2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 函數(shù)的奇偶性 周期性 教師版

2024年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)函數(shù)的奇偶性、周期性教師

版

【知識梳理】

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

一般地，設(shè)函數(shù)啟)的定義域為D

偶函數(shù)如果VxG。，者B有一xe。，且"V)關(guān)于y軸對稱

=心),那么函數(shù)八勸就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)40的定義域為

奇函數(shù)如果Vxe。，都有一xG。，且外—尤)關(guān)于原點(diǎn)對稱

=-fM，那么函數(shù)40就叫做奇函數(shù)

2.周期性

(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)次尤)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個xGD

都有x+TG。，且於土Z丘?,那么函數(shù)y=/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函

數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)式x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)

就叫做“x)的最小正周期.

【常用結(jié)論】

1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有

相反的單調(diào)性.

2.函數(shù)周期性常用結(jié)論

對於)定義域內(nèi)任一自變量的值x：

⑴若ZU+a)=-fix),則T=2am>0).

(2)若五元+a)=卡,

則T=2a(a>0).

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)若函數(shù)?r)為奇函數(shù)，則五0)=0.(X)

(2)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù).(X)

(3)對于函數(shù)y=/(x),若存在x,使八一無)=—/(X),則函數(shù)y=/(x)一定是奇函數(shù).(X)

(4)若T是函數(shù)人龍)的一個周期，則以KGN*)也是函數(shù)的一個周期.(V)

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【教材改編題】

1.若偶函數(shù)人尤)在區(qū)間［—2,—1］上單調(diào)遞減，則函數(shù)兀0在區(qū)間口⑵上()

A.單調(diào)遞增，且有最小值五1)

B.單調(diào)遞增，且有最大值人1)

C.單調(diào)遞減，且有最小值式2)

D.單調(diào)遞減，且有最大值共2)

答案A

解析偶函數(shù)式x)在區(qū)間［—2,—1］上單調(diào)遞減，

則由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則有/(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，

即有最小值為黃1),最大值為式2).

對照選項，A正確.

2.己知函數(shù)y=/(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，有兀t)=x+2*,則八-2)=.

答案—6

解析因為函數(shù)y=/U)是奇函數(shù)，且當(dāng)尤>0時，有/U)=x+2*,

所以八一2)=_八2)=—(2+4)=-6.

3.已知函數(shù)/U)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，若式1)=1,則八2023)=.

答案T

解析因為函數(shù)“r)是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，

所以五2023)=7(506X4-1)=黃-1)=一八1)=-1.

?探究核心題型

題型一函數(shù)奇偶性的判斷

例1(多選)下列命題中正確的是()

A.奇函數(shù)的圖象一定過坐標(biāo)原點(diǎn)

B.函數(shù)y=xsinx是偶函數(shù)

C.函數(shù)y=|x+l|一|x—1|是奇函數(shù)

D.函數(shù)是奇函數(shù)

答案BC

解析對于A,只有奇函數(shù)在x=0處有定義時，函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，所以A不正確;

對于B,因為函數(shù)y=xsinx的定義域為R且Z(—x)=(—x)sin(一尤)=黃了)，

所以該函數(shù)為偶函數(shù)，所以B正確；

對于C,函數(shù)y=|x+l|一僅一1|的定義域為R關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且滿足五一龍)=1一尤+1］一I—無一1|=一(僅+1|一|元一1|)=一/(勸，即大一勸=一兀0，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以c正確；

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對于D,函數(shù)彳滿足無一1W0,即無W1,所以函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱,

所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，所以D不正確.

思維升華判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，否則即為非奇非偶函數(shù).

(2)判斷五尤)與八一x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等

價等量關(guān)系式(?+式一/=0(奇函數(shù))或於)一式-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)/(x)=sinx,8(了)=M+屋工，則下列結(jié)論正確的是()

A.其尤)g(x)是偶函數(shù)

B.|/U)|g(x)是奇函數(shù)

C.八x)|g(x)|是奇函數(shù)

D.|/(x)g(x)|是奇函數(shù)

答案C

解析選項A,於)g(x)=(e*+er)sinx,

八一x)g(一勸=(e=+e*)sin(—x)=—(e*+e-T)sinx=一其尤)g(x),是奇函數(shù)，判斷錯誤；

選項B,|/U)|g(x)Tsinx|(ex+er),

%—x)|g(-x)=|sin(一尤)|(er+e，)=kin旗^+屋工)=%力板。)，是偶函數(shù)，判斷錯誤；

選項C,於)心(尤)|=|e*+e-1sinx,

A—x)\g(-x)\=|e^+ex|sin(—x)

=—⑹+屋〕sinx=-X尤)|g(尤)|,是奇函數(shù)，判斷正確；

選項D,壁)g(x)|=|(e*+efsinx|,依一x)g(—x)|=|(er+e*)sin(—x)|

Td+efsin尤|=|/(x)g(x)|,是偶函數(shù)，判斷錯誤.

題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

命題點(diǎn)1利用奇偶性求值(解析式)

f—|—],X>0,

例2(1)(2023?福州模擬)已知函數(shù)段)='為偶函數(shù)，則2。十力等于()

[ax^+b,x<0

313

A.3B.2C.—2D.—

答案B

解析由已知得，當(dāng)x>0時，一1<0,f(—x)=—axi-\-b,

??,段)為偶函數(shù),???#—x)=/(x),

33

即x+l=—ax+bf

.??〃=-1,b=\,

3

2a+b=2i+l=].

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⑵(2023?呂梁模擬)己知函數(shù)小)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xNO時，黃尤)=2*+犬一1,則

當(dāng)x<0時，兀C)等于()

A.2x~x~\B.2一工+尤+1

C.-2^-x-lD.-2=+尤+1

答案D

解析當(dāng)尤<0時，一無>0,因為其尤)是奇函數(shù),

所以y(x)=—/(—x)=—2v+x+1.

命題點(diǎn)2利用奇偶性解不等式

例3函數(shù)五處是定義域為R的奇函數(shù)，"r)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且H2)=0.則不等式

於)一次一x)

>0的解集為(

x)

A.(-2,2)

B.(—8,0)U(0,2)

C.(2,+8)

D.(—8,—2)U(2,+8)

答案D

解析由于人x)是定義域為R的奇函數(shù)，

所以負(fù)0)=0,

又兀0在(0,+8)上單調(diào)遞增，且犬2)=0,

所以兀。的大致圖象如圖所示.

工

由代x)=f)可得，正產(chǎn)煲『=果>。,

由于x在分母位置，所以xWO,

當(dāng)x<0時，只需fix)<Q,由圖象可知尤<—2；

當(dāng)x>0時，只需負(fù)犬)>0,由圖象可知無>2；

綜上，不等式的解集為(—8,—2)U(2,+°°).

思維升華(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)

化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)/U)=sinx+x3+：+3,若式a)=l,則八一a)等于()

A.1B.3C.4D.5

答案D

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解析根據(jù)題意y（a）=sin。+/+（+3=1,

即sin.+〃+!=—2,

所以7（—a）—sin（一。）+（一0）3+（_4）+3

=一（sina+〃+￡]+3=2+3=5.

（2）已知函數(shù)犬x）=log2（|x|+l）,若4og曲碩2）,則實數(shù)尤的取值范圍是（）

A.（1,4）B（0,加（4,+8）

C.Q,1）U（1,4）D.。,4）

答案D

解析依題意，函數(shù)加0是偶函數(shù)，且在[0,+8）上單調(diào)遞增，

.?.於）在（—8,0）上單調(diào)遞減，

則/（log2X）勺（2）等價于|log2%|<2,

—2<log2%<2,

解得:<x<4.

（3）（2021?新高考全國I）已知函數(shù)於尸爐（。2*—2「）是偶函數(shù)，貝ija=.

答案1

解析方法一（定義法）因為=x3（o2￡—2「）的定義域為R,且是偶函數(shù)，所以八—x）=Ax）

對任意的xGR恒成立，所以（一無）3（。2-￡—2，=/（02工一2"）對任意的xGR恒成立，所以必儂

一1）（2工+2一%）=0對任意的xGR恒成立，所以a=\.

方法二（取特殊值檢驗法）因為五的二?、?？*—2=）的定義域為R,且是偶函數(shù)，

所以式—1）=/⑴，所以一g—2）=2aT

解得a=l,經(jīng)檢驗，/00=/（2工一2"）為偶函數(shù)，所以。=1.

方法三（轉(zhuǎn)化法）由題意知次0=了3（°2工一2七）的定義域為R,且是偶函數(shù).

設(shè)g（尤）=V,h（x）=a-2x—2~x,因為gQOux3為奇函數(shù)，所以〃（無）=。2"—2=為奇函數(shù)，

所以7z（0）=tz-2°—2-0=0,

解得4=1,經(jīng)檢驗，段）=>（2）—2一%）為偶函數(shù),

所以4=1.

題型三函數(shù)的周期性

例4（1）若定義在R上的偶函數(shù)加）滿足｛2—x）=—/（x）,且當(dāng)時,八勸=尤一1,則了§

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的值等于()

答案D

解析,函數(shù)4r)是偶函數(shù)，.\A—x)=?r),

又?.狀2-x)=-fix),：.fi2-x)=-X-x),

.7/U+2)=—Kx),

.?優(yōu)尤+4)=-/(x+2)=—[—於)]=於)，

函數(shù)式尤)的周期為4,

(2)設(shè)於)是定義在R上周期為4的偶函數(shù)，且當(dāng)xG[0,2]時，犬x)=log2(x+l),則函數(shù)負(fù)尤)在

[2,4]上的解析式為.

答案?=log2(5-x),xe[2,4]

解析根據(jù)題意，設(shè)xd[2,4],則無一4G[—2,0],則有4—xG[0,2],

當(dāng)xd[0,2]時，/(x)=log2(x+l),

則X4-x)=log2[(4-x)+l]=log2(5-x),

又八x)為周期為4的偶函數(shù)，

所以五尤)=/(x—4)=/(4—x)=log2(5—x),xe[2,4],

則有危)=log2(5—x),%e[2,4].

思維升華(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知

區(qū)間上，進(jìn)而解決問題.

跟蹤訓(xùn)練3(多選)已知定義在R上的偶函數(shù)兀c),其周期為4,當(dāng)xe[0,2]時，兀c)=2，-2,

貝女)

A.fil023)=0

B.段)的值域為[T,2]

C.7U)在[4,6]上單調(diào)遞減

D.於)在[—6,6]上有8個零點(diǎn)

答案AB

解析fi.2023)=/(506X4-l)=X-l)=Al)=0,所以A正確；

當(dāng)xd[0,2]時，武尤)=2工一2單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xG[0,2]時，函數(shù)的值域為[—1,2],

由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)的值域為[—1,2],所以B正確；

當(dāng)xe[0,2]時，應(yīng)k=2工一2單調(diào)遞增，

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又函數(shù)的周期是4,

所以“r）在［4,6］上單調(diào)遞增，所以C錯誤；

令兀0=2工-2=0,所以x=l,

所以式D=A—1）=。，

由于函數(shù)的周期為4,

所以八5）=八一5）=0,負(fù)3）=八-3）=0,

所以人x）在［—6,6］上有6個零點(diǎn)，所以D錯誤.

課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.（多選）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=2x,-\~^xB.y=x+sin（一尤）

C.y=log2|x|D.y=2x~2~x

答案ABD

解析對于A,定義域為R,且八一x）=-2X*23—4x=一式尤），故為奇函數(shù)，

又＜=6f+4＞0,所以＞=2爐+4天在（0,1）上單調(diào)遞增，故A滿足題意；

對于B,定義域為R,五-x）=-x+sin尤=-X尤），故為奇函數(shù)，

又y'=1—cosxBO,且y'不恒為0,

所以y=x+sin（—x）在（0,1）上單調(diào)遞增，故B滿足題意；

對于C,定義域為{x|xN0},八-x）=log2|x|=/（x）,故為偶函數(shù),故C不滿足題意；

對于D,定義域為R,丑一無）=2=一2工=一兀）為奇函數(shù)，

又y'=2^2+2^2＞0,所以y=2,—2=在（0,1）上單調(diào)遞增，故D滿足題意.

2.（2023?聊城模擬）已知函數(shù)人x）的定義域為R,則“八無）是偶函數(shù)”是“區(qū)初是偶函數(shù)”的

（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，根據(jù)這一特征，若八x）是

偶函數(shù)，則貝尤）1是偶函數(shù),若兀0是奇函數(shù)，師）1也是偶函數(shù),所以“式x）是偶函數(shù)”是"底尤）1

是偶函數(shù)”的充分不必要條件.

3.（2022?河南名校聯(lián)盟模擬）若函數(shù)人犬）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0。＜1時，為x）

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=4工，則(號+4)等于()

A.0B.2C.4D.-2

答案D

解析..TO)是定義在R上的奇函數(shù)，

.--X0)=0,又於)在R上的周期為2,

；.八2)=/(0)=0,(一0=一/(J)=-42=-2,

；?/(一()+八2)=—2.

Q2

4.(2022?亳州模擬)已矢口函數(shù)yOOuf+logzIR,a=f(2~)fb=fi\g7i),c=/(logo.26),貝!J〃，b,

c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

答案c

2

解析2~°-<2°=l,lg7T>0,logo,26<0,

因為八一X)=(—x)2+log2|-x|=Xx),

所以犬x)為偶函數(shù)，

所以只需判斷2-。-2,Igm—logo.26的大小即可,

—logo.26=logo,21>1,2-1<2-0-2<2°=1,0<lg7t<lgV10=^,

所以一k?go,26>l>2-°，2>lg7t>0,

當(dāng)x>0時，y=f,y=log*都單調(diào)遞增，

所以yCQnf+logzIxl在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以c=Xlogo.26)=y(—logo,26)>a=X2-0-2)>b=y(lgit).

1-Y

5.(2021?全國乙卷)設(shè)函數(shù)次%)=不，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.尤一1)-1B.五尤一1)+1

C./x+l)-lD.危+1)+1

答案B

解析危尸”=2：：+D=WT，為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y=/U)的

圖象向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=f(x~

1)+1.

6.(多選游)是定義在R上的偶函數(shù)，對VxGR,均有式x+2)=-/(x),當(dāng)xG[0,l]時，大尤)

=log2(2—X),則下列結(jié)論正確的是()

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A.函數(shù)式x)的一個周期為4

B.7(2022)=1

C.當(dāng)xG［2,3］時，Xx)=-log2(4—尤)

D.函數(shù)/(x)在［0,2021］內(nèi)有1010個零點(diǎn)

答案AC

解析,VU)是定義在R上的偶函數(shù)，對VxGR,均有/U+2)=—兀0，

.\>+4)=-y(x+2)=?,

函數(shù)的周期為4,故A正確；

式2022)=7(4X505+2)=犬2)=一八0)=—1,故B錯誤；

當(dāng)xd［2,3］時，x-2e［0,l］,

則/(x)=-/(x-2)=-log2［2-(x-2)］

=-log2(4—x),故C正確;

易知式1)=其3)=八5)=…=犬2019)=/(2021)=0,

于是函數(shù)。x)在［0,2021］內(nèi)有1011個零點(diǎn)，故D錯誤.

7.寫出一個定義域為R,周期為兀的偶函數(shù)八x)=.

答案cos2x(答案不唯一)

解析尸cos2x滿足定義域為R,最小正周期7=竽=無，且為偶函數(shù)，符合要求.

8.若函數(shù)五的=3—er，則不等式4nx)+/(lnx—1)>0的解集是.

答案(證，+°°)

解析因為危)=e“一er,定義域為R,且八一%)=—(e］—er)=—/(%),故其為奇函數(shù),

又>=&\y=—均為增函數(shù)，故兀x)為R上的增函數(shù)，

則原不等式等價于川nx)次1—Inx),也即lnx>l—Inx,整理得Inx>^,

解得工迷，故不等式的解集為(必，+°°).

2

—x+2x,x>09

9.已知函數(shù)?x)=<0，x=0,是奇函數(shù).

x<0

⑴求實數(shù)機(jī)的值；

(2)若函數(shù)式次)在區(qū)間［―1,〃一2］上單調(diào)遞增，求實數(shù)〃的取值范圍.

角翠(1)設(shè)x<0,貝!J—x>0,

所以一九)=-(一龍>+2(-x)=-x2,-2x.

又大幻為奇函數(shù)，

所以八一欠)=一大處，

于是x〈0時，y(x)=x2+2x=x2+mx,

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所以m=2.

〃一2〉一1

(2)要使八工)在[―1,。-2]上單調(diào)遞增，結(jié)合/(x)的圖象(如圖所示)知

a—2W1,

^1

所以1<〃W3,

故實數(shù)。的取值范圍是(1,3].

10.設(shè)/U)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x,恒有八X+2)=一八無).當(dāng)尤e?2]時，兀0

=2x-x~.

(1)求證：八尤)是周期函數(shù)；

(2)當(dāng)xe[2,4]時，求y(x)的解析式；

(3)計算式0)+式1)+八2)+…+12023).

⑴證明??V(x+2)=r(x),

.?./(x+4)=-/(x+2)=/U).

.\Ax)是周期為4的周期函數(shù).

(2)解當(dāng)尤2,0]時，-%e[0,2],

由已知得—x)=2(一%)一(一X)2——2x—X2.

又是奇函數(shù)，—X)=—fix)=—2x—X2.

,瓶尸一+2乂

又當(dāng)xd[2,4]時，尤一4G[—2,0],

.??XX-4)=(X-4)2+2(X-4).

又八x)是周期為4的周期函數(shù)，

：.f(x)=/x-4)=(x-4>+2(x—4)—6x+8.

從而求得xG[2,4]時，犬苫)=/一6%+8.

(3)解的)=0,加)=1,犬2)=0,A3)=-l.

又八x)是周期為4的周期函數(shù)，

.?式0)+八1)+五2)+黃3)=黃4)+/(5)+/(6)+式7)=…=黃2020)+八2021)+{2022)+八2023)=

0.

.?式0)+八1)+/(2)+…+八2023)=0.

立綜合提升練

11.(2023?廊坊模擬)已知定義域為R的函數(shù)/U)滿足：Vx,y^R,f(,x+y)+fix-y)=fix)fiy),

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且式1)=1,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.犬0)=2B./(X)為偶函數(shù)

C.兀0為奇函數(shù)D.五2)=-1

答案C

解析因為\/x,yGR,犬無+四+犬了-y)=/(x次y),

取x=l,y=0可得式1)+八1)=/(1)式0),

又式1)=1,所以犬0)=2,A對；

取x=0,y=x可得人x)+人一幻=八0求%),

因為加0)=2,所以八一x)=/(x),

所以人x)為偶函數(shù)，C錯，B對；

取x=l,y=l可得人2)+八0)=八1)<1),

又式1)=1,八0)=2,

所以式2)=—1,D對.

12.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足：①對于任意的xGR,都有人尤+1)=；；②函數(shù)y