【初中數(shù)學】第一章+特殊平行四邊形++課件++北師大版九年級數(shù)學上冊期末復習+

總復習期末復習課期末復習課（一）（第一章特殊平行四邊形）數(shù)學九年級上冊BS版知識梳理典例講練目錄CONTENTS數(shù)學九年級上冊BS版01知識梳理1.特殊平行四邊形的網(wǎng)絡圖（特殊平行四邊形的判定）.2.菱形的性質(zhì).（1）邊：菱形的四條邊

?.（2）對角線：菱形的對角線互相

，并且平分每一

組

?.（3）對稱性：①菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸；②菱形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點.注：菱形的對角線把菱形分成四個全等的直角三角形.相等

垂直平分

對角

3.矩形的性質(zhì).（1）角：矩形的四個角都是

?.（2）對角線：矩形的對角線

，

且互相

?.（3）對稱性：①矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸；②矩形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點.直角

相等

平分

4.正方形的性質(zhì).（1）角：正方形的四個角都是

?.（2）邊：正方形的四條邊

?.（3）對角線：正方形的對角線

且互相

?.（4）對稱性：①正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸；②正方形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點.注：正方形具有菱形、矩形的一切性質(zhì).直角

相等

相等

垂直平分

5.面積問題.（1）菱形的面積等于對角線乘積的一半；（2）矩形的面積等于長×寬；（3）正方形的面積等于邊長的平方，也等于對角線乘積的

一半.6.直角三角形斜邊中線定理.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

?.一半

數(shù)學九年級上冊BS版02典例講練

①②③④

【思路導航】推出

FG

是△

ACD

的中位線，即可判斷①是否正

確；證明四邊形

ADBE

是菱形，得到

AD

＝

BD

，再利用Rt△

ACD

得到

AD2－

CD2＝

AC2，即可判斷②是否正確；根據(jù)

FG

是

△

ACD

的中位線，證得

S△

AOD

＝2

S△

AOG

，即可判斷③是否正

確；設

OA

＝

x

，根據(jù)

OA2＝

OF2＋

AF2，求出

OA

得到

AB

，進而

求得

BC

，再根據(jù)

BD2－

CD2＝

AC2，求出

BD

，即可判斷④是否

正確.【解析】①由題意可知，

MN

垂直平分

AB

，∴

OA

＝

OB

，

ED

⊥

AB

.

又∵

OF

⊥

AC

，∠

ACB

＝90°，∴

OF

∥

BC

，

AF

＝

CF

，

∴

FG

是△

ACD

的中位線，∴

CD

＝2

GF

.

故①正確.②又∵

OE

＝

OD

，∴

DE

與

AB

互相垂直平分.∴四邊形

ADBE

是菱形.∴

AD

＝

BD

.

在Rt△

ACD

中，

AD2－

CD2＝

AC2，∴

BD2－

CD2＝

AC2.

故②正確.③∵

FG

是△

ACD

的中位線，∴點

G

是

AD

的中點.

∴

S△

AOD

＝2

S△

AOG

.

易知

S△

AOD

＝

S△

BOE

，∴

S△

BOE

＝2

S△

AOG

.

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④.故答案為①②③④.【點撥】本題考查了線段垂直平分線的作圖方法、線段中垂線

的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)定理、勾股定理等，是中考的一個

?？键c.熟練掌握并靈活運用相關定理是解題的關鍵.

BA.4個B.3個C.2個D.1個【解析】如圖，設

AC

與

MN

的交點為點

O

.根據(jù)作圖可得，

MN

垂直平分

AC

.

∴

AO

＝

CO

.

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

.

∴∠

EAO

＝∠

OCF

.

又∵∠

AOE

＝∠

COF

，

AO

＝

CO

，∴△

AOE

≌△

COF

（

ASA

），∴

AE

＝

FC

.

又∵

AE

∥

CF

，∴四邊形

AFCE

是平行四邊形.

∵

MN

垂直平分

AC

，∴

EA

＝

EC

，∴四邊形

AECF

是菱形.故①正確.

綜上所述，①②④正確，共3個.故選B.類型二

矩形的性質(zhì)與判定

在四邊形

ABCD

中，已知

AC

，

BD

相交于點

O

，

AD

∥

BC

，∠

ADC

＝∠

ABC

，

OA

＝

OB

.

（1）如圖1，求證：四邊形

ABCD

為矩形；圖1（2）如圖2，點

P

是邊

AD

上任意一點，

PE

⊥

BD

，

PF

⊥

AC

，

垂足分別是

E

，

F

，若

AD

＝12，

AB

＝5，求

PE

＋

PF

的值.圖2

圖1（2）解：如圖，連接

OP

.

∵在矩形

ABCD

中，

AD

＝12，

AB

＝5，

【點撥】（1）判定矩形的關鍵要素：①平行四邊形；②直角或

對角線相等.（2）矩形問題中涉及邊長的和的求值或證明問題

時，一般通過全等三角形或等面積法解決.（3）關于中點的處

理，主要看中點所在的“環(huán)境”，如等腰三角形底邊中點、直

角三角形斜邊中點、雙中點等，不同環(huán)境處理方法各不相同.

1.如圖，在矩形

ABCD

中，

AB

＝3，

BC

＝6.若點

E

，

F

分別在

AB

，

CD

上，且

BE

＝2

AE

，

DF

＝2

FC

，點

G

，

H

是

AC

的三等

分點，則四邊形

EHFG

的面積為

?.2

2.如圖，已知?

ABCD

的對角線

AC

，

BD

相交于點

O

，過點

A

作

AF

⊥

CD

，垂足為

F

.

延長

DC

到點

E

，使

CE

＝

DF

，連接

OE

，

BE

.

（1）求證：四邊形

ABEF

是矩形；（1）證明：∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，

∴

AB

∥

CD

，

AB

＝

CD

.

∵

CE

＝

DF

，∴

CE

＋

CF

＝

DF

＋

CF

，即

EF

＝

CD

.

∴

AB

＝

EF

.

∴四邊形

ABEF

是平行四邊形.又∵

AF

⊥

CD

，即∠

AFE

＝90°，∴?

ABEF

是矩形.（2）若

AB

＝5，

CF

＝2，

AC

⊥

BD

，求

OE

的長.

類型三

正方形的性質(zhì)與判定

（2022·邵陽）如圖，在菱形

ABCD

中，已知對角線

AC

，

BD

相交于點

O

，點

E

，

F

在對角線

BD

上，且

BE

＝

DF

，

OE

＝

OA

.

求證：四邊形

AECF

是正方形.【思路導航】菱形的兩條對角線互相垂直且平分，再根據(jù)兩條

對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形即可證明四邊形

AECF

是正方形.證明：∵

四邊形

ABCD

是菱形，∴

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

且

AC

⊥

BD

.

又∵

BE

＝

DF

，∴

OB

－

BE

＝

OD

－

DF

，即

OE

＝

OF

.

∵

OE

＝

OA

，∴

OA

＝

OC

＝

OE

＝

OF

，且

AC

＝

EF

.

∴四邊形

AECF

是矩形.又∵

AC

⊥

EF

，∴四邊形

AECF

是正方形.【點撥】掌握菱形的性質(zhì)和正方形的判定定理是解題的關鍵.

1.如圖，已知點

E

，

F

分別是正方形

ABCD

的邊

CD

，

AD

上的

點，且

CE

＝

DF

.

連接

AE

，

BF

，交于點

O

.

下列結(jié)論：①

AE

＝

BF

；②

AE

⊥

BF

；③

S△

AOB

＝

S四邊形

DFOE

；④

AO

＝

OE

；⑤∠

AFB

＋∠

AEC

＝180°.其中正確的有

?

（填序號）.①②③⑤

2.如圖，在菱形

ABCD

中，已知點

E

，

O

，

F

分別為

AB

，

AC

，

AD

的中點，連接

CE

，

CF

，

OE

，

OF

.

（1）求證：△

BCE

≌△

DCF

.

（2）當

AB

與

BC

滿足什么關系時，四邊形

AEOF

是正方形？

請

說明理由.

【思路導航】先由線段比設參數(shù)，由軸對稱的性質(zhì)等表示出

DG

；再在四邊形

DEGF

中，由等面積法列方程求出參數(shù)；然后

在△

BFH

中構(gòu)造△

AEG

的相似三角形，求邊長；最后由勾股定

理求出

BH

的長.

【點撥】翻折變換中產(chǎn)生的“十字架模型”，常結(jié)合勾股定理

等知識，利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

1.如圖，有一個邊長為2的正方形

ABCD

，點

M

，

N

分別是

AD

，

BC

邊的中點，將點

C

折疊到線段

MN

上，落在點

P

的位

置，折痕為

BQ

，則

MP

的長為

?.（第1題圖）

2.如圖，四邊形

OABC

是矩形，點

A

的坐標為（8，0），點

C

的

坐標為（0，4），將矩形

OABC

沿

OB

折疊，點

C

落在點

D

處，

則點

D

的坐標為

?.（第2題圖）

類型五

特殊平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題

如圖，將矩形

ABCD

繞點

C

旋轉(zhuǎn)得到矩形

FECG

，點

E

在

AD

上，延長

ED

交

FG

于點

H

.

（1）求證：△

EDC

≌△

HFE

.

（2）連接

BE

，

CH

.

【思路導航】（1）由旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)可知

CD

＝

EF

，∠

CDE

＝∠

EFH

＝90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠

DEC

＝∠

FHE

，

即可利用“AAS”證明△

EDC

≌△

HFE

.

（2）①解：四邊形

BEHC

是平行四邊形.證明如下：如圖，連接

BE

，

CH

.

∵四邊形

ABCD

是矩形，∴

AD

∥

BC

，即

EH

∥

BC

.

∵△

EDC

≌△

HFE

，∴

EC

＝

EH

.

∵將矩形

ABCD

繞點

C

旋轉(zhuǎn)得到矩形

FECG

，∴

EC

＝

BC

.

∴

EH

＝

BC

.

又∵

EH

∥

BC

，∴四邊形

BEHC

是平行四邊形.②【解析】要使四邊形

BEHC

是菱形，

∵將矩形

ABCD

繞點

C

旋轉(zhuǎn)得到矩形

FECG

，

∴△

BCE

是等邊三角形.∴∠

EBC

＝60°.∴∠

ABE

＝90°－∠

EBC

＝30°.

【點撥】解答本題時，要綜合運用矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、

全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)、

含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識.

1.如圖，將矩形

ABCD

繞點

A

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜

90°）得到矩形

AB

'

C

'

D

'，此時點

B

'恰好在

DC

邊上，連接

BB

'.

若∠

B

'

BC

＝15°，則α的大小為

?.（第1題圖）30°

（第2題圖）（6，

4）

類型六

特殊平行四邊形中的最值問題

如圖，在矩形紙片

ABCD

中，已知

AB

＝8，

BC

＝6，點

E

是

AD

的中點，點

F

是

AB

上一動點.將△

AEF

沿直線

EF

折疊，點

A

落在點

A

'處.在

EF

上任取一點

G

，連接

GC

，

GA

'，

CA

'，則△

CGA

'周長的最小值為

?.

【思路導航】連接

AC

，交

EF

于點

G

，連接

A

'

G

，此時△

CGA

'

的周長最小，最小值為

A

'

G

＋

GC

＋

CA

'＝

GA

＋

GC

＋

CA

'＝

AC

＋

CA

'.當

CA

'最小時，△

CGA

'的周長最小，再求出

CA

'的最小

值即可解決問題.【解析】如圖，當點

F

固定時，連接

AC

交

EF

于點

G

，連接

A

'

G

，此時△

CGA

'的周長最小，最小值為

A

'

G

＋

GC

＋

CA

'＝

GA

＋

GC

＋

CA

'＝

AC

＋

CA

'.∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

D

＝90°，

AD

＝

BC

＝6，

CD

＝

AB

＝8.

∴△

CGA

'的周長的最小值為10＋

CA

'.當

CA

'最小時，△

CGA

'的

周長最小.∵點

E

是

AD

的中點，∴

DE

＝

AE

＝

EA

'＝3.

∵

CA

'≥

CE

－

EA

'，

【點撥】翻折就會有定點、定長，將其放入三角形中利用三角

形三邊長關系解決.特殊平行四邊形中的最值問題一般有如下三

種：（1）兩定一動，動點在直線上的最值問題，

常常利用軸

對稱解決問題；（2）“兩動點之間距離”最小值問題，可轉(zhuǎn)化

為“一定一動”最值問題；（3）“一定一動”最值問題的關鍵

是找