2024年新高考數(shù)學(xué)模擬試題8（含詳細(xì)解析） (二)

2024年新高考數(shù)學(xué)模擬試題8

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

22/T

2.若橢圓C:二+匕=1的離心率為則橢圓C的長軸長為（）

m23

A.6B.孚或2?C.2屈D.2亞或2瓜

3.記S〃為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若%+%=10，%。6=35,則S6=（）

A.20B.16C.14D.12

4.已知冽、〃是兩條不同直線，a、B、7是三個(gè)不同平面，則下列命題中正確的是（）

A.若加〃a,n//a,則冽〃〃B.若a_L〃，y,則a〃6

C.若加〃a,m//（3,則a〃/?D.若加_La,nLa,則加〃〃

5.2023年10月23日，杭州亞運(yùn)會(huì)歷時(shí)16天圓滿結(jié)束.亞運(yùn)會(huì)結(jié)束后，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)排成一排合影留念,

其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必須相鄰，則不同的站法共有（）

A.18種B.24種C.30種D.36種

6.若。是A/BC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|礪-園=|礪+1-痂則A/3C的形狀為（）

A.等邊三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

7.1+tan(a-/3)tan———=6,tanatanIy-/?I=3,貝Ucos(4a+%)=()

79794949

A.——B.—C.——D.——

81818181

22

8.已知片、此分別為雙曲線4-餐=13>0,6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為6,且

ab

sin￡)P￡G=3sinD對工,則該雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±-^-xB.y=±-^-xC.y=±y[2xD.y=±y/3x

二、多選題

9.函數(shù)"x）=2sin12s+m（O<0<l）的圖象如圖所示，將其向左平移己個(gè)單位長度，得到N=g（x）的圖象，則下

列說法正確的是（）

A.0=gB.函數(shù)/*）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-去。）對稱

C.函數(shù)kg（x）的圖象關(guān)于直線x=F對稱D.函數(shù)>=g2x+g在-葭上單調(diào)遞減

61-9

試卷第1頁，共6頁

10.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為e'、cosx+isinx,i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義

域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”(e為自然對數(shù)的底數(shù)，i為

虛數(shù)單位)，依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是()

A.復(fù)數(shù)e胃為純虛數(shù)

B.復(fù)數(shù)/對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.復(fù)數(shù)e片的共軌復(fù)數(shù)為1-L

D.復(fù)數(shù)e[0,K])在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半圓

11.已知函數(shù)定義域?yàn)镽,滿足/(x+2)=g/(x),當(dāng)時(shí)，〃x)=N.若函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)

g(x)=[]2(-2023WXV2023)的圖象的交點(diǎn)為(孫兀)，(巧，z)，…仁,力),(其中國表示不超過x的最大整數(shù)),

則()

A.g(x)是偶函數(shù)B.”=2024C.fx;=0D.=22012-2-1011

Z=1Z=1

12.已知了(xhG3T的定義域?yàn)榧?="€1<|1<辦<2},若8=/,則實(shí)數(shù)0的取值范圍是.

13.已知四面體力-BCD,其中/D=BC=2,CD=AB=45,AC=BD=41，E為CD的中點(diǎn)，則直線4D與BE

所成角的余弦值為;四面體A-BCD外接球的表面積為.

14.在同一平面直角坐標(biāo)系中，尸,0分別是函數(shù)/(x)=axex-ln(ax)和g(尤)=」皿”」圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若對任意a>0,

X

有|尸。]?加恒成立，則實(shí)數(shù)加的最大值為.

四、解答題

15.已知函數(shù)〃x)=bix+，,aeR.

⑴討論/'(x)的單調(diào)性；

(2)若a=g,x>l,證明：f^x)<ax.

試卷第2頁，共6頁

16.多項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常見題型，從A,B,C,。四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案(四個(gè)選項(xiàng)中至少有

兩個(gè)選項(xiàng)是正確的)，其評分標(biāo)準(zhǔn)為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

(1)甲同學(xué)有一道多項(xiàng)選擇題不會(huì)做，他隨機(jī)選擇至少兩個(gè)選項(xiàng)，求他猜對本題得5分的概率；

(2)現(xiàn)有2道多項(xiàng)選擇題，根據(jù)訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，每道題乙同學(xué)得5分的概率為g,得2分的概率為:；丙同學(xué)得5分的概

率為工，得2分的概率為;.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項(xiàng)選擇題乙比丙總

分剛好多得5分的概率.

試卷第3頁，共6頁

_

17.如圖，在三棱柱NBC-44G中，AB=AB\=5BC=B1C=?,BB}=1,二面角/-8耳-。的大小為60。.

⑴求四邊形/CG4的面積；

⑵在棱44上是否存在點(diǎn)使得直線C"與平面/4G所成的角的正弦值為孚？若存在，求出4M的長；若不

存在，說明理由.

試卷第4頁，共6頁

18.已知拋物線。：f=20.5>0)的焦點(diǎn)為尸，過下的直線/交于48兩點(diǎn)，過尸與/垂直的直線交于兩點(diǎn),

其中2,。在了軸左側(cè)，”,"分別為/優(yōu)?！甑闹悬c(diǎn)，且直線過定點(diǎn)(0,3).

⑴求拋物線C：x?=2py(p>0)的方程；

(2)設(shè)G為直線AE與直線BD的交點(diǎn)；

(i)證明G在定直線上；

(ii)求AMGN面積的最小值.

試卷第5頁，共6頁

19.若數(shù)列｛叫滿足：a"e｛O』｝,”eN*,且％=1,則稱｛%｝為一個(gè)X數(shù)列.對于一個(gè)X數(shù)列｛%｝,若數(shù)列也｝滿

足:4=1,且％=%-等4”N*,則稱也｝為｛%｝的伴隨數(shù)列.

⑴若X數(shù)列｛%｝中，出=1，%=0，%=1，寫出其伴隨數(shù)列也｝中“也也的值；

(2)若｛a,,｝為一個(gè)X數(shù)列,也,｝為｛4｝的伴隨數(shù)列

①證明："｛??)為常數(shù)列”是“｛4｝為等比數(shù)列的充要條件；

②求a023的最大值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.B

【分析】由中位數(shù)定義即可得.

【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)離心率的計(jì)算公式，分焦點(diǎn)的位置，討論即可求解.

【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在了軸時(shí)，由e=(=19，解得加=g,符合題意，此時(shí)橢圓C的長軸長為2血;

當(dāng)焦點(diǎn)在無軸時(shí)，由6=逅=半2,解得加=6,符合題意，此時(shí)橢圓C的長軸長為2詬=2".

3y/m

故選：D.

3.D

【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得生，然后依次求得&，公差，最后求得

【詳解】,??{4}是等差數(shù)列，

a3+a7=2a5=10,a5=5,所以4==7,

公差d=a6-a5=2,

%=a5-4d=-3,

?,?&=6x(—3)+夕x2=12,

故選：D.

4.D

【分析】利用長方體中線面的關(guān)系，逐一確定各選項(xiàng).

A選項(xiàng)：令平面4BCD為平面4片為直線加，5G為直線〃，

有：m//a,n//a,但加c〃=5],A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：令平面/BCD為平面尸，令平面與BCG為平面a,

令平面4,8月為平面7,有：a'B,/?!/,而aJL夕，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：令平面為平面a,令平面448片為平面廣，G2為直線加，

有：m//a,冽〃尸，則a〃/，而。_L尸，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：垂直與同一平面的兩直線一定平行，D正確.

故選：D

5.C

【分析】分類當(dāng)丙站在左端時(shí)及丙不站在左端時(shí)的情況計(jì)算即可得.

【詳解】由題意可知，當(dāng)丙站在左端時(shí)，有A；=6種站法；

當(dāng)丙不站在左端時(shí)，有C；A；A；=24種站法.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，一共有6+24=30種不同的站法.

故選：C.

6.D

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可以得出I刀+%|=|您-就進(jìn)而得到赤，衣，由此可判斷出的形狀.

答案第1頁，共10頁

【詳解】'."OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC^OB-OC=CB=AB-AC-

/.|Z8+IZc|=|Z8-l4c|,兩邊平方，化簡得萬.就=0.?.方_L就.

/.A4BC為直角三角形.

因?yàn)镹8不一定等于ZC,所以A/BC不一定為等腰直角三角形.

故選：D.

7.A

【分析】結(jié)合二倍角公式和兩角和差公式化簡即可求得.

2a-pTo?a-(3'

1-tan......-2tan———

【詳解】----———-tan———1+tan(6z-/?)tan———=6,________2_1+2=6.

,a-P2''2tan"laZi

2I2)

]?a—B)2a—0、

2cos(a-/?)Jan2+2tan、

sin(a-￡)l-tan2^

I2>

1+za-B

2cos(cr-/?)1+tan---2cos(a—')1

$由(?！?l-tan2^sin(a-,)cos(?-y0)

I2)

sin(a-〃)=；,sinacos(3-cosasinp=；,

又因?yàn)閠anatan]]-尸1=3,所以sinacos'=3cosasin,,

則cosasin/?=：,sinacos/?=g,所以sin(a+/7)=.2

sinacos/?+cosasin/?=§

4i

cos(2cr+2y0)=l-2sin2(cr+/?)=l-2x—=—.

i79

cos(4a+4/?)=2cos2(2a+2y0)-l=2x—-1=-—

故選：A

8.A

【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)sinDPa耳=3sin￡)廳;乃得出|尸聞=乖工根據(jù)雙曲

線的定義得出\PF^=a,再然后根據(jù)+|FO|2=儂干得出DOPg=90。以及|招|=?,根據(jù)國葉+\HP^=|0可得

出最后將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線二中,通過化簡即可得出結(jié)果.

P/一廬=1

【詳解】設(shè)片為雙曲線的下焦點(diǎn)，鳥為雙曲線的上焦點(diǎn)，繪出雙曲線的圖像,

如圖，過點(diǎn)尸作9,6月于點(diǎn)H,

HsinDPF2F1=3sinDPF}F2,

PH,PH,

所以布=3|尸周=3|尸局，

rr2rri

因?yàn)閨W|T尸引=2a,所以|尸典=a,

答案第2頁，共10頁

因?yàn)殡p曲線上的點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離為6,即忸。|=6,且|。閭=。,

22

所以忸與「+|尸。|=a+Z?2=c2=陷j,DOPF2=90°,

故加州I*［倉理］囪，陽二g

2

因?yàn)閨〃?！?明『=|0竹，所以卜工abb

2

a,2c,2，b4~a4=a2[a+

2ij：+1=0,

b4~a2b2~2a4=0,4-工-2二。,

aa

解得q=2或T（舍去），-=V2,aV2

——----9

aab2

_.V2

則該雙曲線的漸近線方程為y=+^x=±----x，

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查雙曲線定義以及等面積法的靈活應(yīng)用，考查計(jì)算能力，考查化

歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.

9.ABD

【分析】首先化簡函數(shù)/(X),再根據(jù)函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷A,B；利用圖

象平移求函數(shù)g(x)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷C,D.

【詳解】函數(shù)/(x)=2sin(20x+3,當(dāng)d=2sin(空+胃=2,

,,?,CDTI兀兀八T,~1,TT~

此時(shí)--1———F2kit,左￡Z,①=—F6k,左￡Z,

3322

因?yàn)?<0<1,所以0=；,所以/(x)=2sin］x+|J,故A正確；

4-j=2sin(-；+j=2sin0=0,所以/(可關(guān)于點(diǎn)'：()］對稱，故B正確；

函數(shù)圖象向左平移5個(gè)單位長度后得到g(x)=2sin(x+多+弓=2cosx,

g(x)=2cosx,當(dāng)尤=合時(shí)，g(x)=2cos^=6,所以函數(shù)^=8(無)的圖象不關(guān)于直線x=9對稱，故C錯(cuò)誤;

666

(c兀、C兀、、［,「兀Til?,c?！肛?兀］「八1

g［2x+1J=2cos12x+wJ,當(dāng)xe時(shí)，2x+c［0,7i］,

所以函數(shù)g(2x+g］在-會(huì)方上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：ABD

10.ABD

【分析】根據(jù)給定的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷即得.

【詳解】對于A,e^=cos-+isin-=i,則尤為純虛數(shù)，A正確；

22e

對于B,ei3=cos3+isin3,而^TT<3<兀，即cos3<0,sin3>0,則復(fù)數(shù)屋對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，B正確;

2

對于C,e^=cos-+isin-=-+^i,復(fù)數(shù)5的共軻復(fù)數(shù)為，一也i,C錯(cuò)誤；

3322e22

答案第3頁，共10頁

對于D,e"=cos0+isin0,\e1'|=|cos。+isin61=1,

復(fù)數(shù)e\ee[0,71])在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1的半圓，D正確.

故選：ABD

11.BC

【分析】舉例說明判斷A；分析函數(shù)Ax)與g(x)的性質(zhì)，作出部分函數(shù)圖象，結(jié)合圖象與性質(zhì)推理、計(jì)算判斷BCD.

【詳解】函數(shù)g(x)=g)2」(一2023VxV2023),顯然g(-l)=l,而g⑴=5,即g(-l)Hg⑴，因此g(x)不是偶函數(shù),

A錯(cuò)誤；

函數(shù)/⑴定義域?yàn)镽,滿足/(x+2)=g/(x),當(dāng)—l?xvl時(shí)，/(x)=|x|,

當(dāng)1<％<3時(shí)，一14%一2<1,/(X)=；/(%—2)=g|x—2],

當(dāng)2k—1Wx<2k+1,左EN時(shí)，—1<x—2k<1,f(x)=—f(^x—2,)=/(x—4)=L=于(x-2k)=\x—2k\,

當(dāng)一3?工<一1時(shí)，一l?x+2<l,/(x)=2/(x+2)=21x+21,

當(dāng)一2左一l?x<—2左+1,左wN時(shí)，一l<x+2左<1,/(X)=2/(X+2)=22/(X+4)=L=2kf(x+2k)=2k\x+2k\,

因此當(dāng)Xe[2j-\,2j+1),/eZ時(shí)，函數(shù)〃x)=]IX-2力在[2/T2幾jeZ上遞減，

在[2),27+1)"€2上遞增，當(dāng)尤=2/-l,/eZ時(shí)，/⑴取得最大值],

當(dāng)一14x<l時(shí)，04罟<1,[^-]=0,g(x)=l,

Y+1Y+1I

當(dāng)2左一1<工<2左+1,左EN時(shí)，k<--<左+1,[--]=k,g(x)=—

222k9

當(dāng)一2左一lVx<-24+l#wN時(shí)，-kM=<-k+\,[—^]=-^,g(x)=2\

因此當(dāng)xe[2j-l,27+1),/eZ時(shí)，函數(shù)g(x)=：,

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)^=〃切/=8比)的部分圖象，如圖，

當(dāng)xe[2)-1,2/+1),/eZ時(shí)，函數(shù)kf(x),y=g(x)的圖象有唯一公共點(diǎn)(2J-1,fJEZ,

因?yàn)?2013V尤V2013,因此幾n=T011,jmax=1012,而滿足-1011W/W1012的整數(shù)有2024個(gè)，即“=2024,B

正確；

顯然匹=2/-1』=j+1012,-1011<j<1012,；eZ,

2024

所以=(-2013)+(-2011)+…+(-2)+(-1)+1+2+…+2011+2013=(,C正確；

1=1

Z.=J,,z=7+1012,-1011<j<1012,jGZ,數(shù)列｛」｝(一1011?八1012,)")是首項(xiàng)為21。“，公比為;的等比數(shù)歹U,

2，2，2

M112024

20242[1-(1)]

所以之％=-------r—=21012-2-1012,D錯(cuò)誤.

I1--

2

故選：BC

答案第4頁，共10頁

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求兩個(gè)分段函數(shù)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，再代入該段的解析式

求值是關(guān)鍵.

12.[-1,1]

【分析】先求出/（尤）的定義域得到集合4再根據(jù)子集的定義即可求得a的取值范圍.

【詳解】x2-1>0,貝！1x21或xW-l,即/={無建21或

①當(dāng)。=0時(shí)，3=0,滿足8=/,符合題意；

②當(dāng)a>0時(shí)，B={x&R|—<x<—],所以若5=/,

aa

12

則有一21或一W—1（舍），解得0<。<1；

aa

21

③當(dāng)。<0時(shí)，S={xeR|-<x<-},所以若

aa

1?

則有一1或一（舍），解得一l?Q<0.

aa

綜上所述，ae[-l,l].

故答案為：[75

13.871

-3434

【分析】將四面體/-BCD補(bǔ)成長方體/MCN-P3QD,根據(jù)勾股定理求出//、AN、4P的長，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原

點(diǎn)，AM、AN、/尸所在直線分別為x、>、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求出直線AD與BE所成

角的余弦值，求出四面體力-BCD外接球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】在四面體中，AD=BC=2,CD=AB=曲,AC=BD=41,

將四面體A-BCD補(bǔ)成長方體AMCN-PBQD,

AD2=AP2+AE2=4AP=\

則AB2=AP2+AM2=5,解得AM=2,

AC2=AM2+AN2=7AN=

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AM>AN、4?所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

3（2,0,1）、《1,行,

則/（0,0,0）、

所以，而=僅,G』）,BE=f—1,>/3,——

5

AD-BE2_5V17

則cosAD,BE=

。五一34

麗.阿2x-----

2

所以，直線/。與3E所成角的余弦值為史

34

長方體AMCN-PBQD的體對角線長為AQ=^AM2+AN2+AP2=J4+3+1=272，

所以，四面體BCD外接球半徑為亞，故四面體N-BCD外接球的表面積為47tx（0）2=8兀.

答案第5頁，共10頁

故答案為：也；8兀.

34

14.逑

2

【分析】利用同構(gòu)思想構(gòu)造w(x)=e，-X,得到其單調(diào)性,得到axex-ln(ax)-x>l,再構(gòu)造j(x)*網(wǎng)「),x>1,

求導(dǎo)得到其單調(diào)性及其最小值，設(shè)設(shè)P(凡a〃e"—性加))，《T)］利用基本不等式得到|尸。之亭，求出答

案.

【詳解】axex-ln(ax)-x=ex+lnax-(x+Inax),令w(x)=e"—x,xeR,

貝(jM(x)=e"-1

當(dāng)%￡(0,+oo)時(shí)，w(x)>0,w(x)=e"—x單調(diào)遞增，當(dāng)x￡(—co,0)時(shí)，wr(x)<0,w(x)=e，—x單調(diào)遞減，

故w(x)=e'-x在x=0處取得極小值，也是最小值，故.⑴次。-0=1,

故axex-ln(〃x)-x=ex+inax-(x+lnax)>1,當(dāng)且僅當(dāng)x+In辦=0時(shí)，等號成立，

令人%)二4一即。1),%>1,

7V9r

向—-21n(x-l)X2--+21n(x-l)

則/(x)=1-—=—-------------'

2x

令左(x)=x2-------+2ln(x-1),

x-1

j..、2.x—2—2x222

則k(x)=2x一一(.]:+砥=2x+口)0在(1,+s)上恒成立,

7V

故k(x)=x2-------+2ln(x-1)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

x-1

又左(2)=0,故當(dāng)XE(1,2)時(shí)，k(x)<0,當(dāng)XE(2,+8)時(shí)，左

故XE(1,2)時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,當(dāng)X￡(2,+8)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

故()2.(；7)在處取得極小值,

JX=x-X=2也時(shí)最小值，最小值為八2)=2,

n

設(shè)尸(?ane-ln(anI，

由基本不等式得，|尸°『=(/一〃)2+(Q〃e〃—In叫一2111a—11

(2111(—)?

t--------------+anen-Inan-n

>k______L___________________f+l)22

2一2「2

當(dāng)且僅當(dāng)t-n=(Q〃e〃-In(an))一「屯”—,

t=2j力+lna〃=0時(shí)，等號成立,

故戶孚，則機(jī)力=半?

故答案為：竽

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解取值范圍時(shí)，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)e，與Inx,通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題axe，-ln(ax)-x變

形得到小般一(x+m")，從而構(gòu)造w(x)=ex-x進(jìn)行求解.

15.(1)答案見解析

(2)證明見解析

答案第6頁，共10頁

【分析】（1）將原函數(shù)求導(dǎo)，就參數(shù)。進(jìn)行分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=/（x）-辦，在條件。=（戶＞1下，判斷g'⑺的符號，得到g（x）＜g⑴=0,得證.

【詳解】（1）f（x）的定義域（0,+功,/（幻=：-2=爰

若a40,/'（無）＞0,則f（x）在（0,+"）上單調(diào)遞增；

若。＞0,當(dāng)xe（O,a）時(shí),/'（力＜0,則/（力單調(diào)遞減,尤e（a,+s）時(shí)，/'（力＞0,則/（同單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)時(shí)，/（“在（0,+"）上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；

當(dāng)a＞0時(shí)，/（X）在（0,。）上單調(diào)遞減，/（x）在（a,+8）上單調(diào)遞增.

(2)因a=設(shè)g(x)=/(x)-ax=lnx—g

,則/3=卷券<0,

X

則g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減,g(x)<g(l)=0,故/(%)<ax

16.⑴工

v711

【分析】（1）求出樣本空間基本事件總數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式即可求解.

（2）由互斥加法以及獨(dú)立乘法公式即可求解.

【詳解】（1）甲同學(xué)所有可能的選擇答案有11種：

AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD,其中正確選項(xiàng)只有一個(gè),

樣本空間O={AS,NC,/Z）,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,ABD,ABCD},

共11個(gè)基本事件，

所以他猜對本題得5分的概率為尸=：.

（2）由題意得乙得0分的概率為1-1-9=：,丙得0分的概率為=

244623

乙比丙剛好多得5分的情況包含：

事件8：乙得10分，丙得5分，則尸（8）=2X2X（!X!+!X!］=［；

22\o336/36

事件C：乙得7分，丙得2分，貝U尸（C）=（；x：+：x：］x［；x：+：x；］=A；

事件O：乙得5分，丙得0分，則尸（D）=［|x；+%：］x；x；=［；

所以乙比丙總分剛好多得5分的概率P=P（8+C+0=3+1+±=己.

36123636

17.（1）273;

⑵存在，當(dāng).

【分析】（1）取的中點(diǎn)。，連接由給定條件結(jié)合余弦定理求出/C,再推證CGL4C即可求出四邊形

面積.

（2）由已知可得CB“CB,C/兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.

【詳解】（1）在三棱柱/BC-4用G中，取8月的中點(diǎn)。，連接/RC。，

在A/BBI中，由/3=/用=石，=2,得AD=2,

在中，由8c=4。=也，BBX=2,得CD_L即，CD=1,

則NADC為二面角A-BBt-G的平面角，即NADC=60°,

在△4DC中，由余弦定理得/。2=22+12_2*2、以；=3,解得/C=g,

答案第7頁，共10頁

又/r>noc=。，40,DCU平面/OC,則平面NDC,而/Cu平面ZDC,于是

顯然38J/CG，則CCJ/C,

所以平行四邊形NCC/的面積S=/CXCG=6X2=2VL

(2)由(1)知AC=m,B1C=e,AB1=小,有42；=/。2+用。2,則/c，C4,

同理/C_LC2,又BC=B1C=6,BB[=2,即8及=3c2+8夕2,則

以。為原點(diǎn)，直線Cq,C3,C4分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

4(0,0,揚(yáng),3(0,72,0),4(血,0,0),C^=CB=(0,V2,0),

福=(反0,-拘，瓦彳=被=(0,-夜,揚(yáng)，

假設(shè)存在點(diǎn)/滿足題意，不妨設(shè)瓦法=2瓦4（04241）,

則由=函+瓦林=函+X及彳=（亞，一亞人行㈤，

n-AB,=y[2x-A/3Z=0「-I-r-

設(shè)平面物<的法向量為〃=（x,y,z）,則《—.L,令X=#>,得力=(黃,0,0)，

萬C0=J2y=0

\n-CM\_V6+V6A_V21

設(shè)直線CM與平面世。所成的角為。，則sin8=|cos〈〃,CM〉|=

\n\-\CM\國力5萬+25

解得2=2e[0,l],止匕時(shí)4.=。44=些，

515115

所以存在點(diǎn)M滿足題意，且4M的長為亭.

18.（l）x2=4y

（2）（i）證明見解析；（ii）8

【分析】（1）設(shè)出直線。E：y=-；x+4,和如：y=的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出可（加：,0左2+4）,

陽-：%+；）,從而求出直線TW為夕-（“e+g=（"：）（x-9）,再利用條件，即可求出結(jié)果；

（2）⑴根據(jù)條件得出/小y=；（巧+.）彳-}]巧和：y=；（乙+》2）工-32匕，聯(lián)立方程，結(jié)合⑴中的韋達(dá)定

理，即可求出結(jié)果；（ii）過點(diǎn)G作G°//y軸，交直線跖V于點(diǎn)。，得出AMGN的面積為5=：即-為-兀|，再

利用幾何關(guān)系及基本不等式即可求出結(jié)果.一

【詳解】（1）易知直線N8,直線DE斜率均存在，且不為0,設(shè)/小N=^+'，'DE：y=—x+—,

2k2

力（再,y1）,B（X2,y2）,E（X3,%）,D（x4,%）,

由彳2,消^得至鼠2一2夕而一夕2=0,由韋達(dá)定理得到國+工2=20左,西工2=-4,

x2=2py

2

所以必+%=k（xx+x2）+p=lpk+p,得到MOZpl+g,

同理可得X3+工4=^^，%3%4=—4，N（—7，g+f）,

-kkk2

答案第8頁，共10頁

pk2+

1

所以^MN

p1I

pk74—k7H—

kk

故直線跖V為了-（0標(biāo)+§=（"g）（x-加），又直線跖V過定點(diǎn)（0,3）,

13

所以3-（p〃+與n）=（左-：）（-pE）=-pr+，，得到；p=3,故。=2,

2k2

所以拋物線C的方程為V=外.

（2）（i）因?yàn)?，（西?）*02，%）1。3，%），0（%4，%），

則IAE：y=:3_?（X_/）+外,又X：=4YX=4%,

=LXX+=

所以心~77---T（~1）~TT（X3+XI）X-卜產(chǎn)3，

4（X3-XJ444

同理可得/小天=；（＞4+工2）%-1/4，

1z、1

y=—（xd+i）x——x9x