浙江省寧波市余姚實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

浙江省寧波市余姚實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖（左視圖中的弧線是半網(wǎng)），則該幾何體的表面積

A．20+3π

B．24+3π

C．20+4π

D．24+4π參考答案：A略2.某程序框圖如右圖所示，則輸出的結(jié)果是

（

）

A．120

B．57

C．26

D．11參考答案：B3.定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函數(shù)f（x），如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{an}，{f（an）}仍是等比數(shù)列，則稱f（x）為“保等比數(shù)列函數(shù)”?，F(xiàn)有定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函數(shù)：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x|。則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f（x）的序號(hào)為A.①②

B.③④

C.①③

D.②④7.參考答案：C設(shè)數(shù)列的公比為.對(duì)于①，,是常數(shù)，故①符合條件;對(duì)于②，，不是常數(shù)，故②不符合條件;對(duì)于③，，是常數(shù)，故③符合條件;對(duì)于④,，不是常數(shù)，故④不符合條件.由“保等比數(shù)列函數(shù)”的定義知應(yīng)選C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的新應(yīng)用，函數(shù)的概念.對(duì)于創(chuàng)新性問(wèn)題，首先要讀懂題意，然后再去利用定義求解，抓住實(shí)質(zhì)是關(guān)鍵.來(lái)年需要注意數(shù)列的通項(xiàng)，等比中項(xiàng)的性質(zhì)等.4.點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，過(guò)點(diǎn)P的直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的最小值是

（

）A．

B．4

C．

D．3參考答案：B略5.若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．；B.；C.；D.參考答案：B6.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3，1)，B(－1，3)，若點(diǎn)C

滿足＝α＋β，其中α、β∈R，且α＋β＝1，則點(diǎn)C的軌跡方程為A．3x＋2y－11＝0

B．(x＋1)2＋(y－2)2＝5C．2x－y＝0

D．x＋2y－5＝0參考答案：DD設(shè)C(x，y)，(x，y)＝α(3,1)＋β(－1,3)，因?yàn)棣痢ⅵ隆蔙，且α＋β＝1，消去α，β得x＋2y－5＝0.7.已知，直線與直線互相垂直，則的最小值為

(

)A.1

B.2

C.

D.參考答案：B略8.若三棱錐的三視圖如右圖所示,則該三棱錐的體積為【

】.A.

B.

C.

D.參考答案：D由三視圖知：三棱錐的底面為直角三角形，兩直角邊分別為5和4，三棱錐的高為4，所以三棱錐的體積為。9.對(duì)于函數(shù)，適當(dāng)?shù)剡x取的一組值計(jì)算，所得出的正確結(jié)果只可能是

（

）

A．4和6

B．3和-3

C．2和4

D．1和1參考答案：D10.已知F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線C右支上一點(diǎn)P滿足且，則雙曲線C的離心率為（

）A．3

B．

C．2

D．參考答案：D試題分析：設(shè)，則，∴，∴，由余弦定理可得，∵，∴，∴，∴．故選D．考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了雙曲線的定義、余弦定理的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積公式，綜合性較強(qiáng)，是高考中的高頻考點(diǎn)，屬于中檔題．設(shè)，則，利用雙曲線的定義，可得，利用余弦定理可得，再利用數(shù)量積公式，即可求出雙曲線的離心率．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)．若當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f(x)＝2x－1，則的值為

。參考答案：略12.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=，前n項(xiàng)和為Sn，則Sn的值為

．參考答案：12【考點(diǎn)】極限及其運(yùn)算．【分析】利用無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=，前n項(xiàng)和為Sn，∴Sn=4+8+=12．故答案為：12．13.已知，則

.

參考答案：略14.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

▲

．參考答案：略15.已知，則的值為______________．參考答案：略16.若曲線上點(diǎn)P處的切線平行于直線，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．B11

解析：設(shè)P（x，y），則y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在點(diǎn)P處的切線與直線2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】先設(shè)P（x，y），對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由在在點(diǎn)P處的切線與直線2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．17.在中，若，則角B= 。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)關(guān)系；余弦定理的應(yīng)用.

C2

C8

或

解析：把，代入已知等式得：，又，所以角B=或.【思路點(diǎn)撥】把余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系，代入已知等式得，又，所以角B=或.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）商家通常依據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，即根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b（b>a）以及實(shí)數(shù)x(0<x<1)確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+x(b-a)。這里，x被稱為樂(lè)觀系數(shù)，經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂(lè)觀系數(shù)x恰好使得（c-a）是(b-c)和(b-a)的等比中項(xiàng)，某省為規(guī)范汽油市場(chǎng)，維護(hù)筇一產(chǎn)者的合法權(quán)益和消費(fèi)者的長(zhǎng)遠(yuǎn)利益，發(fā)改委發(fā)出通知，決定自8月25日零時(shí)起，0號(hào)柴油每升限價(jià)在[7.40,7.90]內(nèi)（單位：元）（1）試求出最佳樂(lè)觀系數(shù)z的值以及由此確定的0號(hào)柴油的銷售價(jià)格（價(jià)格精確到．．．001，參考數(shù)值：≈2．24）；

（2）某加油站老板做了一個(gè)市場(chǎng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：若按最高銷售限價(jià)出售0號(hào)柴油銷售價(jià)格，當(dāng)天銷售1500升，以后每天銷售量將比前一天減少100升；若根據(jù)“樂(lè)觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定紫漶銷售價(jià)格，每天的銷售量穩(wěn)定在1500升左右．若0號(hào)柴油的成本為每升7．01元．自8月25日起，未來(lái)10天內(nèi)加油站采用哪種銷售價(jià)格出售0號(hào)柴油將獲利更多?

參考答案：19.已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2+ax，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與x軸平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若g（x）=ex﹣2x﹣1，求函數(shù)g（x）的最小值；（Ⅲ）求證：存在c＜0，當(dāng)x＞c時(shí)，f（x）＞0．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由條件可得a的方程，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值，且為最值；（Ⅲ）顯然g（x）=f'（x），且g（0）=0，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理可得g（x）的零點(diǎn)范圍，可設(shè)g（x）=f'（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，分別為0，x0．討論x＜0時(shí)，0＜x＜x0時(shí)，x＞x0時(shí)，g（x）的符號(hào)，可得f（x）的極值，進(jìn)而得到f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，即可得證．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=ex﹣x2+ax的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=ex﹣2x+a，由已知可得f′（0）=0，所以1+a=0，得a=﹣1．（Ⅱ）g'（x）=ex﹣2，令g'（x）=0，得x=ln2，所以x，g'（x），g（x）的變化情況如表所示：x（﹣∞，ln2）ln2（ln2，+∞）g'（x）﹣0+g（x）遞減極小值遞增所以g（x）的極小值，且為最小值為g（ln2）=eln2﹣2ln2﹣1=1﹣2ln2．（Ⅲ）證明：顯然g（x）=f'（x），且g（0）=0，由（Ⅱ）知，g（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．又g（ln2）＜0，g（2）=e2﹣5＞0，由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一實(shí)數(shù)x0∈（ln2，2），滿足g（x0）=0，即，，綜上，g（x）=f'（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，分別為0，x0．所以x＜0時(shí)，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增；0＜x＜x0時(shí)，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；x＞x0時(shí)，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（0）是極大值，f（x0）是極小值，，因?yàn)間（1）=e﹣3＜0，，所以，所以f（x0）＞0，因此x≥0時(shí)，f（x）＞0．因?yàn)閒（0）=1且f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，所以一定存在c＜0滿足f（c）＞0，所以存在c＜0，當(dāng)x＞c時(shí)，f（x）＞0．20.（15分）如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AB=a.

（Ⅰ）求證：直線A1D⊥B1C1；

（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面ACC1的距離；

（Ⅲ）判斷A1B與平面ADC的位置關(guān)系，

并證明你的結(jié)論.參考答案：解析：（Ⅰ）證法一：∵點(diǎn)D是正△ABC中BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.

證法二：連結(jié)A1C1，則A1C=A1B.

∵點(diǎn)D是正△A1CB的底邊中BC的中點(diǎn)，

∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的長(zhǎng)為點(diǎn)D到平面ACC1的距離.

在Rt△ADC中，AC=2CD=∴所求的距離解法二：設(shè)點(diǎn)D到平面ACC1的距離為，∵體積

即點(diǎn)D到平面ACC1的距離為.

（Ⅲ）答：直線A1B//平面ADC1，證明如下：證法一：如圖1，連結(jié)A1C交AC1于F，則F為A1C的中點(diǎn)，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DF∥A1B，

又DF

平面ADC1，A1B平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.證法二：如圖2,取C1B1的中點(diǎn)D1，則AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B，∵A1B平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.

21.已知函數(shù),令，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的極值；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，若存在,使得恒成立，求m的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)極小值，無(wú)極大值；(Ⅱ).試題解析：(Ⅰ)依題意，則當(dāng)a=0時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,)，單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞)所以時(shí)取得極小值，無(wú)極大值.(Ⅱ)當(dāng)即時(shí)，恒有成立，所以在上是單調(diào)遞減.所以所以，因?yàn)榇嬖?使得恒成立，所以整理得又<0，所以令=－，則∈(2,8)，構(gòu)造函數(shù),所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以m的取值范圍為(,+∞).考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值.【方法點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性