BCDE,

二以口為原點，F(xiàn)C所在直線為x軸，過歹作平行于C5的直線為丁軸，尸4所在直線為z軸，建立空間直角坐標系

F—xyz,不妨設(shè)CD=2,

則網(wǎng)0,0,0),4(0,0,退)，5(1,4,0),E(-l,2,0),G(l,l,0),

F\=(0,0,73),FG=(1,1,0),4石=卜1,2,-⑹，EB=(2,2,0).

設(shè)平面APG的法向量為々=6,%,4),

n-FA.=0f6z、=0

則)，即1,

n-FG=01石+%=0

令1i=l,得〃=(1,一1,0).

設(shè)平面AjBE的法向量為m=(x2,y2,z2),

m-AE=0-%2+2y2——0

則0,即<

m-EB-02x2+2y2=0

令％2=1,得根二0,一1，一百）.

從而COS（私”>=J+1Vio

V2xV5

V10

故平面\FG與平面A.BE所成銳二面角的余弦值為

【點睛】

本題考查線面平行的證明和空間坐標法解決二面角的問題，意在考查空間想象能力，推理證明和計算能力，屬于中檔

題型，證明線面平行，或證明面面平行時，關(guān)鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時，需考慮構(gòu)造中位線或平行

四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.

19、（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

分析：（1）用反證法證明，注意應(yīng)用題中所給的條件，有效利用，再者就是注意應(yīng)用反證法證題的步驟；

⑵將式子進行相應(yīng)的代換，結(jié)合不等式的性質(zhì)證得結(jié)果；

（3）結(jié)合題中的條件，應(yīng)用反證法求得結(jié)果.

詳解：證明：（I）證明：采用反證法，若不成立，則

若毛<—3，則乙+1=X/一6〉3,與任意的〃eN*都有玉<空匚矛盾；

若玉〉-鼻，則有-鼻口〈鼻，則

222

與任意的〃eN*都有七<彗匚矛盾;

故對任意〃eN*,都有—3<%〈匕共成立；

(II)由/+i=x/—6得X,+I+2=X『—6+2=(X?+2).(X?-2),

貝!)上+1+2|=氏+2Hx〃一2|,由(I)知x“<?！瘄%?-2|>2,

即對任意〃eN*,都有|七+1+2|?2,“+2|；.

(HI)由(H)得：氏+i+2|?2瓦+2|222氏_1+2|"-22"|七+2],

由(I)知，—3<x,<—1,.-.|x?+1+2|<l,

???21%+2區(qū)1,即歸+2|《,

若看w—2,則|石+2]>0,取〃之log-J—7+1時，有卜+2]>;「與上+2|〈不■矛盾.

2A,十乙|LL

則X]=-2.得證.

點睛：該題考查的是有關(guān)命題的證明問題，在證題的過程中，注意對題中的條件的等價轉(zhuǎn)化，注意對式子的等價變形,

以及證題的思路，要掌握證明問題的方法，尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.

20、(1)a“=2'(〃wN)(2)當〃為偶數(shù)時，/,=-+-；當"為奇數(shù)時，b=---.(3)(1,也)

、/"3333

【解析】

(1)根據(jù)=S“-S“T,討論〃=1與〃22兩種情況,即可求得數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)由(1)利用遞推公式及累加法，即可求得當“為奇數(shù)或偶數(shù)時｛〃｝的通項公式.也可利用數(shù)學歸納法，先猜想出通

項公式，再用數(shù)學歸納法證明.

b

(3)分類討論，當〃為奇數(shù)或偶數(shù)時，分別求得”的最大值，即可求得兄的取值范圍.

勿+i

【詳解】

(1)由題意可知,S“=2"+i—2.

當心2時,%=邑—%=2向-2—(2"-2)=2",

當〃=1時,卬=51=25—2=2也滿足上式.

所以4=2"(“eN*).

(2)解法一：由⑴可知d+]+〃=2"(weN*),

即優(yōu).+為=?(左eN*).

當左=1時,%+4=2],①

當左=2時,4+4=22,所以—4—打=—22,②

當左=3時也+4=23,③

當上=4時,4+%=2",所以—4—4=-24，④

當左=〃—1時，〃為偶數(shù)bn+2-=2片

當左="時,"為偶數(shù)所以一2-2-=-2-1

以上〃-1個式子相加，得

b+&]=2-22+23-24+---+2^'=2口一(-2)，二十工

1-(-2)33

2"2

又4=0,所以當"為偶數(shù)吐6=t+*.

"33

同理，當n為奇數(shù)時，

234

bn+bx=2-2+2-2+----2"T=邛-(-0"[=2-^,

1-(-2)3

所以，當〃為奇數(shù)時也=土2"-22

33

解法二：

猜測：當〃為奇數(shù)時，

猜測：當〃為偶數(shù)時,

以下用數(shù)學歸納法證明:

n=\，命題成立;

假設(shè)當n=k時，命題成立;

當"為奇數(shù)時,4=2i—2i+…+22—2,

當〃=左+1時,〃為偶數(shù)，由bM+4=2*(ZeN*)得

kk2

bk+[=2-bk=2-2-+2"2+...-2+2

故,〃=%+1時,命題也成立.

2"2

綜上可知，當〃為奇數(shù)時4=土-4

"33

同理，當n為偶數(shù)時,命題仍成立.

1+|（及為偶數(shù)）

（3）由（2）可知