天津市南開中學2024屆高三下學期模擬檢測數(shù)學試卷

南開中學2024屆高三模擬檢測數(shù)學學科試卷考試時間：120分鐘本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共150分．考試結(jié)束后，請交回答題卡．第Ⅰ卷一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．在復平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，，則P是q的（）條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．下列圖象中，不可能成為函數(shù)的圖象的是（）A． B．C． D．4．已知，，，則實數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．已知正方體的外接球的體積為，點E為棱AB的中點，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．6．雙曲線和拋物線的公共焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，若AB中點的橫坐標為6，則（）A．16 B．12 C．10 D．87．如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài)。圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，不正確的是（）A．圖（1）的平均數(shù)＝中位數(shù)＝眾數(shù) B．圖（2）的眾數(shù)＜中位數(shù)＜平均數(shù)C．圖（2）的平均數(shù)＜眾數(shù)＜中位數(shù) D．圖（3）的平均數(shù)＜中位數(shù)＜眾數(shù)8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的值域為，則m的取值范圍為（）A． B． C． D．9．數(shù)列各項均為實數(shù)，對任意滿足，定義：行列式且行列式為定值，則下列選項中不可能的是（）A．， B．，C．， D．，第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）10．若直線與圓交于A，B兩點，則______．11．在的展開式中，的系數(shù)為，則實數(shù)a為______．12．一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個．每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不再放回，設(shè)第1，2，3次都摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為；求______．13．為了考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病服用t50未服用50合計8020100在本次考察中，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，得出“藥物有效”的結(jié)論，則t的最小值為______（其中且'）（參考數(shù)據(jù)：，）附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．已知正△4BC的邊長為，中心為O，過O的動直線l與邊AB，AC分別相交于點M、N，，，．（1）若，則______．（2）△AMN與△ABC的面積之比的最小值為______．15．已知函數(shù)若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)a的取值范圍是______．三、解答題（本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）16．（本小題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c．已知，，（1）求c的值：（2）求的值；（3）求的值．17．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，CD⊥AD，，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，．（1）若點E是邊AB的中點，點F是邊PC的中點，求異面直線BC，EF所成角的余弦值：（2）求平面PAC和平面PAD的夾角的余弦值：（3）在棱PC上是否存在點M，使得BM⊥平面PCD？若存在，求的值？若不存在，說明理由．18．（本小題滿分15分）已知橢圓的左、右頂點分別為，，左右焦點分別為，，離心率為，，O為坐標原點．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過點的直線，與橢圓分別交于點M，N．①求證：直線MN過x軸上的定點；②求△OMN的面積S的最大值．19．（本小題滿分15分）已知函數(shù)．（1）如果1和是的兩個極值點，且的極大值為3，求的極小值；（2）當時，討論的單調(diào)性；（3）當時，且函數(shù)在區(qū)間上最大值為2，最小值為．求的值．20．（本小題滿分16分）設(shè)集合，其中．把集合A中所有的數(shù)從小到大排列成數(shù)列，數(shù)列的前n項和為．例如：當時，，，，，…，．（1）寫出，，并求；（2）判斷88是否為數(shù)列中的項．若是，求出是第幾項：若不是，請說明理由；（3）若2024是數(shù)列中的某一項，求，及的值．2024屆南開中學高三數(shù)學校模擬參考答案一、選擇題123456789BBCADACDB二、填空題10． 11． 12． 13．4614．； 15．三、解答題16．解：（1）因為，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因為，所以，故，又，所以，，而，所以，故．17．解：（1）取AD中點O，連接OP，OB因為，所以PO⊥AD因為平面PAD⊥平面ABCD，平面平面因為平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以，PO⊥OB因為CD⊥AD，，，所以，所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)B⊥AD如圖建立空間直角坐標系O-xyz，則，，，，，，，．設(shè)異面直線BC，EF所成角為，，，則．（2），．設(shè)平面PAC的法向量為，則即令，則，．所以．因為平面PAD的法向量，設(shè)平面PAC與平面PAD的夾角為，則．（3）設(shè)M是棱PC上一點，則存在使得．設(shè)，則，．所以．所以，，．所以．所以．因為AP⊥PD，AP⊥CD，，CD，平面PCD所以PA⊥平面PCD．所以是平面PCD的一個法向量，若BM⊥平面PCD，則．所以，因為方程組無解，所以在棱PC．上不存在點M，使得BM⊥平面PCD．18．解：（1）離心率為，，，，，則，橢圓C的方程為：（2）①由（1）得，，直線，的方程分別為：，由，得，可得，，由，可得，可得，，，直線MN的方程為：，可得直線MN過定點，②設(shè)MN的方程為：，由得，設(shè)，，則，，的面積令，，則，，且函數(shù)在遞增，當，即時，S取得最大值．19．解：（1）因為，所以，因為1和是的兩個極值點，所以1和是方程的兩根，故，解得，即，所以，因為時，，當時，，所以在區(qū)間，上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減，所以，解得，所以．（2）當時定義域為R，又，令，解得或，①若，則當時，，當時，．故在區(qū)間，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②若，則恒成立，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；③若，則當時，；當時．故在區(qū)間，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當時在區(qū)間，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時在區(qū)間單調(diào)遞增；當時在區(qū)間，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）當時，，由題意得：，即，①，即，②由①、②可知，，③因為，，，，所以有兩個實數(shù)根，，且，當時，，當時，，故是的極大值點，是的極小值點，由題意得，，即，兩式同向相加得：，④注意到，，，代入④得，由③可知，，則，，所以，，所以，所以，當且僅當，即，又，所以，時成立，所以，從而．20．解：（1）因為，此時，，，．（2）當時，，，88是數(shù)列中的項，比它小的項分別有，，，個，有，，，個，有，，，個，所以比88小的項共有個，故88是數(shù)列的第30項．（3），是數(shù)列中的項，故，則當時，，方法-：比它小的項分別有以下7種情況