河南省五市2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省五市2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

i.集合/=卜|=/},,貝ij/n3=（）

A.0B.{0}C.[0,+?)D.R

2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角a,其終邊落在直線(xiàn)了=x上，則有（）

A.sina=------B.cosar=—C.sina+cosa=±y/2D.tana=±1

22

3.平面向量入不滿(mǎn)足|Z|=2,村=3,忖+可=4,則不在方方向上的投影向量為（）

A.—5B.-aC.-aD.—a

12488

4.已知口袋中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球（除顏色外完全相同），現(xiàn)進(jìn)行不放回摸球，每次

摸一個(gè)，則第一次摸到白球的情況下，第三次又摸到白球的概率為（）

1123

A.—B.-C.-D.一

10455

3

5.已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)為/'（x）,且"x）=-1/（3）lnxT（l）x2.4x,則〃x）的極

值點(diǎn)為（）

.311_133

A.5或5B,yC.-5或5D-2

6.某款卷筒衛(wèi)生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為20mm,衛(wèi)生紙厚度約為0.1mm,

若未使用時(shí)直徑為80mm,則這個(gè)卷筒衛(wèi)生紙總長(zhǎng)度大約為（）（參考數(shù)據(jù)兀。3.14）

A.47mB.51mC.94mD.102m

7.已知產(chǎn)為棱長(zhǎng)為灰的正四面體力-BCD各面所圍成的區(qū)域內(nèi)部（不在表面上）一動(dòng)

點(diǎn)，記尸到面ABC,面ACD,面BCD,面ABD的距離分別為4,均，〃3，4,若〃§+4=1，

則弓廠+.的最小值為（）

2用］n2

2.C9+4收

A.2B.—D.12+4百

--2

8.拋物線(xiàn)C:/=2px（p>0）在其上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y-x-l=0,點(diǎn)/,B為C上

兩動(dòng)點(diǎn)，且|/刈=6,則月3的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸距離的取值范圍為（）

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

二、多選題

9.新高考模式下，化學(xué)、生物等學(xué)科實(shí)施賦分制，即通過(guò)某種數(shù)學(xué)模型將原始分換算

為標(biāo)準(zhǔn)分.某校在一次高三模擬考試中實(shí)施賦分制的方式，其中應(yīng)用的換算模型為：

了=丘+/（左JeR）,其中x為原始分，》為換算后的標(biāo)準(zhǔn)分.已知在本校2000名高三學(xué)

生中某學(xué)科原始分最高得分為150分，最低得分為50分，經(jīng)換算后最高分為150分，

最低分為80分.則以下說(shuō)法正確的是（）

A.若學(xué)生甲本學(xué)科考試換算后的標(biāo)準(zhǔn)分為115分，則其原始得分為100分

B.若在原始分中學(xué)生乙的得分為中位數(shù)，則換算后學(xué)生乙的分?jǐn)?shù)仍為中位數(shù)

C.該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分與標(biāo)準(zhǔn)分的標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分的平均分低于標(biāo)準(zhǔn)分的平均分

10.函數(shù)/0）=25現(xiàn)8+。），＞0,［同＜］］的部分圖象如圖所示，則（）

B.不等式的解集為1航+；施+3，（后eZ）

C.葭為/'（X）的一個(gè)零點(diǎn)

D.若aB,。為內(nèi)角，且1（/）=八0,則/=8或C=；

11.對(duì)于數(shù)列｛%｝（見(jiàn)?N+）,定義%為%,%,…，ak中最大值（4=1,2,…,〃）（neN+）,

把數(shù)列｛〃,｝稱(chēng)為數(shù)列｛叫的值數(shù)列”.如數(shù)列2,2,3,7,6的“河值數(shù)列”為2,2,3,

7,7,則（）

A.若數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，則也｝為常數(shù)列

B.若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則有?！??

C.滿(mǎn)足他,｝為2,3,3,5,5的所有數(shù)列｛%｝的個(gè)數(shù)為8

D.若0“=（-2廣％€2）,記'為也｝的前〃項(xiàng)和，則與。=?2儂-1）

12.定義在R上的函數(shù)/（》）=小。2+6?+歷：）（。＞0且"1,bwO）,若存在實(shí)數(shù)

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

加使得不等式/(-加+，〃2+12)+/(-加)20怛成立，則下列敘述正確的是()

A.若。>1,b>0,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為[-2,2]

B.若0<a<l,b<Q,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為92]

C.若。>1,b<0,則實(shí)數(shù)加的取值范圍為(-8,-2]U[2,+CO)

D.若0<a<l,b>0,則實(shí)數(shù)%的取值范圍為[2,+oo)

三、填空題

13.計(jì)算i(i為虛數(shù)單位)的值為

122J

14.「工-916的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

15.已知函數(shù)“X)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域均為R,記g(x)=_f(x).且

/(l-3x)+/(3x-l)=0,g(l+x)+g(l-x)=0,當(dāng)x￡(0,l],f(x)=sin^x,貝!J

2024

￡|/(o|=.(用數(shù)字作答)

i=l

16.三棱錐F-/3C中，尸2=2,ZPAB=ZABC=30°,PBLAB,/C_L/3,點(diǎn)N

分別在線(xiàn)段/尸，BC上運(yùn)動(dòng).若二面角P-A8-C的大小為60。，則的最小值

為.

四、解答題

17.AA8C中，角/,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且滿(mǎn)足方2-02=%.

(1)求證：8=2/；

(2)若“8C為銳角三角形，求sm(C-0：sm'的取值范圍.

SIDA

18.已知函數(shù)/(x)=alnx-x2+aQeR).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

19.在等差數(shù)列｛%｝中，a｝+a4+a1l=84,a7=33.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

⑵若記4(左eN+)為｛a,｝中落在區(qū)間(5:5")內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求低｝的前k項(xiàng)和Tk.

20.如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面N8CD是直角梯形，ABHCD,AABC=90°,

且尸4=PD=4D,PC=PB.

&

(1)若。為/。的中點(diǎn)，證明：CO1PO；

(2)若/CD/=60。，=1,點(diǎn)〃■滿(mǎn)足萬(wàn)k=2而，求平面尸C3與平面/CAf所

成角的余弦值.

21.某檔電視節(jié)目舉行了關(guān)于“中國(guó)夢(mèng)”的知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)則如下：選手每?jī)扇艘唤M，同一

組的兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯(cuò)則對(duì)方得1分，比賽進(jìn)行到

一方比另一方凈勝2分結(jié)束，且多得2分的一方最終勝出.已知甲、乙兩名選手分在同

一組，兩人都參與每一次搶題，且每次搶到題的概率都為，甲、乙兩人每道題答對(duì)的

概率分別為［，;，并且每道題兩人答對(duì)與否相互獨(dú)立，假設(shè)準(zhǔn)備的競(jìng)賽題足夠的多.

(1)求第二題答完比賽結(jié)束的概率；

(2)求知識(shí)競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，搶答題目總數(shù)X的期望E(X).

22

22.已知橢圓E:j+與=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,離心

ab

率為e且e>；,點(diǎn)。為E上一動(dòng)點(diǎn)，△。片鳥(niǎo)的面積的最大值為2后，過(guò)尸(-3,0)的直

線(xiàn)4，4分別與橢圓E交于/，2兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，與直線(xiàn)x=8交于N兩點(diǎn)，且

N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為11.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作直線(xiàn)N2的垂線(xiàn)，垂足為"

(1)求橢圓￡的方程；

⑵問(wèn)：平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)。，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出0點(diǎn)坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案：

1.C

【分析】

求出函數(shù)/的定義域和值域，求它們的交集即得.

【詳解】因函數(shù)歹二/的定義域?yàn)镽,值域?yàn)閇0,+8),故z=R,5=[0,+8),故/門(mén)5=[0,+8).

故選：C.

2.C

【分析】

7?57r

利用角。的終邊落在直線(xiàn)V=無(wú)上易于求得角a=?+2析或+2標(biāo),丘Z,分別求出角々

44

的正弦、余弦值，即可對(duì)選項(xiàng)一一判斷.

7T57t

【詳解】因角a的終邊落在直線(xiàn)＞=x上，a=-+2hra=—+2kn,keZ.

44

對(duì)于A,當(dāng)a=f+2E,左eZ時(shí)，sina=—,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

42

對(duì)于B,當(dāng)a=^+2E,斤eZ時(shí)，cosa---,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

42

JT5兀

對(duì)于C,當(dāng)a=：+2E,左eZ時(shí)，sina+cosa=y12,當(dāng)a=：-+2左兀，左￡Z時(shí)，

44

sina+cosa=-6，故c項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)a=/+2E,左eZ時(shí)，sina=cosa=,則tanc=l；

422

當(dāng)。=孚+2祈，左eZ時(shí)，sina=,cosa=,則tana=1.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

422

故選：C.

3.C

【分析】

由題設(shè)條件，利用向量的模長(zhǎng)公式求得■石，再利用5在G方向上的投影向量的公式

IbIcos(b,a)-*a一口口

11?7a=-=r-a即可求得.

l?l\a\

【詳解】由歸+可=而謁7=[開(kāi)+2@石+瓦=713+25-6=4可得a-/5=1,

____1

而7在G方向上的投影向量為向cos〈AZ〉「/?匕一萬(wàn)「一.

0\a\48

故選：C.

答案第1頁(yè)，共18頁(yè)

4.B

【分析】

分析題意，利用全概率公式即可得解.

【詳解】設(shè)事件A表示“第二次摸到白球“，事件B表示“第三次又摸到白球”，

依題意，在第一次摸到白球的情況下，口袋中有3個(gè)黑球和1個(gè)白球(除顏色外完全相同),

1_O_1

所以尸(4)="PQ4)=~,尸(同，)=0,P(B\A)=~,

則所求概率為P(B)=P(B\A)P(A)+P(B\A)P(A)=OX-+-X-=-.

故選：B

5.D

【分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，先后代入尤=3和x=l,確定函數(shù)/(x)的解析式，再通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定

函數(shù)的極小值點(diǎn)即可.

331

【詳解1對(duì)/(X)=--r(3)lnx-〃1)酷-4x進(jìn)行求導(dǎo),可得/'(X)=--/V)--2/(l)x-4,

77x

將無(wú)=3代入整理，4八3)+21/(1)+14=0①

將》=1代入/。)=一5/(3)111》一/(1)/一4》可得/(1)=一/'(1)-4,即/(1)=一2,

將其代入①，解得：/'(3)=7,故得〃》)=_311^+2幺一4》.

313

于是/'(x)=__+4x-4,由廣(x)=0可得x=或x==,因x>0,

x22

故當(dāng)o<x<3;時(shí)，r(x)<o,當(dāng)時(shí)3，rw>o,

即;是函數(shù)/(X)的極小值點(diǎn)，函數(shù)沒(méi)有極大值.

故選：D.

6.A

【分析】

因卷紙厚度固定，且卷在圓柱形空心紙筒上，故卷紙總長(zhǎng)即每一圈卷紙的周長(zhǎng)的和，而從內(nèi)

到外每圈卷紙的周長(zhǎng)依次構(gòu)成等差數(shù)列，故可以利用等差數(shù)列的基本量運(yùn)算求解.

【詳解】因空心紙筒直徑為20mm,則半徑為10mm,其周長(zhǎng)為2兀xlO=207r(mm),卷紙未

使用時(shí)直徑為80mm,則半徑為40mm,其周長(zhǎng)為2?tx40=80?i(mm),

答案第2頁(yè)，共18頁(yè)

on_on

又因?yàn)樾l(wèi)生紙厚度約為0.1mm,則卷紙共有的層數(shù)約為三==300,即每一圈的卷紙周長(zhǎng)

2x0.1

構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為20兀，末項(xiàng)為80兀，項(xiàng)數(shù)為300,

則這個(gè)卷筒衛(wèi)生紙總長(zhǎng)度即這個(gè)等差數(shù)列的前300項(xiàng)和：

S300=+=15000兀(mm),而15000兀?15000x3.14=47100mmx47m.

即這個(gè)卷筒衛(wèi)生紙總長(zhǎng)度大約為47m.

故選：A.

7.B

【分析】

由等體積法求得力+為+小+均為定值2,則有％+%=1,利用基本不等式求*的最小

值.

【詳解】正四面體/-8。棱長(zhǎng)為灰，E為△BCD的中心，則底面BCD,

廠為邊中點(diǎn)，則￡在8尸上，如圖所示，

則有5FJ_CZ),5尸u平面BCD,AEVBF,

AF=BF=S/BC。-CF°=逑,EF=-BF=—,

232

AE=^AF2-EF2-F]=2,即正四面體/BCD的高〃=2,

P為正四面體力-BCD各面所圍成的區(qū)域內(nèi)部，連接PA,PB,PC,PD,

可得到4個(gè)小四面體，

答案第3頁(yè)，共18頁(yè)

A

設(shè)正四面體力-BCD各面的面積為S,則有:5（%+為+用+4）=:”?,

得加+生+%+%=〃=2,

由〃3+%4=1,則%+%2=1，

182i

一十一

力”+4-2,

2%h224h，

當(dāng)且僅小當(dāng)色甌含即心y1二4時(shí)等號(hào)成立、,

故選：B

【分析】

根據(jù)拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程，利用求導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)，求出夕=2；接著設(shè)出/區(qū)，乂）,8（尤2,%）,

表示出點(diǎn)“到y(tǒng)軸的距離為：d=上手，利用拋物線(xiàn)的定義表達(dá)式，將其轉(zhuǎn)化為兩條焦半

徑的和，結(jié)合圖形易得422,故得解.

【詳解】依題意，因切線(xiàn)斜率為1,故切點(diǎn)必在第一象限，設(shè)切點(diǎn)為（3，%）,由了=歷

求導(dǎo)可得：爐=」至，

依題，*=1,即;^一1化簡(jiǎn)得％=，故切點(diǎn)為（壬必，代入了-工-1=0中，解得。=2,

故C:/=4%.

答案第4頁(yè)，共18頁(yè)

如圖，設(shè)點(diǎn)/（演5）,3區(qū),女）,則河（土產(chǎn),旦產(chǎn)），點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為：

,x,+x2再+1+%+11\AF\+\BF\,

2222

當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸時(shí)，等號(hào)成立.故45的中點(diǎn)M到歹軸距離的取值范圍為[2,+8）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過(guò)已知切線(xiàn)方程求出P值之后，對(duì)于4=土產(chǎn)的處理，應(yīng)結(jié)合拋

物線(xiàn)定義將其拼湊成玉+:+馬+11P,再轉(zhuǎn)化成四耳史1一冬，結(jié)合圖形把他縮小為

2722

手即得.

22

9.ABD

【分析】先求出換算模型公式，進(jìn)行原始分和標(biāo)準(zhǔn)分的計(jì)算，得到有關(guān)結(jié)論.

[150=150左+6]左=0.7

【詳解】對(duì)A,由題意得：on”,八=>k,「所以換算模型為：J=0.7x+45

[80=50左+6[6=45

由115=0.7x+45nx=100,故A對(duì)；

對(duì)B,因?yàn)楹瘮?shù)y=0.7x+45為增函數(shù)，所以標(biāo)準(zhǔn)分不改變?cè)挤值呐琶樞?，原始分的?/p>

位數(shù)換算后，得到的標(biāo)準(zhǔn)分仍為中位數(shù)，故B對(duì)；

對(duì)C,由0.7x+452尤nxV150,所以只有原始分是150分時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)分與原始分相等，

當(dāng)原式分低于150分時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)分都高于原始分，所以標(biāo)準(zhǔn)分相比于原始分，分?jǐn)?shù)更集中，

所以標(biāo)準(zhǔn)分的標(biāo)準(zhǔn)差比原始分的標(biāo)準(zhǔn)差要小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)分都不低于原式分，所以原始分的平均分低于標(biāo)準(zhǔn)分的平均分，故D對(duì).

故選：ABD

10.BCD

【分析】

根據(jù)圖象中的兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求得。和夕的值，結(jié)合函數(shù)的周期性求出滿(mǎn)足

答案第5頁(yè)，共18頁(yè)

條件的0和夕，再依次判斷即可.

【詳解】A選項(xiàng)，由圖象可知：/(0)=-1,

代入得：2sin^=-l,即sin°=-g,

又⑷<一TT,”TT=一.

26

“￡)=2,代入得：2singoq)=2,即sin(g0~?)=l,

33636

TTTTTE

一口一―二-2kW解得：&=2+6左(左￡Z),

362

由圖象可知：周期gTTx2<T<gTTx4,

3

解得5<。<3,「.0=2.故A錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，由/(x)=2sin(2x—3)〉1得：sin(2x-—)>—,

662

yryrSTT

由正弦曲線(xiàn)得：-+2^<2x--<—+2^,

666

兀71

/.xG(―+kn,—+kTt)(keZ),故B正確.

62

C選項(xiàng),?/f(=2sin(2^)=2sinii=0,

所以，皆是/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，故C正確.

D選項(xiàng)，因?yàn)镃是三角形的內(nèi)角，且2sin(2/-￡)=2sin(23-勺

66

所以2/_/=28_丁，或(2/_3)+(28_?)=兀，

6666

27r

即/=5,或/+5=-^―,

7T

因此，A=B,或C=?—(4+8)=§,故D正確.

故選：BCD.

11.ABD

【分析】

由值數(shù)列”的定義，對(duì)選項(xiàng)中的結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】若數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，則%是%,a2,《中最大值(左=1,2,)(〃eN+),

所以〃=可，也｝為常數(shù)列，A選項(xiàng)正確；

若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則必是外,出，…，做中最大值(后=1,2,…)(〃eN+),

答案第6頁(yè)，共18頁(yè)

所以4=%,即%=?,B選項(xiàng)正確;

滿(mǎn)足｛2｝為2,3,3,5,5,貝!J%=2,a2=3,4可以取1，2,3,%=5,%可以取1，2,

3,4,5,

所有數(shù)列｛0“｝的個(gè)數(shù)為3x5=15,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

若%=(-2)"T(〃eN+),則數(shù)列｛風(fēng)｝中奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成遞增的正項(xiàng)數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，

則有&7=砥=(-2廣2=2*2,

所以5100=2(1+22+24+…+298)=：(21°°-1),D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

12.BD

【分析】

先判斷函數(shù)/(x)=log)J1+6先2+bx)為奇函數(shù)，再分。>1和0<。<1討論y=logj的單調(diào)性,

分，>0和b<0討論函數(shù)公應(yīng)石7+法的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷得出f(x)的

單調(diào)性，利用單調(diào)性將〃-洸+J百仃)+/(-")20進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化成含參數(shù)〃，的不等式，求

解即得.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/(x)=log”(J74+樂(lè))，因

2222

/(x)+/(-x)=loga(A/1+6X+bx)+loga(A/1+ZJX-bx)

=log?[(Vl+^2x2+bx)｛^+b2x2-bx)]=0,則函數(shù)/(x)是奇函數(shù).

不妨設(shè)」=Jl+6'2+6x，則V=logJ，

對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)。>1時(shí)，>=log/在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

因6>0，則/=，1+阻/+比在R上也是增函數(shù),故/(x)=log,(J7?F+fer)在R上也是

增函數(shù).

由/(-加+Ju?+12)+f(—m)20of(-m+4n?+12)N=f(m)，貝U

—m+y/m2+12>m>即-\lm2+12>2m(*)，

①當(dāng)機(jī)WO時(shí)，此時(shí)恒成立；②當(dāng)〃z>0時(shí)，由(*)可得/+1224刃2,解得-2W/V2,

答案第7頁(yè)，共18頁(yè)

綜上可知，加e(-0°,2],故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)0<a<l時(shí)，>=logJ在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因6<0,則/=加+/道+樂(lè)在R

上也是減函數(shù)，故/(x)=log“(J訴Z+6x)在R上是增函數(shù)，

由A項(xiàng)分析可得，fjn+J川+12)+f(_m)20恒成立可得,(-00,2],故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)。>1時(shí)，>=log/在定義域內(nèi)為增函數(shù)，因6<0,則/=&+?*+法在R

上是減函數(shù)，故/(x)=log0(A/iTK^~+6x)在R上是減函數(shù)，

由/(—"2+Jn?+12)+f(-m)。00f(-in++12)2-/(-加)=f(m)，則

-m+yjm2+12<m即Jn2+12<2m(*)，

①當(dāng)mVO時(shí)，無(wú)解；②當(dāng)機(jī)>0時(shí)，由(*)可得加2+1244切2,解得〃I4-2或加上2,綜

上可知，加e[2,+00),故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)0<a<l時(shí)，>=bg/在定義域內(nèi)為減函數(shù)，因6>0,則/=川+心2+近在R

上也是增函數(shù)，故/(x)=log“(d7后Z+云)在R上是減函數(shù)，

由C項(xiàng)分析可得，f(-m+J加2+12)+/(-加)2/恒成立可得，〃?e[2,+a)),故D項(xiàng)正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般先考慮函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)參數(shù)分類(lèi)判斷，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的內(nèi)外

函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性去掉抽象函數(shù)的符號(hào)，將其化成含參數(shù)加的不等式恒成立問(wèn)題，

再對(duì)參數(shù)加分類(lèi)討論不等式解的情況即得.

13.-1

【分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解即可.

故答案為：-1

14.60

答案第8頁(yè)，共18頁(yè)

【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令X的指數(shù)等于零，即可得出答案.

【詳解】解：6的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為

所以6的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(_1戶(hù)2,-4.C：=60.

故答案為：60.

15.1012

【分析】

根據(jù)/(l-3x)+/(3x-l)=0推出函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，由g(l+x)+g(l-x)=0還原成

r(i+^)=-r(i-x),推理得到〃I+M=/(I-X),得出函數(shù)八無(wú))圖象關(guān)于直線(xiàn)x=i對(duì)稱(chēng),

2024

兩者結(jié)合得出/(X)為以4為周期的函數(shù)，分別求出/⑴J(2)J(3)J(4),計(jì)算即得￡1/⑺|.

Z=1

【詳解】由/(l-3x)+/(3x—l)=0可得〃lr3x)=/[-(3x-l)]=-/(3xT，即

(x)①

又由g(l+x)+g(l-x)=0可得g(l+x)=—g(l-x),即/'(1+尤)=-7'(1一勸,從而

故/(1+尤)=/(l-x)+C(C是常數(shù))，因當(dāng)x=0時(shí)/'(1)=/■⑴+C,則C=0,即得

/(l+x)=/(l-x)②，

由②可得〃2+x)=/(f),又由①得/(2+x)=_/(x),即/(尤+4)=-/(2+切=/(無(wú))，故函

數(shù)/(X)為周期函數(shù)，周期為4.

由xe(O,l],〃尤)=$1咤尤可知/(1)=1,因/(x)是R上的奇函數(shù)，y(0)=0,則由

/(2+x)=f(-x)可得/(2)=/(0)=0,

〃3)=〃-1)=一〃1)=一1,/(4)=/(0)=0,

20247074

則|〃1)|+|/(2)|+|/'(3)|+|〃4)|=2,于是￡|〃i)|=2x丁=1012.

z=i4

故答案為：1012.

答案第9頁(yè)，共18頁(yè)

16.獨(dú)I/工回

1313

【分析】

觀察三棱錐尸-/BC,將其補(bǔ)形成直三棱柱3DP-/CQ,再推得A/CQ是正三角形，從而

建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線(xiàn)距離的向量法公式即可得解.

【詳解】依題意，將三棱錐尸-/BC補(bǔ)形成直三棱柱

此時(shí)易知PB_L48,AC1AB,滿(mǎn)足題意，

又所以/Q/C為二面角尸-/B-C的平面角，即/0/C=6O。，

在RMP/B中，PB=2,ZPAB=30°,則/8=2百，

在RtZX/BC中，ZABC=30°,貝!|/C=2,

又AQ=BP=2,所以A/C。是正三角形，

要求1MM的最小值，即求異面直線(xiàn)/p,Be的距離,

以A點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

則/（0,0,0）,8（0,0,26）,「（0,2,2一爐（占1,0）,

故左=(0,2,2君),瑟=(痣1,-26)就=(占1,0),

AP-n=2y+2用z=0

設(shè)方=(x/,z)同時(shí)垂直于后,就，貝!|，

BC-n=\[3x+y-2@z=0

取z=l,貝!]_\:=3,>=_百，故方=（3，—相,1）,

\AC-n\2739

所以的最小值為

\n\13

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，通過(guò)分析三棱錐P-48C的圖形，將其補(bǔ)形成直

三棱柱3DP-/CQ,從而得解.

答案第10頁(yè)，共18頁(yè)

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵(-五0)

【分析】

(1)用正弦定理邊化角，再利用和差化積公式與誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得sin(B-4)=sin/,

從而用等量關(guān)系即可得證；

(2)由(1)知，銳角三角形AABC中8=2N,利用角42,C關(guān)系求得角A的范圍，再把

式子sm(C-sm8用角人的三角函數(shù)來(lái)表示并利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn),進(jìn)而

smZ

用三角函數(shù)的取值范圍即可求解.

【詳解】(1)證明：由條件/-力二。。，根據(jù)正弦定理可得sin?8-sin?/=sinZsinC,

1-cos251-cos2^4「口口c,…c,「

=sin4sinC,BPcos24—cos2B—2sinAsinC,

22

cos2^4-cos25=cos[(4+5)+(/_5)]-cos[(/+3)-(4—5)]

=-2sin(/+8)sin(Z-B)=2sin/sinC,

又“BC中sin(/+3)=sin(兀一C)=sinCw0,

進(jìn)行化簡(jiǎn)得sin(5-4)=sin/,

所以8—4=4,即5=24或8—4=兀—力，即5=乃(舍去),

所以5=24.

(2)若為銳角三角形，根據(jù)(1)B=2A,

B=2A<-2A<-

2

則2=,得

7T“兀64

C=TI-A-B<-7i-3A<—

22

sin(C-A)-sinBsin(7r-A-B-A)-s\nBsin44-sin24

式子

sinAsin/sin/

sin(34+4)—sin(34-A)

=2cos34,

sinZ

由巴＜/＜/得巴＜3/〈至，又易知函數(shù)y=cosx在713兀

5內(nèi)單調(diào)遞減,

64242T

所以cos3/e[-也,0],

I2J

sin(C-A)-sinB

因此=2cos3AG(-V2,0).

sin/

答案第11頁(yè)，共18頁(yè)

18.(1)答案見(jiàn)解析

(2)"

【分析】

(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分aW0和。>0兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)首先根據(jù)(1)的結(jié)果可知。>0且,再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可證

明.

【詳解】⑴根據(jù)條件貝U/'(x)=2-2x(x>0)

X

當(dāng)aV0時(shí)，/'(x)<0在定義域(0,+8)內(nèi)恒成立,因此〃尤)在(0,+司遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，由/小)>0,解得o<x<Yp；/。)<0,解得x>浮

因此：當(dāng)aVO時(shí)，/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+/),無(wú)增區(qū)間；

。>0時(shí)，“X)的單調(diào)減區(qū)間為，+8,增區(qū)間為0,

注：區(qū)間端點(diǎn)》=叵處可以是閉的

2

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，有(1)可知。>0且

則必有/字=aln浮一］浮j+a>0

即山區(qū)+1>0,解得。>工

2e

又因d=--T<0，/(4〃)=aIn4a_16/+a=a(ln4a-16〃+1)

(8、11-4/

即g(Q=ln/-4/+lt=4a>—=g'?)=-4=-------,

'IeJtt

當(dāng)時(shí)，g'⑺<0恒成立，即g(。在單調(diào)遞減，

nr^g(O<gf-^=ln--—+I=ln8--<0,

Jeee

也即得g("<0在T|,+f恒成立，

答案第12頁(yè)，共18頁(yè)

、

從而可得/（X）在,4a區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn),

7

綜上所述，若/（X）有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)數(shù)。的范圍為+8

19.⑴。〃=5〃-2

⑵上⑸印-6x5*+1）依e凡）

【分析】

（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式求解即得.

（2）解不等式求出外,再利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解.

【詳解】（1）等差數(shù)列｛%｝中，由％+%+?！?84,得4+2%=84,而％=33,解得&=18，

因此數(shù)列｛見(jiàn)｝的公差1=??=5,%=&+（〃-4）[=5〃-2,

7—4

所以數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式是=5?-2.

（2）由（1）知，左eN+，由5晨％<52。得5:5"-2<523整理得51+（<〃<521+:,

因此正整數(shù)〃滿(mǎn)足5"i+1V〃V,從而得a=521—51,

所以｛4｝的前左項(xiàng)和為『=言7-[^=：（521一6x5*+l）/eN+）.

20.（1）證明見(jiàn)解析;

⑵半

【分析】

（1）取3c中點(diǎn)為￡,利用直角梯形性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.

（2）證明COLN。，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.

【詳解】（1）取8c中點(diǎn)為￡,連接。瓦尸E,由。為4D的中點(diǎn)，得OE///8,而N4BC=90。,

則0E_L8C,

答案第13頁(yè)，共18頁(yè)

p

由P8=PC,得PELBC,而PEnOE=E,PE,。Eu平面尸OE,則5C/平面尸OE,

又POu平面尸?！?則3C_LPO,由尸/=尸。，得尸O_L/D,由/BCD為梯形，得兩腰

與8C相交，

因此尸。，面48cD,而OCu面48cD,

所以CO_LPO

(2)取CD的中點(diǎn)為。，連接40,直角梯形A8C。中，由/5=gcZ)=l,ZCDA=60°,

得/QLCD,AD=2QD=2=CD,因此A/CD為等邊三角形，C。，/。，

由（1）知尸01面A8C。，OPX.OA,OPVOC,

軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

4（0,1,0）,5（^,0）,q血0,o）F（0,0,封,。（04,0）,

由麗=2而，得M（0,-g,早），

則無(wú)=（6,0,一6）,而=（李一|,0）,太=（6,一1,0）,痂=（0,一*￥）,

〃[.PC-yfia—=0

設(shè)平面PC5的法向量為々=(。也c),則＜______J33，令6=1,得〃[=（百,1,百）,

nBC=^a--b=0

c122

答案第14頁(yè)，共18頁(yè)

n2?AC=VJx-y=0

設(shè)平面/CM的法向量為%=(x,y,z),貝卜屋加令X"得

n2=(1,G,2)

設(shè)平面PC2與平面ZCM所成的角的大小為0,則

cose=1cos〈晨Q1==叵

\njn2\V7xV87

所以平面PCB與平面ACM所成角的余弦值是這.

7

21.(1)—

v7200

400

(z2)---

v7101

【分析】

(1)首先求出一次搶題、答題甲、乙得到1分的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)

算可得；

(2)依題意可得競(jìng)賽結(jié)束時(shí)搶答題目的總數(shù)X的所有可能取值為2,4,6,8,…,2凡…eN+),

記。，=尸(X=2〃)，由(1)知,當(dāng)x=2時(shí),R=尸(X=2)=黑，且4+]=新？"(〃€叫)，

即可得到X的分布列，再求出其期望.

【詳解】⑴由條件,每次搶題+答題，甲得1分的概率為+=9

乙J乙乙乙U

119

每次搶答題乙得1分的概率為號(hào)=1-編=1--=—,

若第二題答完比賽結(jié)束，則前兩次答題甲得2分或者乙得2分，

因此第二題答完比賽結(jié)束事件發(fā)生的概率尸=(uf=121；

(20)(20)200

(2)根據(jù)題意，競(jìng)賽結(jié)束時(shí)搶答題目的總數(shù)X的所有可能取值為2,4,6,8,…,2〃,…

記Pn=P(X=2n),

iniQQ

由⑴知，當(dāng)X=2時(shí)，A=P(X=?.)=—,且。"+i=而。,("€"),

則X的分布列可表示為：

答案第15頁(yè)，共18頁(yè)

X2462n

PPlPlP3...Pn

.E(X)=22]+422+62§+824—?+2〃?pnH—

101,99,99o99.99

=---+4x---/?.+6x---0+8x---〃[+…+2及x---.+???

100200200200200

10199

4222

=—+—(A+6p2+8p3+---+?-A,-1+(?+)-A+---)

101992

=—+—[(A+4^2+6p3+---+2wjp?+---)+2(A+P2+P3+---+Pn+?■-)]

10199r/\n

=而+而四辦2]，

解得成幻=翳

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵是利用￡（》）的公式進(jìn)行變形得到關(guān)于￡（X）

的方程，從而得解.

22.(l)y+/=l

3￡

（2）存在，Q

253

【分析】

（1）先由橢圓性質(zhì)知當(dāng)點(diǎn)。位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，△。與心面積的最大，得出6c=2百，再由

〃+/=/=9聯(lián)立即可求得橢圓方程;

（2）設(shè)出四點(diǎn)坐標(biāo)，分別利用尸,4可三點(diǎn)共線(xiàn)和尸N三點(diǎn)共線(xiàn)，直線(xiàn)斜率相等列出方

程組，借助于。+：2=11建立坐標(biāo)關(guān)系式—+已=1；再設(shè)出直線(xiàn)N8的方程

乙戶(hù)二即+〃，將①式中消元得到關(guān)于乂，力的對(duì)稱(chēng)式訪(fǎng)/第嵩=