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2024年成都市高三數(shù)學（文）3月二模考試卷

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},8={xb=&+log3（3-x））,則/口3=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0}D.{0,1}

2.空間中有平面口和直線。，b,若a//a,a/lb,則下列說法中一定錯誤的是（）

A.直線。平行于平面aB.直線b在平面&內(nèi)

C.直線6與平面a交于一點D.直線。和6共面

3.已知i是虛數(shù)單位，aeR,則“（a+i『=2i”是“力=「，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.用反證法證明“平面四邊形中至少有一個內(nèi)角不超過90?！保铝屑僭O中正確的是（）

A.假設有兩個內(nèi)角超過90。B.假設四個內(nèi)角均超過90。

C.假設至多有兩個內(nèi)角超過90。D.假設有三個內(nèi)角超過90。

5.2023年7月28日，第31屆世界大學生夏季運動會（簡稱大運會）在四川成都開幕，這是繼2001北京

大運會，2011深圳大運會之后，中國第三次舉辦夏季大運會；在成都大運會中，中國代表團取得了驕人

的成績.為向大學生普及大運會的相關知識，某高校進行“大運會知識競賽”，并隨機從中抽取了100名學

生的成績（滿分100分）進行統(tǒng)計，成績均在［50,100］內(nèi)，將其分成5組：［50,60）、［60,70）、［70,80）、

［80,90）,［90,100］,并整理得到如下的頻率分布直方圖，則在被抽取的學生中，成績落在區(qū)間［80,90）內(nèi)

的人數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.40

6.華羅庚是享譽世界的數(shù)學大師，國際上以華氏命名的數(shù)學科研成果有“華氏定理”“華氏不等式”“華氏

算子，,，，華一王方法，，等，其斐然成績早為世人所推崇.他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，告

知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結合起來是解決數(shù)學問題的有效途徑.在數(shù)學的學習和研究中，常用

函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來分析函數(shù)圖象的特征.已知函數(shù)＞=/(x)的圖象

如圖所示，則“X)的解析式可能是()

Z[NSIHAZ[

A.〃x)=3血*B./(x)=3-C./(x)=HD./(x)=H

7.已知雙曲線￡的中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點(-2,-1),(4,-療)，則下列結論中錯誤的是

()

A.￡的標準方程為《一必=1B.E的離心率等于四

2.2

C.E與雙曲線f-'=1的漸近線不相同D.直線x-y-l=O與E有且僅有一個公共點

24

8.《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大的正方形,

若下圖中所示的角為a(0。＜a＜45。)，且小正方形與大正方形面積之比為1：25,貝Utana的值為()

9.已知的內(nèi)角N,B,C所對的邊分別為。,b,c,面積為S,若asin二一=bsinN,6S=y/3AB-AC,

則AABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

10.若函數(shù)/(x)=xe，-lnx的最小值為小，則函數(shù)g(x)=Inx-xe"]的最大值為()

A.-m-\B.-em+1C.-m+1D.-em~1

2

II.在四棱錐尸一/BCD中，PA1ABCD,ABIBC,且/尸D4=45°,/D+CD=4.若點尸均

在球。的表面上，則球。的體積的最小值為（）

A32.IT64"326兀

A.—兀7rBR.473TlCr.-------7iDn.---------

32727

1°h

12.已知函數(shù)/（x）=e、-三一~x2~bx（a,bwR）沒有極值點，則一的最大值為（）

2（。+1）4+1

A.逅B.-C.eD.—

222

第II卷（非選擇題）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知實數(shù)x>0,y>0,若2x+3y=l,則2+工的最小值為____.

xy

14.已知圓C的圓心與拋物線/=8x的焦點關于直線y=x對稱，直線2x-y-3=o與圓C相交于48兩

點，且|/8|=2,則圓C的方程為.

15.已知直線/經(jīng)過點尸（（U）,且被兩條平行直線/］：氐+>+1=0和/2：瓜+/+5=0截得的線段長為

2五,則直線/的方程為.

16.已知橢圓C:=+1=l（a>b>0）的左、右焦點分別為耳心，禺心率為大若A和B為橢圓C上在x軸

ab3

上方的兩點，且函=2正，則直線/耳的斜率為.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試題考生都

必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.已知等差數(shù)列｛%｝的首項4W0,公差為或/*0），S,為｛%｝的前"項和，為等差數(shù)列.

⑴求生與d的關系；

（2）若％=1，北為數(shù)列」一］的前〃項和，求使得/〈，成立的〃的最大值.

J9

18.在四棱錐尸中，已知〃CD,月B_L4D,BCLPA,AB=2AD=2CD=2,PA=&,PC=2,E

是線段P8上的點.

3

(1)求證：尸C_L底面48C。；

(2)是否存在點￡使得三棱錐尸-/CE的體積為g4?若存在，求出R胃F的值；若不存在，請說明理由.

9BP

19.2022年二十國集團領導人第十七次峰會11月16日在印度尼西亞巴厘島閉幕，峰會通過《二十國集

團領導人巴厘島峰會宣言》.宣言說，值此全球經(jīng)濟關鍵時刻，二十國集團采取切實、精準、迅速和必要的

行動至關重要，基于主席國印尼提出的“共同復蘇、強勁復蘇”主題，各國將采取協(xié)調(diào)行動，推進強勁、包

容、韌性的全球復蘇以及創(chuàng)造就業(yè)和增長的可持續(xù)發(fā)展、中國采取負責任的態(tài)度，積極推動產(chǎn)業(yè)的可持續(xù)

發(fā)展，并對友好國家進行技術援助.非洲某芯片企業(yè)生產(chǎn)芯片I有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，

第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.

(1)在中國企業(yè)援助前，該芯片企業(yè)生產(chǎn)芯片I的前三道工序的次品率分別為月=*,A=￡.求生

產(chǎn)該芯片I的前三道工序的次品率月；

(2)該芯片企業(yè)在中國企業(yè)援助下，改進生產(chǎn)工藝并生產(chǎn)了芯片n.某手機生產(chǎn)廠商獲得芯片I與芯片IL

并在某款新型手機上使用.現(xiàn)對使用這款手機的用戶回訪，對開機速度進行滿意度調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，回訪的

100名用戶中，安裝芯片I的有40部，其中對開機速度滿意的占70%；安裝芯片n的有60部，其中對

開機速度滿意的占］14.現(xiàn)采一用分層抽樣的方法從開機速度滿意的人群中抽取6人，再從這6人中選取2

人進行座談，求抽到2人中對安裝芯片II的手機開機速度滿意的人數(shù)為1的概率.

22

20.已知橢圓M:》+}=l(a>6>0)的離心率為短軸長為2百，過點P(L。)斜率存在且不為0的直

線/與橢圓有兩個不同的交點4B.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)橢圓左右頂點為N,設N3中點為。，直線。。交直線x=4于點凡自v(3時一的J是否為定值？若

是請求出定值，若不是請說明理由.

21.已知函數(shù)=(lnx-1),其中0片0.

⑴當。=-2時，求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間;

4

⑵若/(x)>0,求實數(shù)。的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中選一題作答.如果多選，則按所做的第一題記分.

【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】

22.在直角坐標系工。歹中，直線G的參數(shù)方程為.。為參數(shù)，0<。<=),把￡繞坐標原點

%sma2

逆時針旋轉得到以坐標原點。為極點，X軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系.

⑴寫出G，的極坐標方程；

(2)若曲線G的極坐標方程為0=8sin。，且G與G交于點4，與G交于點3(/，3與點。不重合)，

求“03面積的最大值.

【選修4-5：不等式選講】

23.已知函數(shù)/(尤)=|2》-1|-卜+1|的最小值為〃?.

⑴求實數(shù)機的值；

(2)若實數(shù)a,b,c滿足。一26+2c=〃?+],證明：a~+b2+c~>—.

1.A

【分析】根據(jù)根式與對數(shù)的定義域，結合交集的定義求解即可.

x>0_x>0

【詳解】由=^>0<x<3,

3-x>0x<3

所以8=]力=V7+log3（3_x）}={x[04x<3},

故/口5={0』,2},

故選：A

2.C

【分析】根據(jù)線面平行及兩直線平行得到b與平面a平行或直線6在平面a內(nèi)，根據(jù)?！?,可得直線。和

6共面，從而判斷出答案.

【詳解】因為a//a,。/",所以6與平面a平行或直線6在平面a內(nèi)，AB正確，C錯誤；

因為a〃6,所以直線。和6共面，D正確.

故選：C

3.A

5

【分析】由g+i『=2i結合復數(shù)相等求出。的值，再利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出結論.

1

9a=\

【詳解】若（a+i）~=/-l+2ai=2i,且aeR,則｛,解得。=1,

所以，"（a+i）2=2i”是=1”的充分不必要條件.

故選：A.

4.B

【分析】根據(jù)反證法的定義.

【詳解】平面四邊形中至少有一個內(nèi)角不超過90°的反面含義為

4個內(nèi)角沒有一個不超過90°,即四個內(nèi)角均超過900，

故選:B.

5.C

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可求出成績落在區(qū)間[80,90）內(nèi)的人數(shù).

【詳解】由頻率直方圖可知，成績落在區(qū)間[80,90）內(nèi)的人數(shù)為

100x[l-（0.01+0.015+0.04+0.005）xlO]=3C.

故選：C.

6.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】由函數(shù)圖象可知，了=/（尤）的圖象不關了軸對稱，

Z[\cos（-x）/[\cosx

而〃T）=39=3到=仆），3=山=山=/（x）,

即這兩個函數(shù)均關于y軸對稱，則排除選項B、D；

由指數(shù)函數(shù)的性質可知v=3'為單調(diào)遞增函數(shù)，y=為單調(diào)遞減函數(shù)，

由y=sinx的圖象可知存在一個極小的值為>0,使得y=sinx在區(qū)間（0,%）上單調(diào)遞增，

由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，/。）=3加在區(qū)間（0,/）上單調(diào)遞增，/（x）=|在區(qū)間（0,尤。）上單調(diào)遞減,

由圖象可知〃無）=3疝”符合題意,

6

故選：A.

7.C

【分析】分別設出焦點在x軸上和在v軸上的雙曲線方程求解即可求出雙曲線E的標準方程，根據(jù)離心

率和漸近線方程的公式可求出離心率的值和漸近線方程，將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立利用判別式即可

判斷雙曲線和直線交點個數(shù).

22

【詳解】當雙曲線的焦點在X軸上時，設雙曲線的方程為云=

±_±=12

則工bl，解得El]此時E的標準方程為反-必=1,

16_2__12-

22

當雙曲線的焦點在了軸上時，設雙曲線的方程為夕=1（。>0,6>0）,

f14_

下一記"=-1

則:二，解得.c（舍去），此種情況不成立，則A正確；

/161b=—2

+b?=3,：?e=j==坯~，則B正確;

c=a

雙曲線/=i的漸近線為"±2=±交人

2a2

22/y

雙曲線匕—土=i的漸近線為v=±q=±±',即兩者的漸近線相同，則c錯誤；

24b2

將直線x-y-l=O與雙曲線三一丁=1聯(lián)立得尤2一4無+4=0,

A=（-4）2-4xlx4=0,；.直線x-y-l=0與E有且僅有一個公共點，則D正確；

故選：C.

8.D

【分析】設大正方形/BCD的邊長為。，求出小正方形跳皿N的邊長，根據(jù)小正方形與大正方形面積之

24

比得2sinacosa=不，再利用弦化切求解可得答案.

【詳解】如圖，設大正方形的邊長為。，

則小正方形EFMN的邊長為以尸|-以￡|=|，尸]-忸尸|=acosa-〃sina,

所以小正方形與大正方形面積之比為回吐二吧回1=（cose-sinJ=-.

aV725

7

2471

化簡得2sinacosa=—,且Ova<一,

254

,_.2sinacosa2tana24

由2smacosa=；---------=——-----二—

sina+cosatana+125

3

解得tana=：.

4

故選：D.

【分析】利用正弦定理的邊角變換，結合誘導公式與倍角公式求得2；利用面積公式與向量數(shù)量積的定

義求得/,從而得解

【詳角單】因為asin'=6sin/,所以sinN?sin-——=sin5-sinA,

22

BBBB

因為0<4〈兀，所以sin4>0,所以cos—=sinB,所以cos—=2sin—cos—；

2222

因為0<5<兀，所以O<0<4,所以cosO>0,所以sinO=J,

22222

所以與所以sin8=W，

263

因為6S=G荏.次,所以6xgbcsin/=百同Mcjcos/=VJbccos/,

所以tanN=",因為0</<兀，所以tan/=B，

36

所以C=7r-W-m=W，則。8c是直角三角形，

362

故選：B

10.A

【分析】分析函數(shù)解析式，發(fā)現(xiàn)函數(shù)/(力與函數(shù)g(x)的變換關系，由此即可推斷函數(shù)g(x)=lnx-xe.

的最大值.

【詳解】/(%)=xe'Tnx,x>0,

令x=ex有：f(ex)=ex--Inex=x-ex+1-Inx-1,

則/(ex)=-g(x)-l,即g(x)=-/(ex)-1,

8

由此知g(x)的函數(shù)圖象為：/(X)的圖象通過橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得到/(ex),

再關于x軸對稱，得到-/(ex),最后再向下平移一個單位，得到g(x)=-f(ex)-1；

根據(jù)已知條件函數(shù)/(x)=xex-lnx的最小值為制,

由此可知函數(shù)g(X)=lnx-xea+1的最大值為-.

故選：A

II.C

【分析】根據(jù)題設易得ZC是四邊形/BCD外接圓的直徑，利用線面垂直的性質、判定證

PA1BC,PAYCD,PA1AC,進而得到尸是以尸C為斜邊的直角三角形，即尸C中點。

為外接球球心，令尸Z=/D=x且0<x<4,求得外接球半徑關于x的表達式，求其最小值，即可求球體

最小體積.

由題設，4氏C,。在一個圓上，故/48c=180°,

又ABLBC,所以NADC=90°，即AD，CD,故/C是四邊形48c。外接圓的直徑，

由平面488,4D,BC,CD,/Cu平面/BCD,

則PA1AD,PA1BC,PA1CD,PA1AC,

由川口48=4,尸a/8u面P48,則面P4B,PSu面尸48,則8C_LP8,

由P/c4D=/,P4,4Du面P4D,則CD_L面尸4D,PQu面尸40,則8_1_a。，貝U/PZM=45°，

P4

又尸/_LAD,故tan/PZM=——=1,即P/=AD,

AD

^PA=AD=xS.0<x<4,貝l]CD=4-x,/C=+(4一x?=也/-8『+16,

且APBCQPCDQPCA都是以PC為斜邊的直角三角形，故尸C中點。為外接球球心，

所以外接球半徑八.而二"？三

64而

---------兀.

27

7

9

故選：c.

【點睛】關鍵點點睛：確定/C是四邊形48co外接圓的直徑，尸C中點。為外接球球心為本題的關鍵,

由此即可順利得解.

12.B

【分析】轉化為/(x)=e，-一1x-620恒成立，構造函數(shù)，求導，得到其單調(diào)性和最值，從而得到

匚+叫"口，故f」：與，換元后，構造函數(shù)，求導得到其單調(diào)性和最值，求出答案.

【詳解】函數(shù)/(x)=e;了片—一樂沒有極值點，

f\x)=ex——1或/(X)40恒成立，

由>=^指數(shù)爆炸的增長性，/(X)不可能恒小于等于0,

./x)=/---x-b20恒成立.

a+1

令〃(x)=e》x-b,貝［j/z，(x)=eX,

。+167+1

當4+1<0時，"(x)〉o恒成立，〃(x)為R上的增函數(shù)，

因為e"￡(0,+8)是增函數(shù)，———x-bG(-甩+⑹也是增函數(shù)，

所以，此時〃(幻￡(-8,+8),不合題意；

②當〃+1〉0時，1(%)=/——片為增函數(shù)，由〃'(％)=0得了=一111(〃+1),

令//(X)〉0ox〉+”(x)<0o%<-In+1),

???〃(x)在(-8,Tn(a+1))上單調(diào)遞減，在(-In(a+1),+8)上單調(diào)遞增，

當x=-In(a+1)時，依題意有否卜需=〃(Tn(a+1))=—^+螞竺D-6>0,

d11a11

即叱一L+皿型，

a+1a+1

bIn(a+1)+1

T。+1>0,W(.+1)2'

Q+1

令a+1=x(x>0),u(x)=>0),

x-(lnx+l)-2x-(21iu+l)

則M(x)=

x4x3

10

令/(x)>0<=>0<x<,令/(x)<0,解得

所以當x=+時，"（X）取最大值〃e

2

故當a+l=—b=立~,即〃=/^-1,6=，^時，°取得最大值

Ve2e2a+\2

綜上，若函數(shù)〃（x）沒有極值點，則焉的最大值為導

故選：B.

【點睛】關鍵點睛：將函數(shù)沒有極值點的問題轉化為導函數(shù)恒大于等于0,通過構造函數(shù)，借助導數(shù)研

究函數(shù)的最小值，從而得解.

13.7+4A/3##4A/3+7

【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.

【詳解】由x>0,了>0,

(2x+3y)=4+3+^―

xy

6-373

x=----------

當且僅當學言，隊2時，等號成立,

2V3-3

21L

所以一+一的最小值為為7+4能\

xy

故答案為：7+40.

14.x2+（y—2）2=6

【分析】根據(jù)圓心與焦點關于直線y=x對稱，求得圓心坐標，在此基礎上由直線2X7-3=0與圓c相

交的弦長求得圓的半徑.

【詳解】由/=8x的焦點坐標（2,0）關于直線V=x的對稱點為（0,2）,

所以圓C的圓心為（0,2）,設半徑為小

,|2x0-2-3|r-

點C至I」直線2x-y-3=0的距離為d,則d=J——尸一L=石,

V5

11

所以/=+/=「+(石『=6,

所以圓C的方程為：f+(y_2)2=6,

15.(2+百)x-y+l=O或(2-揚x+y-1=0

【分析】直線/分斜率存在和不存在兩種情況討論；當斜率不存在時直線/是歹軸，求交點坐標即可；當

直線/的斜率存在時，設定直線/的方程并與直線4,的方程聯(lián)立求交點，滿足弦長即可.

【詳解】若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為：x=O,

此時與//的交點分別為(0,-1)和(0,-5),

截得的線段的長為：卜5-(-1)|=4%2行，不符合題意.

若直線/的斜率存在，則設直線/的方程為：y=kx+l,

解方程組+\，得點出上廠,上當,

〔j3x+y+l=0k+y[3k+陋

+1.占.一6-5左+6

解方程組y+5=0'得點"后+疔/).

-6V-k+43-5左+百丫

由|”|=2也，得=8，

k+y/3J、k+y/3k+C,

即后2-2百左一1=0,解得：上=百±2,

則直線/的方程為：(2+V3)x-y+l=0^(2-V3)x+7-l=0.

故答案是：(2+V3)x-y+l=0^(2-V3)x+y-l=0.

16.V3

12

【分析】由離心率為得到。力間的關系，橢圓方程變?yōu)閃+竺=1,借助橢圓的對稱性，將關系式

3?25a2

甌=2正轉化直線/居與橢圓的位置關系，設直線/月的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達定理解決問題

即可.

22

【詳解】已知橢圓C：A+匕=1（。>6>0）,

ab

由橢圓的離心率為g=得代入/=〃+/,得：）此

Q339

則橢圓C的方程為：鳥+絲=1,

a5a

22

其左、右焦點分別為片且（］。,0）,

如圖所示：若A和8為橢圓C上在X軸上方的兩點，且西=2麗，

設直線4月,8片與橢圓C的另一個交點分別為D,C,

由橢圓的對稱性，可得：AD=BC，BFt=F\D,F^C=AF2,

即用5=2AF2,

顯然直線/月的斜率定存在，否則直線Ng垂直無軸時與為線段的中點，

因為點A在x軸上方，直線/耳的斜率不為零，

2

設直線4名的方程為〉=左0—a。），4（項,%）,。（x2，%），

y=k（x--a）

聯(lián)立方程組：,八,，

得：(■^-A：2+l)y2+^kay-^k2a2=0,

--ka~—k2a2

aQ

-----=-----------(*)，

-k2+l-k2+l

55

由于月萬=2麗，則%=-2%(乂＞0),

--ka--lea1

(*)式即為：-—，-2燈=9—

-yl2+l-^2+1

55

13

消掉必后，可得：------

2-k2^

9

化簡可得：E=3,

由于%>0,(/>0,且一切—,得左>0,

-k2+\

5

所以k=8,

故答案是：百.

17.⑴%々=0

(2)7

【分析】(1)由1號4為等差數(shù)列可得型1=*+'，即可得到可與d的關系;

[J。2"1。3

(2)由裂項相消法得到北，再解不等式即可求得〃的最大值.

【詳解】(1)因為為等差數(shù)列，所以至邑，

IICl?Q]〃3

即2(%+%)=]+%+%+%,從而得到2(2%+")=i+陽+3”,

出生ax+d%+勿

化簡得(4—d)d=0「「dW0,所以％—d=0,dw0.

11￡1

(2)當。1一4=0,4=1時,an=n,-------=---------

?！?+1〃(〃+1)nn+1

1)

n+19

解得〃<8,又因為〃EN*,所以〃的最大值7.

14

18.(1)證明見解析

(2)存在點E使得三棱錐尸-/CE的體積為，4，且R等F=：1

9Dr3

【分析】(1)在“3C中，利用余弦定理求得BC,^AB2=AC2+BC2,得到BC，/C,再由3C/R4

得到3cl平面PNC,從而8c_LPC,然后由尸/=/。2+尸。2得至］」尸C_L/C,再利用線面垂直的判定

定理證明；

4RF11114

(2)易知=匕~C8一/TCS=6，設而'=4，由.X54c.5c.pc-,乂54。.8。.；1。。=6求解.

【詳解】(1)證明：在△4DC中，AD=DC=\,ZADC=90°,

所以AC=dAD2+DC。=Vl+T=V2.

在AZ8C中，AC=42,AB=2,ZBAC=45°,由余弦定理有：

BC2AB2+AC2-2AB-AC-cos454+2-2x2xMx,

2

所以NB2=ZC2+BC2,所以//CB=90°,

所以8c_LAC,又因為6CJ■尸4尸/c/C=4尸4/Cu平面尸4C,

所以3cl平面PNC,

因為尸Cu平面P4C,所以BC,尸C,

在△尸/C中：AC=yl2,PC=2,PA=46,則尸T=/。2+尸。2,

所以PCL/C,因為/。門3。=(7,/仁3。匚平面/38,

所以尸C_L面NSCD.

4

(2)因為修-ACE=Vp-ACB——E-ACB=§'

BE。

:—=丸，

BP

4

-x-ACBCPC--xACBC^PC=-

32329

J_

—X—Xy/^2,Xyj^2,x2----XxV2xV2x2Z=—

32329

4RF1

因此，存在點￡使得三棱錐P-4CE的體積為且而二§?

3

以(1)^-

15

【分析】（1）由對立事件概率的關系即可求解；

（2）先按分層抽樣得出所抽取的6人中，手機安裝芯片/的有2人，手機安裝芯片n的有4人，結合超

幾何分布的概率計算公式即可求解.

4Q44473

【詳解］（1）召1=1一（1一4）（1一已）（1一巴）=1一一X—X—=—.

1［八2八3）50494850

（2）對安裝芯片I的手機開機速度滿意的人數(shù)為40x70%=28,對安裝芯片n的手機開機速度滿意的人

14

數(shù)為60*石=56,

所以采用分層抽樣的方法的抽樣比為1:2,

故所抽取的6人中，手機安裝芯片I的有2人，手機安裝芯片n的有4人，

所以抽到2人中對安裝芯片n的手機開機速度滿意的人數(shù)為1的概率為尸=去=2.

G15

20.⑴工+匕=1

43

⑵是定值，為:3

【分析】（1）根據(jù)條件列方程組，求出。力的值，可得所求橢圓的標準方程；

（2）由題設出直線N3的方程》=。+1,與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)關系，求得點。坐標，以及點R坐

標，表示出AM,BN,PR的斜率代入結合根與系數(shù)關系消元運算得解.

￡=—（a=2

a2i-

【詳解】⑴由題意：26=2有，解得：件內(nèi)，

a=b2+c

故所求橢圓的標準方程為：上+匕=1.

43

（2）如圖：因為直線48斜率不為0,設其方程為：x=（y+l,

代入橢圓方程：3x2+4y2=12,得:3（勿+1）2+4/72=0,整理得:（3?+4）/+6（y-9=0.

設/（國,必），B（x2,y2）,則顯然A>0,則弘必%=一另占,

16

,??+"-2=一二+2=七

.?.。］匕，一用，則直線。。方程為廣一《“，

令I,得k-3，，則式（4,-3，）；尸（1,。），則“瓷,磯=占

9?+9

（1+產(chǎn)）弘%+3仇3仇

3/+4

丹跖+3優(yōu)-伊-318』+12

3優(yōu)一縱一

3/+4

八9"+9、9r+9

3優(yōu)一工43ty?------5------

23r+43

又必=_3,2+4-%代入得上BN1kM-k)=

APR18r+12“12/+124

4優(yōu)---5--------

3r+423/+4

3

所以七v（L-囁）為定值“

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問考查直線與橢圓的綜合問題.求出%>R=T,e

X.+Z%2—L

代入化簡，注意利用韋達定理，方程尤=江+1將4%代換成必,％,再禾I」用%+%=-另鼻，將必代換

為力,消元運算可得答案.

21.⑴函數(shù)“X）的增區(qū)間為（0,1）、（2,+8）,減區(qū)間為（1,2）

⑵屋廿

【分析】（1）當°=-2時，求得/卜）=（尤-2）12，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)關系可求得函數(shù)“X）的

增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）推導出.<0,設g（x）=；《lnx-；］+a（hrc-1）,可知，g（x）>0對任意的x>0恒成立，對實數(shù)。的

取值進行分類討論，利用導數(shù)分析函數(shù)g（x）的單調(diào)性，求出函數(shù)g（x）的最小值，根據(jù)g（x）1nhi>0可得

1q

出。=-：（2加In加+冽），且1<加</，結合函數(shù)單調(diào)性可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】⑴解：函數(shù)/⑴的定義域為（0,+"）,

/'（%）=，2x|Inx---|+x+4ln%-l+,=jdnx+Qlnx=（x+gIn:,

當Q=—2時，/'(x)=(x—2)lnx,

17

解不等式H(x)>0,有x>2或0<x<l,令，(x)<0得l<x<2,

故函數(shù)的增區(qū)間為(0,1)、(2,+孫減區(qū)間為(1,2).

(2)解：若0>0,則x+a>0,由，(x)<0可得0<尤<1,由#(x)>0可x>l,

此時，函數(shù)“X)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8),且=

當0<%<1時,由lnr<0,有〃x)=x<0恒成立,

所以/(x)>0,必有a<0.

又由/(1)=_"：>0，可得°<一：.

又由x>0,不等式/(x)>0可化為：x[lnx-]+a(lnx-l)>0,

設g(x)=；x「iK-1

+a(inx-1),

有g'(x)=UJ12xlnx+x+4a

x2x丁-—

當0<x<1且0<x<—4。時，lnx<0,x+4o<0,可得g'(x)<0,

當x〉l且x〉-4a時，lnx〉0,x+4a>0,可得g'(x)〉0,

當a<0時，函數(shù)卜=工加+巴+工在(0,+司上單調(diào)遞增，

2x4

故存在正數(shù)m使得2加In加+加+4〃=0.

若0<加〈1,有In冽(0,4(2<-1,W2mlnm+m+4^<m-l<0,

與2加In加+冽+4。=0矛盾，可得力>1,

當%>加時，g'(x)>0；當x<加時，g'(x)<0,

可得函數(shù)g(x)的減區(qū)間為(0,加)，增區(qū)間為(九+℃),

若g(x)>0,必有g(加■加|inm—g1

+Q(inm-1)>0

2

有2mlnm-m+4a\nm一4。>0,

又由2加In冽+加+4。=0,有2minm-m+4tzlnm-4。+(2mlnm+