2022年上海市徐匯區(qū)高考數學二模試卷【答案版】

2022年上海市徐匯區(qū)高考數學二模試卷

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)考生應在答題紙的

相應位置直接填寫結果.

1.已知tana=^,貝tan2a=

1

2.不等式「>1的解集為

x-1

3.在的二項展開式中，X2項的系數為_____.

y/X

4

4.已知球的體積為［7T,則該球的左視圖所表示圖形的面積為.

5.已知圓的方程為％2十/一2%-4y+4=0,則圓心到直線/：3x+4y+4=0的距離d=.

6.若關于x的實系數一元二次方程--笈+°=0的一根為1-，金為虛數單位)，則b+c=.

7.已知加ER,若直線/i：加x+y+l=0與直線方9x+加歹+2加+3=0平行，則加=.

X+2y>3

y

/；+0'3,則z="y的最小值是.

{y>o

9.設/(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，/(x)=/+6(0<a<l,6eR),若/(x)存在反函數，

則b的取值范圍是.

10.上海某高校哲學專業(yè)的4名研究生到指定的4所高級中學宣講習近平新時代中國特色社會主義思想.若

他們每人都隨機地從4所學校選擇一所，則4人中至少有2人選擇到同一所學校的概率是.(結果

用最簡分數表示)

第1頁(共18頁)

11.在△/BC中，已知42=1,/C=2,N/=120°,若點尸是△/BC所在平面上一點，且滿足4P=+

—>—>—>

AAC,BP-CP=-1,則實數入的值為.

12.已知定義在R上的函數/(x)滿足/(x+1)=2f(x)+1,當x€[0,1)時，/(x)=工3.設/(x)在區(qū)

間團，”+1)("CN*)上的最小值為“”.若存在"CN*,使得入(斯+1)<2〃-7有解，則實數)的取值范圍

是?

二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相

應位置，將代表正確選項的小方格涂黑..

13.下列以/為參數的參數方程中，其表示的曲線與方程孫=1表示的曲線完全一致的是()

](x=111

C儼=C0StX=tClnt

X=t2_1c卜_=[&IC-ly=sectDTA,l(y=cott

｛y=t2r|t|''

14.已知函數/(x)=sin2x,xE[a,b],則“b—aN是"/(x)的值域為[-1,1]”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

15.某高校舉行科普知識競賽，所有參賽的500名選手成績的平均數為82,方差為0.82,則下列四個數據

中不可能是參賽選手成績的是()

A.60B.70C.80D.100

16.設數列｛即｝,若存在常數K對任意小的正數s,總存在正整數”0,當心“0時，必-歸s，則數列｛即｝

為收斂數列.下列關于收斂數列說法正確的是()

A.若等比數列｛斯｝是收斂數列，則公比亦(0,1)

B.等差數列不可能是收斂數列

C.設公差不為。的等差數列｛斯｝的前〃項和為S,(S.W0),則數列｛R｝一定是收斂數列

D.設數列｛即｝的前"項和為S”，滿足ai=l,Sn+\=an+\,則數列｛a“｝是收斂數列

第2頁(共18頁)

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

17.（14分）如圖，已知為圓柱OOi的底面圓。的一條直徑，尸為圓周上的一點，O/=2,ZBOP=

60°,圓柱的表面積為241T.

（1）求三棱錐Ai-APB的體積；

（2）求直線NP與平面由必所成的角的大小.

第3頁（共18頁）

18.(14分)已知a為實數、函數/G)=x|x-a\-a,xGR.

(1)當a=2時、求函數/(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)若對任意(0,1),f(x)<0恒成立，求a的取值范圍.

第4頁(共18頁)

19.（14分）某動物園喜迎虎年的到來，擬用一塊形如直角三角形/3C的地塊建造小老虎的休息區(qū)和活動

區(qū).如圖，NA4c=90°,AB=AC=20（單位：米），E、尸為2c上的兩點，且NE4尸=45°,△4EF區(qū)

域為休息區(qū)，△4BE和/區(qū)域均為活動區(qū).設/E/3=a（0<a<45°）.

（1）求/人/尸的長（用a的代數式表示）；

（2）為了使小老虎能健康成長，要求所建造的活動區(qū)面積盡可能大（即休息區(qū)盡可能?。?當a為多少時，

活動區(qū)的面積最大？最大面積為多少？

第5頁（共18頁）

20.(16分)在平面直角坐標系中，已知點2(0,V2)>B(0,-V2),動點C(x,y)關于直線y=x的對

稱點為。，且G?麗=#,動點C的軌跡為曲線￡.

(1)求曲線E的方程；

(2)已知動點P在曲線E上，點0在直線y=2&上，且茄?日?=(),求線段尸。長的最小值；

(3)過點(―a,0)且不垂直于無軸的直線交曲線￡于M、N兩點，點M關于x軸的對稱點為試問：

在x軸上是否存在一定點T,使得知、N、T三點共線？若存在，求出定點T的坐標；若不存在，說明理

由.

第6頁(共18頁)

21.(18分)對于數列｛斯｝,記—(〃)=|。2-。1|+|硝-。2|+…+|斯-斯-1|Cn>l,nEN*).

(1)若數列｛斯｝通項公式為：劭="(20(nEN*),求憶(5)；

(2)若數列｛斯｝滿足：ai=a,an=b,且。>6,求證：V(H)=a-b的充分必要條件是詼+iW位d=l,

2,…，〃-1)；

1

(3)已知/(2022)=2022,右加=￡(的+。2T----14),t=\,2,…，2022.求卜2-川+93-絲|+…+b2022

-歹20211的最大值.

第7頁(共18頁)

2022年上海市徐匯區(qū)高考數學二模試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙的

相應位置直接填寫結果.

14

1.已矢口tcma=亍，貝Utan2a=_-

/3-

忿刀,1mil4,n2tana2X24

角牛：tana=個貝!]tan2a=-------b=—T=小

，l-tan￡a1—A3

4

_4

故答案為：-

1

2.不等式口,］的解集為仲〈<2}.

1

解：

2—x

---〉0,

x-1

???(x-1)(x-2)<0,

解得：l<x<2.

1

.??不等式一->1的解集為{x|lVxV2}.

%—1

故答案為：{可<尤<2}.

3.在—的二項展開式中，7項的系數為-20.

解：展開式的通項公式為Tr+1=噩”-『（—七）r=C［（—1）"6-等，r=0,1,2,..…6,

令6-與=2,解得，=3,

所以W的系數為仁（一1）3=一20,

故答案為：-20.

4

4.已知球的體積為孑處則該球的左視圖所表示圖形的面積為-?

解：設球的半徑為幾

44

，?,球的體積為一兀=_?71區(qū)3,

33

???球的半徑尺=1,

又因為球的左視圖所表示的圖形是球的大圓，

???該球的左視圖所表示圖形的面積為：h?氏2=冗.

故答案為：71.

第8頁（共18頁）

5.己知圓的方程為f+J_2x-4y+4=0,則圓心到直線/：3x+4”+4=0的距離d=3.

解：圓的方程為％2+產_2工-4尹4=0,可得圓的圓心（1,2）,

所以，圓心到直線/：3x+4尹4=0的距離仁畢絲a=3.

j32+42

故答案為：3.

6.若關于x的實系數一元二次方程7-bx+c=Q的一根為1-iG為虛數單位），則b+c=4

解：關于尤的實系數一元二次方程7-bx+C=0的一根為1-i（7?為虛數單位）,

則1+2?也是方程的根,

所以6=1+計1-i=2,所以6=2,

c—(1+z)(1-z)=2,

所以b+c=4.

故答案為:4.

7.已知加ER,若直線/i：加x+y+l=0與直線，2：9x+加歹+2加+3=0平行，貝1］加=3

解：mGR,若直線/i：加x+y+1=0與直線b：9x+加y+2加+3=0平行,

,「9m2m+3

則心且/=7*丁

則m=3,

故答案為：3.

x+2y>3

2%+y>3

8.已知實數》,歹滿足約束條件，則z=x+y的最小值是

x>02

.y>o

解：由約束條件作出可行域如圖,

廠；，解得/（，），

聯(lián)立Si11

/X+y=3

由2=x+y,得歹=-x+z,由圖可知,當直線歹=-1+2過力時，直線在J軸上的截距最小,

Z有最小值為2.

故答案為：2.

第9頁（共18頁）

9.設/(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，/(x)=/+6(0<a<l,6eR),若/(無)存在反函數，

則b的取值范圍是反-1或620.

解：：/(x)是定義在R上的奇函數，

設x<0,則-x>0,則由題意，/(-X)=ax+b,

.,.f(0)=0,/(-x)=-f(無)=ax+b,

.,.f(x)=-ax-b.

若/(x)在R上存在反函數，則必需保證函數/Xx)不存在多個自變量x對應同一個函數值即可，

V0<a<l,則需滿足J+6W或6N0,解得6W-1或620,

若八x)存在反函數，則6的取值范圍為：6W-1或620,

故答案為：bW-1或620.

10.上海某高校哲學專業(yè)的4名研究生到指定的4所高級中學宣講習近平新時代中國特色社會主義思想.若

29

他們每人都隨機地從4所學校選擇一所，則4人中至少有2人選擇到同一所學校的概率是F.(結

果用最簡分數表示)

解：4個人分配到4個學校的情況總數為44種，

4個人恰好分配到4個學校的情況為短=24種，所以4人中至少有2人選擇到同一所學校的情況有44

-24種，

44-2429

所以4人中至少有2人選擇到同一所學校的概率是——=—.

4432

29

故答案為：—.

32

11.在△48C中，已知/8=1,NC=2,Z^=120°,若點P是△N8C所在平面上一點，且滿足G6+

AACBP,CP=—1,則實數入的值為1或一.

f4-

->―?

解：△A8C中，已知/8=1,AC=2,ZA=120°,AP=AB+AAC,

所以AP—AB=AXC,BPBP=XAC,

又4==(XB+A71C)-AC=AB+(A-1)AC,

所以晶=XAC-[AB+(A-1)AC]=XAC'AB+入(A-1)AC2=AX1X2Xcosl20°+X(A-1)X4=

-1,

11

4入2-5入+1=0,解得入=1或入=必所以實數人的值為1或一.

44

故答案為：I或a

第10頁(共18頁)

12.已知定義在R上的函數無)滿足/(尤+1)=2f(x)+1,當尤e[0,1)時，f(x)=;?.設f(x)在區(qū)

間m，〃+1)("6N*)上的最小值為即.若存在"6N*,使得入(斯+1)<2〃-7有解，則實數人的取值范

圍是(-8,.

32

解:當無e[0,1)時，/(x)=/,

因為定義在R上的函數/G)滿足/(元+1)=2/(x)+1,

/./(尤+1)=2f(x)+l=2r3+l,

令t\=x+\,則x=t\-1,

所以當MG[1,2)時，有/(九)=26-1)3+1,

所以當花口，2)時，/(x)=2(x-1)3+1,

f(x+1)=2/(x)+1=4(尤-1)3+3,

令t2=x+l，則x=/2-l，t\=x+\,Z2G[2,3),

則有/(f2)=4(fe-2)3+3,

所以當x€[2,3)時，f(x)=4(x-2)3+3,

同理可得，xe[3,4)時，f(x)=8(x-3)3+7,

根據規(guī)律，明顯可見當xe[〃，"+1)時，/(x)=2〃(x-〃)3+2”-1,且此時的/(x)必為增函數，

又因為即為/(無)在區(qū)間[”，n+1)(?GN*)上的最小值，

,!

所以。1=1,。2=3,6/3=7,…，an=2-1,

所以，若存在"6N*,使得入(斯+1)<2〃-7有解，

2U一7271—7

max,

則有入V2幾有解，進而必有入V(-2九)

_212—7q

根據該函數的特性，明顯可見，當〃=5時，有(一—一)max=22-

所以此時有入V參

,—,3

故答案為：(-8,—).

32

二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個正確選項.考生應在答題紙的相

應位置，將代表正確選項的小方格涂黑..

13.下列以f為參數的參數方程中，其表示的曲線與方程切=1表示的曲線完全一致的是()

AIR

'?]_iB.J=J_

[y=|t|

(X=costex=tant

C.D.

ly=sectly=cott

第11頁(共18頁)

解：對于a\x=t\,：.x=a>o,排除4

(y=°

X=\t\

對于8，_J_，x=M2o，排除B；

(y=Td

對于C，1：；：：：：，-l0=costWl,排除c.

故選：D.

14.已知函數/(x)=sin2x,x&[a,b],貝1I”6—aN今”是"/G)的值域為[-1,l]w的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

TC3TCTT

解：當a=0時，一VbV—時，則

但是函數/(x)=sin2x的值域不是[-1,1]；

當函數的值域為[T,1]時，說明6-a斗T,

由于函數/(x)=sin2x,函數的最小正周期為it；

所以2(b-a)所以函數的值域為[7,1],

所以6-

故函數/(x)=sin2x,x€[a,b],則“b—a23”是“/(無)的值域為[-1,1]”的必要不充分條件.

故選：B.

15.某高校舉行科普知識競賽，所有參賽的500名選手成績的平均數為82,方差為0.82,則下列四個數據

中不可能是參賽選手成績的是()

A.60B.70C.80D.100

1

一X(60-82)2=0.968>0,82,

500

1。

—X(70-82)2=0.288<0.82,

500

1。

——X(80-82)2=0.008<0.82,

500

1°

——X(100-82)2=0.648V0.82,

500

故選：A.

16.設數列｛斯｝,若存在常數。對任意小的正數s,總存在正整數預，當〃2加時，\an-t\<s,則數列｛斯｝

為收斂數列.下列關于收斂數列說法正確的是()

第12頁(共18頁)

A.若等比數列｛即｝是收斂數列，則公比ge(0,1)

B.等差數列不可能是收斂數列

C.設公差不為0的等差數列｛斯｝的前”項和為S"(S”wo)，則數列｛々｝一定是收斂數列

D.設數列｛斯｝的前幾項和為滿足。1=1,S〃+i=a/l,則數列｛斯｝是收斂數列

解：/選項：設如=的"，則〃7n孫=〃租的"，當|q|Vl且qWO,或q=l時收斂，故力錯誤；

n->oon->oo

2選項：若該等差數列為常數列，則符合收斂的條件，故3錯誤；

C選項：設如=〃+幾d,則S〃=71a+"彳"1)d,

121?11

故=------:----,Umb=Um"一工"4“當時，UmV=°，故數列｛『｝一定是收斂

Sn2an+n(n+l)dn-8s九n^oo2an+n(n+l)dn_8s九Sn

數列，故c正確；

。選項：當〃=1時，52=01+1=2可得02=1，

當時，令〃=”-1時，S〃=a〃-i+l,與已知做差可得：an+i=an-an\,

列舉可得：a\=\,。2=1，。3=0，?4=-1，a5=-1，。6=0…，以此類推，

可得｛斯｝為一周期數列，且7=6.

故不存在s使得原命題成立，不滿足題意.故。選項錯誤.

故選：C.

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

17.(14分)如圖，已知42為圓柱。。1的底面圓。的一條直徑，尸為圓周上的一點，OA=2,/BOP=

60°,圓柱。。1的表面積為24n.

(1)求三棱錐Ai-APB的體積；

(2)求直線4P與平面/1P8所成的角的大小.

(1)解：由題意，4B是圓柱。。1的底面圓O的一條直徑，且04=2,其表面積為24m

可得2TV22+211X2XW4i=24m解得44i=4,

在尸中，由/8QP=60°且。4=0尸=2,可得//O尸=120°,所以4P=2收，

第13頁(共18頁)

在△80尸中，08=0尸=2且尸=60°,可得8尸=2,

所以三棱錐"1-4PB的體積gTPB=^SAAPB?/x/x2百x4x2=竽；

(2)解：由為圓柱OOi的底面圓。的一條直徑，P為圓周上的一點，可得8PL4P,

又由//1_L平面A8P,2Pu平面/3尸，所以5P_L4^i,

因為4PCl44i=/且4P,44iu平面441P,所以8尸J_平面/小尸，

又因為BPu平面出尸2,所以平面4尸5_L平面44由，

過點/作NM_L/1P,垂足為M,如圖所示，

因為平面出尸8_L平面441尸，平面NiPBC平面441P=/iP,且/Mu平面44/尸,

所以4WJ_平面AiPB,所以/4PM為直線AP與平面AiPB所成的角，

又由04=2,NBOP=6Q°,可得尸8=2,

在直角△4BP中，可得4P=7AB2-PB2=2次,

在直角△441P中，可得&P=y/AAl+AP2=2V7,

所以sin/4iPa==岑

^sinZAPM=綽,

所以直線4P與平面小尸8所成的角的大小arcs譏竽.

18.(14分)已知a為實數、函數/(x)=x|x-a\-a,x￡R.

(1)當〃=2時、求函數/(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)若對任意在(0,1),/(x)V0恒成立，求Q的取值范圍.

解：(1)當a=2時，f(x)=x|x-2|-2,

當x22時，f(x)(x-2)-2—x1-2x-2,

對稱軸為x—1f

所以/(x)在(2,+8)上單調遞增，

當x<2時，f(x)=x(2-1)-2=2x-^-2=-x2+2x-2,

第14頁(共18頁)

對稱軸為X—1,

所以/(x)在(-8,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，

綜上所述，/(%)在(2,+8)上單調遞增，在(-8,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減.

(2)因為對任意(0,1),f(x)V0恒成立,

所以對任意xE(0,1),-。<0恒成立,

所以對任意xE(0,1),恒成立，

所以對任意xE(0,1),—恒成立，

所以對任意xE(0,1),a>%1且；#旦成立,

x—1

22

所以對任意xC(0,1),a>(---)加"且。>(----)加”恒成立,

x-1x+1

I

所以a20且a>2,

所以。的取值范圍為百，+8).

19.(14分)某動物園喜迎虎年的到來，擬用一塊形如直角三角形/8C的地塊建造小老虎的休息區(qū)和活動

區(qū).如圖，ZBAC=90°,AB=AC=20(單位：米)，E、尸為BC上的兩點，且/E4F=45°,AAEF

區(qū)域為休息區(qū)，△4BE和△/(7尸區(qū)域均為活動區(qū).設NE4B=a(0<a<45°).

(1)求/￡、/尸的長(用a的代數式表示);

(2)為了使小老虎能健康成長，要求所建造的活動區(qū)面積盡可能大(即休息區(qū)盡可能小).當a為多少

時，活動區(qū)的面積最大？最大面積為多少？

解：(1)在△/匹中，ZEAB=a,ZB=45°,AB=20,

AEAB10g

由正弦定理有:可得:AE

sm45°sin(135。-a)'sin(135°—a)

10血

同理，在中，AF

cosa'

11

(2)在△/￡尸中，S^^AE-AF-sin45°=110/10以y[2

sin(135°—a)cosa2

第15頁(共18頁)

化簡可得：s=F——洛------，

-^-[V2sin(2￡z+^)+l]

,**ocG(0/今)，故2a+余E?，等9，所以工-Vs譏(2仇+—)41,

所以s譏(2a+9=l,此時(S^^F)加九=200(應一1),設活動面積為S,

-1

故s=SAABC-SAAEF=20x20x尹200(72-1)=200(2-V2),

所以a="時，此時耳?以=200(2

20.(16分)在平面直角坐標系中，已知點4(0,/)、B(0,-V2),動點C(x,y)關于直線y=x的對

稱點為。，且房>?麗=義》2,動點C的軌跡為曲線及

(1)求曲線E的方程；

(2)已知動點P在曲線￡上，點0在直線y=2企上，且茄?局=0,求線段尸。長的最小值；

(3)過點(-夜，0)且不垂直于x軸的直線交曲線E于M、N兩點，點M關于無軸的對稱點為試

問：在x軸上是否存在一定點T,使得M、N、7三點共線？若存在，求出定點T的坐標；若不存在，

說明理由.

解：(1)由點C(x,y)關于直線y=x的對稱點為。，則D(y,x),

則忌=(y,x-V2),BD=[y,x+V2),

所以/。?8。=丫2+/-2=>2,即了+y2=2,

x2y2

所以曲線E的方程為：丁+J=1.

42

(2)由點尸在曲線石上，設尸(x,y)(-2WxW2),點0在直線y=2&上，設Q(zn,2魚)，

—>—>

由OP?OQ=mx+2^j2y=0,即zn%=-2&y,

—>—>

由OP-OQ=0,則OPLOQ,

所以\PQ^=|OP|2+|(?e|2=7+/+加2+8,

當x=0時，y=±V2,此時不滿足mx=—2&y,即不滿足茄-OQ=0.

所以無WO,由。P-OQ=0,則瓶2=女，

附『=/+24+用+8/+￥+1。

由-2Wx<2,則設/=，€(0,4],

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由勾型函數的單調性，可知函數丫=^+竽+6=號（t+竿）+6在（0,4］上單調遞減.

此時當X2=4時，甲?！壕汀?2+4+6=12,

所以線段尸。長的最小值為2次.

（3）在x軸上存在一定點7,使得AT、N、7三點共線.

設Af（xi，yi）,N（12，；V2），則AT（xi，-yi）,

由題意設直線MN的方程為y=k（x+V2）,

(y=k(x+V2)

由％2y2,可得(1+2k2)%2+4魚女2工+4〃2—4=0,

~4+~2=1

二匚a―4k2—4

所以％i+外=-----r,、i%2=----7，

1+2/c'1+2/

直線MN的方程為y+yi=學孕。一%)，

x2~*xl

k(x1+V2)(%2-^1)_2%1%2+魚(％1+%2)

令>=0,得％=yiX“2工%:+x=均

CX_

y2+yi/(%1+2+2V^)%]+久2+2\/^

止微2+-4罔X/

-8

_l+2fel+2/c-2V2,

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