人教版高中數(shù)學必修二6.3.5 平面向量數(shù)量積的坐標表示（解析版） 導學案

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示導學案編寫：廖云波初審：孫銳終審：孫銳廖云波【學習目標】1.會用坐標表示平面向量的數(shù)量積.2.能夠用向量坐標求數(shù)量積、模及兩個向量的夾角.3.能夠利用坐標判斷向量的垂直關系.【自主學習】知識點1面向量數(shù)量積的坐標表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.即兩個向量的數(shù)量積等于相應坐標乘積的和．知識點2平面向量長度(模)的坐標表示(1)向量模公式：設a＝(x1，y1)，則|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)兩點間距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，知識點3兩向量垂直的坐標表示設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.知識點3向量的夾角公式設兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).

【合作探究】探究一平面向量數(shù)量積的坐標運算【例1】已知a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐標；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解(1)設a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，則有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．歸納總結(jié)：進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質(zhì).解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數(shù)量積運算；二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算.【練習1】若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，則(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.答案(－16，－8)(－8，－12)解析∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．探究二向量的模的問題【例2】向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量a＝(－3,4)的夾角為π，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝10，若點A的坐標是(1,2)，則點B的坐標為()A．(－7,8)B．(9，－4)C．(－5,10)D．(7，－6)[解析](1)∵向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量a＝(－3,4)的夾角為π，∴設eq\o(AB,\s\up6(→))＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．由此可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(－3k2＋4k2)＝10，解之得k＝－2(k＝2舍去)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6，－8)，設B(m，n)，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m－1，n－2)＝(6，－8)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝6,n－2＝－8，))解得m＝7，n＝－6，∴B(7，－6)，故選D.歸納總結(jié)：(1)要求向量的模需先由條件求出向量的坐標，再求模．(2)已知向量的模求坐標，要設出坐標列方程(組)求解．【練習2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|與點D的坐標．解設點D的坐標為(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x－3，y－2)，∵D在直線BC上，即eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，∴存在實數(shù)λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－6λ，,y－2＝－3λ.))∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即D點坐標為(1,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,2)．∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，即|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，D(1,1)．探究三向量的夾角與垂直問題【例3-1】已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a與b的夾角θ為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪(－2，eq\f(1,2))B．(eq\f(1,2)，＋∞)C．(－2，eq\f(2,3))∪(eq\f(2,3)，＋∞)D．(－∞，eq\f(1,2))[答案]A[解析]∵a與b的夾角θ為銳角，∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a與b方向不同，即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，解得λ∈(－∞，－2)∪(－2，eq\f(1,2))．故選A.【例3-2】已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________.[答案]7[解析]因為a＋b＝(m－1,3)，a＋b與a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.【例3-3】已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)答案B解析∵|a|＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝5.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又∵a，b的夾角范圍為[0，π]．∴a與b的夾角為eq\f(π,4).歸納總結(jié)：根據(jù)向量的坐標表示求a與b的夾角時，需要先求出a·b及|a|，|b|，再求夾角的余弦值，從而確定θ.【練習3-1】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角．解設a與b的夾角為θ，則a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因為a與b的夾角為直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－eq\f(1,2).(2)因為a與b的夾角為鈍角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，所以a·b<0且a與b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向．所以λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).(3)因為a與b的夾角為銳角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，所以a·b>0且a，b不同向．由a·b>0，得λ>－eq\f(1,2)，由a與b同向得λ＝2.所以λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．【練習3-2】設向量a與b的夾角為θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，cosθ＝________.[答案]1[解析]b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(－1，－1)＝(1,1)，a·b＝6.又|a|＝3eq\r(2)，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(6,6)＝1.

課后作業(yè)A組基礎題一、選擇題1.若單位向量滿足，向量滿足，且向量的夾角為60°，則（）A. B.2 C. D.【答案及解析】：B【分析】由向量垂直得其數(shù)量積為0，從而由向量數(shù)量積的運算律可求得，再由數(shù)量積的定義可得模．【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，故選：B.2.已知向量，若向量在向量方向上的投影為－2，則向量與向量的夾角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案及解析】：C【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的定義可求，然后根據(jù)向量夾角公式即可求解．【詳解】解：由數(shù)量積的定義知向量在向量方向上的投影為，所以，所以，所以夾角.故選：C.3.已知向量滿足，且與的夾角為，則（）A. B. C.1 D.13【答案及解析】：C【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】解析：.【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積與模長的運算等，屬于基礎題.4.已知，則在方向上的射影為（）A. B. C. D.【答案及解析】：B【分析】由于在方向上的射影為，代入值直接求解即可.【詳解】解：因為，所以在方向上的射影為，故選：B5.已知向量，，若，則實數(shù)m=()A.－1 B.1 C.2 D.－2【答案及解析】：B【分析】根據(jù)向量坐標的線性運算得到，再根據(jù)向量垂直的坐標表示，得到關于的方程，解出的值，得到答案.【詳解】因為向量，所以，因為，所以所以解得.故選：B.6.已知向量，滿足，，且與的夾角為，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案及解析】：D【分析】先求，進而可求，再求，即可求，利用結(jié)合，即可求解.【詳解】，，，設向量與的夾角為，，因為，所以，所以與的夾角為.故選：D7.若，，且，則向量的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案及解析】：B【分析】由向量垂直則數(shù)量積為零，求得，再根據(jù)夾角公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，由于向量，，且，，，故，又向量夾角的范圍為，故可知向量的夾角為.故選：B．8.已知非零向量、滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案及解析】：C【分析】由，可得.根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義，可求與的夾角.【詳解】是非零向量，且，，設與的夾角為，則.，.故選：C9.設非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案及解析】：C【分析】根據(jù)可得，由也可得，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義來判斷即可.【詳解】因為，所以，因為，兩邊平方可得：即，由充分條件和必要條件可判斷出是的充分必要條件故選：C二、填空題10.已知單位向量，滿足，則與的夾角是_________.【答案及解析】：【分析】將兩邊平方，代值計算即可.【詳解】設與的夾角是，由題意兩邊平方后，得：，因為，為單位向量，，.，.故答案為：.11.若向量，，則與的夾角等于______.【答案及解析】：【分析】求出與的坐標，由兩垂直向量的數(shù)量積關系即可判斷.【詳解】，，，，與的夾角等于.故答案為：12.向量，，若，則_________.【答案及解析】：1【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得的值.【詳解】因為，且，故，解得.故答案為：13.已知單位向量，的夾角是，向量，若，則實數(shù)________.【答案及解析】：【分析】根據(jù)題設知，又單位向量，的夾角是，即可得方程求值【詳解】由向量，，知：∴，而單位向量，的夾角是∴，解得故答案為：三、解答題14.已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求；（2）若，求【答案及解析】：（1）；（2）【分析】（1）對進行平方，然后利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義進行求解即可；（2）根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和（1）的結(jié)論進行求解即可.【詳解】（1）由得，已知向量與向量的夾角為，且，所以化簡得；；解得或（舍去）∴；（2）由得15.已知平面向量，，，函數(shù)圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離是．（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最值．【答案及解析】：（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值為，最大值為.【分析】（Ⅰ）利用向量數(shù)量積的坐標運算、二倍角公式、輔助角公式化簡表達式，結(jié)合圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離求得，利用整體代入法求得的單調(diào)減區(qū)間.（Ⅱ）利用三角函數(shù)最值的求法，求得函數(shù)在區(qū)間上的最值．【詳解】（Ⅰ）.由于圖象的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，即，由于，所以.所以由，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）因為，所以，所以，，.所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.

B組能力提升一、選擇題1.非零向量滿足：，則與夾角的大小為（）A. B. C. D.【答案及解析】：.A【分析】由得向量垂直，，作圖表示向量和，由向量減法法則得，從而可得夾角．【詳解】因為，所以，如圖，則，又，所以，所以與夾角，即的夾角為．故選：A．【點睛】本題考查求向量的夾角，考查向量垂直與數(shù)量積的關系，本題采取幾何作圖法得出向量的夾角，方法簡便．2.已知向量，向量在方向上的投影為-4，若，則實數(shù)的值為（）A.3 B. C. D.【答案及解析】：B【分析】由，根據(jù)向量模的方法求得，再根據(jù)在方向上的投影為-4，求得，最后根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)，即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：由題可知，則，∵在方向上的投影為，∴，則，又，∴，即，即，則，解得：.故選：B.3.已知向量，，若與的夾角為，則（）A.2 B. C. D.1【答案及解析】：B【分析】求出、，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)求出的值，即可得解.【詳解】，，則，同理，，因此，.故選：B.4.如圖所示，在中，設為的外心，向量，，，若，，則等于（）A.6 B.5 C.3 D.1【答案及解析】：A【分析】取中點，根據(jù)平面向量線性運算將所求數(shù)量積化為，根據(jù)數(shù)量積的運算律可求得結(jié)果.【詳解】取中點，連接，為的外心，為的垂直平分線，，，，又，，.故選：.5.已知、、是在同一平面內(nèi)的單位向量，若與的夾角為60°，則的最大值是（）A. B.－2 C. D.【答案及解析】：D【分析】計算出的值，設向量與的夾角為，利用平面向量數(shù)量積運算律和定義可求得的最大值.【詳解】單位向量與的夾角為，則，，則，所以，.故選：D.二、填空題6.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，E、F分別為邊BC、CD的中點，則______．【答案及解析】：【分析】以點為坐標原點，、分別為軸、軸的正方向建立平面直角坐標系，計算出、的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算計算出的值.【詳解】以點為坐標原點，、分別為軸、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、，，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，一般利用基底法和坐標法進行計算，考查計算能力，屬于中等題.7.在△ABC中，若，，，，則______.【答案及解析】：【分析】利用余弦定理可求得,建立平面直角坐標系,根據(jù)求出的坐標,進而求得即可.【詳解】由余弦定理可得,即,因為,故解得.過作垂直的延長線于,再以為坐標原點,為軸,為軸建立平面直角坐標系.則,,.設,因為,故,故,解得,即.故故答案為：8.在銳角△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，若，，且，，則實數(shù)的值為_______．【答案及解析】：3【分析】將表示為，由題意得知與不垂直，由可得出，進而可求得實數(shù)的值.【詳解】如下圖所示：，，，，，是銳角三角形，則與不垂直，即，，，則，即，，，因此，.故答案為：.9.已知，，,若點P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且，則的最大值等于________.【答案及解析】：13【分析】建立直角坐標系，由向量式的幾何意義易得的坐標，可化為，再利用基本不等式求得它的最大值.【詳解】解：由題意建立如圖所示的坐標系，可得,,,,，,當且僅當，即時，取等號的最大值為,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算,涉及基本不等式求最值,屬中檔題.三、解答題10.已知向量，（，），令（）.（1）化簡，并求當時方程的解集；（2）已知集合，D是函數(shù)與定義域的交集且D不是空集，判斷元素f(x)與集合P的關系，說明理由.【答案及解析】：（1），或，；（2）時，，時，【分析】（1）直接將向量，代入中化簡，可求出的解析式，再解方程即可；（2）由化簡變形可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因為，，所以，當時，，由得，解得或，所以方程的解集為或（2）當時，，化簡得，解得，所以當時，，當時，【點睛】此題考查向量的數(shù)量積和向量的加法運算，考查了三角函數(shù)恒等變形公式，屬于中檔題.

C組挑戰(zhàn)壓軸題一、選擇題1.設，，為非零不共線向量，若則（）A. B.C. D.【答案及解析】：D【分析】，化簡得到，故，得到答案.【詳解】，故，化簡整理得到：，即，，故，故.故選：D.2.已知△ABC中，，，，動點P自點C出發(fā)沿線段CB運動，到達點B時停止，動點Q自點B出發(fā)沿線段BC運動，到達點C時停止，且動點Q的速度是動點P的2倍.若二者同