2024年安徽省合肥市蜀山區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

2024年安徽省合肥市蜀山區(qū)中考二模試卷

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.你拿到的試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。

2.試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分，請(qǐng)務(wù)必在“答題卷”上答題，在“試題卷”

上答題是無效的。

3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將“試題卷”和“答題卷”一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1.在0、-3、3、3這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A0B.-3C.--D.3

3

2.某物體如圖所示，它的俯視圖是（）

主視方向

3.2023年合肥經(jīng)開區(qū)尸達(dá)到1409.9億元，連續(xù)四年每年跨越一個(gè)百億臺(tái)階，其中1409.9億用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.1.4099X103B.14.099xlO10C.1.4099xl0nD.1.4099xl012

4.下列運(yùn)算正確的是（）

A./?必=%6B.3xy-xy=3C.(%+1)2=必+1D.(-?)2=x6

5.小明探究甲、乙、丙、丁四種物質(zhì)的密度，將測量結(jié)果數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的圖象，則四種物質(zhì)中密度

最大的是（）

質(zhì)量（千克）

甲乙

2.25一：....:

I

1.43-?4

府:T

00.612,2體積（立方米）

A.甲B.乙C.丙D.T

6.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。的光線相交于點(diǎn)P,若

D.40°

7.如圖，。是；ABC的外接圓，ZABO=35°,則NC的度數(shù)等于（)

D.65°

8.如圖，A5是：。的直徑，弦CD交A5于點(diǎn)E,ZACD=60°,NAZ5C=40。則NAXD的度數(shù)為

（）

A.110°B.115°C.120°D.105°

9.如圖，直線,=底-3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

C.(-273,0)D.(-Ao)

10.如圖，在中,NB=45°,ZC=60°-BC=6,點(diǎn)尸為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)E,

PFLBC于點(diǎn)尸,連接石尸，則所的最小值為（

A

BFC

A.3-\/6B.—y/5C.—A/6D.一

222

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

111-而=.

12.分解因式：2爐+12%+18=.

13.如圖所示，A3是：。的直徑，弦過點(diǎn)。作（。的切線交54的延長線于點(diǎn)若

AM=1,870=5貝UAT>=.

14.如圖，在四邊形A3CD中，BCYDC,連接CE交A。于點(diǎn)R。在CE上,

OA=OB=AE=BC=CD,ZAOB=9Q°.

三、計(jì)算題（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

15.計(jì)算：^+（2-73）O-（4-sin600）.

16.某校組織七年級(jí)學(xué)生到合肥市園博園研學(xué)旅行，租用同型號(hào)客車4輛，還剩30人沒有座位；租用5

輛，還空10個(gè)座位.求參加研學(xué)的學(xué)生人數(shù).

四、解答題(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，_ABC頂點(diǎn)4(0,1)、6(3,2)、(1,4)均在小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

(1)畫出.A6C關(guān)于*軸的對(duì)稱圖形AB'C'(點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B'、C).并寫出

A、5'、C'的坐標(biāo)；

(2)在第三象限內(nèi)的格點(diǎn)上找點(diǎn)。，連接A。、6'。.使都NA'￡>5'=45°.(保留作圖痕跡，不寫作

法)

18.某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設(shè)，圖1為有1塊六邊形地

磚時(shí)，正方形地磚有6塊，三角形地磚有6塊；圖2為有2塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有11塊，三角形

地磚有10塊；.…

(1)按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會(huì)增加塊，三角形地磚會(huì)增加塊；

(2)若鋪設(shè)這條小路共用去。塊六邊形地磚，分別用含。的代數(shù)式表示正方形地磚、三角形地磚的數(shù)量；

(3)當(dāng)。=25時(shí)，求此時(shí)正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量.

五、解答題(本大題2小題，每小題10分，滿分20分)

19.隨著測量技術(shù)的發(fā)展，測量飛機(jī)可以實(shí)現(xiàn)精確的空中測量.如圖，為測量我國某海島兩端A、B的距離，

我國一架測量飛機(jī)在距海平面垂直高度為2千米的點(diǎn)C處，測得端點(diǎn)A的俯角為30°,然后沿著平行于A3

的方向飛行5.82千米到點(diǎn)Q,求某海島兩端的距離.(結(jié)果精確到0.1千米，參考數(shù)據(jù)：sin570~0.84,

cos57°?0.55,tan57°?1.54,^3?1.73)

20.如圖，AB為「。的直徑，AC和是,。的弦，連接AD,CD.

P

（1）若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，且FC=PD,求的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)C為弧A。的中點(diǎn)，PD=4,PC=20,求。的半徑.

六、解答題（本大題1小題，滿分12分）

21.某學(xué)校在實(shí)施德智體美勞“五大行動(dòng)”中，計(jì)劃在實(shí)施“美育熏陶”課程中開設(shè)書法、音樂、繪畫，

舞蹈四種項(xiàng)目供學(xué)生選擇.為了合理安排課程，美育王老師從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（規(guī)

定每個(gè)學(xué)生必須且只能選擇一個(gè)項(xiàng)目），并把調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)

圖，部分信息如下：

（1）求出參加這次調(diào)查學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“書法”項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)；

（3）若該校共有3000名學(xué)生，試估計(jì)該校選擇“舞蹈”項(xiàng)目的學(xué)生有多少人.

七、解答題（本大題小題，滿分12分）

22.在學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”這一重要的平面圖形變換時(shí)，李老師設(shè)計(jì)如下的一個(gè)問題，讓同學(xué)們進(jìn)行探究.如圖

1，NC=90。,40=230=10,40=2,過點(diǎn)。作。E1AC交AB于點(diǎn)E,將VADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)a（0Wa<360°）.

AEAD

（1）將VADE旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時(shí)，連接3E,CD,求證:

BE~CD

（2）若將VADE旋轉(zhuǎn)至3,。,石三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求線段CD的長.

23.如圖（1）是一個(gè)高腳杯的截面圖，杯體CPD呈拋物線形（杯體厚度不計(jì)），杯底AB=2Gcm，點(diǎn)。

是A3的中點(diǎn)，OP=CD=6cm,杯子的高度（即CD,A3之間的距離）為15cm,A3所在直線為尤

軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（1個(gè)單位長度表示1cm）.

（1）求杯體CPQ所在拋物線的解析式;

（2）將杯子向右平移2cm,并倒?jié)M飲料，杯體CPD與y軸交于點(diǎn)E（圖2）,過。點(diǎn)放一根吸管，吸管

底部碰觸到杯壁后不再移動(dòng)，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)E,設(shè)吸管所在直線的解析式為>=履+方，求人

的取值范圍;

（3）將放在水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，液面恰好到達(dá)點(diǎn)。處QDQ/）,

如圖3.

①請(qǐng)你以A5的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，A3所在直線為無軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系；

②請(qǐng)直接寫出此時(shí)杯子內(nèi)液體的最大深度.

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）

1

1.在0、—3、-3、3這四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.0B.-3C.--D.3

3

【答案】B

【解析】

【分析】解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個(gè)負(fù)數(shù)

比較大小，絕對(duì)值大的其值反而小.

根據(jù)“負(fù)數(shù)<0〈正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的其值反而小”可得答案.

【詳解】解：3<—,<0<3,

3

-3最小，

故選：B.

2.某物體如圖所示，它的俯視圖是（）

主視方向

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖的定義即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：從上方觀察，可得到選項(xiàng)D的圖形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了俯視圖的定義，解題的關(guān)鍵是掌握從上往下看是俯視圖.

3.2023年合肥經(jīng)開區(qū)GD尸達(dá)到1409.9億元，連續(xù)四年每年跨越一個(gè)百億臺(tái)階，其中1409.9億用科學(xué)記數(shù)

法表示為（）

A.1.4099xl03B.14.099xlO10C.1.4099x10"D.1.4099xl012

【答案】C

【解析】

【分析】用移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的方法確定。值，根據(jù)整數(shù)位數(shù)減一原則確定"值，最后寫成axlO"的形式即

可.本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)，熟練掌握把小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在左邊第一個(gè)非零數(shù)字的后面確定。，運(yùn)用整

數(shù)位數(shù)減去1確定〃值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】?/1409.9億元=140990000000=1.4099xlO11（元），

故選：C.

4.下列運(yùn)算正確的是（）

22326

A.13.X2=X6B.3xy-xy=3C.（x+1）=x+lD.（_x）=x

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，積的乘方，完全平方公式，合并同類項(xiàng)等知識(shí)，根據(jù)運(yùn)算法則逐一

計(jì)算判斷即可，熟練掌握塞的運(yùn)算法則和完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?入了2=V,

A不合題意.

?/3xy-xy=2xy,

.'.B不合題意.

（x+l>=X2+2X+1>

.'.C不合題意.

??.D符合題意.

故選：D.

5.小明探究甲、乙、丙、丁四種物質(zhì)的密度，將測量結(jié)果數(shù)據(jù)繪制成如圖所示的圖象，則四種物質(zhì)中密度

最大的是（）

本質(zhì)量（千克）

“u甲乙

2.25?-?.......:

1.43一/二丁

:丙：丁

00.612：2松積（立方米）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了函數(shù)的圖象.根據(jù)密度=質(zhì)量+體積，從圖象中比較每種物質(zhì)的質(zhì)量和體積，即可得到

答案.

【詳解】解：甲和丙的體積相等，

甲的質(zhì)量〉丙的質(zhì)量，

，甲的密度大；

乙和丁的體積相等，

乙的質(zhì)量〉丁的質(zhì)量，

，乙的密度大；

甲和乙的質(zhì)量相等，

甲的體積（乙的體積，

，甲的密度大.

故選：A.

6.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心。的光線相交于點(diǎn)P,若

Z1=155°,Z3=55°,則N2的度數(shù)為（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、對(duì)頂角相等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

平行線的性質(zhì)求得"尸。=25。，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得=30。，然后利用對(duì)頂角相等求解即

可.

【詳解】光線平行于主光軸，

;.41+"尸0=180°,

Zl=155°,

ZPF(9=180o-Zl=25°,

ZPOF+ZPFO=/2>,

:.ZPOF=Z3-ZPFO=550-25o=30°,

Z2=ZPOF=30°.

故選B.

7.如圖，。是_ABC的外接圓，/45O=35。，則/C的度數(shù)等于（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了圓周角定理,三角形的外接圓.連接A0,根據(jù)。A=05,可得440=2450=35。,

從而得到NAO8=n0°,再由圓周角定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，連接A0,

,/。是ABC的外接圓，

OA=OB,

：.Nfi4O=ZABO=35。，

ZAOB=110°,

：.ZC=-ZAOB=55°.

2

故選：C.

8.如圖，A3是;。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，NACD=60°,NADC=40。則/AXD的度數(shù)為

c

A.110°B.115°C.120°D.105°

【答案】A

【解析】

【分析】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形外角的性質(zhì)，連接

BD，先由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到NAZ)fi=90°,進(jìn)而得到NBDC=50°,再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周

角相等得到NABD=NACD=60°,即可利用三角形外角的性質(zhì)得到

/AED=NABD+NBDC=110°.

【詳解】解：如圖所示，連接6D，

AZADB=90°,

ZADC=40°,

：.ZBDC=50°,

又：NAB。=NACD=60°,

ZAED=ZABD+ZBDC=110°,

故選：A.

9.如圖，直線y=&-3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A.（-373,0）B.(-6,0)C.(-2Ao)D.卜6,0)

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及正切函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的特征和正切函

數(shù)是解題的關(guān)鍵.由直線,=底-3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,得到A（、氏0）,3（0,-3）,結(jié)合

CBLAB,得到NACB=NA5O,利用正切函數(shù)計(jì)算OC即可，

【詳解】解：???直線）=底-3與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B,

：.A（V3,0）,8（0,-3）

:.AO=g，OB=3

/.tanZABO=—^—，

OB3

?：CB±AB,COLOB,

：.ZACB=9Q°-ZBAO=ZABO,

/.tanZACB=tanZABO,

OC3

解得0C=36，

C（-3A/3,0）,

故選：A.

10.如圖，在.ABC中，4=45°,ZC=60°,BC=6,點(diǎn)尸為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PELAB于點(diǎn)E,

PFLBC于點(diǎn)F,連接所，則所的最小值為（）

A.3A/6B.—y/5C.—s/6D.一

222

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.連接6P，

取嚴(yán)的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG,先證明VEGC為等腰直角三角形，得到=進(jìn)而可知當(dāng)

2

3P，AC時(shí)BP最小，利用直角三角形的性質(zhì)求出的最小值即可得到答案.

【詳解】解：連接6P，取6月的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG,

PELAB,PF±BC,

：.ZBEP=ZBFP=90°,

：.EG=FG=-BP,

2

ZBEP=ZEBGZBFG=NFBG,

NEGF=NBEG+NEBG+ZBFG+ZFBG=2(NEBG+ZFBG)=2ZABC=90°,

EF=y]EG2+FG2=?EG^—BP，

2

當(dāng)時(shí)，6P取最小值，此時(shí)，EF的值也最小，

ZC=60°,

:.ZPBC=30°,

PC=-BC=3,

2

BP=VBC2-CP2=373,

.?.BP的最小值為36，

此時(shí)，ER的最小值為受x3b=￡6.

22

故選C.

A

BFC

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11.1-716=.

【答案】-3

【解析】

【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根，直接利用算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡得出答案.

【詳解】解：1—屈=1—4=—3,

故答案為：-3.

12.分解因式：2爐+12%+18=.

【答案】2（%+3）2

【解析】

【分析】先提取公因式2,再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解即可.

【詳解】解：2%2+12%+18=2（/+6無+9）=2（%+3）2.

故答案為:2（x+3『.

【點(diǎn)睛】本題考查了分解因式，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解

因式.

13.如圖所示，A3是。的直徑，弦過點(diǎn)。作（。的切線交5A的延長線于點(diǎn)。，若

AM=1,5M=5則AT>=.

【答案】1.5

【解析】

【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；連接

CO,證明△OCMS/KODC,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：連接CO,

MO

AM=1,BM=5,

AB—6，OA=OB-OC=3，

：CD為「。的切線，CE1AB,

：.ZACO=ZCMO=90°,

V/COM=/COD,

：.Z\OCM^/\ODC,

.OC_OM

ODOC

OM3-12

AD=OD—04=4.5—3=1.5,

故答案為：1.5.

14.如圖，在四邊形ABCD中，BCLDC,連接CE交AD于點(diǎn)孔。在CE上,

OA=OB=AE=BC=CD,ZAOB=90°.

Ek

B^-——JC

(1)若NE=25°,則ZfiCE=°

(2)若OA=13,OC=10,貝！ItanZOAD=

7

【答案】①65②.一

17

【解析】

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得NAOE=NAEO=25。，可得NBOC=65°,由=可得

NBCE=65。；

(2)過點(diǎn)。作。于點(diǎn)M,于點(diǎn)N,于點(diǎn)R,ASLCE于S,得

AS//DM//BN,.ASO也ONB,得AS=ON,OS=5N,由勾股定理求出BN=12,,BNC也,CMD,

3s84XS

一AS尸也,DWR,求出。尸=7,證明一0MsA5M9,得旌=3，RO=J,AR=吆，從而可得答案

121313

【詳解】解：(1)VAE=AO,

：.ZE=ZAOE=25°,

'：ZAO5=90。,

ZBOC=180°-25°-90°=65°,

?:OB=CB,

：.ZBOC=ZBCE=65°

(2)過點(diǎn)。作OMLCE于點(diǎn)M,5NLCE于點(diǎn)N,ERLAO于點(diǎn)R,45，。石于5,如圖,

ZASO=ZBNO=/BNC=ZDMC=ZDMH=90°=ZAOB,

：.ZNBO+ZBON=ZBON+ZAOS=90°,

ZNBO=ZAOS,

OA=OB,ZASO=ZBNO=90°,

^ASOAONB,

AS=ON,OS=BN,

?/OB=BC,BN±OC,

：.ZNBO=ANBC,CN=ON^~OC=5,

2

由勾股定理得，BN^y/OB2-NC7=12,

AS=5,OS=12,

,/BCLDC,

：.ZBCD=90°,

：.ZDCM+NBCN=90°,

又ZBCN+ZCBN=90°,

ZDCM=/CBN

?/BC=CD,NBNC=ZDMC=90°,

:.aBNC—CMD,

：.CM=BN=12,DM=CN=5,

：.OM=CM-OC=2,SM=12-2=10,

ZASF=NDMF=90°,ZAFS=ZDFM,AS=DM=5,

：.^ASF^DMF,

：.SF=MF=5,

：.OF=1,

■：ZNBO=ZAOS,AFRO=ZBNO=90°,

：.-ORFsBNO,

.FRROOF

''~ON~~BN—訪

.FRRO_7

…35cc84

FR=——,R0=—

1313

84_85

AR=13—

13-135

FR7

tanZOAD=——=—

AR17

7

故答案為：65；—

17

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)在，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理以及求角的正切值，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形以及相似三角形是解答本題的關(guān)鍵

三、計(jì)算題(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

15.計(jì)算：8+(2—6)°—(4—sin600).

【答案】空_3

2

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，零指數(shù)塞，特殊角的函數(shù)值計(jì)算即可，本題考查了算術(shù)平方根，零指數(shù)塞，特

殊角的函數(shù)值，熟練掌握公式和函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】+(2-V3)°-(4-sin60°)

=2V3+l-4+—=^-3.

22

16.某校組織七年級(jí)學(xué)生到合肥市園博園研學(xué)旅行，租用同型號(hào)客車4輛，還剩30人沒有座位；租用5

輛，還空10個(gè)座位.求參加研學(xué)的學(xué)生人數(shù).

【答案】190

【解析】

【分析】設(shè)每輛車能乘坐x人，根據(jù)題意，得4x+30=5x-10,解方程即可.本題考查了一元一次方程

的應(yīng)用，租車問題，正確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)每輛車能乘坐x人，

根據(jù)題意，得4x+30=5x-10,

解得x=40,

故4元+30=190(人),

答：參加研學(xué)的學(xué)生有190人.

四、解答題(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)4(0,1)、6(3,2)、(1,4)均在小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上.

(1)畫出一ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形AB'C'(點(diǎn)A、B、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、8、C).并寫出

A、B'、C'的坐標(biāo)；

(2)在第三象限內(nèi)格點(diǎn)上找點(diǎn)。，連接A。、B'D.使都NA'￡>B'=45°.(保留作圖痕跡，不寫作

法)

【答案】⑴作圖見解析，4(0,—1)、5'(3,—2)、C(l,-4)；

(2)作圖見解析.

【解析】

【分析】(1)作4(0,1)、5(3,2)、(1,4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A、B'、C,連接各點(diǎn)即可；

(2)以A'B'為邊構(gòu)造等腰直角三角形即可；

本題考查了坐標(biāo)系中作圖，對(duì)稱作圖，作已知角等于定角，熟練掌握作圖的基本要領(lǐng)是解題的關(guān)鍵.

小問1詳解】

如圖，作4(0,1)、5(3,2)、(1,4)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A(Q—1)、6'(3,—2)、C'(1,T),

.AB'C即為所求;

【小問2詳解】

如圖，以A'B'為邊構(gòu)造等腰直角三角形,

由網(wǎng)格可知ATP=io，43'2=10，37)2=20,

AB'=AD,AD2+AB'2=B'D1，

，A8￡)是等腰直角三角形，

乙AD5'=45。，

???點(diǎn)。即為所求.

18.某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設(shè)，圖1為有1塊六邊形地

磚時(shí)，正方形地磚有6塊，三角形地磚有6塊；圖2為有2塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有11塊，三角形

地磚有10塊；.…

(1)按照規(guī)律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會(huì)增加塊，三角形地磚會(huì)增加塊；

(2)若鋪設(shè)這條小路共用去。塊六邊形地磚，分別用含。的代數(shù)式表示正方形地磚、三角形地磚的數(shù)量;

(3)當(dāng)。=25時(shí)，求此時(shí)正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量.

【答案】(1)5,4

(2)正方形地磚有(5a+l)塊，三角形地磚有(4a+2)塊

(3)正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量為228塊

【解析】

【分析】本題主要考查圖形的規(guī)律，整式的運(yùn)算，理解圖形的數(shù)量關(guān)系，掌握整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)圖形的數(shù)量，找出數(shù)量關(guān)系即可求解；

（2）根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系列式求解即可；

（3）把a(bǔ)=25代入上述的數(shù)量關(guān)系式即可求解.

【小問1詳解】

解：第1個(gè)圖，六邊形的個(gè)數(shù)為1塊，正方形地磚有6塊，三角形地磚有6塊；

第2個(gè)圖，六邊形的個(gè)數(shù)為2塊，正方形地磚有H塊，三角形地磚有10塊；

第3個(gè)圖，六邊形的個(gè)數(shù)為3塊，正方形地磚有16塊，三角形地磚有14塊；

L,

第九個(gè)圖，六邊形的個(gè)數(shù)為〃塊，正方形地磚有6+5（〃—1）=（5〃+1）塊，三角形地磚有

6+4（〃—1）=（4八+2）塊；

每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會(huì)增加5塊，三角形地磚會(huì)增加4塊，

故答案為：5,4；

【小問2詳解】

解：根據(jù)第九個(gè)圖，六邊形的個(gè)數(shù)為幾塊，正方形地磚有6+5（〃-1）=5〃+1塊，三角形地磚有

6+4（〃—1）=4〃+2塊，

用去。塊六邊形地磚時(shí)，正方形地磚有（5a+l）塊，三角形地磚有（4a+2）塊；

【小問3詳解】

解：當(dāng)a=25時(shí)，正方形地磚有：5a+l=5x25+l=126（塊），三角形地磚有：

4a+2=4x25+2=102（塊），

--.126+102=228（塊），

???正方形地磚和三角形地磚的總數(shù)量為228塊.

五、解答題（本大題2小題，每小題10分，滿分20分）

19.隨著測量技術(shù)的發(fā)展，測量飛機(jī)可以實(shí)現(xiàn)精確的空中測量.如圖，為測量我國某海島兩端A、B的距離，

我國一架測量飛機(jī)在距海平面垂直高度為2千米的點(diǎn)C處，測得端點(diǎn)A的俯角為30°,然后沿著平行于A3

的方向飛行5.82千米到點(diǎn)Q,求某海島兩端的距離.（結(jié)果精確到0.1千米，參考數(shù)據(jù)：sin570~0.84,

cos57°?0.55,tan57°?1.54,^3?1.73）

c

【答案】3.6千米

【解析】

【分析】本題考查了俯角的定義、解直角三角形與矩形的性質(zhì)，注意能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三

角形是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.首先過點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作防，CD延長

線于點(diǎn)/，易得四邊形A5FE為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得=AE=5尸.由題意可知：AE=BF

以及CD的距離，然后分別在直角△AEC與直角△BED中，利用三角函數(shù)即可求得CE與的長，繼

而求得海島兩端A3的距離.

【詳解】解：過點(diǎn)A作AELCD于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作呼，CD延長線于點(diǎn)尸，

AB//CD,

:.ZAEF=ZEFB=ZABF=90°,

四邊形為矩形，

:.AB=EF,AE=BF=2,

在直角△AEC中，ZC=30°,AE=2,

:.CE=--------=V3AE=2鳳3.5,

tan30°

在直角/XBED中，ZBDF=5T,BF=2,

DF=———=--—?1.3,

tanNBDFtan57°

:.AB=EF=CD+DF-CE=5.82+1.3-3.5~3.6（千米）.

答：海島兩端A5的距離約為3.6千米.

20.如圖，AB為「0的直徑，AC和BD是一。的弦，連接AD,CD.

p

(1)若點(diǎn)C為AP的中點(diǎn)，且PC=?D,求的度數(shù)；

(2)若點(diǎn)C為弧A。的中點(diǎn)，PD=4,PC=2下,求。的半徑.

【答案】(1)60°

(2)3

【解析】

【分析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得NADfi=90°,在Rt_ADP中，點(diǎn)C為斜邊AP的中點(diǎn)，

則CE>=AC=PC,再根據(jù)PC=PD可得_PCD為等邊三角形，則NPCD=60°,然后根據(jù)圓內(nèi)接四

邊形的性質(zhì)可得13的度數(shù)；

(2)根據(jù)點(diǎn)C為弧A。的中點(diǎn)得NC4O=NCZM,AC=CD,證NCDP=ZP得CD=PC=26,

則AC=CD=PC=2Q,AP=4石，再證△尸COsPBA得CD:AB=PD:PA,由此可得

AB=6,由此可得。。的半徑.

【小問1詳解】

解：為「。的直徑，

ZADB=90°,

在Rt_ADP中，點(diǎn)C為斜邊AP的中點(diǎn)，

CD=AC=PC,

,:PC=PD,

：.CD=PC=PD,

PCD為等邊三角形，

/PCD=60°,

..?四邊形內(nèi)接于C0,

：.ZPCD+ZACD=1SO°,ZACD+ZB=180°,

ZB=ZPCD=60°；

【小問2詳解】

:點(diǎn)c為弧AD的中點(diǎn)，

/.ZCAD=ZCDA,AC=CD,

?：ZADB=90°,

NCDA+NCDP=90°,

在Rt.ADP中，ZCAD+ZP=90°,

/.ZCDP=ZP,

???CD=PC=2g，

???AC=CD=PC=2百，

???AP=AC+PC=46，

ZPCD=ZB,ZP=ZP,

：..PCD^PBA,

CD:AB^PD:PA,

即

4.A5=2^X4A/3.

***AB=6,

/.。的半徑為工AB=3.

2

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形和等腰三角

形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等，綜合運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解決問題的關(guān)

鍵.

六、解答題（本大題1小題，滿分12分）

21.某學(xué)校在實(shí)施德智體美勞“五大行動(dòng)”中，計(jì)劃在實(shí)施“美育熏陶”課程中開設(shè)書法、音樂、繪畫，

舞蹈四種項(xiàng)目供學(xué)生選擇.為了合理安排課程，美育王老師從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查（規(guī)

定每個(gè)學(xué)生必須且只能選擇一個(gè)項(xiàng)目），并把調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)

圖，部分信息如下：

請(qǐng)你根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)求出參加這次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“書法”項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)；

(3)若該校共有3000名學(xué)生，試估計(jì)該校選擇“舞蹈”項(xiàng)目的學(xué)生有多少人.

【答案】(1)60人，見解析

(2)108度(3)300人

【解析】

【分析】(1)根據(jù)選擇“繪畫”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)占20%,可知選擇其余項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)占80%,再根據(jù)條

形統(tǒng)計(jì)圖求出其余項(xiàng)目的總數(shù)，從而求出參加這次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)和選擇繪畫”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)，從而補(bǔ)

全條形統(tǒng)計(jì)圖；

(2)用“書法”項(xiàng)目所占比例乘以360°即可求得所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)；

(3)用該校學(xué)生數(shù)乘以調(diào)查中選擇“舞蹈”項(xiàng)目的學(xué)生比例即可得解.

【小問1詳解】

解：由扇形圖可知：選擇“繪畫”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)占20%,

選擇其余項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)占80%,

由條形統(tǒng)計(jì)圖可知：選擇其余項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)是：18+24+6=48(人)

參加這次調(diào)查學(xué)生人數(shù)為：48+80%=60(人)，

...選擇繪畫”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù)為：60x20%=12(A),

補(bǔ)全補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

360°x—=108°,

60

答：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“書法”項(xiàng)目所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為108度；

【小問3詳解】

3000x9=300（人）

60

答：估計(jì)該校選擇“舞蹈”項(xiàng)目的學(xué)生有300人.

七、解答題（本大題小題，滿分12分）

22.在學(xué)習(xí)“旋轉(zhuǎn)”這一重要的平面圖形變換時(shí)，李老師設(shè)計(jì)如下的一個(gè)問題，讓同學(xué)們進(jìn)行探究.如圖

1,NC=90°,AC=230=10,40=2,過點(diǎn)。作DE1AC交AB于點(diǎn)E,將VAQE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方

向旋轉(zhuǎn)a（0<a<360°）.

BBB

a

D）zi/I

圖1圖2備用圖

（1）將VADE旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時(shí)，連接BE,CD,求證：—.

BECD

（2）若將VADE旋轉(zhuǎn)至瓦。,后三點(diǎn)在同一條直線上時(shí),求線段CD的長.

【答案】（1）詳見解析

（2）與I或4若

【解析】

Al）Ap

【分析】（1）利用平行線的判定與性質(zhì)求出.ADEs,ACB,根據(jù)相似的性質(zhì)得到——=—,由旋轉(zhuǎn)的

ACAB

性質(zhì)得到ZDAC=ZEAB，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可得解;

(2)根據(jù)勾股定理求出AB=5有，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出CD=曾5￡，分點(diǎn)、D在BE

上、點(diǎn)。在跖的延長線上兩種情況，根據(jù)勾股定理求出國，據(jù)此計(jì)算即可.

【小問1詳解】

證明：?NC=90°,DE，AC

：.DE//BC

ADEs,ACS

,ADAE

,AC-AB

將VADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2位置

:.ZEAD+ZDAB=ZBAC+ZDAB

:.ZDAC=ZEAB

:.AADCSAAEB

AE_AD

"BE~CD

【小問2詳解】

ZABC=90°,AC=2BC=10

：.BC=5

AB=VAC2+BC2=V102+52=5A/5

DE//BC

ADACAEAB

"DE~BC~'AD~AC

AD=2

：.DE=1

，「AEAD

由(1)知，——=——

BECD

.BE_AE

-CD—AD

BEAB57575

"CD~AC~10—2

:.CD=-^BE

5

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在班上時(shí),

:.ZADB=90°

在RjADB中，AB=5A/5,AD=2

由勾股定理得，DB=^AB2-AD2=*J（5A/5）2-22=11

;.BE=BD+DE=11+1=12

.。=小拽=2

55

如圖，當(dāng)點(diǎn)。在BE的延長線上時(shí)，

在用_ADB中，AD=2,AB=5y/5

由勾股定理得，BD=7AB2-AD2=J（5A/5）2-22=11

；.BE=BD—DE=11-1=10

2/s

CD=10x^-=4y/5

綜上所述：線段CD的長為笞叵或4班.

【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，比例的基

本性質(zhì)，根據(jù)題意分情況畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

23.如圖（1）是一個(gè)高腳杯的截面圖，杯體CPD呈拋物線形（杯體厚度不計(jì)），杯底AB=2&cm，點(diǎn)。

是A5的中點(diǎn)，QP=CD=6cm,杯子的高度（即CD,AB之間的距離）為15cm，A5所在直線為x

軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（1個(gè)單位長度表示1cm）.

（1）求杯體CPD所在拋物線的解析式;

（2）將杯子向右平移2cm,并倒?jié)M飲料，杯體CPQ與y軸交于點(diǎn)E（圖2）,過。點(diǎn)放一根吸管，吸管

底部碰觸到杯壁后不再移動(dòng)，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)E,設(shè)吸管所在直線的解析式為了=依+6,求上

的取值范圍；

（3）將放在水平桌面/上的裝有飲料的高腳杯繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，液面恰好到達(dá)點(diǎn)。處（DQ/）,

如圖3.

①請(qǐng)你以A3的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，A5所在直線為x軸，OP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系；

②請(qǐng)直接寫出此時(shí)杯子內(nèi)液體的最大深度.

【答案】（1）y=x2+6

(2)1＜左＜5

(3)①.0,15-3@見解析;②/平

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，得到P（0,6）,0（3,15）,設(shè)拋物線解析式為丁=奴2+。，代入計(jì)算即可；

（2）先確定平移后的解析式為y=（x—2『+6=f—4%+10,再計(jì)算直線OE的解析式和直線。歹的解

析式，結(jié)合喝過一次飲料后，發(fā)現(xiàn)剩余飲料的液面低于點(diǎn)E