2024年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-圓的綜合

2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練—圓的綜合

1.如圖，48為＜。的直徑，過圓上一點(diǎn)。作。的切線CD交出的延長線與點(diǎn)C,過

點(diǎn)。作O片〃短交（7。于點(diǎn)E,連接BE.

（2）若C4=2,CD=4,求。E的長.

2.如圖，AD是：。的直徑，4B為,。的弦，OP1AD,。尸與A8的延長線交于點(diǎn)P,

⑴求證：ZCBP=ZADB；

⑵若。4=2,AB=1,求線段BP、CP的長.

3.如圖1,AB為。的直徑，C為（。上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足

為D.

⑴求證：AC平分N1MB；

⑵如圖2,。交＜O于點(diǎn)E,連接CE,AC=2CE,AE=3,求。C長.

4.如圖，43是（。的直徑，點(diǎn)C,。是〔。上的點(diǎn)，且OD〃3C,AC分別與80.0D

相交于點(diǎn)E,F.

D

⑴求證：點(diǎn)。為弧AC的中點(diǎn);

(2)若Z)尸=4,AC=6,求，的直徑.

5.如圖，在ABC中，AB=AC,以A8為直徑的。分別與8C、AC交于點(diǎn)。、E,

過點(diǎn)。作小人AC,垂足為點(diǎn)足

(1)求證：直線。尸為的切線;

⑵若。的半徑為4,ZCDF=15°,求陰影部分的面積.

6.如圖所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,以AC為直徑的。交A3于點(diǎn)E,弦

交AB于點(diǎn)F,且A￡>=QE.

(1)證明：BF=BC；

DF1

(2)若BC=6,AC=8,=—.求的長.

FC3

7.如圖，已知AB是。。的直徑，。。經(jīng)過RtaACD的直角邊DC上的點(diǎn)凡交AC邊

于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是弧的中點(diǎn)，ZC=90°,連接Ab.

試卷第2頁，共6頁

(1)求證：直線C。是。。切線.

(2)若3。=2,03=3,求相〃/ABC的值.

8.如圖，A3是：。的一條弦，OD_LAB,垂足為點(diǎn)C,交(O于點(diǎn)￡>,點(diǎn)E在.。上.

(1)若？AOD50?,求的度數(shù)；

(2)若。C=6,04=10,求A3的長.

9.如圖，是，的直徑，C為O上一點(diǎn)，連接AC,BC.A￡>平分/B4C,點(diǎn)。

在。上，連接。。，交BC于點(diǎn)E.

⑴若NABC=30。，AC=2,求AD的長；

⑵求證：AC=2OE.

10.已知AB是O的直徑，點(diǎn)C是圓0上一點(diǎn)，點(diǎn)P為(。外一點(diǎn)，上4為?。的切線,

NP=NBAC.

⑴求證：OP//BC-,

(2)如果AB=8,BC=4,求圖中陰影部分面積.

11.如圖，已知O是.AfiC的外接圓，是。的直徑，。是A5延長線的一點(diǎn),

AELCD交。C的延長線于E,CFJ.AB于F,且CE=CF.

(2)若AB=10,3D=3,求AE的長.

12.如圖，BD是O的直徑，點(diǎn)A是劣弧3C的中點(diǎn)，DF是。的切線交3C于點(diǎn)廠,

AO交BC于點(diǎn)E.

(2)若AE=2,ED=4,求/BD4的正切值.

13.如圖，若尸是正方形ABCD外接圓的BC上的任意一點(diǎn)，連接尸3,PA,PD.

(1)求NAPB、NAP。的度數(shù)；

(2)試猜想PB、尸。與上4之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

14.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZBAD90°,CB=CD,連接以點(diǎn)B

為圓心，54長為半徑作【B,交BD于點(diǎn)E.

試卷第4頁，共6頁

⑴求證：8與(8相切；

(2)若48=2括，斗￡的長為與，試判斷△C&D的形狀，并說明理由.

15.如圖，A8為:O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，弦AD與弦80交于點(diǎn)D,連接CD,

于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,ZADC=ZAOF；

⑴求證：CD是I。的切線；

OC5

(2)^-=-,BD=24,求'的長.

OB3

16.如圖，在4ABe中，AB=BC,以BC為直徑的。分別交AB、AC于點(diǎn)。、E,連

接。C,交0E于點(diǎn)F.

(1)求證：OEJLDC；

(2)若DE=6,AB=4,求8。的長；

17.如圖1,在「048中，OA=OB,。與AB邊相切，延長3。交圓于點(diǎn)。，點(diǎn)C為圓

上一點(diǎn)，S.AC=-AB.

2

DD

B

圖1圖2

⑴求證：。與AC相切；

(2)當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)。重合時(shí)，求的度數(shù)；

(3)如圖2,若的半徑為2,4。，鈿,03交圓于點(diǎn)￡,求陰影部分的面積.

18.如圖，A,B、C三點(diǎn)均在。上，且AB=AC,。為弦下43方圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連

接50,連接8并延長至點(diǎn)E,使CE=BD,連接AD,AE,BE.

(1汝口圖1,若，且點(diǎn)。在點(diǎn)C的左側(cè)運(yùn)動(dòng)，ZBAC=90°.

①若點(diǎn)。在AD上，則四邊形ABDC的形狀為；

②若。為CE1的中點(diǎn)，AB=\,求8E的長.

(2)如圖2,若NBAC<90。，連接3C,當(dāng)四邊形A8CE滿足什么要求時(shí)，AE是二。的

切線？并說明理由.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.(1)見解析

(2)DE=6

【分析】(1)連接。。，證明.nOD￡”O(jiān)BE,得出NO5石=NOD石=90。，即可得出直線班

與。相切；

(2)設(shè)半徑為一，根據(jù)勾股定理得出戶+42=(2+求出廠=3,根據(jù)ODE^OBE,得

出BE=DE,根據(jù)勾股定理得出(2+3+3)?+。爐=(4+?！?2,求出結(jié)果即可.

【詳解】(1)證明：連接。。，如圖所示：

???CD為。切線，

???ZODC=ZODE=90°,

又「OE//AD,

；?NDAO=/EOB,ZADO=/EOD,

OA=OD

.\ZADO=ZDAOf

；.NEOD=/EOB,

在4ODE與△QBE中；

OD二OB

?：<ZEOD=ZEOB,

OE=OE

???一ODE^OBE,

???ZOBE=ZODE=90°,

工直線皿與］。相切.

(2)解：設(shè)半徑為r,

答案第1頁，共26頁

在RtAODC中，OD2+CD2=OC2,

即產(chǎn)+42=(2+rf,

解得r=3；

ODE會(huì)OBE,

BE=DE9

在RtACBE中，BC2+BE2=CE2,

(2+3+3)2+DE2=(4+函2,

解得：DE=6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，切線的

判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定方法.

2.⑴見解析

(2)BP=7,CP=一岳.

【分析】(1)連接如圖，根據(jù)圓周角定理得到？90?,再根據(jù)切線的性質(zhì)得到

NOBC=90°,然后利用等量代換進(jìn)行證明；

(2)證明AOPS.ABD,然后利用相似比求3尸的長.設(shè)cp=x,則OC=O尸-CP=2/-x,

Cp=BC=x,在RtZkOBC中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)證明：連接。3,

則03L3C,

NOBD+NDBC=90。,

又為1O的直徑,

ZDBA=90°,

答案第2頁，共26頁

:.ZDBP=ZDBC+Z.CBP=90°,

???ZOBD=ZCBP,

又OD=OB,

：.ZOBD=ZODBf

：./ODB=/CBP,

即NA￡?=NCBP；

(2)解：在RtAQB和RtAPO中，ZDAB=ZPAOf

：.RtAADB^RtAAPO,

.ABBDAD

??而一而一善’

VAB=l,AO=2,

AD=4,

BD=415,

：.OP=*=2岳,丁高,

解得3P=7；

設(shè)CP=x,貝IJOC=OP—CP=2A—x,CP=BC=x,

在Rt^QBC中，利用勾股定理得

oc2=BC2+OB2,

（2A/15-X）2=X2+22,

解得尤=此叵，

15

?j=9

15

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連

過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性

質(zhì)以及勾股定理.

3.⑴證明見解析

⑵2

【分析】（1）連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLCD,則可判斷OC〃AD,所以

答案第3頁，共26頁

AOCA=ADAC,然后利用NOAC=NOC4,得到"AC=/Q4C；

(2)連接BE交0C于點(diǎn)先根據(jù)圓周角定理得到NA￡B=90。，證明SAJMC,

由AC=2CE”=3,可得H嗡書，然后利用勾股定理計(jì)算出他的長.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接OC,

D

:.OCLCD,

：.NOCD=90。,

■:ADLCD,

.*.?￡）90?,

???ZD+NOCD=180。，

???OC//AD,

：.AOCA=ADAC,

???Q4=OC,

???ZOCA=ZOAC,

：.ZOAC=ZDACf

???AC平分mw；

（2）解：如圖，連接虛交OC于點(diǎn)H,

???AB為O的直徑，

ZAES=90°,

ZAEB=ZD,

：.CD//BE,

：.ZDCE=/CEB,

■:ZCEB=ZCAB=ZDAC,

JNDCE=NDAC,

答案第4頁，共26頁

,:ZD=ZD,

ADCEs八DAC,

AC=2CEfAE=39

.CE_1DECD

^~AC~2~~CD~~ADf

CD=IDE,CD2=ADDE,

?*-4DE2=ADDE^

**?4DE-AD,

3DE=AE,

DE=L

：.CD=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，等邊對(duì)

等角，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定條件.

4.（1）證明見解析

喈

【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得/go。，從而利用平行線的性質(zhì)可得

/a弘=/C=90。，從而可得OPJ_AC,然后利用垂徑定理即可求證；

（2）利用垂徑定理可得Af=：AC=3,然后在RtVAFO中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可求

解.

【詳解】（1）證明：是。的直徑，

ZACB=90°9

OD//BC,

ZOFA=ZC=90°f

答案第5頁，共26頁

OFLAC,

AD=CD，

，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn);

(2)解：OAC,

AF=-AC=3,

2

在RtVAFO中，AO=ylAF2+OF2=^32+(AO-4)2,

解得04=925,

o

25

AB=2OA=—,

4

。的直徑為f25.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，掌握性質(zhì)及相關(guān)定理是解題的關(guān)

鍵.

5.（1）見解析

【分析】（1）連接0。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得NOnB=NABC=NC,由。F/AC,

得DF上0D,從而證明結(jié)論；

⑵連接AD,0E,過點(diǎn)。作于點(diǎn)兒分別求出扇形AOE和八4置的面積，即

可解決問題.

【詳解】（1）證明：如圖，連接0。，則。。是。的半徑，

AB=AC,

：.ZABC=NC,

"：OB=OD,

答案第6頁，共26頁

:.ZODB=ZABC=ZC9

：.OD//AC,

'：DF1AC,

：.DOIDF,

???直線。F是。的切線;

(2)證明：連接AD,0E,過點(diǎn)。作?！埃??于點(diǎn)兄

?:AB為。的直徑,

???AD1BC,

'：DF1AC,

：.ZDFC=ZADC=90°,

VZCDF=15°,DF1AC,

：.ZC=75°,

???NOW=15。，

'：AB=AC,AD1BC,OA=OE,

：.ZOAE=300=ZOEA,

：.ZAOE=120°,OH=^OA=2,AH=OAxcosZOAE=273,

AE=2AH=46，

：

.SCn/AtFj=-2OHxAE=4y'[3,

S陰影=S扇形0AE—S0AE=：|gx乃x4?-4有=*^一4&.

JOU3

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求

弓形的面積.熟練掌握切線的判定方法，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵.

6.(1)見解析

(2)。尸=苧.

答案第7頁，共26頁

【分析】（1）由圓周角定理求得？。90?,再利用等角的余角相等證明N3CF=N^C,即

可證明5尸=5。；

（2）利用勾股定理求得AB=10,利用（1）的結(jié)論求得砥=5C=6,證明ADAFSADCA,

利用相似三角形的性質(zhì)求得/，在Rt,AD廠中，利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）證明：連接AO,

〈AC為。的直徑，

：?？D90?,

：.ZDAF+ZDFA=9Q°f

???ZACB=90°,

???ZBCF-^-ZACD=90°9

,?*AD=DE，

：.ZDAF=ZACD,又ZDFA=ZBFC,

：.ZBCF=ZBFC,

：.BF=BC；

(2)解：VBC=6,AC=8,ZACB=90°,

????=用+82=10,

BF=BC=6,

：.AF=AB-BF=4,

*：ZDAF=ZACD,

：.Z\DAF^Z\DCA,

.DFAF4I

**AD-AC-8-2J

JAD=2DF,

答案第8頁，共26頁

在RtADb中，AD2+DF2=AF2>即（2。b丫+。尸=4?,

解得OF二拽.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明

是解題的關(guān)鍵.

7.⑴見解析

（2）tanZAFC=2

【分析】（1）連接OFBE,證班〃CD即可求證；

（2）證VOEQsVACD可求AC,由“平行線分線段成比例”可求C/,即可求解.

【詳解】（1）證明：連接ORBE,如圖：

C

：A3是。O的直徑，

ZAEB=9Q°,

'：ZC=90°,

ZAEB=ZACD,

：.BE//CD,

:點(diǎn)尸是弧BE的中點(diǎn)，

OF±BE,

：.OFLCD,

為半徑，

直線CD是。O的切線；

⑵解：?.?/C=/OFD=90°,

AC//OF,

J.NOFD^NACD,

答案第9頁，共26頁

.OFOP

*Ac-

VBD=2,OF=OB=3,

：.OD=5,AD=8,

.…OFxAD3x824

??AC——=,

OD55

JCD=^AD2-AC2=Js2-(y)2

VAC//OF,04=4,

32

.CFCD日口5M

———=——,BPCFs,

OAAD-=-T-

Jo

12

解得：CF=y

24

.ACV

..tanAAFC=-----==2.

CF12

T

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的證明、求角的正切值、相似三角形的判定與性質(zhì).掌握相關(guān)知識(shí)

點(diǎn)進(jìn)行幾何推導(dǎo)是解題關(guān)鍵.

8.(1)25°

(2)48的長為16

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理的推論可得AO=08,再根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓

心角的一半求解即可；

(2)利用勾股定理列式求出AC,根據(jù)垂徑定理的推論可得AC=3C,即可求解.

【詳解】(1)解：：4?是。的一條弦，ODLAB,

AD=DB，

XV7AOD50?,

/.ZDEB=-ZAOD=!x50。=25。.

22

(2)解：VODLAB,

ZAOC=9Q)°,

在RtA0C中，ACZOI—OC?=&()2—62=8,

是。的一條弦，ODLAB,

答案第10頁，共26頁

AC^BC,

貝！!AB=AC+CS=2AC=16.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理的推論，解題的關(guān)鍵是明確在同圓或等圓中，同

弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

9.(1)273

(2)見解析

【分析】(1)過點(diǎn)。作O尸，也于點(diǎn)R利用垂徑定理可得M=2AF,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周

角是直角可得NBC4=90。，從而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得AB=2AC=4,進(jìn)

而可得04=J48=2,然后利用角平分線的定義可得NG4D=240=30。，從而在

RtAO產(chǎn)中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得OP=1,AF=0進(jìn)行計(jì)算即可解

答；

(2)利用角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可得AC〃OD,然后利用平行線分線段成比

例可得BE=CE,從而利用三角形的中位線定理即可解答.

【詳解】(1)解：過點(diǎn)。作。尸，于點(diǎn)尸，

~7

.AD=2AF,ZAFO=90°,

?45是一。的直徑,

.ZBCA=90°,

*ZABC=30°,AC=2,

.ZBAC=90°-30°=60°9AB=2AC=4f

,OA=-AB=2,

2

?AD平分/R4C,

.^CAD=^DAO=30°,

答案第11頁，共26頁

在Rt49月中，OA=2,

OF=^OA=\,AF=6OF=6,

???AD=2AF=26

???AD的長為2石；

(2)證明：???AO平分/B4C,

???ZCAD=ZDAOf

9：OA=OD,

:.ZADO=ZDAO,

：.ZADO=ZCADf

：.AC//OD,

.OBBE

??一,

OACE

,/OA=OB,

：.BE=CE,

是二ABC的中位線，

AC=2OE.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，平行線分線段成比例，三角形的中位線的性質(zhì)，

根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

10.(1)證明見解析

⑵爭(zhēng)-46

【分析】(1)先由圓周角定理得NACB=90。，則/54C+/3=90。.再由切線性質(zhì)得

ZP+ZAOP=90°,然后證NA0P=N3,利用同位角相等兩直線平行即可得證；

(2)連接OC,如圖所示，由AB=8,3C=4得△QBC是等邊三角形，進(jìn)而求出扇形面積，

再由勾股定理及30。直角三角形性質(zhì)求出線段長得到三角形面積，根據(jù)圖形，用扇形面積減

去三角形面積即可解決問題.

【詳解】(1)證明：是的直徑，

:.ZACB=9Q°,

:.ZBAC+ZB^90°,

答案第12頁，共26頁

PA為。的切線，

ZBAP=90°,

.?.ZP+ZAOP=90°,

./P=ZBAC,

:.ZB=ZAOP,

OP//BC；

(2)解：連接OC,如圖所示:

AB=8,

二.O的半徑為4,即的=/=%=4,

BC=4,

；.OB=OC=BC=4,

03c是等邊三角形，

.\ZCOB=60°,

ZAOC=120°9

_120KX42_16

扇疇"=360=可"'

ZACB=90°,-3=60。，

:.ZBAC=30°,

由(1)知O尸〃BC,則/4HO=NACB=90。，

在RtZXAOH,ZAHO^9Q°,ZOAH=30°,04=4,貝1|0〃=工04=2,

2

在RtA4BC,ZAC3=90。，AB=8,BC=4,則ACNAB?.BC?=46，

.■.S,.=-AC-OH=-x4y/3x2=4y/3,

Z/_A/iCn/Lr

,圖中陰影部分面積=s扇形A℃-S=℃兀一4』.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與

答案第13頁，共26頁

性質(zhì)、勾股定理、含30。直角三角形性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握扇形面積公式

和圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

11.（1）證明見解析

⑵=]

【分析】（1）要證OE是。的切線，只要連接OC,再證/Z）CO=90。即可；

（2）由切線的性質(zhì)及勾股定理可得的長，再根據(jù)三角形面積公式及勾股定理可得"的

長，最后由全等三角形的判定與性質(zhì)可得答案.

【詳解】（1）證明：連接OC；

AE±CD,CF.LAB,又CE=CF,

JZ1=Z2.

9：OA=OC,

：.Z1=Z3.

OC//AE.

：.OC.LCD.

又OC是。的半徑,

:.DE是O的切線.

(2)解：：OC_L￡D,A5=10,30=3,

OB=OC=5,OD=AB+BD-OA=8,CD=dOD?—OC?=回，

S=-OCCD=-ODCF,

OnCrnD22

即;x5xa=：(5+3).CF,

?a5屈

??Cr=-------,

8

答案第14頁，共26頁

OF=si0C--FC-=—,

8

/.AF^OA+OF^5+—^—,

88

在RtAAEC和RtAAFC中，

[CE=CF

[AC=AC'

/.RtAFC(HL),

/.AE=AF=—.

8

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì).要證某線是圓的切

線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)，再證垂直即可.

12.(1)證明見解析

Q)B

3

【分析】(1)如圖1所示，連接8,由點(diǎn)A是劣弧3C的中點(diǎn)可知NAD3=/ADC,由

ZFED900-ZADC,ZEDF=90°—ZADB,可訐明/FED=/EDF,即可得證；

(2)如圖2所示，連接AB,先證明△ABESAADB,從而可求得AB=26,然后根據(jù)正切

的定義即可得出答案.

【詳解】(1)證明：如圖1所示，連接C。，

:點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，

今B=才＜7，

ZADB=ZADC,

:BD是。的直徑，

Z.ZDCB=90°,

：./FED=90°—ZADC,

,/DF是'。的切線，

，ZBDF=90°,

：.ZEDF=90°-ZADB,

/.ZFED=ZEDF,

：.EF=DF；

答案第15頁，共26頁

圖1

(2)解：如圖2所示，連接48,

:點(diǎn)A是劣弧BC的中點(diǎn)，AE=2,ED=4,

**?農(nóng)B=4C，AZ)=AE+ED=2+4=6,

：.ZADB=ZABC,

又???NA=NA,

:.AABEsAADB,

,ABAD?AB6

..---=----,即n----=----,

AEAB2AB

AB2=12>

A8=26或AB=-2道(負(fù)值不符合題意，舍去),

,:BD是。的直徑，

ZDAB=90°,

63

/BDA的正切值是

圖2

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，

相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等角對(duì)等邊.掌握相似三角形的判定和性質(zhì)和切

線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.(1)/AP8=NAPD=45°

答案第16頁，共26頁

⑵PB+PD=RPA

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)、等弧所對(duì)的圓心角相等，推出與AO所對(duì)的圓心角都

為90。，再根據(jù)圓周角定理求解；

(2)過點(diǎn)B作卸■/JLAP于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作￡>N_LAP于點(diǎn)N.結(jié)合(1)中結(jié)論可證二BMP

和；DNP為等腰直角三角形，由勾股定理得8/=9=走尸8,DN=NP=—PD,再證

22

ADN三BAM(AAS),推出4V=通過等量代換可得

PA=AN+NP=BM+NP=^-(PB+PD),即可求解.

【詳解】(1)解：???四邊形ABCD是正方形，

AB=AD=DC=BC,

?*-AB=AD=DC=BC>

與AD所對(duì)的圓心角都為90°,

90°

ZAPB=ZAPD=—=45°.

2

（2）解：猜想：PB+PD=>/iPA.理由如下:

如圖，過點(diǎn)B作jBAf_LAP于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作ZW_LAP于點(diǎn)N.

由(1)可知，ZAPB=45,

BMP為等腰直角三角形，

由勾股定理，得BM=MP=^PB;

2

由(1)可知，ZAPD=45,

DNP為等腰直角三角形，

由勾股定理，得DN=NP=^PD.

2

答案第17頁，共26頁

又NDAN+ZBAM=90=ZABM+ZBAM，

：.ZDAN=ZABM.

X'-'AD=BA,NAND=NAMB=9。，

/.ADN=.BAM(AAS),

：.AN=BM,

PA=AN+NP=BM+NP=—PB+—PD=—(PB+PD],

22217

即尸8+尸。=0?A.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三

角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想.

14.(1)證明見解析，

(2)△CB。是等邊三角形.

【分析】(1)過點(diǎn)8作于點(diǎn)尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NAD3=NCBD,根據(jù)等邊

對(duì)等角得出NCBD=ZCDB,推出ZADB=ZCDB,證明ABD公產(chǎn)BD(AAS),得出區(qū)4=臺(tái)/，

進(jìn)而可得出答案；

(2)設(shè)ZABD=相，根據(jù)弧長公式得出，魚=絲心叵，求出/鉆。=30。，得出NCR4=90。,

3180

進(jìn)而得出ZCBD=60°,即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖，過點(diǎn)B作皮口_CD于點(diǎn)尸，

,/AD//BC,

：.ZADB=NCBD,

'：CB=CD,

：.ZCBD=NCDB,

：.ZADB=NCDB,

答案第18頁，共26頁

又,：BD=BD,NBAD=NBFD=90。,

：.ABD^_FBD(AAS),

：.BA=BF,

即點(diǎn)尸在3上，

與B相切.

(2)解：△CB。是等邊三角形.

理由如下：設(shè)/ABO=〃°,

,:=片E的長為叵^

3

.石乃_x2石

??----=--------,

3180

解得?=30,

ZASD=30°.

VAD/7BC,ABAD=90)°,

"54=90。,

：.ZCBD=90°-30°=60°,

又?:CB=CD,

：.△C8D是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等

三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

15.(1)證明見解答過程；

(2)3

【分析】(1)連接OO,根據(jù)垂直定義可得NAEO=90。，從而可得/。4。+/4。尸=90。，

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得/Q4D=/OD4,從而可得NAL>C+NOZM=90。，進(jìn)而可

得NODC=90。，即可解答；

(2)設(shè)OC=5MA>0),貝|OD=6B=Q4=33根據(jù)勾股定理求出CD=4%,根據(jù)平行線分線

段成比例定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)及三角形相似的判定與性質(zhì)求出。5=(8。=12,

OF=15,根據(jù)線段的和差求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OD,

答案第19頁，共26頁

OFLAD,

：.ZAEO=90°,

:.ZOAD+ZAOF=9Q0,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

ZADC=ZAOF,

O

:.ZADC-^ZODA=909

.?.NODC=90。，

OD是O的半徑，

二.CD是。的切線；

/八加OC5

⑵解：麗不

設(shè)0。=5左(%>0),貝|OD=O3=Q4=3左,

Q/CDO=90。，

CD=y/oc2-OD2=4k，

:.BC=OC+OB=8k,

AB為。的直徑，BD=24,

.\AD±BDf

OhAD,

OFBD,

.OAAE

…礪一而△C尸0s△CQ3,

OFPC

AE=ED，

OF_5k_5

:.OE=-BD=U,

2~24~Sk~S

:.OF=\5,

:.EF=OF-OE=3.

答案第20頁，共26頁

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，熟記切線的判定定理與性質(zhì)定

理、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

16.⑴見解析

【分析】（1）連接BE,由是，；。直徑可得ZBEC=90。，由AB=3C可得NABE=/CBE,

可得。E=EC，根據(jù)垂徑定理的推論即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AC=2OE=2百，證明ADEs.ACS,利用相似三角形

的性質(zhì)求出=進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】（1）連接破，

??,3C是。直徑，

：.ZBEC=ZBDC=9Q0,

?；AB=BC,

工ZABE=/CBE,

；?DE=EC，

：.OE.LDC；

(2),/ZBDC=90°,

JZADC=90°,

AE=EC,

AC=2DE=2y/3,

???四邊形CBL史內(nèi)接于O,

:./BCE+ZBDE=180。，

*：ZADE+ZBDE=180°f

答案第21頁，共26頁

ZBCE=ZADE,

VZA=ZA,

:.ADE^,ACB,

.AEADHn5/3AD

??一,艮I)—?=■

ABAC42A/3

***AD=—

2

35

Z.BD=AB-AD=4——=-.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形和直角三角

形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，具有一定的綜合性，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)定理、

證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

17.(1)見解析

(2)30°

⑶]

【分析】(1)連接OC,過點(diǎn)。作O石，AB,垂足為E,證明.QAE經(jīng)。4C,得出

ZOCA=ZOEA=90°f即可證明結(jié)論;

i

(2)根據(jù)三角函數(shù)定義求出sinB=/=彳，即可求出NB=30。；

AD2

(3)證明四邊形OCAF為正方形，得出/COF=90°,ZAOF=45。，求出ZAOF=Z.BOF=45°,

得出NCOE=135。,求出s…=熱/喘2=/

【詳解】⑴證明：如圖1,連接OC,過點(diǎn)。作OELAB,垂足為E,

圖1

OA=OB,

AE=-AB,

2