專題03 全等三角形中的動態(tài)問題（原卷版）

專題03全等三角形中的動態(tài)問題初中數(shù)學(xué)中，動點問題是學(xué)習(xí)的重、難點，在三角形、矩形等一些幾何圖形上，設(shè)計一個或多個動點，探究全等三角形存在性問題，該類題目具有較強的綜合性。解決動點問題常見的答題思路是：1.注意分類討論；2.仔細(xì)探究全等三角形對應(yīng)邊與對應(yīng)角的變化；3.利用時間表示出相應(yīng)線段或邊的長度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如圖，CA⊥AB，垂足為點A，AB=8，AC=4，射線BM⊥AB，垂足為點B，一動點E從A點出發(fā)以2厘米/秒的速度沿射線AN運動，點D為射線BM上一動點，隨著E點運動而運動，且始終保持ED=CB，當(dāng)點E離開點A后，運動______秒時，△DEB與△BCA全等．【例1－2】（2020·江陰市月考）已知：如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=6．延長BC到點E，使CE=2，連接DE，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC－CD－DA向終點A運動，設(shè)點P的運動時間為秒，當(dāng)?shù)闹禐開____秒時，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【變式1－1】（2020·無錫市月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD為AB邊上的高．點E從點B出發(fā)沿直線BC以2cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線交直線CD于點F.(1)試說明：∠A＝∠BCD；(2)當(dāng)點E運動多長時間時，CF＝AB.請說明理由．【變式1－2】（2020·河北靈壽期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)求OA、OB的長；(2)連接PB，設(shè)△POB的面積為S，用t的式子表示S；(3)過點P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與x軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使△EOP≌△AOB？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如圖，點C在線段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，點P以2cm/s的速度沿A→C→E向終點E運動，同時點Q以3cm/s的速度從E開始，在線段EC上往返運動（即沿E→C→E→C→…運動），當(dāng)點P到達(dá)終點時，P，Q同時停止運動．過P，Q分別作BD的垂線，垂足為M，N．設(shè)運動時間為ts，當(dāng)以P，C，M為頂點的三角形與△QCN全等時，t的值為_____．【變式2－1】（2020·江陰市月考）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點E從D點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿DA向點A勻速移動，點F從點C出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿C→B→C作勻速移動，點G從點B出發(fā)沿BD向點D勻速移動，三個點同時出發(fā)，當(dāng)有一個點到達(dá)終點時，其余兩點也隨之停止運動．（1）試證明：AD∥BC．（2）在移動過程中，小芹發(fā)現(xiàn)當(dāng)點G的運動速度取某個值時，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請你探究當(dāng)點G的運動速度取哪些值時，△DEG與△BFG全等．【變式2－2】（2020·重慶巴南月考）如圖（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．點P在線段AB上以1的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當(dāng)＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為，是否存在實數(shù)，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的、的值；若不存在，請說明理由．【變式2－3】（2020·江蘇興化月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．點P從點A出發(fā)，沿折線AC—CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，點Q從點B出發(fā)沿折線BC—CA以每秒3個單位長度的速度向終點A運動，P、Q兩點同時出發(fā)．分別過P、Q兩點作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設(shè)點P的運動時間為t（秒）：（1）當(dāng)P、Q兩點相遇時，求t的值；（2）在整個運動過程中，求CP的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)△PEC與△QFC全等時，直接寫出所有滿足條件的CQ的長．【例3】（2020·惠州市月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過2s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；（2）若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？（3）若點Q以（2）中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？【變式3－1】（2019·山西太原月考）如圖1，在長方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC向點C運動，設(shè)點P的運動時間為ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）當(dāng)t為何值時，△ABP≌△DCP？．（3）如圖2，當(dāng)點P從點B開始運動，此時點Q從點C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD向點D運動，是否存在這樣的v值，使得某時刻△ABP與以P，Q，C為頂點的直角三角形全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．【變式3－2】（2020·四川成都）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點E為線段AB的中點．如果點P在線段BC上以3厘米秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．當(dāng)點Q的運動速度為_____厘米/秒時，能夠使△BPE與以C、P、Q三點所構(gòu)成的三角形全等．【習(xí)題精練】1．（2020·江蘇東臺月考）如圖，有一個直角三角形ABC，∠C＝90°，AC，BC，線段PQAB，點Q在過點A且垂直于AC的射線AX上來回運動，點P從C點出發(fā)，沿射線CA以2cm/s的速度運動，問P點運動___________

秒時t，才能使△ABC≌△QPA全等．2.（2020·江蘇泰州月考）如圖，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P點從B向A運動，每分鐘走1m，Q點從B向D運動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發(fā)，運動_______分鐘后△CAP與△PQB全等．3．（2020·常州市月考）如圖，ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q兩點分別在AC、AD上運動，當(dāng)AQ＝_____時，△ABC才能和△APQ全等．4.（2020·江西新余期末）如圖，中，，，，點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點，點從點出發(fā)沿路徑向終點運動，終點為點，點和分別以每秒和的運動速度同時開始運動，兩點都要到達(dá)相應(yīng)的終點時才能停止運動，分別過和作于，于.設(shè)運動時間為秒，要使以點，，為頂點的三角形與以點，，為頂點的三角形全等，則的值為______.5.（2020·武城縣月考）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，點E為線段AB的中點．如果點P在線段BC上以3厘米秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPE與以C、P、Q三點所構(gòu)成的三角形全等？6.（2020·鹽城市鹽都區(qū)月考）如圖，有一個直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一條線段PQ=AB，P、Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AX上運動，問：當(dāng)AP=________時，才能使以點P、A、Q為頂點的三角形與△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如圖，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直線CM⊥BC，動點D從點C開始沿射線CB方向以每秒3厘米的速度運動，動點E也同時從點C開始在直線CM上以每秒1厘米的速度向遠(yuǎn)離C點的方向運動，連接AD、AE，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．（1）請直接寫出CD、CE的長度（用含有t的代數(shù)式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）當(dāng)t為多少時，△ABD的面積為12cm2？（3）請利用備用圖探究，當(dāng)t為多少時，△ABD≌△ACE？并簡要說明理由．8．（2020·鄭州市月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點A、B兩點的坐標(biāo)分別A（m，0），B（0，n），且|mn3|0，點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，設(shè)點P運動時間為t秒．（1）求OA、OB的長；（2）連接PB，若△POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使△EOP≌△AOB?若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．9.（2020·宜興市月考）如圖，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，動點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t．（1）求證：AF＝AM；（2）當(dāng)t取何值時，△DFE與△DMG全等；（3）求證：在運動過程中，不管t取何值，都有．10.（2020·江蘇工業(yè)園區(qū)期末）如圖①，將長方形紙片沿對角線剪成兩個全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．現(xiàn)將△ABC和△EDF按如圖②的方式擺放（點A與點D、點B與點E分別重合）．動點P從點A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向點C勻速移動；同時，動點Q從點E出發(fā)，沿射線ED以acm/s（0＜a＜3）的速度勻速移動，連接PQ、CQ、FQ，設(shè)移動時間為ts（0≤t≤5）．（1）當(dāng)t＝2時，S△AQF＝3S△BQC，則a＝；（2）當(dāng)以P、C、Q為頂點的三角形與△BQC全等時，求a的值；（3）如圖③，在動點P、Q出發(fā)的同時，△ABC也以3cm/s的速度沿射線ED勻速移動，當(dāng)以A、P、Q為頂點的三角形與△EFQ全等時，求a與t的值．11.（2019·江蘇期末）如圖①，在中，cm，cm，過點作射線．點從點出發(fā)，以3cm/s的速度沿勻速移動；點從點出發(fā)，以cm/s的速度沿勻速移動．點、同時出發(fā)，當(dāng)點到達(dá)點時，點、同時停止移動．連接、，設(shè)移動時間為(s)．(1)點、從移動開始到停止，所用時間為s；(2)當(dāng)與全等時，①若點、的移動速度相同，求的值；②若點、的移動速度不同，求的值；(3)如圖②，當(dāng)點、開始移動時，點同時從點出發(fā)，以2cm/s的速度沿向點勻速移動，到達(dá)點后立刻以原速度沿返回．當(dāng)點到達(dá)點時，點、、同時停止移動．在移動的過程中，是否存在與全等的情形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．圖①圖②12.如圖，中，，，，點M從A點出發(fā)沿A→C→B路徑向終點運動，終點為B點，點N從B點出發(fā)沿B→C→A路徑向終點運動，終點為A點，點M和N分別以每秒2cm和3cm的運動速度同時開始運動，兩點都要到達(dá)相應(yīng)的終點時才能停止運動，分別過M和N作于E，于F設(shè)運動時間為t秒，要使以點M，E，C為頂點的三角形與以點N，F(xiàn)，C為頂點的三角形全等，則t的值為________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，5），B（12，0），在y軸負(fù)半軸上取點E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直線CO交BA的延長線于點D．（1）根據(jù)題意，可求得OE＝；（2）求證：△ADO≌△ECO；（3）動點P從E出發(fā)沿E﹣O﹣B路線運動速度為每秒1個單位，到B點處停止運動；動點Q從B出發(fā)沿B﹣O﹣E運動速度為每秒3個單位，到E點處停止運動．二者同時開始運動，都要到達(dá)相應(yīng)的終點才能停止．在某時刻，作PM⊥CD于點M，QN⊥CD于點N．問兩動點運動多長時間△OPM與△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，點F從點B出發(fā)，沿線段BC以4cm/s的速度連續(xù)做往返運動，同時點E從點A出發(fā)沿線段AG以2cm/s的速度向終點G運動，當(dāng)點E到達(dá)點G時，E、F兩點同時停止運動，EF與AC交于點D，設(shè)點E的運動時間為t（秒）（1）分別寫出當(dāng)0≤t≤2和2＜t≤4時線段BF的長度（用含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)BF＝AE時，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有滿足條件的t值．15.（2020·無錫市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C