專題4.1 一元一次不等式（組）（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（湘教版）

專題4.1一元一次不等式（組）（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】不等式1.不等式：用符號(hào)“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠連接的式子叫做不等式.要點(diǎn)提醒：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．解集的表示方法一般有兩種：一種是用最簡(jiǎn)的不等式表示，例如，等；另一種是用數(shù)軸表示，如下圖所示：（3）解不等式：求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式．2.不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．【知識(shí)點(diǎn)二】一元一次不等式1.定義：不等式的左右兩邊都是整式，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫做一元一次不等式，要點(diǎn)提醒：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式．2.解法：解一元一次不等式步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

要點(diǎn)提醒：不等式解集的表示：在數(shù)軸上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定邊界點(diǎn)，二是定方向，三是定空實(shí).3.應(yīng)用：列不等式解應(yīng)用題的基本步驟與列方程解應(yīng)用題的步驟相類似，即：（1）審：認(rèn)真審題，分清已知量、未知量；（2）設(shè)：設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出題中的不等關(guān)系，要抓住題中的關(guān)鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過(guò)”“超過(guò)”等關(guān)鍵詞的含義；（4）列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗(yàn)是否符合題意，寫出答案.要點(diǎn)提醒：列一元一次不等式解應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過(guò)”、“不大于”、“不小于”等表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)，弄清它們的含義是列不等式解決問(wèn)題的關(guān)鍵.【知識(shí)點(diǎn)三】一元一次不等式組

關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成一個(gè)一元一次不等式組.

要點(diǎn)提醒：（1）不等式組的解集：不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分叫做這個(gè)不等式組的解集.（2）解不等式組：求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：分別解出各不等式，把解集表示在數(shù)軸上，取所有解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

（4）一元一次不等式組的應(yīng)用：①根據(jù)題意構(gòu)建不等式組，解這個(gè)不等式組；②由不等式組的解集及實(shí)際意義確定問(wèn)題的答案．【考點(diǎn)一】不等式【例1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在中，，設(shè)的度數(shù)為，的度數(shù)為．（1）求與的函數(shù)表達(dá)式；（2）若是銳角三角形，請(qǐng)確定的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和等于180°即可得到答案．（2）由銳角的特征列出不等式，解不等式即可得到答案．（1）解：由已知，則，∴；（2）解：依題意有解得：【點(diǎn)撥】本題考查三角形的內(nèi)角和、解不等式組，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）據(jù)悉，我國(guó)設(shè)計(jì)制造的天舟二號(hào)貨運(yùn)飛船，在2021年5月29日順利升空，將6噸多物資運(yùn)送到天和核心艙，若用a表示貨運(yùn)飛船的載貨質(zhì)量，則對(duì)a的取值理解最準(zhǔn)確的是（）（單位：噸）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“6噸多”得到的取值范圍即可．解：根據(jù)“6噸多”物資運(yùn)送到天和核心艙得到．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了不等式的定義：用“”或“”號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“”號(hào)表示不等關(guān)系的式子也是不等式．【變式2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知的最小值為a，的最大值為b，則a-b=．【答案】-7【分析】解答此題要理解“≥”“≤”的意義，判斷出a和b的最值即可解答．解：因?yàn)榈淖钚≈凳莂，a=-3；的最大值是b，則b=4；則a-b=-3-4=-7，故答案為：-7．【點(diǎn)撥】此題考查不等式的定義，關(guān)鍵在于掌握時(shí)，x可以等于-3；時(shí)，x可以等于4．【考點(diǎn)二】不等式的基本性質(zhì)【例2】（2023春·安徽六安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）若，比較與的大小，給出你的理由；（2）若，比較和的大小，給出你的理由．【答案】（1），理由見分析；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，理由見分析【分析】（1）由不等式的性質(zhì)：兩邊同時(shí)乘以得，兩邊同時(shí)加1得；（2）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，以此即可解答.解：（1），理由如下：，，；（2）①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，；③當(dāng)時(shí)，，；綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)撥】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向要改變；等式的兩邊同時(shí)乘以或除以含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對(duì)字母是否大于0進(jìn)行分類討論．【舉一反三】【變式1】（2022春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】C【分析】先根據(jù)關(guān)于的不等式的解集為，得出的關(guān)系，即可求出答案．解：關(guān)于的不等式的解集為，，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了不等式的解集，在解題時(shí)要注意注意不等式兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變．【變式2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知a＜b，則－4a＋5－4b＋5（填＞，＜或＝）．【答案】＞【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，有序計(jì)算即可．解：∵a＜b，∴-4a＞-4b，∴-4a+5＞-4b+5，故答案為：＞．【點(diǎn)撥】本題考查了不等式的性質(zhì)，正確理解性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】一元一次不等式

【例3】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于y的方程的解是負(fù)數(shù)．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)m取最小整數(shù)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先解一元一次方程求出方程的解，再根據(jù)建立不等式，解不等式即可得；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得．（1）解：，，解得，關(guān)于的方程的解是負(fù)數(shù)，，即，解得．（2）解：，且取最小整數(shù)，，代入得：，，，，解得．【點(diǎn)撥】本題考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟練掌握方程和不等式的解法是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列解不等式的步驟中，錯(cuò)誤的一步是（

）A．去分母，得 B．去括號(hào)，得C．移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 D．系數(shù)化為1，得【答案】D【分析】按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟求解，然后與各選項(xiàng)比較即可．解：去分母，得去括號(hào)，得移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若，則關(guān)于x的不等式的解集是．【答案】【分析】先判斷出，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)得到不等式的解集即可．解：∵，∴∵，∴，故答案為：【點(diǎn)撥】此題考查了不等式，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】一元一次不等式的應(yīng)用

【例4】（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期中）為了保持膳食平衡，建議合理控制學(xué)生的肉類攝入量．學(xué)校午餐有A，B兩種套餐，小明發(fā)現(xiàn)1份A套餐和1份B套餐共含肉類145克，2份A套餐和3份B套餐共含肉類350克．套餐主食（克）肉類（克）其他（克）A150165B140160（1）求表格中x，y的值；（2）如果在一周里，學(xué)生午餐主食攝入總量不得超過(guò)720克，那么某同學(xué)在一周里可以選擇A，B套餐各幾天？寫出所有的方案．（說(shuō)明：一周按5天計(jì)算，每餐只選一種套餐．）【答案】（1）；（2）共有3種方案：A套餐0天，B套餐5天；A套餐1天，B套餐4天；A套餐2天，B套餐3天．【分析】（1）根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)選擇A套餐m天，則B套餐天，根據(jù)題意列出一元一次不等式求解即可．解：（1）根據(jù)題意可得，解得；（2）設(shè)選擇A套餐m天，則B套餐天，根據(jù)題意可得，解得∵m為正整數(shù)，∴m的值可以為0，1，2∴共有3種方案：A套餐0天，B套餐5天；A套餐1天，B套餐4天；A套餐2天，B套餐3天．【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系．【舉一反三】【變式1】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知三角形兩邊的邊長(zhǎng)分別為3、4，則第三邊長(zhǎng)度的取值范圍在數(shù)軸上表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)第三邊長(zhǎng)度為x，由三角形三邊關(guān)系可得一元一次不等式組，求解不等式組即可．解：設(shè)第三邊長(zhǎng)度為x，由三角形三邊關(guān)系可得解得故答案為：A．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形三邊關(guān)系的問(wèn)題，掌握三角形三邊關(guān)系、解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某便民商店，在春節(jié)之際購(gòu)進(jìn)A，B兩種不同的蔬菜禮盒共100盒，已知售出1盒A種蔬菜禮盒獲利3元，售出1盒B種蔬菜禮盒獲利5元，全部售完后，獲利不低于420元，則購(gòu)進(jìn)A種蔬菜禮盒至多盒．

【答案】40【分析】根據(jù)題意設(shè)購(gòu)進(jìn)種蔬菜禮盒盒，則購(gòu)進(jìn)種蔬菜禮盒盒，利用獲利不低于420元得出不等式，進(jìn)而得出答案．解：設(shè)購(gòu)進(jìn)種蔬菜禮盒盒，則購(gòu)進(jìn)種蔬菜禮盒盒，根據(jù)題意可得：，解得：，故購(gòu)進(jìn)種蔬菜禮盒至多40盒．故答案為：40．【點(diǎn)撥】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，正確得出不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】一元一次不等式組

【例5】（2022春·安徽亳州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知不等式組的正整數(shù)解為，求的取值范圍．【答案】【分析】先求解一元一次不等式組，再根據(jù)題意建立關(guān)于參數(shù)的不等式即可求解．解：解①得：解②得：∵不等式組的正整數(shù)解為∴∴【點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)一元一次不等式組的解集情況確定參數(shù)的取值范圍．注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．【舉一反三】【變式1】（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谥校┙庀铝胁坏仁浇M，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：（1） （2）【答案】（1）；（2）無(wú)解【分析】（1）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（2）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解：（1）解不等式①，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得；解不等式②，去括號(hào)得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化為1得，；數(shù)軸表示如下：故不等式組的解集為：；（2）解不等式①，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，；解不等式②，去分母得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化為1得，；數(shù)軸表示如下：故不等式組無(wú)解．【點(diǎn)撥】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·重慶江北·八年級(jí)重慶十八中校考階段練習(xí)）解方程組及不等式組：（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）按照加減消元法解方程組即可求解；（2）先解不等式①，再解不等式②，然后找出兩個(gè)解集的公共部分即為不等式組的解集．（1）解：得，解得：，將代入②得，∴方程組的解為：；（2）解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解二元一次方程組和解一元一次不等式組．熟練掌握利用加減消元法解方程組，以及解不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六】一元一次不等式組綜合運(yùn)用

【例6】（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）隨著新能源汽車的普及，為節(jié)省運(yùn)輸成本，某汽車運(yùn)營(yíng)公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A型與B型兩種品牌的新能源汽車，若購(gòu)進(jìn)A型汽車2輛，B型汽車3輛，共花費(fèi)140萬(wàn)元：若購(gòu)進(jìn)A型汽車8輛，B型汽車14輛，共花費(fèi)620萬(wàn)元，（1）A型與B型汽車每輛的進(jìn)價(jià)分別是多少萬(wàn)元？（2）該公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A型與B型兩種汽車共10輛，費(fèi)用不超過(guò)290萬(wàn)元，且A型汽車的數(shù)量少于B型汽車的數(shù)量，請(qǐng)你列舉出所有購(gòu)買方案．【答案】（1）25；30；（2）方案一：購(gòu)進(jìn)2輛A型汽車，8輛B型汽車；方案一：購(gòu)進(jìn)3輛A型汽車，7輛B型汽車；方案一：購(gòu)進(jìn)4輛A型汽車，6輛B型汽車【分析】（1）設(shè)每輛A型汽車的進(jìn)價(jià)為x萬(wàn)元，每輛B型汽車的進(jìn)價(jià)為y萬(wàn)元，根據(jù)“若購(gòu)進(jìn)A型汽車2輛，B型汽車3輛，共花費(fèi)140萬(wàn)元：若購(gòu)進(jìn)A型汽車8輛，B型汽車14輛，共花費(fèi)620萬(wàn)元”，即可得出二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)m輛A型汽車，n輛B型汽車，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的不等式組，即可求出各購(gòu)買方案．（1）解：設(shè)每輛A型汽車的進(jìn)價(jià)為x萬(wàn)元，每輛B型汽車的進(jìn)價(jià)為y萬(wàn)元，根據(jù)題意得：，解得：，答：每輛A型汽車的進(jìn)價(jià)為25萬(wàn)元，每輛B型汽車的進(jìn)價(jià)為30萬(wàn)元；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)m輛A型汽車，n輛B型汽車，根據(jù)題意得：，解得：，方案一：購(gòu)進(jìn)2輛A型汽車，8輛B型汽車；方案一：購(gòu)進(jìn)3輛A型汽車，7輛B型汽車；方案一：購(gòu)進(jìn)4輛A型