1.3 求二次函數(shù)的解析式 浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課件

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)有幾個(gè)待定系數(shù)？通常需要已知幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出它的表達(dá)式？2.求一次函數(shù)表達(dá)式的方法是什么？它的一般步驟是什么？2個(gè)2個(gè)待定系數(shù)法(1)設(shè)：（表達(dá)式）(2)代：（坐標(biāo)代入）(3)解：方程（組）(4)還原：（寫(xiě)表達(dá)式）一般式法二次函數(shù)的表達(dá)式一探究歸納問(wèn)題1

（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要幾個(gè)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)才能求出來(lái)？3個(gè)3個(gè)（2）下面是我們用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象所列表格的一部分：x-3-2-1012y010-3-8-15講授新課解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得①選?。?3，0），（-1，0），（0，-3），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-x2-4x-3.待定系數(shù)法步驟：1.設(shè)：（表達(dá)式）2.代：（坐標(biāo)代入）3.解：方程（組）4.還原：（寫(xiě)解析式）這種已知三點(diǎn)求二次函數(shù)表達(dá)式的方法叫做一般式法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c；②代入后得到一個(gè)三元一次方程組；③解方程組得到a,b,c的值；④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式.歸納總結(jié)一般式法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法例1

一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(0,1)、(2,4)、(3,10)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=ax2+bx+c,由于這個(gè)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，可得c=1.又由于其圖象經(jīng)過(guò)(2,4)、(3,10)兩點(diǎn)，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解這個(gè)方程組，得∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式二

選取頂點(diǎn)（-2，1）和點(diǎn)（1，-8），試求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x-h)2+k,把頂點(diǎn)（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得

y=a(x+2)2+1，再把點(diǎn)（1，-8）代入上式得

a(1+2)2+1=-8，

解得a=-1.∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.歸納總結(jié)頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的方法這種知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求表達(dá)式的方法叫做頂點(diǎn)法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x-h)2+k；②先代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式.例2

一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)點(diǎn)(0,1)，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,9)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.解：因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(8,9)，因此，可以設(shè)函數(shù)表達(dá)式為

y=a(x-8)2+9.又由于它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，可得

0=a(0-8)2+9.

解得∴所求的二次函數(shù)的解析式是

解：∵（-3，0）（-1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn).所以可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo).因此得

y=a(x+3)(x+1).再把點(diǎn)（0，-3）代入上式得∴a(0+3)(0+1)=-3，解得a=-1，∴所求的二次函數(shù)的表達(dá)式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.選取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，試出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

交點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式三xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512歸納總結(jié)交點(diǎn)法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法

這種知道拋物線與x軸的交點(diǎn)，求表達(dá)式的方法叫做交點(diǎn)法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2代入到表達(dá)式中，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將方程的解代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式.想一想確定二次函數(shù)的這三點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？任意三點(diǎn)不在同一直線上（其中兩點(diǎn)的連線可平行于x軸，但不可以平行于y軸.特殊條件的二次函數(shù)的表達(dá)式四例3.已知二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)和(－1,－3)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

解:∵該圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函數(shù)表達(dá)式為

y=2x2－5.∴{a=2，c=－5.解得{關(guān)于y軸對(duì)稱已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，8)和(－1，5)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．

解:∵該圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,8）和（-1,5），做一做圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)8=4a-2b，5=a-b，∴{

解得a=-1,b=-6.∴y=-x2-6x.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖象的表達(dá)式應(yīng)是

.

注

y=ax2與y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一樣都是頂點(diǎn)式，只不過(guò)前三者是頂點(diǎn)式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-4321-13452.過(guò)點(diǎn)（2，4），且當(dāng)x=1時(shí)，y有最值為6，則其表達(dá)式是

.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，6）y=-2(x-1)2+63.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c．依題意得∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，4.已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)，且過(guò)點(diǎn)M(0，1)，求此函數(shù)的表達(dá)式．解：因?yàn)辄c(diǎn)A(－1，0)，B(1，0)是圖象與x軸的交點(diǎn)，所以設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝a(x＋1)(x－1)．又因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求拋物線的表達(dá)式為y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.5.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過(guò)點(diǎn)A(－4，－3)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是x＝－3，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求拋物線的表達(dá)式；解：(1)把點(diǎn)A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵對(duì)稱軸是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴拋物線的表達(dá)式是y＝x2＋6x＋5；(2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，求△BCD的面積．(2)∵CD∥x軸，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x＝－3對(duì)稱．∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD＝8，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－7，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，5)，∴△BCD中CD邊上的高為12－5＝7，∴△BCD的面積＝×8×7＝28.課堂小結(jié)①已知三點(diǎn)坐標(biāo)②已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值③已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知條件所選方法用一般式法：y=ax2+bx+c用頂點(diǎn)法：y=a(x-h)2+k用交點(diǎn)法：y=a(x-x1)(x-x2)

(x1,x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解：設(shè)所求二次函數(shù)為

由已知，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（-1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)，

例1如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（-1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)，試求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.得關(guān)于a，b，c的三元一次方程組解這個(gè)方程組，得所求二次函數(shù)為

例1如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（-1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)，試求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

例2已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（3，-4），與y軸的交點(diǎn)為（0，2），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.解：設(shè)所求二次函數(shù)為

y=ax2+bx+c.由已知，與y軸的交點(diǎn)為（0，2），由已知，頂點(diǎn)為（3，-4），得c=2.得解這個(gè)方程組，得把c=2代入方程組所求二次函數(shù)為

例2已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（3，-4），與y軸的交點(diǎn)為（0，2），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.解：設(shè)所求二次函數(shù)為由已知，頂點(diǎn)為（3，-4），則二次函數(shù)為方法二

例2已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（3，-4），與y軸的交點(diǎn)為（0，2），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.二次函數(shù)為由已知，與

y軸的交點(diǎn)為（0，2），解得所求二次函數(shù)為

得

例2已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（3，-4），與y軸的交點(diǎn)為（0，2），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

例3已知二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c中自變量

x與函數(shù)值

y的部分對(duì)應(yīng)值如下表，求二次函數(shù)的解析式.解：設(shè)所求二次函數(shù)為

y＝ax2＋bx＋c.解：設(shè)所求二次函數(shù)為

y＝ax2＋bx＋c.

方法二由已知，過(guò)點(diǎn)（0，-2），解：設(shè)所求二次函數(shù)為

y＝ax2＋bx＋c.

c=-2.則二次函數(shù)為

y＝ax2＋bx-2.

得所求二次函數(shù)為由于過(guò)點(diǎn)（-1，-2），（1，0），解得得對(duì)稱軸為直線頂點(diǎn)為解：設(shè)所求二次函數(shù)為由于頂點(diǎn)為則二次函數(shù)為方法三由已知，過(guò)點(diǎn)（1，0），解得所求二次函數(shù)為得對(duì)稱軸為直線

例4已知二次函數(shù)的最小值為-4，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）與（6，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.則拋物線的對(duì)稱軸為直線.解：由已知，由已知，最小值為

-4

，得到拋物線的頂點(diǎn)為（2，-4

）.（-2，0）與（6，0）是一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，

例4已知二次函數(shù)的最小值為-4，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）與（6，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.設(shè)所求二次函數(shù)為由于過(guò)點(diǎn)（6，0），得所求二次函數(shù)為解得頂點(diǎn)（

2，-4

）

例4已知二次函數(shù)的最小值為-4，它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）與（6，0），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.由已知，當(dāng)自變量x=-4時(shí)，函數(shù)值y=-2，

由已知，當(dāng)x=-5與x=1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，解：得得

例5已知二次函數(shù)

y＝x2＋bx＋c中，當(dāng)自變量

x=-4時(shí)，函數(shù)值

y=-2，當(dāng)

x=-5與

x=1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.解得所求二次函數(shù)為

例5已知二次函數(shù)

y＝x2＋bx＋c中，當(dāng)自變量

x=-4時(shí)，函數(shù)值

y=-2，當(dāng)

x=-5與

x=1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等.求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

例6已知一條拋物線的對(duì)稱軸是

x=1，且經(jīng)過(guò)（4，5）與（-1，0）兩點(diǎn)，求這條拋物線的解析式.解：設(shè)所求二次函數(shù)為由已知，得關(guān)于a，b，c的三元一