第11章 一元一次不等式（教師版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊章節(jié)知識講練1.理解不等式的有關(guān)概念，掌握不等式的三條基本性質(zhì)；2.理解不等式的解（解集）的意義，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法；3.會利用不等式的三個基本性質(zhì)，熟練解一元一次不等式或不等式組；4.會根據(jù)題中的不等關(guān)系建立不等式（組），解決實際應(yīng)用問題；5.通過對比方程與不等式、等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)等一系列教學(xué)活動，理解類比的方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要途徑.知識點01：不等式【高頻考點精講】1.不等式：用符號“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.【易錯點剖析】（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡的不等式表示，例如，等；另一種是用數(shù)軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過程叫做解不等式．2.不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知識點02：一元一次不等式【高頻考點精講】1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過化簡后只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式，【易錯點剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1.

【易錯點剖析】不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點，二是定方向，三是定空實.3.應(yīng)用：列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.【易錯點剖析】列一元一次不等式解應(yīng)用題時，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關(guān)鍵.知識點03：一元一次不等式組

【高頻考點精講】關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組.

【易錯點剖析】（1）不等式組的解集：不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做這個不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應(yīng)用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個不等式組；②由不等式組的解集及實際意義確定問題的答案．檢測時間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.55一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023秋?姑蘇區(qū)期末）若a＞b，則下列不等式變形錯誤的是（）A．a(chǎn)﹣1＞b﹣1 B． C．3a＞3b D．1﹣a＞1﹣b解：A、∵a＞b，∴a﹣1＞b﹣1，故正確，不合題意；B、∵a＞b，∴，故正確，不合題意；C、∵a＞b，∴3a＞3b，故正確，不合題意；D、∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，∴1﹣a＜1﹣b，故錯誤，符合題意；故選：D．2．（2分）（2023秋?奉化區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有4個，則m的取值范圍是（）A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7解：由7﹣2x≤1得，x≥3，∵x＜m，故原不等式組的解集為：3≤x＜m，∵不等式組的正整數(shù)解有4個，∴其整數(shù)解應(yīng)為：3、4、5、6，∴m的取值范圍是6＜m≤7．故選：D．3．（2分）（2023秋?永州期末）已知關(guān)于x的不等式整數(shù)解共有2個，若m為整數(shù)，則m＝（）A．2 B．3 C．4 D．5解：由x﹣m＜0，得：x＜m，由5﹣2x≤1，得：x≥2，∵不等式組有2個整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解為2、3，∴3＜m≤4，又∵m為整數(shù)，∴m＝4，故選：C．4．（2分）（2022秋?新化縣期末）方程組的解滿足不等式x﹣y＜5，則a的范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)＜2 D．a(chǎn)＞2解：，①+②，得3x﹣3y＝3+6a，化簡，得x﹣y＝1+2a，∵x﹣y＜5，∴1+2a＜5，解得，a＜2，故選：C．5．（2分）（2022秋?新田縣期末）若關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．7＜a＜8 B．7≤a＜8 C．7＜a≤8 D．7≤a≤8解：，解不等式①，得：x＞4.5，解不等式②，得：x＜a，由題意可知，不等式組有解集，∴該不等式組的解集是4.5＜x＜a，∵不等式組恰有3個整數(shù)解，∴這三個整數(shù)解是5，6，7，∴7＜a≤8，故選：C．6．（2分）（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期末）如果不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集為x＞1，則a必須滿足的條件是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞5 C．a(chǎn)≠5 D．a(chǎn)＜5解：∵不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集為x＞1，∴a﹣5＜0，∴a＜5，故選：D．7．（2分）（2023春?自貢期末）若關(guān)于x的不等式組有100個整數(shù)解，則a的取值范圍是（）A．﹣1449＜a≤﹣1448 B．﹣1449≤a＜﹣1448 C．﹣1450≤a＜﹣1449 D．﹣1450＜a≤﹣1449解：解不等式x﹣a≥2023，得：x≥2023+a，解不等式2024﹣x＞2x﹣1，得：x＜675，∵不等式組100個整數(shù)解，∴574＜2023+a≤575，∴﹣1449＜a≤﹣1448，故選：A．8．（2分）（2023春?那曲市期末）若關(guān)于x的一元一次不等式組有解，則k的取值范圍是（）A．k≤3 B．k＜3 C．k＜2 D．k≤2解：，解①得x＜2，解②得x＞k﹣1，因為關(guān)于x的一元一次不等式組有解，所以k﹣1＜2，解得k＜3．故選：B．9．（2分）（2023春?呂梁期末）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，且a使得關(guān)于y的不等式組恰有兩個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：由方程可得，x＝，∵方程的解為正數(shù)，∴＞0，∴a＜，由y+3＞1得y＞﹣2，由3y﹣a＜1得y＜，∵a使得關(guān)于y的不等式組恰有兩個整數(shù)解，∴這兩個整數(shù)解為﹣1，0，∴0＜≤1，解得﹣1＜a≤2，由上可得﹣1＜a＜，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為0，1，∵0+1＝1，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值和為1，故選：B．10．（2分）（2023秋?姑蘇區(qū)校級期末）如果關(guān)于y的方程有非負(fù)整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組的解集為x≥1，則所有符合條件的整數(shù)a的和為（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12解：，解得：，∵關(guān)于y的方程有非負(fù)整數(shù)解，∴，解得：a≥﹣5，且為整數(shù)，關(guān)于x的不等式組整理得：，∵不等式組的解集為x≥1，∴a+4≤1，解得：a≤﹣3，∴﹣5≤a≤﹣3且為整數(shù)，∴a＝﹣5，﹣3，于是符合條件的所有整數(shù)a的值之和為：﹣5﹣3＝﹣8．故選：B．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023秋?惠州期末）不等式組：的解集是．解：，解不等式①，得x，解不等式②，得x＜2，故不等式組的解集為．故答案為：．12．（2分）（2023春?集美區(qū)校級期中）若不等式（a﹣1）x＞1﹣a的解集是x＜﹣1，則a的取值范圍是a＜1．解：兩邊同時除以（a﹣1）得，x＜﹣1，可見，a﹣1＜0，解得a＜1．故答案為a＜1．13．（2分）（2023秋?海曙區(qū)期中）不等式組的解集為x＞3，則k的取值范圍為k≤2．解：由3x﹣9＞0得：x＞3，由x＞k+1且不等式組的解集為x＞3，知k+1≤3，解得k≤2，故答案為：k≤2．14．（2分）（2023春?富錦市校級期末）已知關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解的和為﹣9，m的取值范圍是3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3．解：解不等式3x+m＜0，得：x＜﹣，∵x＞﹣5，∴不等式組的解集為﹣5＜x＜﹣，∵不等式的所有整數(shù)解的和為﹣9，∴不等式組的整數(shù)解為﹣4、﹣3、﹣2或﹣4、﹣3、﹣2，﹣1，0，1，則﹣2＜﹣≤﹣1或1＜﹣≤2，解得3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3，故答案為：3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3．15．（2分）（2023秋?新田縣期末）關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是2≤a＜3．解：，解①得：x＞a﹣2，解②得：x≤3．∵不等式組恰有3個整數(shù)解，∴不等式組的整數(shù)解是：1，2，3．∴0≤a﹣2＜1，∴2≤a＜3．故答案為：2≤a＜3．16．（2分）（2023秋?鄞州區(qū)期中）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，則a的取值范圍是a＜1．解：∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，∴a﹣1＜0，解得a＜1．故答案為：a＜1．17．（2分）（2023春?渝中區(qū)校級期末）關(guān)于x的不等式組的解集為x≥3，且關(guān)于x的一次方程5x﹣a＝x+3有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為﹣2．解：將一元一次不等式組整理得到：，∵不等式組的解集為x≥3，∴a﹣2＜3，∴a＜5；解關(guān)于x的一次方程5x﹣a＝x+3得x＝．∵x有非負(fù)整數(shù)解，∴≥0，解得：a≥﹣3，∴﹣3≤a＜5，∴滿足條件的整數(shù)a為：﹣3，1，∴所有滿足條件的整數(shù)a的和為：﹣3+1＝﹣2．故答案為：﹣2．18．（2分）（2023春?重慶期中）若關(guān)于x的一元一次方程有正整數(shù)解，且使關(guān)于x的不等式組至少有4個整數(shù)解，求出滿足條件的整數(shù)a的所有值的積為15．解：解不等式2x﹣a≥0，得x≥，解不等式，得x＜8，∵不等式組至少有4個整數(shù)解，∴≤4，解得a≤8，解關(guān)于x的一元一次方程，得x＝，∵方程有正整數(shù)解，∴＞0，則a＞0，∴0＜a≤8，其中能使為正整數(shù)的a值有1，3，5，其積為1×3×5＝15．故答案為：15．19．（2分）（2022春?渝中區(qū)校級月考）清明將至，前去掃墓的人逐漸增多．某花店購進(jìn)白菊，白百合，馬蹄蓮共計m捆．白菊每捆20支，白百合每捆12支，馬蹄蓮每捆10支．現(xiàn)取出白菊的，白百合的，馬蹄蓮的，全部用于扎成A、B兩款花束銷售．其中A款花束白菊2支，白百合3支，馬蹄蓮1支，B款花束白菊5支，馬蹄蓮2支．如此取出后剩下的白百合支數(shù)不多于馬蹄蓮支數(shù)，則購進(jìn)的白菊捆數(shù)與白百合捆數(shù)之比至少為3：5．解：設(shè)購進(jìn)白菊有x捆，白百何有y捆，則馬蹄蓮有（m﹣x﹣y）捆，∵白菊每捆20支，白百合每捆12支，馬蹄蓮每捆10支，∴白菊有20x支，白百合有12y支，馬蹄蓮有10（m﹣x﹣y）支，∵現(xiàn)取出白菊的，白百合的，馬蹄蓮的，全部用于扎成A、B兩款花束銷售，∴取出的白菊有10x支，白百合有4y支，馬蹄蓮有（m﹣x﹣y）支，設(shè)A款花束有a束，B款花束有b束，根據(jù)A款花束白菊2支，白百合3支，馬蹄蓮1支，B款花束白菊5支，馬蹄蓮2支可列方程組得：，由②得：a＝④，把④代入①得：b＝2x﹣y⑤，把④和⑤代入③得：m＝，∵取出后剩下的白百合支數(shù)不多于馬蹄蓮支數(shù)，∴12y﹣4y≤10（m﹣x﹣y）﹣（m﹣x﹣y），即8y≤（﹣x﹣y），整理得：5x≥3y，∴，故答案為：3：5．20．（2分）（2022春?梁園區(qū)期末）對于x，符號[x]表示不大于x的最大整數(shù)．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，則滿足關(guān)系式的x的整數(shù)值有3個．解：由題意得4≤＜5，解得：7≤x＜，其整數(shù)解為7、8、9共3個．故答案為：3．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023秋?桐鄉(xiāng)市期末）解不等式，并把解在數(shù)軸上表示出來．解：，3（﹣3+x）≤2（2x﹣4），﹣9+3x≤4x﹣8，3x﹣4x≤9﹣8，﹣x≤1，x≥﹣1．將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下：22．（6分）（2023秋?鋼城區(qū)期末）解不等式組：，并求出它的非負(fù)整數(shù)解．解：由①得：x＜2，由②得：x≥﹣1，∴不等式組的解集為﹣1≤x＜2，則不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0，1．23．（8分）（2023秋?邵陽期末）已知關(guān)于x的不等式組；（1）若該不等式組有且只有三個整數(shù)解，求a的取值范圍；（2）若該不等式組有解，且它的解集中的任何一個值均不在x≥5的范圍內(nèi)，求a的取值范圍．解：（1），解不等式①，得：x＞2，解不等式②，得：x＜7﹣a，∴不等式組的解集為2＜x＜7﹣a，又∵不等式組有且只有三個整數(shù)解，∴5＜7﹣a≤6，解得：1≤a＜2；（2）由（1）可得，不等式組的解集為2＜x＜7﹣a，∵不等式組有解，∴7﹣a＞2，解得：a＜5，又∵它的解集中的任何一個值均不在x≥5的范圍內(nèi)，∴7﹣a≤5，解得：a≥2，∴a的取值范圍2≤a＜5．24．（8分）（2023春?大竹縣校級期末）我們用[a]表示不大于a的最大整數(shù)，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整數(shù)，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜﹣2.5＞＝﹣2．根據(jù)上述規(guī)定，解決下列問題：（1）[﹣4.5]＝﹣5，＜3.01＞＝4；（2）若x為整數(shù)，且[x]+＜x＞＝2017，求x的值；（3）若x、y滿足方程組，求x、y的取值范圍．解：（1）由題可得[﹣4.5]＝﹣5，＜3.01＞＝4，故答案為：﹣5，4；（2）∵[x]≤x，且x為整數(shù)，∴[x]＝x，∵＜x＞＞x，且x為整數(shù)，∴＜x＞＝x+1，∵[x]+＜x＞＝2017，∴x+（x+1）＝2017，解得x＝1008；（3）解原方程組，得，又∵[x]表示不大于x的最大整數(shù)，＜x＞表示大于x的最小整數(shù)，∴﹣1≤x＜0，2≤y＜3．25．（8分）（2024?邵陽模擬）某商場同時采購了A，B兩種品牌的運動裝，第一次采購A品牌運動裝10件，B品牌運動裝30件，采購費用為8600元；第二次只采購了B品牌運動裝50件，采購費用為11000元．（1）求A，B兩種品牌運動裝的采購單價分別為多少元每件？（2）商家通過一段時間的營銷后發(fā)現(xiàn)，B品牌運動裝的銷售明顯比A品牌好，商家決定采購一批運動裝，要求：①采購B品牌運動裝的數(shù)量是A品牌運動裝的2倍多10件，且A品牌的采購數(shù)量不低于18件；②采購兩種品牌運動裝的總費用不超過15000元，請問該商家有哪幾種采購方案？解：（1）設(shè)A品牌運動裝的采購單價是x元/件，B品牌運動裝的采購單價是y元/件，根據(jù)題意得：，解得：．答：A品牌運動裝的采購單價是200元/件，B品牌運動裝的采購單價是220元/件；（2）設(shè)該商家采購A品牌運動裝m件，則采購B品牌運動裝（2m+10）件，根據(jù)題意得：，解得：18≤m≤20，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為18，19，20，∴該商家共有3種采購方案，方案1：采購A品牌運動裝18件，B品牌運動裝46件；方案2：采購A品牌運動裝19件，B品牌運動裝48件；方案3：采購A品牌運動裝20件，B品牌運動裝50件．26．（8分）（2023?曲靖一模）2022年1月7日，《云南省全民健身實施計劃（2021﹣2025年）》新聞發(fā)布會順利舉行．會議上就“十四五”時期深化體育改革，推進(jìn)新時代全民健身高質(zhì)量發(fā)展作了全面部署和安排．其中，“強(qiáng)化供給，補(bǔ)齊全民健身設(shè)施建設(shè)短板”是《云南省全民健身實施計劃（2021﹣2025年）》的主要任務(wù)之一．春城小區(qū)計劃購買10臺健身器材供小區(qū)居民鍛煉使用，了解到購買1臺B型健身器材比1臺A型健身器材貴200元，購