河南省安陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

河南省安陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為，按照此規(guī)律，可知a16＝（）A．8 B．12 C．16 D．322．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4），則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（8，0） B．（4，0） C．（0，4） D．（0，8）3．（5分）某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加，若本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N（100，σ2），已知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）A．2400 B．1200 C．1000 D．8004．（5分）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且P（X＝3）＝P（X＝4）＞0，則＝（）A．39 B．50 C．63 D．685．（5分）已知的展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)，則實(shí)數(shù)a＝（）A．1 B． C． D．﹣16．（5分）已知橢圓，點(diǎn)M（0，1）關(guān)于直線l：y＝x+t的對(duì)稱點(diǎn)N在C上，且點(diǎn)M與N不重合，則t＝（）A． B． C． D．﹣17．（5分）為促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)游戲：甲、乙兩袋中裝有大小、材質(zhì)均相同的球，其中甲袋中為4個(gè)黑球和6個(gè)白球，乙袋中為3個(gè)黑球和5個(gè)白球．顧客要從甲袋中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙袋中，充分混合后，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出1個(gè)球，若從乙袋中取出的球是黑球，則獲得100元消費(fèi)券，否則獲得50元消費(fèi)券．則顧客獲得100元消費(fèi)券的概率為（）A． B． C． D．8．（5分）若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（6分）下列說(shuō)法中正確的是（）A．若P（N）＞0，則P（M|N）≥P（MN） B．若，則P（MN）＝0.32 C．若隨機(jī)變量，且D（3X+2）＝12，則E（3X+2）＝8 D．若隨機(jī)變量X的分布列為，則（多選）10．（6分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝5，a4+a5＝20，等比數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2b3＝32，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．?dāng)?shù)列{anbn}的前3項(xiàng)和為86 B．?dāng)?shù)列{（﹣1）nan}的前50項(xiàng)和為50 C．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則 D．若cn＝ln（bn+1+bn），則{cn}是公差為ln3的等差數(shù)列（多選）11．（6分）已知直線l：kx+y﹣k﹣1＝0過(guò)定點(diǎn)P，且與圓O：x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1） B．|AB|的最小值是 C．的最大值是0 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）某快餐廳推出一種雙人組合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯飲料，主食有5種可供選擇，飲料有4種可供選擇，且每份套餐中主食和飲料均不能重復(fù)，則這種雙人套餐的不同搭配有種．（用數(shù)字作答）13．（5分）設(shè)，則|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|＝．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x，過(guò)點(diǎn)P（1，m）且與曲線y＝f（x）相切的直線有3條，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）在數(shù)列{an}中，．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前12項(xiàng)和，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．16．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面為棱DC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AE⊥平面PBD；（Ⅱ）若F為棱PC的中點(diǎn)，求平面ABF與平面PBC的夾角的余弦值．17．（15分）某校組織全校學(xué)生參加“防范校園欺凌”知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的得分（滿分：100分）分成如下6組：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，繪制成頻率分布直方圖如下：（Ⅰ）求a的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均得分．（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（Ⅱ）若該校決定獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽得分排名前40%的學(xué)生，小明本次競(jìng)賽獲得78分，估計(jì)他能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)．（Ⅲ）從樣本中競(jìng)賽得分不低于80的學(xué)生中，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，再?gòu)膮⒓訉W(xué)習(xí)交流的學(xué)生中任選3人，記這3人中得分在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（17分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為M，虛軸的上端點(diǎn)為P，且．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直線l的斜率是C的斜率為正的漸近線的斜率的2倍，且l與C交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之和為，求l的方程．19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1﹣ax存在兩個(gè)零點(diǎn)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若當(dāng)x＞0時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為，按照此規(guī)律，可知a16＝（）A．8 B．12 C．16 D．32【解答】解：數(shù)列{an}的前5項(xiàng)依次為，因?yàn)?，，，，，所以按照此?guī)律，可知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為，所以．故選：A．2．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4），則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（8，0） B．（4，0） C．（0，4） D．（0，8）【解答】解：拋物線C：y2＝2px（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4），可得16＝2p，解得p＝8，所以拋物線C：y2＝16x，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．故選：B．3．（5分）某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加，若本次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)X服從正態(tài)分布N（100，σ2），已知數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）A．2400 B．1200 C．1000 D．800【解答】解：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則P（70≤X≤130）＝，故P（X≥130）＝，高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加，則此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為：．故選：B．4．（5分）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且P（X＝3）＝P（X＝4）＞0，則＝（）A．39 B．50 C．63 D．68【解答】解：∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且P（X＝3）＝P（X＝4）＞0，∴＝，∴，∴n＝3+4＝7，∴＝＝＝63．故選：C．5．（5分）已知的展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)，則實(shí)數(shù)a＝（）A．1 B． C． D．﹣1【解答】解：（x﹣）5展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為T(mén)r+1＝?x5﹣r?（﹣）r＝?（﹣2）r?x5﹣2r，令5﹣2r＝﹣3，解得r＝4，∴T5＝80x﹣3；令5﹣2r＝﹣1，解得r＝3，∴T4＝﹣80x﹣1；∴（ax3+x）（x﹣）5展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為80a+（﹣80）＝0，解得a＝1．故選：A．6．（5分）已知橢圓，點(diǎn)M（0，1）關(guān)于直線l：y＝x+t的對(duì)稱點(diǎn)N在C上，且點(diǎn)M與N不重合，則t＝（）A． B． C． D．﹣1【解答】解：不妨設(shè)N（x0，y0），由題意可得，即：y0＝1﹣x0，又，即，解得：y0＝1或y0＝t，又N不與M重合，y0＝t，故N（1﹣t，t），而N在橢圓C上．故，解得t＝1或，由于t＝1時(shí)N與M坐標(biāo)相同，故．故選：C．7．（5分）為促進(jìn)消費(fèi)，某商場(chǎng)推出抽獎(jiǎng)游戲：甲、乙兩袋中裝有大小、材質(zhì)均相同的球，其中甲袋中為4個(gè)黑球和6個(gè)白球，乙袋中為3個(gè)黑球和5個(gè)白球．顧客要從甲袋中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙袋中，充分混合后，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出1個(gè)球，若從乙袋中取出的球是黑球，則獲得100元消費(fèi)券，否則獲得50元消費(fèi)券．則顧客獲得100元消費(fèi)券的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)事件A表示從甲取出黑球放入乙袋，事件B表示從乙袋中取出黑球，事件C表示顧客獲得100元消費(fèi)券，則P（C）＝P（AB）+P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝+＝．故選：B．8．（5分）若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．【解答】解：令f（x）＝（0＜x＜1），則f′（x）＝＞0，故f（x）＝在（0，1）上單調(diào)遞增，又對(duì)任意＝恒成立，即?x∈（0，1），f（x）＜f（ex+2a）恒成立，所以?x∈（0，1），x＜ex+2a恒成立??x∈（0，1），lnx＜x+2a恒成立??x∈（0，1），lnx﹣x＜2a恒成立．令g（x）＝lnx﹣x（0＜x＜1），則g′（x）＝﹣1＝＞0，故g（x）＝lnx﹣x在（0，1）上單調(diào)遞增，所以g（x）＜g（1）＝﹣1，故2a≥﹣1，解得a≥﹣．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（6分）下列說(shuō)法中正確的是（）A．若P（N）＞0，則P（M|N）≥P（MN） B．若，則P（MN）＝0.32 C．若隨機(jī)變量，且D（3X+2）＝12，則E（3X+2）＝8 D．若隨機(jī)變量X的分布列為，則【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)?＜P（N）≤1，所以P（MN）＝P（M|N）P（N）≤P（M|N），故A正確；對(duì)于B，P（MN）＝P（M）﹣P（M）＝0.64﹣0.32＝0.32，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)镈（3X+2）＝9D（X）＝12，所以D（X）＝，所以n×＝，解得n＝6，所以E（X）＝n×＝6×＝2，所以E（3X+2）＝3E（X）+2＝3×2+2＝8，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列為，所以P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以E（X）＝0×＝，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．（多選）10．（6分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝5，a4+a5＝20，等比數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2b3＝32，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．?dāng)?shù)列{anbn}的前3項(xiàng)和為86 B．?dāng)?shù)列{（﹣1）nan}的前50項(xiàng)和為50 C．若數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則 D．若cn＝ln（bn+1+bn），則{cn}是公差為ln3的等差數(shù)列【解答】解：等差數(shù)列{an}的公差設(shè)為d，由a2＝5，a4+a5＝20，可得a1+d＝5，2a1+7d＝20，解得a1＝3，d＝2，即有an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，等比數(shù)列{bn}的公比設(shè)為q，由b1＝2，b2b3＝32，可得4q3＝32，解得q＝2，則bn＝2n，數(shù)列{anbn}的前3項(xiàng)和為3×2+5×4+7×8＝82，故A錯(cuò)誤；數(shù)列{（﹣1）nan}的前50項(xiàng)和為﹣3+5﹣7+9﹣...﹣99+101＝2×25＝50，故B正確；由＝＝（﹣），數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n＝（﹣+﹣+...+﹣）＝（﹣）＜，故C正確；cn＝ln（bn+1+bn）＝ln（2n+1+2n）＝ln3+nln2，則{cn}是公差為ln2的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：BC．（多選）11．（6分）已知直線l：kx+y﹣k﹣1＝0過(guò)定點(diǎn)P，且與圓O：x2+y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A．點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1） B．|AB|的最小值是 C．的最大值是0 D．【解答】解：根據(jù)題意，圓O：x2+y2＝4的圓心為O（0，0），半徑r＝2．對(duì)于A，直線kx+y﹣k﹣1＝0，可化為y﹣1＝﹣k（x﹣1），表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），斜率為﹣k的直線，因此直線l：kx+y﹣k﹣1＝0過(guò)定點(diǎn)P（1，1），A項(xiàng)正確；對(duì)于B，當(dāng)OP⊥l時(shí)，直線l到圓心O的距離d＝|OP|＝達(dá)到最大值，此時(shí)|AB|＝＝，可知|AB|的最小值是，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，＝||?||cos∠AOB＝4cos∠AOB，當(dāng)直線l與OP垂直時(shí)，△ABO是直角三角形，此時(shí)∠AOB＝90°達(dá)到最小值，可知cos∠AOB的最大值是0，＝4cos∠AOB＝0同時(shí)達(dá)到最大值，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連接OM，則OM⊥AB，可得＝（）?（）＝（）?（）＝||2﹣||2＝（||2﹣||2）﹣（||2﹣||2）＝||2﹣||2＝（）2﹣r2＝2﹣4＝﹣2，故D項(xiàng)正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（5分）某快餐廳推出一種雙人組合套餐，每份套餐包括2份主食和2杯飲料，主食有5種可供選擇，飲料有4種可供選擇，且每份套餐中主食和飲料均不能重復(fù)，則這種雙人套餐的不同搭配有60種．（用數(shù)字作答）【解答】解：先從5種主食中選2種，有＝10種選法，再?gòu)?種飲料中選2種，有＝6種選法，所以共有10×6＝60種不同的搭配．故答案為：60．13．（5分）設(shè)，則|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|＝728．【解答】解：∵（﹣2x+1）6＝（2x﹣1）6＝a0+a1x+a2x2+a3x3+...+a6x6，∴當(dāng)x＝0時(shí)，a0＝1，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a0﹣a1+a2﹣a3+...+a6＝36＝729．∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|＝﹣a1+a2﹣a3+...+a6＝729﹣1＝728．故答案為：728．14．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣3x，過(guò)點(diǎn)P（1，m）且與曲線y＝f（x）相切的直線有3條，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣3，﹣1）．【解答】解：設(shè)切點(diǎn)為P（t，2t3﹣3t），由f（x）＝2x3﹣3x，得f′（x）＝6x2﹣3，∴過(guò)切點(diǎn)的切線方程為y﹣（2t3﹣3t）＝（6t2﹣3）（x﹣t），將點(diǎn)P（1，m）代入該切線方程，得m﹣（2t3﹣3t）＝（6t2﹣3）（1﹣t），整理得：m＝﹣4t3+6t2﹣3，由題意可得，方程m＝﹣4t3+6t2﹣3有三個(gè)不等實(shí)數(shù)根，即y＝m與y＝﹣4t3+6t2﹣3有三個(gè)交點(diǎn)，設(shè)g（t）＝﹣4t3+6t2﹣3，則g′（t）＝﹣12t（t﹣1），∴當(dāng)t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）時(shí)，g′（t）＜0；當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，g′（t）＞0，∴g（t）在（﹣∞，0）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在t∈（0，1）上單調(diào)遞增，∴g（t）的極小值為g（0）＝﹣3，g（t）的極大值為g（1）＝﹣1．要使y＝m與y＝﹣4t3+6t2﹣3有三個(gè)交點(diǎn)，則m∈（﹣3，﹣1）．故答案為：（﹣3，﹣1）．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）在數(shù)列{an}中，．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前12項(xiàng)和，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．【解答】解：（Ⅰ）由a1+++...+＝，得a1+++...+＝（n≥2），兩式相減得＝，即an＝（n≥2），又a1＝滿足上式，所以an＝（n∈N*）；（Ⅱ）根據(jù)題意，b1＝[]＝0，b2＝b3＝1，b4＝2，b5＝b6＝3，b7＝4，b8＝b9＝5，b10＝6，b11＝b12＝7，所以{bn}的前12項(xiàng)和為T(mén)12＝0+2×1+2+3×2+4+5×2+6+7×2＝42．16．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面為棱DC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AE⊥平面PBD；（Ⅱ）若F為棱PC的中點(diǎn)，求平面ABF與平面PBC的夾角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）證明：如圖：由題意，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（），B（），D（0，0，0），P（0，0，），E（0，1，0），C（0，2，0），所以，，，顯然，＝0，所以AE⊥DB，AE⊥DP，且DB∩DP＝D，所以AE⊥平面PBD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，設(shè)平面ABF的法向量為＝（x，y，z），則，可得一個(gè)法向量＝，同理可得平面PBC的一個(gè)法向量為：＝（0，），設(shè)平面ABF與平面PBC的夾角為θ，則cosθ＝|cos＜＞|＝＝＝．17．（15分）某校組織全校學(xué)生參加“防范校園欺凌”知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，將他們的得分（滿分：100分）分成如下6組：[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]，繪制成頻率分布直方圖如下：（Ⅰ）求a的值，并估計(jì)這100名學(xué)生的平均得分．（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（Ⅱ）若該校決定獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽得分排名前40%的學(xué)生，小明本次競(jìng)賽獲得78分，估計(jì)他能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)．（Ⅲ）從樣本中競(jìng)賽得分不低于80的學(xué)生中，按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取10人進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，再?gòu)膮⒓訉W(xué)習(xí)交流的學(xué)生中任選3人，記這3人中得分在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）由題可得（0.01+a+0.02+0.03+a+0.01）×10＝1，解得a＝0.015，估計(jì)這100名學(xué)生的平均得分為45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅱ）設(shè)競(jìng)賽得分排名前40%的最低成績(jī)?yōu)閙，則0.01×10+0.015×10+（80﹣m）×0.03＝0.4，解得m＝75，因?yàn)?8＞75，所以估計(jì)小明能獲得獎(jiǎng)勵(lì)；（Ⅲ）根據(jù)題意，參加學(xué)習(xí)交流的10人中得分在[80，90）內(nèi)的人數(shù)為，在[90，100]內(nèi)的人數(shù)為4，所以X的所有可能取值為0，1，2，3，所以，，，，所以X的分布列為：x0123P所以E（X）＝0×＝．18．（17分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為M，虛軸的上端點(diǎn)為P，且．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直線l的斜率是C的斜率為正的漸近線的斜率的2倍，且l與C交于A，B兩點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之和為，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）不妨設(shè)雙曲線C的半焦距為c（c＞0），因?yàn)?，，所以，，解得b＝1，，則a2＝c2﹣b2＝5﹣1＝4，故C的方程為；（Ⅱ）易知P（0，1），因?yàn)镃的斜率為正的漸近線的斜率為，所以直線l的斜率為1，不妨設(shè)直線l的方程為y＝x+t，A（