湖南省張家界市2023-2024學年高一下學期5月階段檢測數(shù)學試題

湖南省張家界市2023-2024學年高一下學期5月階段檢測卷數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回地隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率為（）A． B． C． D．3．已知是兩條直線，是兩個平面，則的一個充分條件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，4．如圖，點是的重心，點是邊上一點，且，，則（

）A． B． C． D．5．宋代是中國瓷器的黃金時代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個圓臺拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是12厘米，中間圓的直徑是20厘米，上底面圓的直徑是8厘米，高是14厘米，且上、下兩圓臺的高之比是，則該汝窯雙耳罐的體積是（

）A． B． C． D．6．從甲隊60人、乙隊40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊共抽取10人，進行一輪答題．相關(guān)統(tǒng)計情況如下：甲隊答對題目的平均數(shù)為1，方差為1；乙隊答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.4，則這10人答對題目的方差為（

）A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.827．某工業(yè)園區(qū)有、、共3個廠區(qū)，其中，，，現(xiàn)計劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇處建一倉庫，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．已知是邊長為4的等邊三角形，AB為圓M的直徑，若點P為圓M上一動點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設，，為復數(shù)，，下列命題中正確的是（

）A．若則 B．若則C．若則 D．10．已知獨立的事件、滿足，則下列說法錯誤的是（

）A．一定小于；B．可能等于；C．事件和事件不可能相互獨立；D．事件和事件可以相互獨立.11．已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為，則（

）A．圓臺的母線與底面所成的角為B．圓臺的側(cè)面積為C．圓臺的體積為D．若圓臺的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在中，是的中點，，，，則．13．某武警大隊共有第一、第二、第三三支中隊，人數(shù)分別為30，30，40.為了檢測該大隊的射擊水平，從整個大隊用按比例分配分層隨機抽樣共抽取了30人進行射擊考核，統(tǒng)計得三個中隊參加射擊比賽的平均環(huán)數(shù)分別為8.8，8.5，8.1，估計該武警大隊隊員的平均射擊水平為環(huán)．14．如圖所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一條直角邊在平面內(nèi)，另一條直角邊長為且，若平面上存在點，使得的面積為，則線段長度的最小值為．

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．設復數(shù)．(1)在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點在實軸上，求；(2)若是純虛數(shù)，求.16．已知向量，，(1)求；(2)求滿足的實數(shù)m，n的值；(3)若，求實數(shù)k的值．17．已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，且．(1)求的值；(2)若，且的面積為，求．18．本學期初，某校對全校高二學生進行數(shù)學測試（滿分100），并從中隨機抽取了100名學生的成績，以此為樣本，分成，得到如圖所示頻率分布直方圖.(1)估計該校高二學生數(shù)學成績的平均數(shù)和分位數(shù)；(2)為進一步了解學困生的學習情況，從數(shù)學成績低于70分的學生中，分層抽樣6人，再從6人中任取2人，求此2人分數(shù)都在的概率.19．如圖，為一個平行六面體，且，，.(1)證明：直線與直線垂直；(2)求點到平面的距離；(3)求直線與平面的夾角的余弦值.參考答案：1．D【分析】對復數(shù)進行分母實數(shù)化，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得結(jié)果.【詳解】，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標是，位于第四象限．故選：D2．A【分析】根據(jù)題意，先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之和是5的倍數(shù)的情況，結(jié)合古典概型求概率，即可求解．【詳解】從6張卡片中無放回地隨機抽取2張，有共15種情況，其中數(shù)字之和為5的倍數(shù)的有共3種情況，所以所求的概率為.故選：A.3．C【分析】在A中，a與b可以成任意角；在B中a與b是平行的；在C中，可得b⊥α，從而得到；在D中，可得a與b可以成任意角，從而得到正確結(jié)果.【詳解】由a，b是兩條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，在A中，，因為b的方向不確定，則a與b可以成任意角，故A錯誤；在B中，根據(jù)對應的性質(zhì)可知，可知a與b是平行的，故B錯誤；在C中，由可知，由線面垂直的性質(zhì)可知，故C正確；在D中，，因為b的方向不確定，可得a與b可以成任意角，故D錯誤．故選：C.4．C【分析】延長交于，根據(jù)題意，得到且，再由，可得是的四等分點，根據(jù)向量的運算法則，求得，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，延長交于，由已知為的重心，則點為的中點，可得，且，又由，可得是的四等分點，則，因為，所以，，所以．故選：C.5．D【分析】求出上下圓臺的高，利用臺體體積公式求出答案.【詳解】上、下兩圓臺的高之比是，故上圓臺的高為厘米，下圓臺的高為厘米，故上圓臺的體積為立方厘米，下圓臺的體積為立方厘米，故該汝窯雙耳罐的體積為立方厘米.故選：D6．D【分析】根據(jù)分層抽樣的均值與方差公式計算即可.【詳解】根據(jù)題意，按照分層抽樣的方法從甲隊中抽取人，從乙隊中抽取人，這人答對題目的平均數(shù)為，所以這人答對題目的方差為.故選：D.7．B【分析】設，，利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等變換公式及三角函數(shù)的性質(zhì)求出，即可得解.【詳解】法一：設，，則，，在中由正弦定理，即，所以，在中，（其中），所以當時，所以最小值為．法二：如圖，因為，所以點在如圖所示的圓上，圓的直徑為，由圓周角的性質(zhì)可得，所以，．連接，可得（當為與圓的交點時取等號）．在中，，，，根據(jù)余弦定理可知，即，所以的最小值為．故選：B8．D【分析】由題意得，然后利用數(shù)量積的運算律和計算公式計算即可.【詳解】如圖所示

由圖像可知，與夾角的范圍為，所以,所以.故選：D.9．ABD【分析】對于A，化成，結(jié)合復數(shù)相等的知識即可求解；對于B，利用復數(shù)代數(shù)形式求解即可；對于C，舉出反例即可；對于D，利用復數(shù)的向量表示作圖即可判斷.【詳解】設（），對于A，若，則，因為，結(jié)合復數(shù)相等的知識，所以，所以選項A正確；對于B，由，所以，所以，，，同理：，所以，所以選項B正確；對于C，令，，但是，所以選項C錯誤；對于D，設分別表示復數(shù)，

由，若不共線時，如圖：，即，

若共線且反向時，如圖：易知，

若共線且同向時，如圖：易知，綜上：，所以選項D正確.故選：ABD.10．BC【分析】利用獨立事件的定義和性質(zhì)可判斷正確，錯誤；根據(jù)事件與，與，與，與都相互獨立，利用相互獨立事件概率公式計算即可.【詳解】且相互獨立，則，,正確.∵表示事件至少發(fā)生一個，表示事件同時發(fā)生，∴，∴不能等于，錯誤.若，則，此時，∵.∴.∴移項得.∴事件與相互獨立，同理可知事件與，與也都相互獨立.∴事件和可能相互獨立，事件和可能相互獨立，錯誤，正確.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵是已知獨立事件、，可推出事件與，與，與，與都相互獨立.11．ABD【分析】選項A，先求出圓臺的高，進而求出圓臺的母線與底面所成的角即可；選項B，由圓臺的側(cè)面積公式求解即可；選項C，由圓臺的體積公式求解即可；選項D，設球心到下底面的距離為，由勾股定理得，求解即可.【詳解】對于A，因為圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線為，所以圓臺的高為：，根據(jù)線面角定義求出母線與底面所成角，A正確；對于B，由圓臺的側(cè)面積公式，求得圓臺的側(cè)面積為：，B正確；對于C，由圓臺的體積公式，求得圓臺體積為：，C錯誤；對于D，由題意可知球心在下底面下方，設球心到下底面的距離為，由勾股定理得，解得，則該球的半徑為，所以該球的表面積為，D正確．故選：ABD.12．【分析】先在中利用正弦定理解得，再利用余弦定理解得，最后利用余弦定理求出結(jié)果.【詳解】因為在中，，所以，由正弦定理得：，又因為，，所以，解得，再由余弦定理可得：，代入已知數(shù)據(jù)得：，，解得，因為是的中點，所以，再由余弦定理可得：，代入已知數(shù)據(jù)可得：，則．故答案為：.13．【分析】先得到第一，第二，第三中隊參加考核人數(shù)，估計求出參加考核的30人的平均射擊環(huán)數(shù).【詳解】該武警大隊共有（人），按比例分配得第一中隊參加考核人數(shù)為；第二中隊參加考核人數(shù)為；第三中隊參加考核人數(shù)為，所以參加考核的30人的平均射擊環(huán)數(shù)為，所以估計該武警大隊隊員的平均射擊水平為環(huán)．故答案為：14．/【分析】由題意，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，利用線面垂直的性質(zhì)可得，進而，由三角形的面積公式可得，即可求解.【詳解】在中，，則，又平面，平面平面，所以平面，連接，，所以，得，設（），則，即，得，當即即時，取到最小值1，此時取到最小值.故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是利用勾股定理和三角形面積公式計算得到、，而，即為所求.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復數(shù)是實數(shù)，求，再根據(jù)復數(shù)的乘法運算公式，即可求解；（2）首先利用復數(shù)除法運算公式化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的特征，即可求解，最后代入模的計算公式.【詳解】（1）由，得，而由已知是實數(shù)，于是，解得，所以；（2）依題意，是純虛數(shù)，因此，解得，所以，.16．(1)(2)(3)【分析】（1）利用平面向量的坐標求模即可；（2）根據(jù)題意列方程組即可求解；（3）結(jié)合平面向量的坐標運算利用平面向量的平行關(guān)系求參數(shù)即可.【詳解】（1）.（2）由，得，解得.（3），，因為，所以，解得.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為求解；（2）由三角形的面積可得，由余弦定理，可得，從而可得答案.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，∴可等價轉(zhuǎn)化為，其中，故．∴，即，因為，所以.（2）因為，所以，由余弦定理可得即，所以，所以.18．(1)平均數(shù)為75.5，分位數(shù)為88；(2).【分析】（1）由頻率分布直方圖的面積和為1求出后，再由平均數(shù)，百分數(shù)的算法求出即可；（2）利用分層抽樣和古典概率的算法求出即可；【詳解】（1）由，解得.該校高三學生期初數(shù)學成績的平均數(shù)為.前3組的頻率和為，所以分位數(shù)為.（2）分層抽樣抽取的6人中，的有人，記為的有人，記為，從6人中任取2人，基本事件有，共15種，其中2人分數(shù)都在的有共6種，所以從6人中任取2人，分數(shù)都在的概率為.19．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用垂直關(guān)系的向量表示求即可證明.（2）由已知條件得三棱錐為正四面體，再利用正四