廣東省深圳2022-2023學(xué)年 八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 （含答案及解析）

深圳高級中學(xué)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期

八年級期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.碳納米管是一種一維量子材料，與傳統(tǒng)金屬、高分子材料相比，碳納米管的電、熱力學(xué)性能優(yōu)異，憑借

突出性能，碳納米管逐漸成為場發(fā)射電子源中最常用的納米材料，我國已具備研制直徑為。-0000000。^米

的碳納米管.數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.49xlO-9B.4.9x109C.0.49xlO-8D.4.9xl()T°

2.下列從左到右的變形，是分解因式的是(

A.(a+2)(a-2)=a~—4B.—a—2=—1)—2

C.2x+l=x(2+]-]

D.2a2-4a=2a(a-2)

3.已知“龍〉y”，則下列不等式中，不成立的是（）

Yv

A.3x>3yB.x-9>y-9C.-x>-yD.--<--^-

4.下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.1,后，括C.4,6,8D.5,12,15

5.已知等腰一ABC中，ZA=50°,則13的度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.50°或65。D.50°或80?；?5。

6.如圖，在.A3C中，OE是AC的垂直平分線，AE=3cm,/XABZ）的周長為13cm,貝。ABC的周

7.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（a,。）向右平移3單位長度，再向上平移2個單位長度正好與原點(diǎn)重合,

那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是（）

A（3,2）B.（3,-2）C.（-3,-2）D.（-3,2）

8.如圖，在邊長為1正方形網(wǎng)格中，A、2、C均在正方形格點(diǎn)上，則C點(diǎn)到A3的距離為（

5M4M

45

9.如圖，在AABC中，ZA=120°,AB=AC=2Gcm，點(diǎn)尸從點(diǎn)B開始以lcm/s的速度向點(diǎn)C移動,

當(dāng)右ABP為直角三角形時，則運(yùn)動的時間為（）

A.3sB.3s或4sC.Is或4sD.2s或3s

10.如圖，RtZXACB中，ZACB=90°,/ABC的平分線BE和/BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P,分別

交AC和BC的延長線于E,D,過P作PFLAD交AC的延長線于點(diǎn)H,交BC的延長線于點(diǎn)F,連接AF

交DH于點(diǎn)G,則下列結(jié)論：①NAPB=45。；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG=AP+GH;其中正確的

是（）

A①②③B,①②④C.②③④D.①②③④

二、填空題（每題3分，共15分）

11分解因式：3m2-6mn+3n2=.

12.如圖，函數(shù)y=-3尤和y=Ax+6的圖象相交于點(diǎn)A（77%4）,則關(guān)于尤的不等式Ax+Z?+3x<0的解集為

13.已知多項式9/-(〃z+6)x+4可以按完全平方公式進(jìn)行因式分解，則〃?=.

14.如圖，在,A5C中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8和C為圓心，以大于g的長為半徑作弧，兩

弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線交邊AB于點(diǎn)￡.若AC=5,BE=4,NB=45°,則A3的長為

15.如圖，中，NACB=90。，ZA=30°,A5=10,點(diǎn)尸是AC邊上的一個動點(diǎn)，將線段5。

繞點(diǎn)3順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BQ，連接CQ,則在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，線段CQ的最小值為.

三、解答題(共55分)

16.計算與因式分解：

(_1)-2+4X(-1)2021-|-23|+(?—5)°；

(1)計算:

(2)因式分解：a2(x-y)+9Z?2(y-x).

[3x-2<4

17.解不等式組并求出它的非負(fù)整數(shù)解.

2(x—l)K3x+l

18.為落實國家“雙減”政策，某校為學(xué)生開展了課后服務(wù)，其中在體育類活動中開設(shè)了四種運(yùn)動項目：A

乒乓球，2排球，C籃球，。跳繩.為了解學(xué)生最喜歡哪一種運(yùn)動項目，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查(每

位學(xué)生僅選一種)，并將調(diào)查結(jié)果制成如下尚不完整的統(tǒng)計圖表.

問卷情況統(tǒng)計表：

運(yùn)動項目人數(shù)

A乒乓球m

8排球10

C籃球80

。跳繩70

問卷情況扇形統(tǒng)計圖

(1)本次調(diào)查的樣本容量是，統(tǒng)計表中7"=;

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“2排球”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是°；

(3)若該校共有2000名學(xué)生，請你估計該校最喜歡“A乒乓球”的學(xué)生人數(shù).

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知ABC的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4—3,5),8(-2,1),C(-l,3).

(1)若4ABe經(jīng)過平移后得到△4片￡,已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,3),畫出平移后的圖形△4與￡?

(2)求△4與￡的面積.

(3)若點(diǎn)尸是x軸上的一個動點(diǎn)，則PB+PG的最小值為—，此時點(diǎn)尸的坐標(biāo)為—.

20.如圖，點(diǎn)C在線段A3上，ADEB,AC=BE,AD=BC,CF平分/DCE.

(1)證明：AADC^ABCE；

(2)若CF=3,DE=4,求△Z)CE的面積.

21.為持續(xù)做好疫情防控工作，我校計劃購買甲、乙兩種額溫槍.經(jīng)市場調(diào)研得知：購買1個甲種額溫槍

和2個乙種額溫槍共需700元，購買2個甲種額溫槍和3個乙種額溫槍共需1160元.

(1)求每個甲種額溫槍和乙種額溫槍各多少元；

(2)我校準(zhǔn)備購買甲、乙兩種型號的額溫槍共50個，其中購買甲種額溫槍不超過乙種額溫槍.請設(shè)計出

最省錢的購買方案，并求出最低費(fèi)用.

22.我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實分解因式的方法還有分組

分解法、拆項法等等.

①分組分解法：

例如：x2-2xy+y2-4=(x?-2xy+y2)-4=(%-y)--22—(x-y+2)(x-y-2).

②拆項法：

例如：x2+2x-3=%2+2x+l-4=(x+1)2-22=(x+l-2)(x+l+2)=(x-l)(x+3).

(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：

?4x2+4x-y2+l(分組分解法)；

②了4_3/+1(拆項法)；

(2)已知：a、b、c為一ABC的三條邊，?2+5/?2+C2-4^-6/J-10C+34=0>求_ABC的周長.

23.如圖1,在等邊_ABC的AB邊和AC邊上分別取點(diǎn)。、E,使得=將VADE繞點(diǎn)A順時針

旋轉(zhuǎn)，得到圖2所示的圖形.

(1)求證：AADB^AAEC；

(2)如圖3,若AD=",ZACE=30°,且旋轉(zhuǎn)角為45°時，求AB的長；

(3)如圖4,連接BE,并延長CE交BD于點(diǎn)R若VADE旋轉(zhuǎn)至某一位置時，恰有ADSND，

CE

ADBE,求一值.

CF

深圳高級中學(xué)2022-2023學(xué)年第二學(xué)期

八年級期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.碳納米管是一種一維量子材料，與傳統(tǒng)金屬、高分子材料相比，碳納米管的電、熱力學(xué)性

能優(yōu)異，憑借突出性能，碳納米管逐漸成為場發(fā)射電子源中最常用的納米材料，我國已具備

研制直徑為0.0000000049米的碳納米管.數(shù)據(jù)0.0000000049用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.49X10-9B.4.9x109C.0.49xlO-8D.

4.9x1010

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值小于1的數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axl（T",與較大數(shù)的

科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)累，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的

。的個數(shù)所決定，即可求解.

【詳解】解：0.0000000049=4.9xlO-9.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，熟練掌握一般形式為axl（T",其中

1<|<a|<10,n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定是解題的關(guān)

鍵.

2.下列從左到右的變形，是分解因式的是（）

A.（a+2乂。-2）=/—4B.-a-2=-1）—2

C.2x+1=H—]D.2a2—4a=2a（a—2）

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，利用排除法即可求解.

【詳解】解：A.從左到右的變形是多項式乘法，不是分解因式，故本選項不符合題意；

B.從左到右的變形不屬于分解因式，故本選項不符合題意；

C.等式的右邊不是整式的積的形式，即從左到右的變形不屬于分解因式，故本選項不符合

題意；

D.從左到右的變形屬于分解因式，故本選項符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的意義，這類問題的關(guān)鍵在于能否正確應(yīng)用因式分解的定

義來判斷.

3.己知“龍〉》”，則下列不等式中，不成立的是（）

A.3x>3yB.x-9>y-9C.-%〉一丁D.

_￡<_2

~2~2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.3x>3y,故該選項成立，不符合題意；

B.x>y,；.%—9>y—9,故該選項成立，不符合題意；

C.x>y,.\-%<-y,故該選項不成立，符合題意；

D.故該選項成立，不符合題意.

22

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上

（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊

都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊

都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變.

4.下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長，其中能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.1,石C.4,6,8D.5,12,

15

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知，兩條較小的邊的平方和等于第三條邊的平方，即可構(gòu)

成直角三角形，依次即可求出答案.

【詳解】解：A、V22+32=13,42=16,

22+32^42,

...不能構(gòu)成直角三角形，

故A不符合題意；

B、V12+（72）2=3,（73）2=3,

A12+（V2）2=（73）\

能構(gòu)成直角三角形,

故B符合題意；

C,V42+62=52,82=64,

?1?42+62H82，

二不能構(gòu)成直角三角形，

故C不符合題意；

D、V122+52=169,152=225,

/-122+52^152）

.,?不能構(gòu)成直角三角形，

故D不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷三邊的關(guān)系，掌握勾股

定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

5.已知等腰中，ZA=50°,則的度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.50°或65。D.50°或

80。或65。

【答案】D

【解析】

【分析】此題分為：/A為頂角、N3為頂角和/A、同為底角，再根據(jù)三角形內(nèi)

角和定理，等腰三角形的性質(zhì)求得N3的度數(shù).

1QQO_/A

【詳解】解：當(dāng)為頂角時，則48==65°；

2

當(dāng)/為頂角時，則NB=180°—2NA=80。；

當(dāng)/A、為底角時，則N5=NA=50°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵，

注意分類討論.

6.如圖，在.ABC中，OE是AC的垂直平分線，AE=3cm,AAB￡）的周長為

13cm,則的周長為（）

A.16cmB.19cmC.22cmD.26cm

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AO=DC,求出AC和AB+BC的長，即可求出

答案.

【詳解】解：OE是AC的垂直平分線，AE=3cm,

AC=2AE=6cm,AD=DC,

ABD的周長為13cm,

AB+BD+AD=13cm,

AB+BD+DC=AB+BC=13cm,

ABC的周長為：AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段

的兩個端點(diǎn)的距離相等.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A(a,b)向右平移3單位長度，再向上平移2個單位長度正

好與原點(diǎn)重合，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是()

A.(3,2)B.(3,-2)C.(-3,-2)D.(-3,2)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)“橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減”，即可求解.

【詳解】解：：將點(diǎn)A(a,。))向右平移3單位長度，再向上平移2個單位長度正好與原點(diǎn)重

合，

a+3=0力+2=0,

ci=-3,b=—2,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-3,—2).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，解題的關(guān)鍵是熟記平移中點(diǎn)的變化規(guī)

律：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減.

8.如圖，在邊長為1正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點(diǎn)上，則C點(diǎn)到的距離為

A3回R2屈「5710n4710

10545

【答案】D

【解析】

【分析】連接AC、BC,利用割補(bǔ)法求出S.c=4,根據(jù)勾股定理求出=設(shè)

C點(diǎn)到A5的距離為//,根據(jù)SABc=gA3?丸=4,即可求出〃的值.

【詳解】解：如圖，連接AC、BC,

S7ABe=3x3-—x3xl--x3xl-—x2x2=4,

222

AB=A/32+12=V10-

設(shè)C點(diǎn)到A5的距離為〃,

?：SABC=^AB-h=4,

.?"上也

V105

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定

等于斜邊長的平方.也考查了三角形的面積和二次根式的運(yùn)算.

9.如圖，在AABC中，ZA=120°,AB=AC=2Gcm,點(diǎn)尸從點(diǎn)B開始以lcm/s速

度向點(diǎn)C移動，當(dāng)1tA5P為直角三角形時，則運(yùn)動的時間為（）

A

3s

【答案】D

【解析】

【分析】分當(dāng)44P=90°,或當(dāng)NAPB=90°時兩類討論計算即可.

【詳解】解：；在△ABC中，NA=120°,A3=AC=2j5cm，

:.BC=20義6=6,ZB=ZC=30°,

當(dāng)44P=90。時，在RtZXB4P中，ZB=30°,

AD9n

AP=—六=―==2cm?BP=2AP=2x2=4cm,CP=BC—BP=6—4=2cm,

V3V3

運(yùn)動時間為2+l=2s,

當(dāng)NAPB=90°時，在RtzXBAP中，ZB=30°,

AP=——=—BP=A/3AP=y/3x^/3=3cm,

22

CP=BC-BP=6-3=3cm,

...運(yùn)動時間為3+l=3s,

綜上，運(yùn)動時間為2s或3s,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用勾股定理解直角三角形，能夠熟練分類討論直角是解題關(guān)鍵.

10.如圖，RtZkACB中，ZACB=90°,NABC的平分線BE和/BAC的外角平分線AD相

交于點(diǎn)P，分別交AC和BC的延長線于E,D,過P作PFLAD交AC的延長線于點(diǎn)H,交

BC的延長線于點(diǎn)F,連接AF交DH于點(diǎn)G,則下列結(jié)論：①/APB=45。；②PF=PA；

③BD-AH=AB；④DG=AP+GH;其中正確的是（）

H

A.①②③B.①②④C.②③④D.

①②③④

【答案】A

【解析】

【分析】①根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出

ZCAP,再根據(jù)角平分線的定義=然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可

2

得解；

②③先根據(jù)直角的關(guān)系求出=然后利用角角邊證明AAHP與AEDP全等，

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得=AH，對應(yīng)角相等可得NPEE>=N"4尸，然后利用

平角的關(guān)系求出=,再利用角角邊證明AABP與△網(wǎng)尸全等，然后根據(jù)全等

三角形對應(yīng)邊相等得到A3=5尸，從而得解；

④根據(jù)尸尸，AO，ZACB=90°,可得AG，。"，然后求出NAOG=NZMG=45。，再根據(jù)等角

對等邊可得DG=AG,再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF,然后求出DG=GH+AF,

有直角三角形斜邊大于直角邊，AF>AP,從而得出本小題錯誤.

【詳解】①：NA8C的角平分線BE和/BAC的外角平分線，

ZABP=-ZABC,

2

ZC4P=1(90+ZABC)=45+1zABC,

在AAB尸中,NAPB=180—ZBAP-ZABP,

=180—(45+-ZABC+90-ZABC)-1ZABC,

=180-45--ZABC-90+ZABC--ZABC,

22

=45，故本小題正確；

②③,/ZACB=90,PF±AD,

：.ZFDP+ZHAP=90,ZAHP+NHAP=90,

ZAHP=ZFDP,

\'PF±AD,

；?ZAPH=NFPD=90,

在母4打與中，

ZAHP=ZFDP

</APH=/FPD=90

AP=PF,

「?△AH尸也△尸。尸(AAS),

:.DF=AH,

???A。為NBA。的外角平分線，/PFD=/HAP,

???ZPAE+ZBAP=1SQ,

又???ZPFD+ZBFP=1SQ,

：./臥E=NPFD,

???NA3C的角平分線，

???NABP=/FBP,

在尸與△尸8尸中，

NPAE=NPFD

</ABP=ZFBP

PB=PB,

：.△ABP也△尸BP(AAS),

：.AB=BFfA尸二尸尸故②〃、題正確；

,:BD=DF+BF,

：.BD=AH+AB,

：.BD-AH=ABf故③小題正確；

?*：PF±AD,ZACB=90,

；.AG_LDH,

\-AP=PF,PF_LAD,

???ZPAF=45,

???ZADG=ZDAG=45,

：.DG=AGf

:NPA廠=45,AG1DH,

???AADG與AFGH都是等腰直角三角形,

：.DG=AG,GH=GF,

:?DG=GH+AF,

9：AF>AP,

??.Z)G二AP+G”不成立，故本小題錯誤，

綜上所述①②③正確.

故選A.

【點(diǎn)睛】考查直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度

較大.掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題(每題3分，共15分)

11.分解因式：3m2-6mn+3n2=.

【答案】3(m-n)2

【解析】

【詳解】原式二3(根2-2加〃+〃2)=3(加一")2

故填：3(m-n)2

12.如圖，函數(shù)y=-3x和、=辰+8的圖象相交于點(diǎn)A(m,4),則關(guān)于尤的不等式

【解析】

【分析】先把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=-3x中求解機(jī)的值，然后根據(jù)一次函數(shù)與不等式的關(guān)系

可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：

把點(diǎn)A代入y=-3x可得—3加=4,

4

解得：m=,

3

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為A1—；/],

由圖象可得當(dāng)關(guān)于x的不等式履+b+3x<0時，則需滿足在點(diǎn)A的右側(cè)，即>=辰+8的圖

象在y=-3x的圖象下方，

4

*,?不等式kx+b+3x<0的解集為x<—；

3

4

故答案為：x<――.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握一次函數(shù)與一元一次不等式

是解題的關(guān)鍵.

13.已知多項式9/-(加+6?+4可以按完全平方公式進(jìn)行因式分解，則加=

【答案】一18或6##6或-18

【解析】

【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征即可求出機(jī)的值.

【詳解】解：多項式9/一(〃/+6)龍+4=(3x)2—(加+6)尤+22,

,??該多項式可以按完全平方公式進(jìn)行因式分解，

—(m+6)=2x3x2^—(m+6)=—2x3x2,

解得加二-18或根=6.

故答案為：-18或6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查運(yùn)用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征

=/±2?！?/是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在一ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8和C為圓心，以大于的長

為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線肱V交邊A3于點(diǎn)￡.若

AC=5,BE=4,NB=45°,則A3的長為.

【答案】7

【解析】

【分析】連接EC,首先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得

BE=CE=4,ZECB==45°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得ZAEC=90°,再利

用勾股定理可求AE的長，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：連接EC,如圖：

BZ>

vt

由作圖可知：MN是線段5C的垂直平分線，

**-BE=CE=4,

；?/ECB=/B=45。,

???/AEC=/ECB+NB=90。,

在RQACE中，

AE=VAC2-CE2=A/52-42=3-

AAB=AE+JBE=3+4=7,

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性

質(zhì)，勾股定可理，熟練掌握和運(yùn)用線段垂直平分線的作法和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，RtZkABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=10,點(diǎn)P是AC邊上的一個動

點(diǎn)，將線段3P繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段3Q,連接CQ,則在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，線

段CQ的最小值為.

【解析】

【分析】將Rt_ABC繞點(diǎn)3順時針旋轉(zhuǎn)60。得到Rt-EB。，貝kAPfi"EQB（SAS）,

即E,Q,D三點(diǎn)在同一直線上，當(dāng)CQLED時，CQ的長度最小，得出CQ為_石&）

的中位線，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：將Rt_ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到Rt_EBE>,

則此時E,C,B三點(diǎn)在同一直線上，

ZABC=6Q°,^PBQ=60°,

:.ZABP=NEBQ,

隨著P點(diǎn)運(yùn)動，總有=PB=QB,

.?.總有?人;中以一￡。5?/),即E，Q,O三點(diǎn)在同一直線上，

...Q的運(yùn)動軌跡為線段瓦＞,

???當(dāng)CQ，ED時，CQ的長度最小，

RtABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=10,

:.BC=BD=5,EC=5,即C為防的中點(diǎn)，

CQLED,"=90。，

CQ//BD,CQ為.EBD的中位線，

??CQ-yBD=—，

22

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判

定，三角形中位線的性質(zhì)，垂線段最短，得到點(diǎn)。的軌跡是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共55分)

16.計算與因式分解：

(1)計算：(一g)-2+4x(—1)2021—1—231+(?一5)°;

(2)因式分解:CT(x-y)+9^(y-x).

【答案】(1)-2

(2)(x-y)(a+3Z?)(a-3Z?)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則解題即可；

(2)先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可.

【小問1詳解】

原式=9+4X(-1)_8+1

=—2；

【小問2詳解】

a2(x-y)+9b1(y-x)

=cT(x-y)-9b2(x-y)

=(x-y)(a2-Z72)

=(%-y)(a+3/?)(a-3/?).

【點(diǎn)睛】本題考查實數(shù)的混合運(yùn)算，零指數(shù)塞，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，提公因式法和公式法因式

分解，掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵.

[3%-2<4

17.解不等式組",一/并求出它的非負(fù)整數(shù)解.

2(x—l)〈3x+l

【答案】不等式組的解集為-32,不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0,1

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，再確定不等式組的解集，然后可得其非負(fù)整數(shù)解.

【詳解】解：解不等式3x—2<4得：x<2,

解不等式2(X—l)W3x+l得：x>-3,

不等式組的解集為—3WX<2,

不等式組的非負(fù)整數(shù)解為0,L

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式的解集是基礎(chǔ)，熟知

“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”的原則是解題的關(guān)鍵.

18.為落實國家“雙減”政策，某校為學(xué)生開展了課后服務(wù)，其中在體育類活動中開設(shè)了

四種運(yùn)動項目：A乒乓球，8排球，C籃球，。跳繩.為了解學(xué)生最喜歡哪一種運(yùn)動項目，

隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查(每位學(xué)生僅選一種)，并將調(diào)查結(jié)果制成如下尚不完整的統(tǒng)計

圖表.

問卷情況統(tǒng)計表：

運(yùn)動項目人數(shù)

A乒乓球m

B排球10

C籃球80

。跳繩70

問卷情況扇形統(tǒng)計圖

(2)在扇形統(tǒng)計圖中，“8排球”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是°；

(3)若該校共有2000名學(xué)生，請你估計該校最喜歡“A乒乓球”的學(xué)生人數(shù).

【答案】(1)200,40

(2)18(3)約為400人

【解析】

【分析】(1)從兩個統(tǒng)計圖中可知，“C籃球”的人數(shù)80人，占調(diào)查人數(shù)的40%,可求出

本次調(diào)查的樣本容量，進(jìn)而求出川的值；

(2)“2排球”的人數(shù)10人，據(jù)此可求得相應(yīng)的圓心角；

(3)用總?cè)藬?shù)乘以“A乒乓球”的學(xué)生所占的百分比即可.

小問1詳解】

解：本次調(diào)查的樣本容量是：80-40%=200(人)，

m=200-10-80-70=40；

故答案為：200,40；

【小問2詳解】

解：扇形統(tǒng)計圖中2部分扇形所對應(yīng)的圓心角是360土生=18。，

200

故答案為：18；

【小問3詳解】

40

解：2000x——=400(人)，

200

估計該校最喜歡“A乒乓球”的學(xué)生人數(shù)約為400人.

【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計表、扇形統(tǒng)計圖的結(jié)合，從兩個統(tǒng)計圖中獲取數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)

系是解決問題的前提.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,5),

8(-2,1),C(-l,3).

（1）若一ABC經(jīng)過平移后得到已知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2,3）,畫出平移后的圖形

（2）求△A5]G的面積.

（3）若點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，則P5+PC]的最小值為,此時點(diǎn)p的坐標(biāo)

為—.

【答案】（1）見解析（2）3

⑶4&；P（T，O）

【解析】

【分析】（1）利用c點(diǎn)和C1點(diǎn)坐標(biāo)得到平移規(guī)律，然后利用此規(guī)律寫出人的坐標(biāo)和區(qū)

的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可得到為所作；

（2）利用割補(bǔ)法求解即可；

（3）作點(diǎn)C1關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為C，（2,-3）,連接交X軸于p點(diǎn)，如圖，利用兩點(diǎn)之

間線段最短可判斷此時PB+PC1最小，然后利用待定系數(shù)法法求出直線54'的解析式，再

計算出自變量為0對應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo).

【小問1詳解】

解：C（-l,3）平移后0（2,3）,

.?.4（1,1）,A（0.5）；如圖：

【小問3詳解】

作點(diǎn)G關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為。(2,-3),連接交方軸于P點(diǎn)，如圖，根據(jù)最短路徑可知

PB+PC]=BC'=4后，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

-2k+b=l

把8(—2,1),。(2,—3)代入得，＜

2k+b=-3,

k=-l

解得，\

b=—1'

所以直線CA!的解析式為y=-x-l,

當(dāng)丁=。時，一％一1=0,角軍得％二一1,

此時P點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,0),

故答案為：4拒；p(—1,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-平移變換，確定平移后圖形的基本要素是平移方向，平移距離,

作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點(diǎn)

后，再順次連接對應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形.

20.如圖，點(diǎn)C在線段A3上，ADEB,AC=BE,AD=BC,CF平■分NDCE.

D

（1）證明：△ADB八BCE；

（2）若CF=3,DE=4,求△￡>色的面積.

【答案】（1）見解析（2）12

【解析】

【分析】（1）根據(jù)ADBE,可以得到NA=N3,然后根據(jù)SAS即可證明結(jié)論成立；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果和等腰三角形的性質(zhì)，可以得到OE的長，CF1.DE,再根據(jù)三

角形的面積計算公式即可計算出ADCE的面積.

【小問1詳解】

證明：?.?ADBE,

：.ZA=ZB,

在.ACD和一BEC中，

AC=BE

<ZA=ZB,

AD=BC

:.AC￡>M5EC（SAS）；

【小問2詳解】

解：由（1）知△ADC/△3CE,

DC=CE,

又；CF平分/DCE,

：.CF±DE,DF=EF,

C/垂直平分。E,

VCF=3,DF=4.

DE=2DF=8,

.cDE.CF_8x3

??、DCE--2—加，

即△OCE的面積是12.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找出△ACDg/SBEC

需要的條件，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想.

21.為持續(xù)做好疫情防控工作，我校計劃購買甲、乙兩種額溫槍.經(jīng)市場調(diào)研得知：購買1

個甲種額溫槍和2個乙種額溫槍共需700元，購買2個甲種額溫槍和3個乙種額溫槍共需

1160元.

（1）求每個甲種額溫槍和乙種額溫槍各多少元；

（2）我校準(zhǔn)備購買甲、乙兩種型號的額溫槍共50個，其中購買甲種額溫槍不超過乙種額

溫槍.請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最低費(fèi)用.

【答案】（1）每個甲種額溫槍220元，每個乙種額溫槍240元；（2）買25個甲種額溫槍，

25個乙種額溫槍總費(fèi)用最少，最少為11500元

【解析】

【分析】（1）設(shè)每個甲種額溫槍x元，每個乙種額溫槍y元，根據(jù)題意得關(guān)于x和y的二

元一次方程組，解方程組即可；

（2）設(shè)購買，"個甲種額溫槍，則購買（50-m）個乙種額溫槍，總費(fèi)用為卬元，根據(jù)題意

寫出w關(guān)于機(jī)的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：（1）設(shè)每個甲種額溫槍無元，每個乙種額溫槍y元，根據(jù)題意得：

"x+2y=700

<2x+3y=1160，

fx=220

解得：\

y=240

答：每個甲種額溫槍220元，每個乙種額溫槍240元；

（2）設(shè)購買加個甲種額溫槍，則購買（50-/77）個乙種額溫槍，總費(fèi)用為w元，

根據(jù)題意得：w=220/77+240（50-m）=-20/^+12000

\'m^50-m,

；.mW25,即0WmW25且相為整數(shù).

20<0,

隨機(jī)的增大而減小，

當(dāng)相=25時，w取最小值，w最小值=-20X25+12000=11500（元）.

答：買25個甲種額溫槍，25個乙種額溫槍總費(fèi)用最少，最少為11500元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用以及一次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出關(guān)

于總費(fèi)用的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.

22.我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實分解因式

的方法還有分組分解法、拆項法等等.

①分組分解法：

例如：x2-2xy+y2-4=(^x2-2xy+y2)-4=(%-y)'-22—(^x-y+2)(x-y-2).

②拆項法：

例如：/+2%-3=/+2無+1-4=(x+iy-2?=(x+l-2)(x+l+2)=(尤一1)(無+3).

(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：

①4f+4x—9+1(分組分解法)；

②_/_3必+1(拆項法)；

(2)已知：a、b、c為.ABC的三條邊，a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=Q，求

ABC的周長.

【答案】(1)@(2x+y+l)(2x-y+l)；--1+x)