解密幾何綜合壓軸題- 2024年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破

專題17解密幾何綜合壓軸題

程十，"

全明。相

L【問題情境工

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們開展了以折疊為主題的探究活動，如圖1，已知矩形紙片

ABCD（AD>AB）,其中寬AB=8.

⑴【動手實(shí)踐1

如圖1,威威同學(xué)將矩形紙片A3CD折疊,點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,折痕為BN，連接MN,

然后將紙片展平，得到四邊形ABW,則折痕BN的長度為.

（2）【探究發(fā)現(xiàn)】：

如圖2,勝勝同學(xué)將圖1中的四邊形剪下，取AN邊中點(diǎn)E,將沿班折疊得

至U.AZE，延長&T交肱V于點(diǎn)點(diǎn)。為弧邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是邊肱V上一動點(diǎn)，將△MQP

沿尸。折疊，當(dāng)點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)落在線段所上時，求此時tan/PQM的值；

⑶【反思提升工

明明同學(xué)改變圖2中。點(diǎn)的位置，即點(diǎn)。為8M邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)尸仍是邊MN上一動點(diǎn)，按

照（2）中方式折疊△M2P,使點(diǎn)M'落在線段所上，明明同學(xué)不斷改變點(diǎn)。的位置，發(fā)現(xiàn)

在某一位置NQPM與（2）中的NPQM相等，請直接寫出此時2。的長度.

【答案】（1）8近（2）[⑶=

4o

【分析】（1）通過折疊的性質(zhì)可證明勖是等腰直角三角，利用勾股定理即可求出BN；

（2）先證明ZM'BQ=ZPQM.再證明AEA'F^AENF，接著證明AABE^AAEF,即有

ARNFFM63

回一=—，進(jìn)而求出NF,MF,則在RZSNRW中，有tanNFBM=——=-=BPtanZPQM

AENFBMS4

得解；

（3）過W作KS〃建V交2”于點(diǎn)S,過尸點(diǎn)作尸K〃區(qū)M交KS于點(diǎn)K點(diǎn)，根據(jù)（2）的

0M'3

結(jié)果得到tan回3,即可得看7=1，先證明四邊形KPMS是矩形，再證

AM'KP^AQSM）,即有券=嗡=鬻=?設(shè)膻="，SM'^n,則有KM'=普，

ZLn,-----------

KP=可，利用勾股定理可表示出“。，回MQ=嫡+1=加0,根據(jù)KP=SM=SQ+QM,

4九/2424______25

有——=m+\/n2+H12,可得〃=——m,BDSMf=n=——m,^\M,Q=MQ=y[r^+rr^=—m,

3777

空機(jī)

在結(jié)合tan甌可得誓=g,進(jìn)而有縹=Y^=],解得：m=；則2Q得解.

4BS4BS&一%〃？48

7

（1）

根據(jù)矩形的性質(zhì)有a4=a45M=90。，

根據(jù)折疊的性質(zhì)有助=?亞，AB=BM,AN=MN,

^A=^ABM^0°=^BMN,即四邊形是矩形，

^\AB=MN,BM=AN,

^AB=BM,AN=MN,

回矩形跖V是正方形,

^MN=BM=ABf

^\AB=8,

^\MN=BM=8,

回EBM2V是等腰直角三角形，

的V=yjMN2+BM2=V82+82=8應(yīng)MN=872，

故答案為：8立；

(2)

連接ER如圖，

圖2

在(1)中已得矩形48MN是正方形，

^iAN=MN=BM=AB=8,ZA=NN=90°=ZM,

回￡為NN中點(diǎn)，。為8M中點(diǎn)，

血IE=EN=4=BQ=QM,

回根據(jù)翻折的性質(zhì)有鉆=4'石，MQ=M'Q,ZA=ZBA'E=90°,ZAEB=ZAEB,

Z.MQP=Z.M'QP,

SAE=A'E=EN=4,MQ=M'Q=BQ=4,/FA'F=ZBAE=90°

^\ZBM'Q=ZM'BQ,

0ZBM'Q+ZM'BQ=ZM'QM=ZMQP=ZM'QP,

^ZM'BQ=ZPQM.

^ZEAF=ZBAE=9Q°,AE=EN,FE=EF,

田△EA'F/AENF,

SZA'EF=ZNEF,

又回ZAEB=ZAEB,ZAEB+ZA'EB+ZA'EF+4NEF=180°,

^\ZAEB+ZNEF=90°,

0ZAEB+ZABE=9O,

田ZNEF=/ABE,

團(tuán)結(jié)合NA=NN=90°有,

ABNE

團(tuán)---=---，

AENF

^\AB=8,AE=EN=4,

84

團(tuán)一二一,BP7VF=2,

4NF

^\MF=MN-NF=8-2=6,

FM63

團(tuán)在R翹BFM中，tanNFBM=-----=—=—,

84

回/M'BQ=/PQM,

3

0tanZPQM=tanZFBM=—；

4

⑶

過AT作KS〃腦V交切飲于點(diǎn)S,過尸點(diǎn)作尸K〃創(chuàng)f交KS于點(diǎn)K點(diǎn)，如圖,

3

在（2）中求得tan團(tuán),

配與（2）中的即相等，

3

團(tuán)可矢口tan^QPM=tan^\PQM=—,

回在R/EIPQW中，鬻^="|，

團(tuán)根據(jù)翻折的性質(zhì)有察=；/PMQ=NM=90。,

PM4

回砍尸+回。A/'S=90°,

SKS//MN,PK//BM,PMS\BM,

SKSHSKSSiBM,KP^MN,

回歆=90。=馥5。，且四邊形KPMS是矩形，

EBSM'0+E1M'0s=90°,

甌KPAT二團(tuán)SM0,

團(tuán)△MKPS/XQS”，，

SQSMrQMr_3

KMr~^P~PMr~4

設(shè)SQ=m,SMr-n,

國在MOQSAT中，M'Q=yjM'S2+SQ2=4^-+4,

回MQ=,胃+m2=MQ,

回四邊形K/也岱是矩形，

^KP^SM^SQ+QM,

,______25

團(tuán)A/Q=MQ=J/+m2二一m,

3

團(tuán)在（2）中已求得tan即吆河=一,

^\BS=BM-SQ-QM=8-m--m=8-—m,

24

——m

2525739

^\BQ=BM-QM=8-----m=S------x—=——.

*上7788

【我思故我在】本題主要考查了翻折的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)、勾股定理、平行的判斷與性質(zhì)、解直角三角形、正方形的判定與性質(zhì)等知識，構(gòu)造

合理的輔助線證得△MKPSAQSAT是解答本題的關(guān)鍵.

2.綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以〃矩形的折疊〃為主題開展數(shù)學(xué)活動.

⑴操作判斷

操作一：對折矩形紙片/BCD,使/。與3C重合，得到折痕所，把紙片展平；

操作二：在/。上選一點(diǎn)P,沿AP折疊，使點(diǎn)N落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接

PM,BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在跖上時，寫出圖1中一個30。的角：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片48co按照(1)中的方式操作，并延長尸初交CD于點(diǎn)Q,連接2。.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在M上時，^MBQ=。，SCBQ=°；

②改變點(diǎn)尸在AD上的位置(點(diǎn)尸不與點(diǎn)力,。重合)，如圖3,判斷如四。與回C2。的數(shù)量

關(guān)系，并說明理由.

⑶拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片/8CO的邊長為8cm,當(dāng)F0=lcm時，直接寫出/P的

長.

【答案】(1)/RWE或—尸或NP8攸或/MBC

(2)①15,15；@ZMBQ=ZCBQ,理由見解析

(3)AP=竺cm或*cm

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BE=^BM,結(jié)合矩形的性質(zhì)得/創(chuàng)花=30。，進(jìn)而可得

ZABP=ZPBM=ZMBC=30°；

(2)根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證RtABQW三RtABQC(HL),即可求解；

(3)由(2)可得加=QC,分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)0在點(diǎn)尸的下方時，當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方

時，設(shè)AP=R0=H分別表示出產(chǎn)DQ,PQ,由勾股定理即可求解.

(1)

解：AE=BE=^AB,AB=BM

：.BE=-BM

2

BE1

*：ZBEM=90°,sin團(tuán)3ME=——=-

BM2

：.ZBME=30°

：.ZMBE=60°

\'ZABP=ZPBM

：.ZABP=ZPBM=ZMBC=30°

(2)

團(tuán)四邊形ABCD是正方形

^AB=BC,的二成8C二團(tuán)。=90。

由折疊性質(zhì)得：AB=BM,^PMB=^BMQ=^A=90°

^BM=BC

①=BQ=BQ

團(tuán)RtABQM=RtAB2C(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

QIMBC30?

：.ZMBQ=ZCBQ=15°

②*：BM=BC,BQ=BQ

.,.RtABQM三RtAB2C(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

(3)

當(dāng)點(diǎn)0在點(diǎn)廠的下方時，如圖，

圖3

?尸。=lcm,DF=FC=4cm,AB=8cm

：.QC=CD-DF-FQ=S-4-l=3(cm),D0=Z)F+FQ=4+l=5(cm)

由(2)可知，QM=QC

^AP=PM=x,PD=8-x,

：.PD2+DQ2=PQ2,

即(8-xy+52=(x+3)2

解得：龍=4王0

40

團(tuán)AP=——cm；

11

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方時，如圖,

*/FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

?**QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，QM=QC

T^AP=PM=X,PD=8-X,

：.PD2+DQ1=PQ2,

即(8-X)?+32=(X+5?

24

解得：x=—

…24

團(tuán)AP=—cm.

13

【我思故我在】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握

相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

3.將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至A?,記旋轉(zhuǎn)角為a.連接39，過點(diǎn)。作

垂直于直線8B'，垂足為點(diǎn)E,連接。3',CE,

DD,

⑴如圖1,當(dāng)a=60。時，AD￡B'的形狀為,連接即，可求出一的值為L

（2）當(dāng)0。<a<360。且0290。時,

①⑴中的兩個結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立,

請說明理由；

②當(dāng)以點(diǎn)B',E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出黑的值.

BE

【答案】（1）等腰直角三角形，&;（2）①結(jié)論不變，理由見解析；②3或L

【分析】（1）根據(jù)題意，證明是等邊三角形，得”6=60,計(jì)算出ND3￡=45°,

RR，

根據(jù)班'，可得ADEB'為等腰直角三角形；證明△瓦陽'-△a）￡,可得大開的值；

CE

（2）①連接BD,通過正方形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，表示出NEBN>=ZAB'￡）-ZAB5=45°,結(jié)合

DE1BB',可得ADEB'為等腰直角三角形；證明△B'DB△EDC,可得一的值；

CE

②分為以CD為邊和CD為對角線兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】（1）由題知/B49=60。，ZBAD=90°,AB=AD=AB'

0ZB,AD=3O°,且..ABB'為等邊三角形

0ZAB,B=60°,ZAB/D=-(180°-30°)=75°

2

?ZDB'E=180°-60°-75°=45°

SDE±BB'

?NDEB'=90°

BZB'DE=45°

QZ^DEB'為等腰直角三角形

連接BD,如圖所示

ElZBDC=ZB,DE=45°

0ZBDC-ZB'DC=ZB'DE-ZB'DC即ZBDB'=ZCDE

QDE五

BDDB'2

MBDB'ACDE

BB'BD2

團(tuán)----=-------7==72

CECDy]2

故答案為：等腰直角三角形，V2

(2)①兩個結(jié)論仍然成立

連接BD,如圖所示：

SAB=AB',/BAff=c

0ZABB,=90°-—

2

0ZB'AD=a-90°,AD=AB'

團(tuán)NAB'。=135°-烏

2

0ZEB'D=ZAB'D-ZAB'B=45"

^DE±BB'

0NEDB，=NEB，D=45°

團(tuán)△DEB'是等腰直角三角形

DB'r-

團(tuán)---=J2

DE

回四邊形ABCD為正方形

0—=V2,ZBDC=45°

CD

BDDB'

團(tuán)----=-----

CDDE

?NEDB'=NBDC

由NB，DB=NEDC

回△87汨-AEDC

BB'BDf-

團(tuán)---=---=<2

CECD

團(tuán)結(jié)論不變，依然成立

②若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，分兩種情況討論

第一種：以CD為邊時，則CD〃B￡,此時點(diǎn)？在線段BA的延長線上，

如圖所示:

此時點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,

SBE=B'E,得,=1;

BE

②當(dāng)以CD為對角線時，如圖所示:

此時點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，

SCB'±BB'

EZBCD=90"

EIABCF/\CB'FABB'C

BCCB'BB'?

回---=----=------=2

CFB'FCB'

團(tuán)BE=6B'F,B'E=2B'F

BE5

ffl——=3

B'E

RF

綜上：黑的值為3或1.

DE

4.如圖（1）,已知點(diǎn)G在正方形ABC。的對角線AC上，GEL8C,垂足為點(diǎn)E,GF1CD,

垂足為點(diǎn)F.

⑴證明與推斷:

①求證：四邊形CEG尸是正方形：

A(Z

②推斷：黑的值為_____________；

BE

⑵探究與證明：

將正方形CEG尸繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)a角(0<?<45?),如圖(2)所示，試探究線段AG

與班之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶拓展與運(yùn)用：

正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B,E,尸三點(diǎn)在一條直線上時，如圖(3)所示，延長CG交

AD于點(diǎn)H.

①求證：.

②若AG=8,GH=2五,貝=.

【答案】⑴①見解析；②0

(2)AG=42BE<理由見解析

⑶①見解析；②4標(biāo)

【分析】(1)①由GE勖C、GRBCD結(jié)合48=90?？傻盟倪呅蜟EG尸是矩形，再由

NECG=45。即可得證；②由正方形性質(zhì)知NCEG=N3=90。，NECG=45。,據(jù)此可得

H=A/2,GEAB,利用平行線分線段成比例定理可得；

(2)連接CG,只需證A/CG回ABCE即可得；

(3)①根據(jù)題意可求出勖￡C=135。.再根據(jù)△/CGEIA8CE,即得出的GC=05EC=135。，從

而可求出EL4G8=回(2//=45。.即證明△///GI3ACH4；②由得任=空=必，

設(shè)BC=CD=AD=a,則AC=島，由空=空得：/==2徨，從而可求出AH=^-a,DH=

ACAH@AH2

1

一CL

1JsKQAGAHzr8方「，解出a即可.

大a，CH=—〃，再由:7;二=7倚：rr

22ACCH12a

—a

2

【詳解】⑴①團(tuán)四邊形4BCZ)是正方形,

團(tuán)團(tuán)BCZ)=90°,團(tuán)5。=45°,

^GE^BC.GF^ICD,

^CEG=^\CFG=^ECF=9QO,

團(tuán)四邊形C￡G/是矩形，回CGE=配CG=45。,

團(tuán)EG=EC,

團(tuán)四邊形C￡G尸是正方形；

②由①知四邊形CEG廠是正方形,

HSCEG=勖=90°,蛇CG=45°,

0—=V2,GEAB,

CE

AGCGr-

團(tuán)——=——=V2,

BECE

故答案為0;

(2)如圖，連接CG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知財(cái)。樂的CG=a，

在比"EG和比△曲中,崔4，冷冬

CGCAr-

團(tuán)——=——=，2,

CECB

^ACG^BCE,

AGCAr-

0-----=-----=J2,

BECB

團(tuán)線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=拒BE;

(3)①雕］。￡尸二45。，點(diǎn)、B、E、/三點(diǎn)共線,

^\BEC=135°.

^ACG^LBCE,

函4GC=財(cái)￡C=135°,

團(tuán)團(tuán)4G〃二團(tuán)C4〃=45°.

^CHA=^AHGf

^AAHG^CHA；

②團(tuán)回△CH4,

AGGHAH

團(tuán)----=-----

ACAH~CH

BC=CD=AD=a,則AC=。，

AG

團(tuán)由A"得—

AC謔侍：Ca

解得：a=4而，即8。=4碗,

故答案為：4710.

【我思故我在】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，綜合性

較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖1,在△4BC中，EUC5=90",/C=8C=3,點(diǎn)。是直線45上一動點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)

A,8重合），以CD為邊作正方形CDER連接NE,AF.

圖1圖2備用圖

⑴觀察猜想

當(dāng)點(diǎn)。在線段N5上時，線段8。與/尸的數(shù)量關(guān)系是，回C/E的度數(shù)是.

(2)探究證明

當(dāng)點(diǎn)。不在線段上時，(1)中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形

進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由.

⑶解決問題

當(dāng)AD=6■時，請直接寫出線段/E的長.

【答案】⑴即=/尸,90°

⑵當(dāng)點(diǎn)。不在線段N2上時，(1)中的兩個結(jié)論仍然成立，證明見解析

⑶線段/￡的長為1

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，得出ABCD三AACF,得到

BD=AF-,過E作EGLE4,EH±AD,根據(jù)ABCDFAACF得到NBAG=90。，確定四邊

形AGE”是矩形，通過在AD/E和A/VF中角度關(guān)系得出NEZW=/EFG,進(jìn)而得到

ADEH^AFEG(AAS),確定四邊形AGE"是正方形，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)得出

ZC4E=90°；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，得出ASCD三AACF,得到加=小；

過E作EGLE4,EH^AD,根據(jù)ABCD三AACF得到NE4H=90。，確定四邊形AGE”是

矩形,再根據(jù)正方形內(nèi)角為直角可以得出NGEF=ZHED,進(jìn)而得到AGEF=AHDE(AAS),

確定四邊形AGE"是正方形，根據(jù)正方形對角線性質(zhì)得出/。歸=90。；

(3)在等腰直角△/8C中，利用勾股定理得到斜邊長為3后〉后，可知。在邊54上，根

據(jù)(1)中求解過程即可利用全等性質(zhì)及勾股定理求出線段長.

(1)

解：四邊形CDM是正方形，

CD=CF,ZDCF=90°,

「在及42。中，a4c2=90°,

ZBCD+Z.DCA=90°,ZACF+ZDCA=90°,

:.ZBCD=ZACF,

在ABCD和AACF中,

AC=BC

<NBCD=NACF,

DC=CF

.\ABCD=AACF（SAS）,

.\BD=AF；

過￡作石G_LE4,EHLAD,如圖所示:

圖1

由ABCD三AACF得ZCAF=ZB=45°,

在△NBC中，蜘CB=90°,AC=BC=3,

ABAC=45°,

,\ZFAB=90°,

:.ZBAG=90°,

???四邊形AGE"是矩形，

令EF與AB交于/,在ADZE和AA//中，ZDIE=ZAIF,ZDEI=/FAB=9伊,

:./EDH=/EFG,

在AD￡修和AFEG中，

ZDHE=ZG=90°

<ZEDH=ZEFG,

DE=EF

M）EH三AFEG（A4S）,

:.EG=EH,

二四邊形AGEH是正方形，

AE是正方形AGE”的對角線，

:.ZEAB=45°,

Z.CAE=ZCAB+ZEAB=90°；

故答案為：BD=AF；ZCAE=90°；

（2）

解：當(dāng)點(diǎn)。不在線段上時，（1）中的兩個結(jié)論仍然成立.

證明如下：

???四邊形CD防是正方形，

:.CD=CF,ZDCF=90°,

■在△NBC中，a4c8=90°,

ZBCD=ZDCA+90°,ZACF=ZDCA+90°,

:.NBCD=ZACF,

在ABCD和AAC尸中，

AC^BC

</BCD=ZACF,

DC=CF

:.^BCD=\ACF（SAS）,

:.BD=AF；

過E作EG_LE4,EHLAD,如圖所示：

B

圖2

由ABCD三AACF得ZCAF=ZB=45°,

在△45C中，明CB=90。，AC=BC=3,

ABAC=45°,

:.ZFAB=90°,

:.ZFAH=90°,

二?四邊形AGEE是矩形，

ZDEF=NGEH=90。,

Z.GEF+ZDEG=90°,ZHED+/DEG=90°,

:.NGEF=/HED,

在AGE尸和AHD石中，

"/EGF=NH=90。

<ZGEF=ZHED,

DE=EF

.\AGEF=AHDE（AAS）,

:.EG=EH,

???四邊形AGE"是正方形，

AE是正方形AGEH的對角線，

.?.NE4G=45。，

ZCAE=ZCAF+ZEAG=90°；

故答案為：BD=AF；ZCAE=90°；

(3)

解：在AABC中，的C8=90。，/C=2C=3,點(diǎn)。是直線上一動點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)力,B

重合），

.-.AB=VAC2+BC2=3及，

BD=^2,

根據(jù)30>0可知點(diǎn)。在線段AB上，

由（1）知BD=AF=>/2>FG=DH,AG=GE=EH-HA,

過C作CJLB4于J,如圖所示：

-ACBC3x3

由等面積法可得。/二產(chǎn)

3夜一2

-AB

2

CJ=^^,DJ=-AB-BD=^^--j2=—,

在咫ACD7中，ZC7D=90°,

2222

\2

(3A/2

???正方形邊長CD=^CJ-+DJ1=+㈤

(2J2J

在RrAEFG中，NG=90°,設(shè)AG=GE=EH=/Z4=x，則/G=0+x，EG=x,EF=非,

根據(jù)勾股定理可得（應(yīng)+4+/=心『，解得了=乎或-孚（舍棄），

在正方形AGEH中，AE是其對角線，則4石=應(yīng)*"=1.

2

【我思故我在】本題考查幾何綜合，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)與判定、

等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理求線段長等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)、難度較大，根據(jù)題意構(gòu)造

出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解決問題的關(guān)鍵.

6.已知，在A4BC中，AB=AC,點(diǎn)。為邊AC上一動點(diǎn)，回BDE=B4且。8=DE,連接BE,EC,

AD

問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1,若蜘=60。，回BCE與蜘怎樣的數(shù)量關(guān)系？k的值為多少？直接寫出答

案.

AR3

類比探究：（2）如圖2,若黑==,點(diǎn)。在AC的延長線上，鼬CE與加有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

BC2

k的值為多少？請說明理由.

拓展應(yīng)用：（3）如圖3,在RtAABC中,回BAC=90。，AB=AC=10,。為AC上一點(diǎn)，以BD為邊,

在如圖所示位置作正方形BDEF,點(diǎn)。為正方形BDEF的對稱中心，且。A=2及，請直接寫

3

【答案】(1)ZA=NBCE,k=l；(2)ZBCE=ZA,k=-;(3)DE=25.

【分析】問題發(fā)現(xiàn)：（1）證明DABD@DCBE（&45）,可得出NA=/BCE,AD=CE,

類比探究：（2）證明AABCSADBE,得出空=生，證明AABDSACBE,得出

BDBE

AD_AB_33

則

~EC~~BC~2NBCE=NA,k=].

r）AAni

拓展應(yīng)用：（3）證明D6Q4SD5￡）C,得出則。。=4,求出AZ）=10—4=6,

L/CnC72

則5D可求出.

【詳解】解：問題發(fā)現(xiàn)：（1）ZBCE=ZA=60°；k=l.

AB=AC,ZBDE=ZA=60°,DB=DE,

.?.AABC和ABDE都是等邊三角形,

:.ZABC=ZDBE=6O°,AB=BC,BD=BE,

:.ZABD=ZCBE,

:.M.BD=\CBE{SAS),

:.ZA=NBCE,AD=CE,

3

類比探究：（2）NBCE=ZA,k=~.

理由如下：由于44C=ZBD￡,AB=AC,BD=DE,

..ZABC=NDBE,

\DABC^DDBE,

.AB_BC

…~DB~~BE'

.ABBC

一茄一茄’

又QIABC?CBD?DBE?CBD,

即NAi?r>=NCB石，

:.AABD^ACBE（對應(yīng)邊成比例，夾角相等），

.四一空—2

"EC-拓-2?

3

.?.NBCE=ZA,k=~,

2

拓展應(yīng)用：（3）DE=2A/34.

連接3。、0D,

團(tuán)點(diǎn)0為正方形BDEF的對稱中心，

030。是等腰直角三角形，

又聞RtAABC中，EIBAC=90°,AB=AC=10,

0ABC是等腰直角三角形，

0^BO*ABAC

BOBD

：■——=——，?OBA?ABD?ABD?DBC,

BABC

.?翁餞，NOBA=NDBC,

DL）OC

^DBOA^DBDC,

?OA-AB-1

"~DC~BC-72'

QOA=20,

.2A/2_1

"~DC~忑'

:.DC=4,

\AD=10-4=6,

\BD=7AB2+AD2=Vl02+62=2后.

【我思故我在】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相

似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握全等三角形的判

定方法與相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

7.在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為對角線8。上的一點(diǎn)，且

（1）若四邊形ABC。為正方形；

①如圖1,請直接寫出AE與DR的數(shù)量關(guān)系；

②將繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接AE、DF,猜想AE與。尸的數(shù)量

關(guān)系并說明理由；

（2）如圖3,若四邊形ABCD為矩形，BC=mAB,其它條件都不變，將繞點(diǎn)B逆

時針旋轉(zhuǎn)c（0°<e<90°）得到AEM，，連接DF',請?jiān)趫D3中畫出草圖，并求出AE7

與。尸’的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）①DF=0AE；②DF=0AE,理由見詳解；（2）DF'=^\+nfAE'■

【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)得AABD為等腰直角三角形，則BF=0AB,再證明ABEF

為等腰直角三角形得到BD=0BE,所以BD-BFu^AB-^BE,從而得到DF=0AE；

②利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得回ABE=?DBF,力口上空=當(dāng)=也，則根據(jù)相似三角形的判定可得到

BEAB

匕廣IDFBFrr

△ABE團(tuán)團(tuán)DBF,所以---=---=v2；

AEBE

（2）先畫出圖形得到圖3,禾用勾股定理得到BD=MQ/AB,再證明△BEFEEBAD得到

—,貝1]"=些=，1+加2,接著利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得回ABE，=IWBF，，BEZ=BE,BFZ=BF,

BABDBEBA

RF，RD---

所以"==了7=3商，然后根據(jù)相似三角形的判定方法得到AABE何回DBF,再利用相似

BEBA

r)pror)?---------

的性質(zhì)可得B='1+療?

AEBA

【詳解】解：(1)①國四邊形ABCD為正方形，

00ABD為等腰直角三角形，

0BD=V2AB,

0EF0AB,

H3BEF為等腰直角三角形，

BF=V2BE,

0BD-BF=V2AB-V2BE,

即DF=0AE；

故答案為：DF=V^AE；

②DF=&AE.理由如下：

fflEBF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，

0BABE=0DBF,

BFrrBDFT

團(tuán)---=J2,------=A/2,

BEAB

BFBDr-

0——=——=J2,

BEAB

回團(tuán)ABEREDBF,

DFBFr-

0——=——=V2,

AEBE

即DF=0AE；

(2)如圖3,

圖3

回四邊形ABCD為矩形，

團(tuán)AD=BC二mAB,

回BD=JAB2+仞2=&+療AB,

0EF0AB,

0EF0AD,

麗BEF釀BAD,

BEBF

團(tuán)---=----,

BABD

國空=見=標(biāo),

BEBA

雕1EBF繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)得到△￡儕,,

回回ABE'二回DBF',BE'=BE,BF=BF,

BE'BA

回回ABE'回回DBF',

DF'BDr——

團(tuán)----=----=vl+m?

AE'BA

即DF'=J1+?AT-

【我思故我在】本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)；

靈活應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)，會利用相似比表示線段之間的關(guān)系.

8.(1)問題發(fā)現(xiàn)

如圖1,在回OAB和EIOCD中，OA=OB,OC=OD,0AOB=0COD=4O°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.填

空：

①的值為_______；

DL)

②I3AMB的度數(shù)為.

(2)類比探究

如圖2,在AOAB和AOCD中，EAOB=EICOD=90o,0OAB=0OCD=3O°,連接AC交BD的延長線

于點(diǎn)M.請判斷H的值及回AMB的度數(shù)，并說明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的條件下，將AOCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC,BD所在直線交于點(diǎn)M,若OD=1,

【分析】(1)①證明△COAEHDOB(SAS),得AC=BD,比值為1;

②由△C0AEBD0B,得EICAO=I3DB。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：0AMB=18O°-

(EDBO+0OAB+0ABD)=180°-140o=40°；

(2)根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得AAOC甌BOD,則黑=g￡=G，由全等三角形的

DD(JL)

性質(zhì)得回AMB的度數(shù)；

(3)正確畫圖形，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時，有兩種情況：如圖3和4,同理可得：AAOCfflBOD,

貝靦AMB=90。，——=6,可得AC的長.

BD

【詳解】(1)問題發(fā)現(xiàn)：

釀COA二回DOB,

[?]OC=OD,OA=OB,

甌COA釀DOB（SAS）,

團(tuán)AC=BD,

AC1

團(tuán)——=1,

BD

②團(tuán)團(tuán)COA回團(tuán)DOB,

釀CAO二團(tuán)DBO,

回團(tuán)AOB=40°,

回團(tuán)OAB+團(tuán)ABO=140°,

在AAMB中，回AMB=180°-（團(tuán)CAO+團(tuán)OAB+回ABD）=180°-（團(tuán)DBO+團(tuán)OAB+團(tuán)ABD）=180°-140°=40°,

（2）類比探究：

如圖2,——二43,0AMB=9O°,理由是：

BD

R3COD中，回DCO=30°,回DOC=90°,

^—=tan300=—,

OC3

同理得：=tan30°=—，

OA3

ODOB

0——=——，

OCOA

團(tuán)團(tuán)AOB二團(tuán)COD=90°,

團(tuán)團(tuán)AOC二團(tuán)BOD,

加AOC團(tuán)團(tuán)BOD,

ACOCr-

回一=一=，3,團(tuán)CAO二團(tuán)DBO,

BDOD

在aAMB中，回AMB=180°-（回MAB+回ABM）=180°-（團(tuán)OAB+回ABM+團(tuán)DBO）=90°；

（3）拓展延伸：

①點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時，如圖3,

同理得：△AOC團(tuán)團(tuán)BOD,

ACr;

fflAMB=90",一=V3，

BD

設(shè)BD=x,則AC=7Jx,

RtZkCOD中，0OCD=3O°,OD=1,

0CD=2,BC=x-2,

RtAAOB中，0OAB=3O°,OB=V7,

0AB=2OB=2A/7，

在RtAAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(如X)2+(X-2)2=(2V7)2,

x2-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

Xi=3,X2--2,

0AC=3V3;

設(shè)BD=x,則AC=V^x,

在RtAAMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

(y/3X)2+(X+2)2=(2近)2.

x2+x-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

X[=-3,X2=2,

團(tuán)AC=25.

綜上所述，AC的長為3石或2月.

【我思故我在】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何

變換問題，解題的關(guān)鍵是能得出：AAOC盟BOD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思

想解決問題，本題是一道比較好的題目.

9.解答題

⑴如圖1,ABC和VADE都是等邊三角形，連接3D、CE,求證，BD=CE；

［類比探究］

(2)如圖2,ABC和VADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,連接3DCE.求

BD鉆/古

一的值?

［拓展提升］

ArAp

(3)如圖3,ABC和VA。石都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,—=—=2.連接

ABAD

BD、CE,延長CE交8D于點(diǎn)尸，連接AF.若ZA/C恰好等于90。，請直接寫出此時

AF,BF,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

A

圖3

【答案】①見解析

⑵手

2

⑶CF=2BF+4AF

【分析】（1）證明△54。絲從而得出結(jié)論；

（2）證明,&LE>sCAE,從而得出結(jié)果；

（3）過點(diǎn)8作陽，CV,垂足為點(diǎn)〃，令A(yù)3和CF相交于點(diǎn)。.通過證明AOBHsABCff

以及AAORSABO”，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，即可將AF,BF,C尸三條線段表示出來，即可得

出結(jié)論.

【詳解】（1）解：0ABC和VADE都是等邊三角形，

BiAB=AC,AD=AE,ZDAE=ZBAC=,

^\ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,即：ZDAB^ZEAC,

在，BAD和VC4E中，

AB=AC

<ZDAB=ZEAC,

AD=AE

0ABAD絲△CAE(SAS),

團(tuán)BD=CE.

（2）解：團(tuán)MBC和VAZ）石都是等腰直角三角形,

^\ZDAE=ZBAC=45°fZADE=ZABC=9Q0,

ADAE.ADAB

回一=一，則n一=一,

ABACAEAC

^\ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE,即：ZDAB=ZEAC,

在和VC4E中,

AD_AB

/DAB=/EAC,

~AE~~\C

團(tuán)BAD^,CAE,

「BDAB

團(tuán)--=---

CEAC

令A(yù)B=x,根據(jù)勾股定理可得：AC=?x，

回些=絲=上="

CEAC也x2

過點(diǎn)8作BHLCF,垂足為點(diǎn)〃，令A(yù)3和CF相交于點(diǎn)。

A(JAE

團(tuán)NABC=NAD￡=90。，——=——=2,

ABAD

回NACB=NAE?=30。，/BAC=/DAE=60。，

團(tuán)AACBSAAED,則NZME=NBAC,

?ZDAE—/BAE=/BAC—/BAE,即：ZDAB:/EAC,

ACAEc

0—=—=2,

ABAD

0BADsCAE,

^\ZACE=ZABD,

在A/必和AAOC中,

ZACE=ZABD,ZFOB=ZAOC,

0ZOra=ZOAC=6O°,

設(shè)=OH=y,貝Ij3方=2X,3H=G，

0BH1CF,OBLBC,

⑦AOBHs/^BCH,

OH

回——二

BH■即意夸5

—-3x23x2+xy

國CF=CH+FH=x+——=------

yy

ZAFO=ZBHO=90°,ZAOF=/BOH,

團(tuán)A4Q尸SMOH,

AFOF口口AFx-y

回---=----,KPi——

BHOHV3xyy

國=2x,AF=M一&,0q=3/+孫，

yy

回2BF=4x,V3AF=3孫,

y

.3x2-3xy3x2+xy?

04x+-------=-------=CF,

yy

0CF=2BF+73AF.

【我思故我在】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判

定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握"手拉手"模型及其變形.

4

10.如圖1,已知矩形ABCD中，AB=-BC,。是矩形ABCD的中心，過點(diǎn)。作

于E,作CR_LBC于尸，得矩形3E0R

⑴線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系是,直線AE與CF的位置關(guān)系是；

⑵固定矩形ABCD,將矩形BE。/繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接AE、CF.那

么（1）中的結(jié)論是否依然成立？請說明理由；

（3）若AB=8,當(dāng)矩形BE。尸旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)。在CF上時（如圖3）,設(shè)OE與8c交于點(diǎn)尸，求

尸C的長.

4

【答案】（1）AE=§CF,AE±CF

⑵（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析

（3）pc=18-8^

3

【分析】(1)根據(jù)。是矩形ABCD的中心，OELAB于E,于尸可知，四邊形OEBF

為矩形，可推知各線段的數(shù)量及位置關(guān)系；

(2)延長AE交BC于交CF于G,由已知得==進(jìn)而得到

BFBF1

-=-=構(gòu)造相似三角形AABE和ACBP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷；

ABBC2

(3)根據(jù)已知條件,利用勾股定理求出CF的長,進(jìn)而求出OC的長,判斷出ABPE^ACPO,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出尸。的長.

【詳解】(1)解：O是矩形ABC。的中心，。石，他于七，O尸，5C于尸，

/.AE=-ABCF=-BC,

2f2

4

AB=—BC,

3

1144

:.-AB=-x-BCBPAE=-CF；

223f3

ABLBC，點(diǎn)E、尸分別是AB、BC上的點(diǎn)，

:.AE±CF；

4

故答案為AE=]C尸；AEA.CF；

(2)解：(1)中的結(jié)論仍然成立.

如圖1,延長AE交3C于H,交C尸于G,

BEBFT

ZABC=/EBF=90。,

:.ZABE=NCBF,

/.AABE^ACBF,

AEAB4-

:./BAE=NBCF

CF-3

ZBAE+ZAHB=90。，ZAHB=/CHG,

.\ZBCF+ZCHG=90°

ZCGH=1SO°-(ZBCF+ZCHG)=90°,

4

:.AE±CF,且AE=—CT\

3

4

(3)解：AB=-BC,AB=8,

BC=6,

：.BE=OF=4,BF=OE=3,

點(diǎn)。在C廠上,

:.ZCFB=9Q0,

.\CF=^BC2-BF2=762-32=373，

OC=CF—OF=36—4,

,ZCPO=ZBPE,NPEB=/POC=90。,

:年P(guān)EsACPO,

.CPPC

.?而一正’

設(shè)CP=x,貝尸=6—x,

,x373-4

??---=-------9

6-x4

解得…=更2,

3

.-.pc=i^i.

3

【我思故我在】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握相似

三角形的判定和性質(zhì)，做出適當(dāng)輔助線是關(guān)鍵.

IL(1)如圖1,正方形/BCD