2022北京朝陽區(qū)高二下學期期末數(shù)學試題和答案

2022北京朝陽高二（下）期末數(shù)學一、選擇題（本大題共小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．已知集合A=?1，0，，B={x|x(x?，則A)A．B．C．D．，2．已知ab0，則下列不等式中成立的是()11A．2a2bB．a(chǎn)bb2C．a(chǎn)2b2D．a(chǎn)b3．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在(0,+)上單調(diào)遞增的是()1A．y=2xB．y=x+C．y=x|x|D．y=ln|x|x4．已知一組樣本數(shù)據(jù)(x，y)，(x，y)，，(x，y)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)的散點圖分析x與y之間的線性相關關1122nn系，若求得其線性回歸方程為?=0.85x?85.7，則在樣本點57)處的殘差為()A．?2.45B．2.45C．3.45D54.555．在抗擊新冠疫情期間，有6名男生和5名女生共名大學生報名參加某社區(qū)疫情防控志愿服務，現(xiàn)從6名男生中選出2名組成一個小組，從5名女生中選出2名組成一個小組，在周日的上午和下午各安排一個小組值班，則不同的排班種數(shù)為(A75)B．C．D6006．“?2m2”是“x2?+10在x+)上恒成立的()A．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件7．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．曲線y=f(x)在點(2，f(處的切線斜率小于零B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(上單調(diào)遞增C．函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(內(nèi)至多有兩個零點8．為了了解居家學習期間性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校隨機抽取了名學生進行調(diào)查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的22列聯(lián)表：性別鍛煉情況合計不經(jīng)常女生/人14男生/人合計/人22經(jīng)常7211940818n(ad?bc)2注：2獨立性檢驗中，2=，n=a+b+c+d．常用的小概率值和相應的臨界值如表：(a+b)(c+d)(a+cb+d)0.10.053.8410.010.0057.8790.0012.7066.63510.828根據(jù)這些數(shù)據(jù)，給出下列四個結(jié)論：①依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響；②依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響；③根據(jù)小概率值=0.05的獨立性檢驗，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，這個推斷犯錯誤的概率不超過0.05；④根據(jù)小概率值=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響．其中，正確結(jié)論的序號是()A．①③B．①④C．②③D．②④9．若對任意x[0，]都有m成立，其中m，M為實數(shù)，則M?m的最小值為()3A．B．1+C．+D．3+32633?ax,xx10．已知函數(shù)f(x)=若存在唯一的整數(shù)x，使得0成立，則所有滿足條件的整數(shù)a的2|x+1|x3f(x)?2取值集合為()A．2，?1，0，，B．2，?1，0，C．1，01，D．1，，二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）．計算：23+15?5=．933112．在(x2+)5的展開式中，x的系數(shù)為；各項系數(shù)之和為x13．在一組數(shù)據(jù)03，，7，中加入一個整數(shù)a得到一組新數(shù)據(jù)，這組新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比平均數(shù)不增大且方差減小，則a的一個取值為．14．已知某地只有A，B兩個品牌的計算機在進行降價促銷活動，售后保修期為1年，它們在市場的占有率之比為3:2．根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，這兩個品牌的計算機在使用一年內(nèi)，A品牌有5%需要維修，B品牌有6%需要維修．若某人從該地隨機購買了一臺降價促銷的計算機，則它在一年內(nèi)不需要維修的概率為．15．設函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且滿足f+x)=f?x)，f(4+x)+f(4?x)=0，當x(0，2]時，f(x)=x2?2x．則f（3）=；當x7)時，f(x)的取值范圍為．16．激活函數(shù)是神經(jīng)網(wǎng)絡模型的重要組成部分，是一種添加到人工神經(jīng)網(wǎng)絡中的函數(shù)．tanh函數(shù)是常用的激活函數(shù)2之一，其解析式為f(x)=?1．關于tanh函數(shù)的以下結(jié)論：1+e?2x①tanh函數(shù)是增函數(shù)；②tanh函數(shù)是奇函數(shù)；③對于任意實數(shù)a，函數(shù)y|f(x)|?ax?1至少有一個零點；④曲線y=f(x)不存在與直線x+2y=0垂直的切線．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題（本大題共5小題，共分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17分）某數(shù)學教師組織學生進行線上說題交流活動，規(guī)定從8道備選題中隨機抽取題目作答．假設在8道備2選題中，學生甲能答對每道題的概率都是，且每道題答對與否互不影響，學生乙、丙都只能答對其中的6道題．3（Ⅰ）若甲、乙兩人分別從8道備選題中隨機抽取1道作答，求至少有1人能答對的概率；（Ⅱ）若學生丙從8道備選題中隨機抽取2道作答，以X表示其中丙能答對的題數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望E(X)．118分）已知函數(shù)f(x)=ln?x)?．x（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1，f(?處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間．19分）第屆冬季奧林匹克運動會于年2月日在北京圓滿閉幕，這是一次創(chuàng)造諸多第一”會．某學校為了了解學生收看北京冬奧會的情況，隨機調(diào)查了名學生，獲得他們?nèi)站湛幢本┒瑠W會的時長數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分成6組：[0，，(0.5，，，，，2]，(2，，(2.5，3]，并整理得到如下頻率分布直方圖：假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替．（Ⅰ）試估計該校學生日均收看北京冬奧會的時長的平均值；（Ⅱ）以頻率估計概率，從全校學生中隨機抽取3人，以X表示其中日均收看北京冬奧會的時長在，的學生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E(X)；（Ⅲ）經(jīng)過進一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這名學生收看北京冬奧會的方式有：①收看新聞或收看比賽集錦，②收看比賽轉(zhuǎn)播或到現(xiàn)場觀看．他們通過這兩種方式收看的日均時長與其日均收看北京冬奧會的時長的比值如表：日均收看北京冬奧會的時長/小時通過方式①收看通過方式②收看[0，10(0.5，2313，3]1323日均收看北京冬奧會的時長在[0，，(0.5，，，3]的學生通過方式①收看的平均時長分別記為1，，，寫出，，2312320分）已知函數(shù)f(x)=?ax(aR)．x（Ⅰ）若y=f(x)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱa=1時，判斷0是否為函數(shù)f(x)的極值點，并說明理由；（Ⅲ）若存在三個實數(shù)xxx，滿足f(x)=f(x)=f(x)，求實數(shù)a的取值范圍．12312321．（14分）已知集合＝{kN*}A＝aa，?a}，其中N*n．若A?，12n且對集合A中的任意兩個元素a，a，≠，都有，則稱集合A具有性質(zhì)P．ij（Ⅰ）判斷集合{，，，，}是否具有性質(zhì)P；并另外寫出一個具有性質(zhì)P且含5個元素的集合；（Ⅱ）若集合A＝{a，a?，a}具有性質(zhì)．12n（）求證：（a﹣a）的最大值不小于；ij（）求n的最大值．參考答案一、選擇題（本大題共小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1B，再結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：A=?1，0，，B={x|x(x?，則A，．故選：D．【點評】本題主要考查交集的定義，屬于基礎題．2【解答】解：對于A，y=2對于B，ab兩邊同乘一個負數(shù)b，故bx在R上單調(diào)遞增，所以2a2，故A正確．b2，故B錯誤．對于C，對于D，故選：A．0，|a|b|，所以a2b2，故C錯誤．110，，故D錯誤．a(chǎn)b【點評】本題主要考查不等式性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎題．3【解答】解：對于A，y=2x為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；1對于B，y=x+為奇函數(shù)，但在上為減函數(shù)，不符合題意；xx,x2對于C，y=x|x=，為奇函數(shù)，且在(0,+)上單調(diào)遞增，符合題意；?x,x02對于D，y=ln|x|為偶函數(shù)，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷，熟練掌握常見函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵，屬于基礎題．4x=165求得預測值，減去實際值即可得到殘差．【解答】解：把x=165代入?=0.85x?85.7，得?=0.85165?85.7=54.55，則在樣本點57)處的殘差為54.55?57=?2.45．故選：A．【點評】本題考查線性回歸方程的應用，考查殘差的求法，是基礎題．56名男生中選出2名組成一個小組，從5名女生中選出2名組成一個小組的種數(shù)，再將其分配到上午和下午，相乘即可．【解答】解：先分組，共有6252種分組方法，再分配到上午和下午，共22有種分配方法，故共有6故選：C．252A22=300種，【點評】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，屬于基礎題．6m的取值范圍，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解．【解答】解：+10在x+)上恒成立，1mx+在x+)上恒成立，x1當x+)時，x+2，即m2，x“?2m2”是“x故選：A．2?+10在x+)上恒成立”的充分不必要條件．【點評】本題主要考查充分條件、必要條件的定義，以及分離變量法，屬于基礎題．7【解答】解：逐一考查所給的說法：A．曲線y=f(x)在點(2，f(處的切線斜率等于零，選項A錯誤；B．函數(shù)f(x)在區(qū)間(上單調(diào)遞減，選項B錯誤；C．函數(shù)f(x)在x=1左右兩側(cè)都單調(diào)遞減，函數(shù)在此處不取得極大值，選項C錯誤；D．函數(shù)f(x)在區(qū)間(先單調(diào)遞增，再單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)內(nèi)至多有兩個零點，選項D正確．故選：D．【點評】本題主要考查導函數(shù)與原函數(shù)之間的關系，利用導數(shù)圖像確定原函數(shù)性質(zhì)的方法等知識，屬于基礎題．83.841比較即可根據(jù)小概率值=0.05的獨立性檢驗判斷．713【解答】解：由表可知，女生有人，其中經(jīng)常鍛煉的有7人，頻率為=，2111男生有人，其中經(jīng)常鍛煉的有人，頻率為，19111913因為，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，故①正確，②錯誤；4011?72119221822=2.4313.841，所以根據(jù)小概率值=0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響，故④正確，③錯誤．故選：B．【點評】本題考查了獨立性檢驗的應用，屬于中檔題．9f(x)=sin2x?x，利用導數(shù)求出f(x)在[0，]的最值即可求解．【解答】解：令f(x)sin2xx，，，x[0]=?則f(x)=2cos2x?1，由f(x)0可得0，或x，6由f(x)0可得x，66所以f(x)在)，(，)單調(diào)遞增，在(，)單調(diào)遞減，666633所以f(x)在x=取得極大值為f()=?，在x=取得極小值為f()=??，66266626又f(0)=0，f)=，33所以f(x)max=?，f(x)min=??，2626因為對任意x[0，]都有m成立，33所以，m，M，6233所以，M?m故選：D．)?(??)=3+，即M?m的最小值為3+．2633【點評】本題考查了導數(shù)的應用，考查了三角函數(shù)的最值的應用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．10g(x)=3f(x)的圖象，由不等式的幾何意義：曲線上一點與(a,2)連線的直線斜率小于0，結(jié)合圖象即可求得a范圍．33x,x【解答】解：令g(x)=3f(x)=作出g(x)的圖象如圖所示：6|x+1|xx?a3f(x)?2g(x)?2x?a0等價于0，表示點(x，g(x與點(a,2)所在直線的斜率，可得曲線g(x)上只有一個整數(shù)點(x，g(x與(a,2)所在的直線斜率小于0，而點(a,2)在直線y=2上運動，由g(?2)=0，g(?=6，g(0)=0可知當2?時，(x)?2x?ag(x)?2x?a只有點(0,0)滿足0，當0a1時，只有點(6)滿g(x)?20，當a1時，至少有(6)，滿足當a?2時，至少有(0,0)，(滿足0，不滿足唯一整數(shù)點，故舍去，x?ag(x)?2x?a0，不滿足唯一整數(shù)點，故舍去，因為a為整數(shù)，故a可取2，?1，，，?01故選：B．【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）15【解答】解：原式=23+15?5=3+log3=9+3=1+1=2，93293395故答案為：2．【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎題．12r=3，可得x的系數(shù)；各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)和相等，即為2n．1【解答】解：展開式的通項公式為r15=r(x2)5?r()r=5rx10?3r，r=0，1...，5，x令r=3，可得x的系數(shù)為53=20；各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)和相等，即為25=．【點評】本題考查二項式展開式的項，考查各項系數(shù)和，考查學生計算能力，屬于基礎題．130+3+5+7+10【解答】解：由題意得，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)=5，51原數(shù)據(jù)的方差為[(0?2+?2+?2+(7?2+?]=11.6，250+3+5+7+10+a25+a新數(shù)據(jù)的平均數(shù)x==，解得a，aZ，661新數(shù)據(jù)的方差為[(0?x)2+?x)2+(a?x)2+?x)2+(7?x)2+?x)]261585=[6x2?+2a)x+183+a]26+a將x=代入得，a2?10a11.80，+6287287解得：a?，5+)，5528759，15?1.4，所以a，3，，，故答案為：2（答案不唯一，，，4，【點評】本題考查了求平均數(shù)與方差的問題，記住平均數(shù)與方差的公式是解題的關鍵．14【解答】解：某人從該地隨機購買了一臺降價促銷的計算機，設買到的計算機是A品牌為事件A，買到的計算機是B品牌為事件B，325則由題可知PA）=，P（B）=，5從品牌中購買一個，設買到的計算機一年內(nèi)不需要維修為事件C，從B品牌中購買一個，設買到的計算機一年內(nèi)不需要維修為事件D，則由題可知PC）=95%，P（D）=94%，A、B、C、D互相獨立，故購買一臺降價促銷的計算機，則它在一年內(nèi)不需要維修的概率為P(AC)+P(BD)=PA）P（）P（）P+B32（D）=95%+94%=0.946．55故答案為：0.946．【點評】本題考查獨立事件和互斥事件的概率，屬于基礎題．15f（）=f（3對于第二空：分析可得f(x)=?f(x?4)，當x7)時，x?4，由此分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f(x)的定義域為R，且滿足f+x)=f?x)，令x=0可得：f（1）=f（3，當x(0，2]時，f(x)=x2?2x，則（）f1=1?2=1，故f（）=1；3f(x)滿足f+x)=f?x)，則有f(x)=f(4?x)，函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又由(4+x)+f(4?x)=0，則f(x+4)=?f(x)，當x7)時，x?4，此時有f(x)=?f(x?4)，當x(0，2]時，f(x)=x2?2x且f(x)的圖象關于直線x=2對稱，則區(qū)間上，有1f(x?4)，又由f(x)=?f(x?4)，則0，當x7)時，f(x)的取值范圍為[0，；故答案為：1，?[0，．【點評】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎題．16通過研究導函數(shù)的值域判斷曲線不存在與直線x+2y=0垂直的切線．222【解答】解：f(x)=?1的定義域為R，f(?x)+f(x)=?1+?1=0，故②正確，1+e?2x1+e?2x1+e2x2又ye?2x=在上單調(diào)遞減，所以f(x)=?1在R上單調(diào)遞增．故①正確，R1+e?2x2當x0時，f(x)=?11恒成立，所以函數(shù)y|f(x)|在(?,0)上單調(diào)遞減，1+e?2x在(0,+)單調(diào)遞增，且y|f(x)1，故當a=0時，g(x)=ax+1=1，此時函數(shù)y|f(x)|?ax?1無零點，故③錯誤，44又f(x)==1，且0f(x)，e?2x+e2x+2e+22e2x所以f(x)不可能為2，故不存在與直線x+2y=0垂直的切線，故④正確．故答案為：①②④．【點評】本題主要考查復合函數(shù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、導數(shù)以及函數(shù)零點相關知識，屬于較難題．三、解答題（本大題共5小題，共分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）17Ⅰ）根據(jù)對立事件以及相互獨立事件的乘法公式即可求解；（Ⅱ）根據(jù)超幾何分布即可求概率，進而可得分布列以及期望．3321）由題意可知：乙能答對一道題的概率為，若兩人都不能答對的概率P=??)=，4431112則至少有1人能答對的概率為1?P=（Ⅱ）X的取值為0，，，；C221C168C121237621528P(X=0)==,P(X====,P(X=2)==，822822882X的分布列為：XP01213713152832E(X)=0+1+2=．287【點評】本題考查了對立事件以及相互獨立事件的乘法公式和離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．18Ⅰ）求導，根據(jù)導函數(shù)在某點處的導數(shù)值是切線的斜率即可求解；（Ⅱ）根據(jù)導函數(shù)的正負即可確定y=f(x)的單調(diào)區(qū)間．2x?11(x+x?1）由f(x)=ln?x)?，得f(x)=+=2，xx2x(x??=?=+=+故f(0，f(ln21，所以切線方程為yln21．（Ⅱ）y=f(x)的定義域為(，由（）知當x?1，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，112當?1x，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當x1，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，211故y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(?)，單調(diào)遞減區(qū)間為(,(．22【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與切線方程，屬基礎題．19Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算即可；1（Ⅱ）可得X的可能取值且X~B)，求出X取不同值的概率即可得出分布列，求出數(shù)學期望；2（Ⅲ）分別計出，，即可比較．123）根據(jù)題意，估計該校學生日均收看北京冬奧會的時長的平均值為：(0.50.1+10.3+1.50.4+20.6+2.50.4+30.2)0.5=1.875小時；（Ⅱ）由條件可知，從全校學生中隨機抽取1人，其日均收看北京冬奧會的時長在，的概率估計為0.3+0.2=0.5，1X的可能取值為，，2，且X~B)，211138則P(X=0)=30()3=,P(X==C13()3=，28213118P(X=2)=32()3=,P(X==C33()3=，282X的分布列為：XP012313318888123所以X的數(shù)學期望E(X)=3（Ⅲ）1=0.51=0.5小時，=；2342367因為(0.5，，，的人數(shù)之比為3:4，所以2=+1.5)=小時，77因為，2]，(2，，(2.5，3]的人數(shù)之比為3:2:1，3211379所以3=(2+2.5+3)=小時，666所以．231【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．20(I)對函數(shù)求導，若y=f(x)在R上是增函數(shù)，即f(x)恒成立，得a，設g(x)=+x)e，x求導后利用單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)果；(II)對函數(shù)二次求導后求得導數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果；(III)若存在三個實數(shù)xxx，滿足f(x)=f(x)=f(x)，則函數(shù)f(x)3個單調(diào)區(qū)間，結(jié)合(I)中函數(shù)g(x)123123的單調(diào)性且x→時，g(x)→0，利用單調(diào)性解得結(jié)果．f(x)=+x)e?a，【解答】解：(I)若y=f(x)在R上是增函數(shù)，即f(x)恒成立，得ag(x)=(x+2)eg(x)0x?2g(x)0x?2，x?ax(aR)，則x，設g(x)x)e=+x，x，得，得1即g(x)在(?,?2)遞減，在(+)遞增，則g(x)?，