2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷三詳細(xì)解析（新結(jié)構(gòu)）

2024年高考模擬數(shù)學(xué)試題（三）答案

（題型同九省聯(lián)考，共19個(gè)題）

注意事項(xiàng)：

].答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號(hào)、姓名、考點(diǎn)學(xué)校、考場(chǎng)號(hào)及座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.某校高三年級(jí)一共有1200名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，已知所有學(xué)生成績(jī)的第80百分位數(shù)是103

分，則數(shù)學(xué)成績(jī)不小于103分的人數(shù)至少為（）

A.220B.240C.250D.300

答案B

解析由1200x80%=960人，所以小于103分學(xué)生最多有960人，所以大于或等于103分的

學(xué)生有1200-960=240人.故選B

2.設(shè)M,N是圓。上兩點(diǎn)，若MN=2,則（）

A.-4B.-2C.2D.4

答案C

M

解析設(shè)禰V中點(diǎn)為尸，則。PL肱V,廠木

所以MO-MN=（MP+PO、MN=MP-MN+PO-MN+0=2[0>

解法二：

MO-MN=|MO||MN|COSZOMN=|MN|(|MO|COSNOMN)=|AW|XL—I=2-

3.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每個(gè)人都等可能地把球傳給另一人，由甲開始傳球，作為

第一次傳球，經(jīng)過3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）

B-得D-I

答案C

解析設(shè)甲、乙、丙三人用。涉,C,由題意可知：傳球的方式有以下形式，

(a,b,a,〃),(〃,b,a,c),(a,b,c,a),(a,b,c,Z?),(a,c,a,c,a,c),(a,c,b,a),(a,c,b,c),

21

所求概率為三二7.故選C

84

22

4.已知小工分別為橢圓。：上+上=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，則

-62

|「耳『+P閶2_2閥幟閭的最大值為()

A.64B.16C.8D.4

答案B

解析：附「+附「-2|明附|=(|明一|明)、

因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)P滿足戶制一|?)可4閨閭，當(dāng)點(diǎn)尸為的延長(zhǎng)線與C的交點(diǎn)時(shí)，|尸盟-怛閭

取得最大值，最大值為由閶=4.所以|P7f+|p囚2-2/刷p閭的最大值為16.故選B.

5.已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，S“是它的前”項(xiàng)和，若…=2%,且％與2%的等差中項(xiàng)為

則$5=()

A.35B.33C.31D.29

答案C

解析設(shè)等比數(shù)列的公比為4,則廿3=。?。4=2%,所以&=2,

51//n-/75)16(1-(：)5)

又〃4+2%=〃4+2〃4q3=2x：,解得q=；,q=16,所以-----=----------=31,故

42\-q

2

選C.

6.甲、乙兩個(gè)圓錐的底面積相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲、S乙，

體積分別為%、吃，若3=2,則手等于()

，乙V乙

A.加B.亞C.亞D.9歷

556

答案B

解析設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)分別為

由甲、乙兩個(gè)圓錐的底面積相等，得出兩個(gè)圓錐底面圓半徑相等，設(shè)為

271r2兀廠rY

由側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，得丁+丁=2兀，則7+1=1①.

因?yàn)殂?,則斗=2=2,所以《=24②，

3乙兀〃2,2

由①②解得4==三，所以甲圓錐的高\(yùn)=濫-產(chǎn)=的產(chǎn)一產(chǎn)=2后r,

乙圓錐的高九=J/；一產(chǎn)=冬,

2723

一千故選B.

所以

753〉

——7ir

6

22

7.如圖，工,F?是分別是雙曲線二-2=1（。>0,6>0）的左、右

焦點(diǎn)，尸為雙曲線右支上的一點(diǎn)，圓/與△尸耳乙三邊所在的直線

都相切，切點(diǎn)為A,B,C,若怛同=。，則雙曲線的離心率為（）

A.72B.2C.73D.3

答案B

解析：連接MC,MFX,

由直線和圓相切的性質(zhì)，可得|即=|冏=a,設(shè)怩8|=|耳

由雙曲線的定義可得，|「耳|-|尸閶=2%

則附=2。+|%=2a+附+|阻=3a+x,

\AF\=\AF\+\PF^=Aa+x,閨C|=|耳耳|+|gC|=2c+x,

由圓外一點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)相等，即有4a+x=2c+x,即c=2a,

e=￡=2.故選B.

a

8.已矢口85（40。一夕）+85（40。+夕）+＜：05（80。-6）=0,貝!Jtan9=（）

A.-5/3B.C.且D.G

33

答案A

解析因?yàn)閏os（400-6＞）+cos（40°+①+cos（80。-6）=0,

所以cos40°cos0+sin40°sin0+cos40°cos6—sin40°sin0+cos80°cos0+sin80°sin，=0,

LU2cos40°cos^+cos800cos^+sin80°sin^=0,

所以2cos400+cos800+sin80°tan8=0,

2cos400+cos80°2cos(120°-80°)+cos80°

所以tan6=-

sin80°sin80°

2(cos120°cos800+sin120°sin80°)+cos80°6sin80°

=-故選A.

sin80°sin80°

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.非空集合A具有如下性質(zhì)：①若x,西人則三CA；②若心度人則x+yEA下列判斷

y

中，正確的有（）

?翳S

A.-B

C.若％,y^A,則孫E4D.若％,y^A,則x-yEA

答案ABC

解析：對(duì)于A,假設(shè)-1EA,則令％=y=-l,則三=leA,x+y=-2EA,

y

令冗=-1,y=l,則三=-1GA,x+y=0E4,令x=l,y=0,不存在三，即yWO,矛盾,

yy

/.-ISA,故A對(duì)；

對(duì)于b由題，IGA,則1+1=2G4,2+l=3GA,…，2022GA,2023eA,

故B對(duì);

對(duì)于C,VleA,XGA,.?.屋A,

\>GA,-IGA,：.^~^xyGA,故C對(duì);

x±

X

對(duì)于O,V1GA,2GA,若％=2,y=l,則x-y=lEA,故。錯(cuò)誤.故選ABC.

10.已知函數(shù)=sin2Gxeos°+cos2Gxsin0［g>0,0<夕<的

部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

A.“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)［J,。］對(duì)稱

-l1

B.在區(qū)間的最小值為-：7T

_，」2

C.小+看)為偶函數(shù)

D.〃尤)的圖象向右平￡個(gè)單位后得到y(tǒng)=sin2x的圖象

答案BC

解析〃x)=sin(20x+°),由圖象可知/(0)=:，即sin0=：,又0<夕所以e=g

由五點(diǎn)作圖法可得。X與+丁=當(dāng)，解得0=2,所以/(x)=sin(2x+H，

36216J

對(duì)于A：=+=所以Ax)的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

7171711「兀

對(duì)于B：當(dāng)xe0,￡時(shí)，2x+—esin|2x+—je--a,即/a)在區(qū)間o,-上的

_2」666I6J，L/_

最小值為故B正確；

對(duì)于C：+―=sin2^%+—^+—=sin^2%+—=cosx,為偶函數(shù)，故C正確.

對(duì)于D：y⑺的圖象向右平移各個(gè)單位后得到尸sin+J=sin(2x-1卜勺圖象,

6［_I6J6

故D錯(cuò)誤；故選BC.

11.已知定義在R的函數(shù)/(x)滿足以下條件：

(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有〃x+y)=/(x)/(y)+/(x)+/(y)；

(2)當(dāng)x>0時(shí)，〃x)的值域是(0,+8)

⑶f(l)=l

則下列說法正確的是()

A.f(x)值域?yàn)椋?L+<?)B./'(X)單調(diào)遞增

D,打“X)卜三號(hào)的解集為［1,+勾

C."8)=255

答案BCD

解析對(duì)選項(xiàng)A：令x=i,y=。可得/'(AADAoHAoH/O),故/■(0)=0,

令y=T可得/(O)=〃T)/?⑺+〃尤)+〃T),

當(dāng)“<°時(shí)'八一">°'貝"(司=一1+無上1>一1，

綜上所述：〃x)?T,+s),錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)B:任取再,％wR且再>工2，f(^-X2)>0,f(x2)>~\,

則〃%)一〃%2)=/(芯-%2+尤2)-/(々)=/(芯一工2)/(工2)+/(占-々)

=/(^-%2)[/(%2)+1]>0,所以函數(shù)y=/(x)在R上單調(diào)遞增，正確；

對(duì)選項(xiàng)C：取元=y=l得到〃2)=〃1)/(1)+〃1)+/。)=3；

取x=y=2得到/(4)=〃2)〃2)+〃2)+〃2)=15；

取x=y=4得到/⑻="4)"4)+"4)+"4)=255,正確；

對(duì)選項(xiàng)D：/卜⑺"[累,+

即x+/(”22,又函數(shù)g(x)=x+〃x)單調(diào)遞增，且g(l)=l+l=2,故x21,正確；

故選BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)z滿足卜-2|=閆=2,則z3=.

答案-8

解析設(shè)z=a+歷，則z-2=a-2+bi,

a2+b2=4

所以《/、22'解得。=1,6=±6，

(a-2)-+k=4

當(dāng)a=l,0=百時(shí)，z=l+向，故z?=(1+石『=1+2百i+3i?=一2+2后，

z3=(-2+2>/3i)(l+A/3i)=-2+6i2=-8；

當(dāng)a=l,b=-6時(shí)，z=l-亞,故z?=(l-后『=1一2"+312=—2-26，

32

Z=(-2-2V3i)(l-^i)=-2+6i=-8,故答案為-8

13.已知函數(shù)/(x)=d+2=2f,若實(shí)數(shù)。、匕滿足/(2叫+/?一1)=0,則°歷主的

最大值為.

、3

答案7

4

解析函數(shù)〃無）的定義域?yàn)镽,且〃一無）=（一尤）3+2-，-2'=-/+2-，-2工=一〃耳,

所以，函數(shù)”X）為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)y=x\y=2"、＞=-2-*均為R上的增函數(shù)，故函數(shù)”X）

在R上為增函數(shù)，由/（2叫+/?伊-1）=0可得八2"）=-7?伍2T=*_好,

所以，2a2=1-〃，即2a2+02=i,當(dāng)aj+2b2取最大值時(shí)，則。＞0,

所以，揖1+2廿=M（l+2b『4a2（2川+1）/。+j+

庭

4a2=2/+1ci---

當(dāng)且僅當(dāng)，2a2+尸=1時(shí),即當(dāng)4等號(hào)成立,

a>0b=±-

2

因此，6庫齊的最大值為;.故答案為;.

14.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn)，將VAZ宏沿直線。E翻折成

△AOE.若M為線段4c的中點(diǎn)，則在V43E翻折過程中，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是

（填寫所有的正確選項(xiàng)）

（1）|加|是定值

（2）點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)

（3）存在某個(gè)位置，使。

（4）存在某個(gè)位置，使MB//平面AOE

答案（1）（2）（4）

解析取8中點(diǎn)Q,連結(jié)MQ,BQ,

則MQ//DA，BQ//DE,

平面MB。//平面AQE,又Affiu平面

〃平面,故（4）正確；

由=加=：4°=定值，QB=DE=定值,

由余弦定理可得MB2=MQ2+QB2-2MQ-QB-cosZMQB

所以MB是定值，故(1)正確；

8是定點(diǎn)，是在以B為球心，MB為半徑的球面上，故(2)正確;

ZA.DE=ZADE=45,ZCDE^45,且設(shè)AD=1,AB=2,

則DE=CE=^2.,

若存在某個(gè)位置，使DE，AC,則因?yàn)镈E1+CE2=CZ?,即CE，DE,因?yàn)锳C"=C，則

DE±平面ACE,所以。E，,與。A，AE矛盾,

故(3)不正確.故答案為：(1)(2)(4)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)兩個(gè)安全設(shè)備間由一組對(duì)接碼進(jìn)行“握手”連接，對(duì)接碼是一個(gè)由“1,2,3,4-4

個(gè)數(shù)字組成的六位數(shù)，每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次.

(1)求滿足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù);

(2)若對(duì)接密碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析(1)當(dāng)對(duì)接碼中一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)3次，另外三個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)1次時(shí)，種數(shù)為:

4x6x5x4x3x2xl

CX-------------------------=4802分

83x2x1

當(dāng)對(duì)接碼中兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)2次，另外兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)1次時(shí),

4x3

心皿“「2A6------x6x5x4x3x2xl

種數(shù)為C4Z=2><1________________=1080，.....................4分

A；A；2xlx2xl

所有滿足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)為1560....................5分

(2)隨機(jī)變量X的取值為L(zhǎng)2,3,

15,7分

P（X=1）=

26

CJ'A?o

A；A；9，9分

P（X=2）

156026

1

尸(X=3)n分

156013

故概率分布表為:

X123

1591

p

262613

15c9cl3

故網(wǎng)x)=lx——+2x---i-3x——=—13分

2626132

16.(15分)已知函數(shù)/(x)=lnx-a(x-l).

⑴當(dāng)。=1時(shí)，討論的單調(diào)性;

⑵若〃x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

11_r

解析(1)當(dāng)<7=1,/(x)=lnx—x+1(x>0),則/(x)=—1=----,

令7]x)>0解得0<彳<1,令/(x)<0解得x>l,

所以/(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減..........4分

(2)由題意可得無>0,尸(無)=,一。=上竺，.........5分

X%

當(dāng)aWO時(shí)，#(或>0恒成立，/'(X)單調(diào)遞增，故至多有一個(gè)零點(diǎn),

不符合題意，..........7分

所以a>0,由F<x)>0解得0<x<：,由r(￡)<0解得

所以/(無)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以由零點(diǎn)存在性定理可得若/'(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則=>0,

即lna-〃+l<0,..........9分

令g(a)=lna-a+l,由(1)得g⑷在(0,1)單調(diào)遞增,

在單調(diào)遞減,11分

又g(l)=0,所以由g(a)<0解得ae(0,l)U(Lw),..........13分

因?yàn)?(片")=In片"—a(e"-1)=-aea<0,

所以由/?)/[]<()得在尸和J之間存在一個(gè)零點(diǎn)，.........14分

又/⑴=0,所以。的取值范圍為(0,1)(l,-+w)...........15分

兀

17.(15分)如圖，在四棱臺(tái)ABCCB/GD中，底面ABC。是菱形，ZABC=-,ZBiBD=

n

/B]BA=NBiBC,AB=2AB]=2,B]B=3

6

(1)求證：直線AC1平面8。囪；

（2）求直線4氏與平面ACG所成角的正弦值.

解析（1）連-接AC8。交于0,

因?yàn)锽C=fl4,NB[BA=NB[BC,B}B-BB],

所以AB]BC=AB154,故4A=qC

又因?yàn)椤榱庑螌?duì)角線交點(diǎn)，即是線段AC的中點(diǎn)，所以

BQ1AC

又四邊形ABCD為菱形，故AC上3。

而80BD=0,所以AC，平面8。環(huán)

方法二：因?yàn)?耳54=/B波C,

所以點(diǎn)均在平面ABCD內(nèi)的射影。在為ZABC的平分線，

又四邊形ABCD為菱形，故8。為，ABC的平分線，則Oe直線8。

故平面BDBy1平面ABCD,而平面BDB11平面ABCD=BD,

又四邊形ABCD為菱形，故AC人8。

所以AC，平面8。月

（2）延長(zhǎng)耳,CC],DA交于點(diǎn)尸，平面改出即為平面3DP,平面ACQ即平面ACP

由（1）得平面ACP_L平面5￡>P,0尸=平面ACP平面3。尸，

所以過耳做用H10P,則與H_L平面ACP,故/用AH即為直線A4與平面ACG所成角

（若研究直線AB與平面ACG所成角的正弦值則線段等比例擴(kuò)大2倍結(jié)果不變）

因?yàn)樗睦馀_(tái)A3C。一4月￡。中AB=24B]=2,所以其與=1,BP=6

由菱形有AB=8C=2,且所以8。=2石，

作PGL3D,因?yàn)?43。=2，則8G=3A/LPG=3,所以

PO=YIBG2+PG2=V21>

nl36+21-39J73J7

則cosNBP。=荻街=礪，sinZBPO=%，與”備

故sinZBM〃=H="

c耳A14

法二：延長(zhǎng)4,CG，DR交于點(diǎn)p,

平面BD與即為平面血)尸，平面AC,即平面ACP,

設(shè)直線4片與平面ACG所成角為，

過尸作PGLBD,垂足為G,因?yàn)?尸=6,所以8G=3后

建系，以O(shè)B,OC為x,y軸，作z軸//GP,

A(O,-1,0),B(6,0,0),C(0,l,0),P(-2相,0,3)

AB=(后1,0)AC=(0,2,0)AP=(-2五1,3)

設(shè)平面ACP的法向量為機(jī)=(x,y,z),則

2y=0

-+y+3z=0

所以=,0,1),

33a

3A/7

2A/714，所以sin。IT

即直線AB與平面ACCi所成角的正弦值為上互.

14

18.(17分汨知拋物線C:丁=2px(>>0)的焦點(diǎn)為R斜率為*=0)的直線過點(diǎn)尸(-*0

交C于A,B兩點(diǎn)，且當(dāng)A=g時(shí)，|AF|+|BF|=16.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)C在A,B處的切線交于點(diǎn)°,證明訴=詭。.

解析(1)設(shè)斜率為左(左rO)且過點(diǎn)尸的直線為/：x=my-^-,其中

2k

設(shè)網(wǎng)孫％).當(dāng)％=：時(shí)，/：x=2y-將其與C:必=2px(p>0)聯(lián)立，消去

X得：y1-4py+p2=0,由韋達(dá)定理有％+為=4p,%為=P2,

又由拋物線定義知|”|+怛司=Xi+%+P，又%+々=2（%+為）一P，結(jié)合

|AF|+怛a=16,則8P=16n0=2.得C的方程為丁=4x；.........5分

（2）由（1）可得，P（-l,0）,則/：x=my-l,將其與拋物線方程聯(lián)立，

消去x得：y2-4my+4=0,貝!]%+為=4m>%%=4-

設(shè)C在A點(diǎn)處的切線方程為x=叫（y-+外,

C在8點(diǎn)處的切線方程為x=網(wǎng)（y-%）+....................8分

2

將x=叫（y-%）+不與=4x聯(lián)立，消去x得：y-4〃4y+4〃11yl-4%=0,

因x=叫（y-%）+X]為拋物線切線，貝。

聯(lián)立方程判別式A=16%之一16叫％+16h=0,

又y；=4x1=16飛=4y；,

則16叫之-16m1yl+16x1=16加；一16miyl+4y；=4（2町一二0,

得叫=A,同理可得?=*

將兩切線方程聯(lián)立有1=叫,一%）：%,代入叫=上，%

尤=恤（,一為）+922

x="=l

解得:，得Q（l,2〃z）.

y=—=2m

I2

則卜01=-1）2+-2mF,又占=機(jī)％-1,

212

貝U—（myx—2）2+（乂—2m）=（m+1）y；—Smy1+4m+4,

2

同理可得忸=（機(jī)2+]）,；_Smy2+4m+4.....................12分

注音到竺=A±1JMT+J

BFx2+]my2-l+]%'

2

則T2=黑等價(jià)％忸?！?J2|Ag|,下面說明y|8Q『=y/AQ『.

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則x|8Q「=4(m2+1)(x+%)-32m.又為|AQ『=

(蘇+1)為父-8mxy2+49〃2+1)為=4("/+1)(%+丫2)-32m,

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則H陶12=y/AQ1|2,故正=