專題06 二元一次方程（組）重難點突破講義（解析版）

專題06二元一次方程（組）重難點突破講義【典例解析】題型一、思想方法【例1】（2020·浙江杭州月考）若關(guān)于x，y的方程組的解為，則方程組的解為______．【答案】.【解析】解：，變形為：，∵的解為，∴∴x=2，y=3，故答案為：．【例2】（2020·江蘇七年級期中）若方程組的解是，則方程組的解是______．【答案】.【解析】解：方程組可變形為：，由題意得：=3，=4，解得：，故答案為：．【例3】（2021·四川遂寧市月考）若關(guān)于、的二元一次方程組的解是，則關(guān)于、的二元一次方程組的解是______．【答案】．【解析】解：由題意知，，解得：．故答案為：．【例4】（2021·福建三明市期末）有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題∶已知實數(shù)、滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得、的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①②可得，由①＋②可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題∶（1）已知二元一次方程組則______，______．（2）某班級組織活動購買小獎品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本共需55元，則購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？（3）對于實數(shù)、，定義新運算∶，其中、、是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知，，那么______．【答案】（1）4，2；（2）21元；（3）24【解析】解：（1）①-②得：x-y=4；①+②得：5x+5y=10，即x+y=2（2）設(shè)購買1支鉛筆x元、1塊橡皮y元、1本日記本z元，根據(jù)題意得：①×2－②得：x+y+z=7，∴3x+3y+3z=21，故購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需21元．（3）由題意得：①×3－2×②得：5a+9b+c=24.【例5】（2020·湖北荊州期末）閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題：解方程組時，由于x，y的系數(shù)及常數(shù)項的數(shù)值較大，如果用常規(guī)的代入消元法、加減消元法來解，不僅計算量大，而且易出現(xiàn)運算錯誤．而采用下面的解法則比較簡單：①﹣②得2x+2y=2，所以x+y=1③．③×35﹣①得3x=﹣3．解得x=﹣1，從而y=2．所以原方程組的解是（1）請你運用上述方法解方程組：；（2）猜測關(guān)于x、y的方程組（a≠b）的解是什么？并用方程組的解加以驗證．（3）請你用類似方法解方程組：．【答案】（1）；（2），見解析；（3）.【解析】解：（1），②﹣①得3x+3y=3，即x+y=1③，③×2018﹣①得2x=﹣2，解得：x=﹣1，將x=﹣1代入③得：y=2，∴原方程組的解為；（2）方程組的解為，檢驗：把代入①得，左邊=﹣a+2a+2n=a+2n=右邊；把代入②得，左邊=﹣b+2b+2n=b+2n=右邊，∴是原方程組的解；（3），①+②得2020x+2020y=4040，即x+y=2③，③×1007﹣①得﹣2x=﹣5，解得x=2.5，將x=2.5代入③得y=﹣0.5，∴原方程組的解為．題型二、基本概念【例6】（2021·古浪縣月考）若方程（a-2）x-3y=6是二元一次方程，則a必須滿足（）A． B． C． D．【答案】A.【解析】解：方程（a-2）x-3y=6是二元一次方程，∴a-2≠0，∴a≠2，故答案為：A．【例7】（2020·廣安市期中）若方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a的值是

A． B． C．1 D．2【答案】B.【解析】解：由題意得：a-2≠0，|a|-1=1，解得：a=-2，故答案為：B．【例8】（2021·湖南邵陽市期末）關(guān)于x，y的二元一次方程3x﹣ay＝1有一組解是，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D.【解析】解：把代入方程3x﹣ay＝1得：9﹣2a＝1，解得：a＝4，故答案為：D．【例9】已知關(guān)于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，則m，n的值為（）A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝【答案】A.【解析】解：∵關(guān)于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，∴，解得：．故答案為：A．【例10】（2020·哈爾濱市月考）二元一次方程3x+2y＝13正整數(shù)解的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【答案】B.【解析】解：方程有2組正整數(shù)解，分別為，．故答案為：B．【例11】（2021·四川遂寧月考）關(guān)于、的方程組的解是，則的值是（）A．1 B．-2 C．-1 D．2【答案】B.【解析】解：∵方程組的解是，∴，解得：，所以，m-n=-2．故答案為：B．【例12】（2021·重慶北碚區(qū)期末）已知關(guān)于x，y的方程組和的解相同，則（a＋b）2021的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2021【答案】A.【解析】解：聯(lián)立得：，由①×5+②×3得：29x=58，解得：x=2，把x=2代入①得：y=1，將x=2，y=1代入得：，解得：，則原式=（-2+2）2021=0．故答案為：A．【例13】（2021·湖南邵陽期末）已知關(guān)于x，y的方程組與的解相同，則m+n的值為（）A．2 B．3 C．﹣3 D．5【答案】B.【解析】解：∵方程組與的解相同，∴聯(lián)立，解得：x=4，y=-1，代入另兩個方程得：，兩式相加得：5m+5n＝15∴m+n＝3，故答案為：B．【例14】甲、乙兩人在解方程組時，甲看錯了方程①中的a，解得，乙看錯了方程②中的b，解得，則﹣的值為（）A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣3【答案】C.【解析】解：把代入②得：8＝b﹣2，即b＝10，把代入①得：5a+20＝15，即a＝﹣1，則原式＝1﹣1＝0．故答案為：C．題型三、綜合問題【例15】（2020·海淀區(qū)期中）對有序數(shù)對（m，n）定義“f運算”：f（m，n）＝（am+bn，am﹣bn），其中a，b為常數(shù)．f運算的結(jié)果也是一個有序數(shù)對，比如當(dāng)a＝1，b＝1時，f（﹣2，3）＝（1，﹣5）（1）當(dāng)a＝2，b＝﹣1時，f（1，2）＝．（2）f（﹣3，﹣1）＝（3，1），則a＝，b＝；（3）有序數(shù)對（m，n），滿足方程n＝2m，f（m，n）＝（m，n），求a，b的值．【答案】（1）（0，4）；（2），-1；（3）．【解析】解：（1）2×1-1×2=0，2×1+1×2=4，f（1，2）=（0，4）；故答案為：（0，4）；（2）由題意得：，解得：，故答案為：，-1；（3）由題意得：，解得：．【例16】閱讀下面的學(xué)習(xí)材料：我們知道，一般情況下式子與“”是不相等的（均為整數(shù)），但當(dāng)取某些的特定整數(shù)時，可以使這兩個式子相等，我們把使“”成立的數(shù)對“”叫做“好數(shù)對”，記作，例如，當(dāng)時，有成立，則數(shù)對“”就是一對“好數(shù)對”，記作．解答下列問題：（1）通過計算，判斷數(shù)對“”是否是“好數(shù)對”：（2）求“好數(shù)對”中x的值：（3）對于“好數(shù)對”，如果（k為整數(shù)），求b的值（直接寫出答案，用含k的代數(shù)式表示）【答案】（1）“3，4”不是“好數(shù)對”；（2）18；（3）-16k.【解析】解：（1）當(dāng)m=3，n=4時，則，，∴，故數(shù)對“3，4”不是“好數(shù)對”．（2）∵數(shù)對“x，-32”是“好數(shù)對”，則，解得：x=18．（3）設(shè)[a，b]是一對“好數(shù)對”，則a，b是滿足16a+9b=0的整數(shù)，其中，a=9k，則b=-16k．題型四、實際問題【例17】（2021·九龍坡區(qū)模擬）某商店搞促銷活動，同時購買一個籃球和一個足球可以打八折，需花費1280元．已知籃球標(biāo)價比足球標(biāo)價的3倍多15元，若設(shè)足球的標(biāo)價是x元，籃球的標(biāo)價為y元，根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B．C． D．【答案】B.【例17】（2021·渝中區(qū)月考）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，方程術(shù)是它的最高成就．其中記載：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？譯文：今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢；每人出7錢，又會差4錢，問人數(shù)、物價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，物價為y錢，以下列出的方程組正確的是（）A． B． C． D．【答案】A.【例18】（2020·義烏市月考）踩高蹺又稱為“扎高腳”“縛柴腳”，如圖是一位演員踩著長度為身高一半的高蹺，腳踏處距高蹺頂端，演員踩在高蹺上時，“身高”為．設(shè)演員的身高為，高蹺的長度為，則下列方程組正確的是（）A． B．C． D．【答案】A.【例19】如圖，我們可以按豎放、平放兩種方式在同一個書架上擺放一定數(shù)量的同一本書，并且要求書脊朝外，方便我們査閱．根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可計算：若只按某一種方式擺放，該書架上最多可擺放這本書的數(shù)量為（）

A．36本 B．38本 C．40本 D．42本【答案】C.【解析】解：設(shè)每本書的厚度為xcm，寬度為ycm，由題意可得：，解得：，∴每本書的厚度為1.5cm，寬度為22cm，若按豎放：34+9÷1.5=40本，若按平放：2×（16+6÷1.5）=40本，∴最多能擺40本，故答案為：C．【例20】（2020·浙江期中）某公司用3000元購進(jìn)兩種貨物，貨物賣出后，一種貨物的利潤率是10%，另一種貨物的利潤率是11%，兩種貨物共獲利315元，如果設(shè)該公司購進(jìn)這兩和貨物所用的費用分別為x元，y元，則列出的方程組是（）A． B．C． D．【答案】D.【例21】（2021·河北保定期末）在長方形中，放入6個形狀大小完全相同的小長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則小長方形的寬的長度為（）cm．A．1 B．1.6 C．2 D．2.5【答案】C.【解析】解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，則AD=x+3y，AB=x+y=6+2y即x-y=6，根據(jù)題意，得：，解得：，即AE=2，故答案為：C．【例22】（2020·寧波市月考）如圖，分別用火柴棍連續(xù)搭建正三角形和正六邊形，公共邊只用一根火柴棍，如果搭建的正三角形和正六邊形共用了2023根火柴，并且正三角形的個數(shù)比正六邊形的個數(shù)多個，那么能連續(xù)搭建的正三角形的個數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】D.【解析】解：設(shè)連續(xù)搭建正三角形的個數(shù)為x個，連續(xù)搭建正六邊形的根數(shù)為y個，

由題意得：，解得：，∴能連續(xù)搭建的正三角形的個數(shù)是293個，故答案為：D．【例23】（2021·安徽亳州市?？迹┰诳箵粜鹿诜窝滓咔槠陂g，某社區(qū)購買酒精和消毒液兩種消毒物資，供居民使用．第一次購買酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花費了350元；第二次又購買了與第一次相同數(shù)量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶價格分別下降了30%和20%，只花費了260元．求每次購買的酒精和消毒液分別是多少瓶？【答案】每次購買酒精20瓶，消毒液30瓶.【解析】解：設(shè)每次購買酒精x瓶，消毒液y瓶，由題意得：，解得：，答：每次購買酒精20瓶，消毒液30瓶．【例24】（2021·古浪縣月考）A，B兩地相距20km，甲從A地向B地前進(jìn)，同時乙從B地向A地前進(jìn)，2h后兩人在途中相遇；如果兩人同時從A地出發(fā)到B地，2h后兩人相距2km，求甲、乙兩人的速度．【答案】見解析.【解析】解：設(shè)甲的速度為x千米/小時，乙的速度為y千米/小時，由題意得，，或解得：，或答：甲的速度為5.5千米/小時，乙的速度為4.5千米/小時，或甲的速度為4.5千米/小時，乙的速度為5.5千米/小時.【例25】（2021·鹽城市月考）本地某快遞公司規(guī)定：寄件不超過1千克的部分按起步價計費：寄件超過1千克的部分按千克計費．小文分別寄快遞到上海和北京，收費標(biāo)準(zhǔn)及實際收費如下表：收費標(biāo)準(zhǔn)目的地起步價（元）超過1千克的部分（元/千克）上海7b北京10b+4實際收費目的地質(zhì)量費用（元）上海2a-6北京3a+7求a，b的值．【答案】a=15，b=2．【解析】解：由題意得：，解得：．答：a的值為15，b的值為2．【例26】（2020·金華市月考）有三把樓梯，分別是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步橫檔減少的長度是一致的．每把樓梯的扶桿長（即梯長）、頂檔寬、底檔寬如圖所示，并把橫檔與扶桿榫合處稱作聯(lián)結(jié)點（如點）．（1）通過計算，補充填寫下表：樓梯種類兩扶桿總長（米）橫檔總長（米）聯(lián)結(jié)點數(shù)（個）五步梯七步梯九步梯（2）一把樓梯的成本由材料費和加工費組成，假定加工費以每個聯(lián)結(jié)點1元計算，而材料費中扶桿的單價與橫檔的單價不相等（材料損耗及其它因素忽略不計）．現(xiàn)已知一把五步梯、七步梯的成本分別是26元、36元，試求出一把九步梯的成本．【答案】（1）見解析；（2）46.8元.【解析】解：（1）五步梯兩扶桿總長為4米，橫檔總長為2米，連接點數(shù)為10個，七步梯、九步梯的扶桿長分別是5米、6米；橫檔總長分別是：×（0.4+0.6）×7=3.5米、×（0.5+0.7）×9=5.4米；連接點個數(shù)分別是14個、18個；填表如下：樓梯種類兩扶桿總長（米）橫檔總長（米）聯(lián)結(jié)點數(shù)（個）五步梯4210七步梯53.514九步梯65.418（2）設(shè)扶桿單價為x元/米，橫檔單價為y元/米，依題意得：，解得：，故九步梯的成本為6×3+5.4×2+1×18=46.8（元），答：一把九步梯的成本為46.8元．【例27】（2019·河北保定月考）小明是一個樂思好學(xué)的學(xué)生，在解答七年級下冊教材中一道拓廣探索題時遇到了困難．這道題是這樣的:一個