2023年中考數(shù)學(xué)第三次模擬考試卷及解析(溫州卷)

2023年中考數(shù)學(xué)第三次模擬考試卷及解析（溫州卷）

一、選擇題（每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求

1．下列各實(shí)數(shù)中最小的是（）

A．|﹣2|B．0C．﹣D．﹣

【答案】C

【分析】正實(shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)

實(shí)數(shù)絕對值大的反而小，據(jù)此判斷即可．

【解答】解：根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法，可得

﹣＜﹣＜0＜|﹣2|，

∴各實(shí)數(shù)中最小的是﹣．

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)

鍵是要明確：正實(shí)數(shù)＞0＞負(fù)實(shí)數(shù)，兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而?。?/p>

2．2020年12月4日，中國量子計(jì)算原型機(jī)“九章”問世，當(dāng)求解5000萬個(gè)樣本

的高斯玻璃取樣時(shí)，“九章”只需要200秒．其中數(shù)據(jù)5000用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A．0.5×103B．0.5×104C．5×103D．5×104

【答案】C

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確

定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)

點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1

時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．

【解答】解：5000＝5×103．

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．

3．下列幾何體中的主視圖為三角形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】分別找出從圖形的正面看所得到的圖形即可．

【解答】解：A、主視圖是矩形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、主視圖是三角形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、主視圖是矩形，故此選項(xiàng)不合題意；

D、主視圖是圓，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關(guān)鍵是掌握主視圖是從幾何

體的正面看所得到的圖形．

4．把一枚均勻的骰子拋擲一次，朝上面的點(diǎn)數(shù)為6的概率是（）

A．0B．C．D．1

【答案】C

【分析】根據(jù)概率公式即可得．

【解答】解：∵任意拋擲一次骰子共有6種等可能結(jié)果，其中朝上面的點(diǎn)數(shù)

恰為6的只有1種，

∴朝上面的點(diǎn)數(shù)恰為6的概率是，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比．

5．將三角板（含30°，60°角）和直尺按如圖所示的位置擺放，依次交于點(diǎn)F，

D，E，且CD＝CE，那么∠BFA的度數(shù)為（）

A．120°B．135°C．140°D．150°

【答案】B

【分析】先根據(jù)△CDE是等腰直角三角形，得出∠CED＝45°，再利用三角形

外角性質(zhì)得到∠FDE＝∠C+∠CED＝135°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BFA

的度數(shù)．

【解答】解：由圖可得，CD＝CE，∠C＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CED＝45°，

∴∠FDE＝∠C+∠CED＝90°+45°＝135°，

又∵DE∥AF，

∴∠BAF＝135°，

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題時(shí)

注意：兩直線平行，同位角相等．

6．某校為了解學(xué)生在校一周體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了35名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果列

表如下：

鍛煉時(shí)5678

間/h

人數(shù)615104

則這35名學(xué)生在校一周體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)為（）

A．6hB．5hC．7hD．8h

【答案】A

【分析】直接利用眾數(shù)的概念求解可得．

【解答】解：這組數(shù)據(jù)中，體育鍛煉時(shí)間出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)是6h，即眾數(shù)為6h．

故選：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．

7．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝2，CD＝3，則⊙O的

直徑長為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】連接BD，根據(jù)圓周角定理得到BD是⊙O的直徑，求得∠BCD＝90°，

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

【解答】解：連接BD，

∵∠BAD＝90°，

∴BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD＝90°，

∵BC＝2，CD＝3，

∴BD＝＝，

即⊙O的直徑長為，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔

助線是解題的關(guān)鍵．

8．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+c，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為

（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可得到當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y最小值＝

﹣3+c，當(dāng)x＝1時(shí)，y最大值＝c+1，從而求得結(jié)論．

【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，

∴該拋物線的對稱軸為x＝1，且a＝﹣1＜0，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為c+1，

∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，

∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最小值為：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝﹣3+c，

∴函數(shù)的最大值與最小值的差為c+1﹣（﹣3+c）＝4．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)對稱軸的求解，二次函數(shù)的最值問題，求得二

次函數(shù)的對稱軸是解題的關(guān)鍵．

9．如圖，一只正方體箱子沿著斜面CG向上運(yùn)動(dòng)，∠C＝α，箱高AB＝1米，當(dāng)

BC＝2米時(shí)，點(diǎn)A離地面CE的距離是（）米．

A．B．

C．cosα+2sinαD．2cosα+sinα

【答案】C

【分析】過點(diǎn)B作BM⊥AD，垂足為M，根據(jù)題意可得BE＝DM，∠ABC＝

∠BEC＝∠ADC＝90°，再利用等角的余角相等可得∠C＝∠BAF＝α，然后在

Rt△ABM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，再在Rt△CBE中，利

用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，從而求出DM的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可

解答．

【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥AD，垂足為M，

由題意得：BE＝DM，∠ABC＝∠BEC＝∠ADC＝90°，

∴∠C+∠CFD＝90°，∠AFB+∠BAF＝90°，

∵∠CFD＝∠AFB，

∴∠C＝∠BAF＝α，

在Rt△ABM中，AB＝1米，

∴AM＝AB?cosα＝cosα（米），

在Rt△CBE中，BC＝2米，

∴BE＝BC?sinα＝2sinα（米），

∴DM＝BE＝2sinα米，

∴AD＝AM+DM＝（cosα+2sinα）米，

∴點(diǎn)A離地面CE的距離是（cosα+2sinα）米，

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形

添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

10．如圖，四個(gè)全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方形

EFGH．連結(jié)EB，EG，延長EG交CD于點(diǎn)M，若∠BEM＝90°，則BE：EM

的值為（）

A．1：2B．3：4C．5：6D．5：12

【答案】B

【分析】如圖過G作GN∥ED交CD于N，根據(jù)∠BEM＝90°和正方形的性質(zhì)

可以EF＝BF＝AE，然后利用趙爽弦圖可知EH＝HD＝GH＝GC，最后利用平

行線分線段成比例即解決問題．

【解答】解：如圖，過G作GN∥ED交CD于N，

∵∠BEM＝90°，而EM為正方形EFGH的對角線，

∴∠FEG＝∠EGF＝45°，

∴∠EBF＝45°，

∴EF＝BF＝AE，

設(shè)BF＝a，

∴AF＝2a，EF＝FG＝a，

∴EG＝BE＝a，

根據(jù)趙爽弦圖可知EH＝HD＝GH＝GC＝a，

∵GN∥ED，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴＝，

∴GM＝EG＝a，

∴BE：EM＝a：（a+a）＝3：4．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和趙爽弦圖的性質(zhì)，同時(shí)也利用了平

行線分線段成比例的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，對于學(xué)生的要求比較高．

第Ⅱ卷

二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）

11．分解因式：4m﹣2m2＝2m（2﹣m）．

【答案】2m（2﹣m）．

【分析】提取公因式進(jìn)行因式分解．

【解答】解：4m﹣2m2＝2m（2﹣m），

故答案為：2m（2﹣m）．

【點(diǎn)睛】本題考查提公因式法進(jìn)行因式分解，掌握提取公因式的技巧準(zhǔn)確計(jì)

算是解題關(guān)鍵．

12．小明數(shù)學(xué)的平時(shí)成績，期中考試成績，期末考試成績分別是：90分，80分，

90分．學(xué)校按平時(shí)成績：期中考試成績：期末考試成績＝3：3：4進(jìn)行總評，

那么小明本學(xué)期數(shù)學(xué)總評分應(yīng)為87分．

【答案】87．

【分析】按3：3：4的比例算出本學(xué)期數(shù)學(xué)總評分即可．

【解答】解：根據(jù)題意，則（分）．

故答案為：87．

【點(diǎn)睛】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，掌握平時(shí)成績：期中考試成績：期

末考試成績＝3：3：4的含義是關(guān)鍵．

13．若圓的半徑為3cm，圓心角為60°，則這個(gè)圓心角所對的弧長為πcm．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)弧長公式l＝計(jì)算即可．

【解答】解：l＝＝＝π，

∴這個(gè)圓心角所對的弧長為πcm，

故答案為：π．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長的計(jì)算公式，熟練掌握弧長l＝是解決問題

的關(guān)鍵．

14．不等式組的解集為2≤x＜7．

【答案】2≤x＜7．

【分析】分別解兩個(gè)不等式，求出解集公共部分即可．

【解答】解：，

解不等式①得x≥2，

解不等式②得x＜7．

故不等式組的解集為2≤x＜7．

故答案為：2≤x＜7．

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練解不等式的步驟以

及求幾個(gè)不等式解集的公共部分．

15．如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)C，B分別在x，y軸的正半軸上，對角線AC，

BD的交點(diǎn)M在第一象限，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過M點(diǎn)，已知

AC⊥x軸．

（1）若正方形ABCD面積為4，則k的值為2；

（2）若反比例函數(shù)的圖象與AB交于點(diǎn)E，則＝．

【答案】（1）2；

（2）．

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)與面積求得△BCM的面積，進(jìn)而求得正方形

OBMC的面積，再根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義求得k；

（2）過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，用m與k表示出A、

B、E的坐標(biāo)，再根據(jù)相似三角形的比例關(guān)系求得結(jié)果便可．

【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，正方形ABCD面積為4，

∴△BCM的面積為1，

∴正方形OBMC的面積為2，

∴k＝2，

故答案為：2；

（2）過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，則EF∥AC

設(shè)M（m，），則A（m，），B（0，），AM＝CM＝，

∴直線AB的解析式為：y＝，

解方程組，得（舍去負(fù)根），

∴E（，

∴EF＝，

∵EF∥AM，

∴△BEF∽△BAM，

∴，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾

何意義，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是應(yīng)用反比例函數(shù)

的比例系數(shù)的幾何意義解題．

16．小鄭在一次拼圖游戲中，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很神奇的現(xiàn)象：

（1）他先用圖形①②③④拼出矩形ABCD．

（2）接著拿出圖形⑤．

（3）通過平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形ABMN．

已知AE：EO＝2：3，圖形④的面積為15，則增加的圖形⑤的面積為：，

當(dāng)CO＝，EH＝4時(shí)，tan∠BAO＝．

【答案】（1）．

（2）．

【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)長方形的寬相等，面積比等于長的比．

（3）根據(jù)平移前后圖形的變化，平移前圖形的面積加上等于平移后圖形的

面積，結(jié)合第一個(gè)空的，聯(lián)立解方程即可．

【解答】解：（1）如圖，在平移后的圖形中分別標(biāo)記O′，O″，F(xiàn)′，H′，E′和G′，

由題意可知，

AE：EO＝2：3G′H′＝FC＝NF′

∴DF：FC＝2：3，NO′：O′F′＝1：2

又∵圖⑤和圖④的高相等，

∴圖⑤和圖④的面積比為1：2，

∴圖⑤的面積為．

故答案為：．

（3）由題意可知，

S四邊形AOCD＝，

S四邊形AOMN＝，

S四邊形AOCD+＝S四邊形AOMN

設(shè)DF＝2a，DG＝x，

則CF＝G′H′＝3a，CO＝H′E′＝，CD＝NF＝5a，

EF＝AG′＝4+x，AG＝E′F′＝+x，

∴AD＝x++x＝+2x，

AN＝4+x+x＝4+2x，

又∵ax＝，

綜上解得：a＝3，x＝，

∵OB＝2x＝5，AB＝5a＝15，

∴tan∠BAO＝＝＝，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)和解直角三角形，找準(zhǔn)平移前后不變的量是關(guān)

鍵．

三、解答題（本題有8小題，共80分．解答需寫出必要的文字說明、演算步驟

或證明過程）

17．（1）計(jì)算：（﹣1）﹣3++|2﹣|+（﹣1.57）0﹣；

（2）先化簡，再求值：÷﹣（+1），其中x＝cos60°．

【答案】（1）﹣；

（2），﹣2．

【分析】（1）應(yīng)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，立方根，絕對值，零指數(shù)冪，最簡二次根

式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；

（2）應(yīng)用分式化簡求值的方法化為最簡，再應(yīng)用特殊角三角函數(shù)值求出cos60°

的值代入計(jì)算即可得出答案．

【解答】解：（1）原式＝+2+（﹣2）+1﹣2

＝﹣1+2+﹣2+1﹣2

＝；

（2）原式＝

＝

＝，

把x＝cos60°＝代入上式，

原式＝＝﹣2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，分式

的化簡求值，熟練掌握特殊角三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，分式的

化簡求值的方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．

18．如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，連接DE并延長至點(diǎn)F，

使得EF＝ED，連CF．

（1）求證：CF∥AB

（2）若∠ABC＝50°，連接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度

數(shù)．

【答案】（1）證明過程見解答；

（2）65°．

【分析】（1）求出∴△AED≌△CEF，根據(jù)全等得出∠A＝∠ACF，根據(jù)平行

線的判定得出即可；

（2）求出∠A＝∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．

【解答】（1）證明：∵在△AED和△CEF中

∴△AED≌△CEF（SAS），

∴∠A＝∠ACF，

∴CF∥AB；

（2）解：∵AC平分∠BCF，

∴∠ACB＝∠ACF，

∵∠A＝∠ACF，

∴∠A＝∠ACB，

∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，

∴2∠A＝130°，

∴∠A＝65°．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定、三角

形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．

19．北京冬奧會(huì)已落下帷幕，但它就象一團(tuán)火焰，點(diǎn)燃了中國人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的

熱情．某校為了解學(xué)生對冰雪運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)的知曉情況，通過發(fā)放問卷進(jìn)行

測評．所有問卷全部收回，從中隨機(jī)抽取若干份答卷，并統(tǒng)計(jì)成績將結(jié)果繪

制成如下所示的統(tǒng)計(jì)圖（均不完整）．

請答下列問題：

（1）本次隨機(jī)抽取了50份答卷，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）本班計(jì)劃在“短道速滑”、“花樣滑冰”、“單板滑雪”、“冰壺”四項(xiàng)冰雪運(yùn)

動(dòng)中任選兩項(xiàng)作為板報(bào)素材，求恰好選中“短道速滑”、“冰壺”這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概

率.

【答案】（1）50，補(bǔ)全圖形見解答；（2）．

【分析】（1）由70分的人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)；用總?cè)藬?shù)乘以得90

分人數(shù)所占比例即可；

（2）將四項(xiàng)冰雪運(yùn)動(dòng)分別記作甲、乙、丙、丁，畫樹狀圖得出所有等可能結(jié)

果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．

【解答】解：（1）本次隨機(jī)調(diào)查的答卷數(shù)量為10÷20%＝50（份），

90分的人數(shù)為50×20%＝10（人），

補(bǔ)全圖形如下：

故答案為：50；

（2）將四項(xiàng)冰雪運(yùn)動(dòng)分別記作甲、乙、丙、丁，

畫樹狀圖得：

∴一共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中“短道速滑”、“冰壺”這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)

的有2種結(jié)果，

∴恰好選中“短道速滑”、“冰壺”這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率為＝．

【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺

漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件；解題時(shí)要注意是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)

點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

20．如圖，在8×6的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請按下列要求完成

作圖．

（1）在圖1中，將△ABC繞C點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1B1C．

（2）在圖2中，在AC所在直線的左側(cè)畫∠AEC，使得∠AEC＝∠B．

【答案】圖形見解答．

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的定義分別作出點(diǎn)A、B旋轉(zhuǎn)后所得對應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)C

首尾順次連接即可；

（2）結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)求解即可．

【解答】解：（1）如圖1，△A1B1C即為所求；

（2）如圖2，點(diǎn)E或E′即為所求．

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換，作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)

鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．

21．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A

的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在BC邊上，連接AF交DE于點(diǎn)G，連接BG．

（1）求證：△GBF∽△DAF．

（2）若BF?AD＝15，cos∠BGF＝，求矩形ABCD的面積．

【答案】（1）證明見解析；（2）15．

【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，直角三角形的斜邊上的性質(zhì)

可得△DAF和△GBF為等腰直角三角形，再利用同角的余角相等，相似三角

形的判定定理解答即可；

（2）利用（1）的結(jié)論和相似三角形的性質(zhì)定理求得AF，BG，利用四點(diǎn)共圓

的性質(zhì)可得cos∠BEF＝，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理可得，設(shè)

BE＝2x，則EF＝3x，AE＝3x，BF＝x，AB＝AE+BE＝5x，再

利用勾股定理列出方程求得x值，則AB可得；利用相似三角形對應(yīng)邊成比例

求得AD，則利用矩形的面積公式即可求得結(jié)論．

【解答】（1）證明：由題意得：△ADE≌△FDE，DE垂直平分AF，

∴DA＝DF，AG＝GF，

∴∠DAF＝∠DFA．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠ABF＝90°，

∴BG＝AG＝FG＝AF．

∴△AGB和△GBF為等腰三角形，

∴∠GBF＝∠GFB，∠GAB＝∠GBA．

∵∠GAB+∠DAF＝90°，∠GAB+∠AFB＝90°，

∴∠DAF＝∠GFB，

∴∠DAF＝∠GFB，∠DFA＝∠GBF，

∴△GBF∽△DAF；

（2）解：∵△GBF∽△DAF，

∴，

∴BG?AF＝BF?AD＝15，

∵BG＝AG＝FG＝AF，

∴AF2＝30，

∴AF＝，

∴BG＝．

由（1）知：DE垂直平分AF，

∴∠EGF＝90°，AE＝EF．

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABC+∠EGF＝180°，

∴點(diǎn)E，B，F(xiàn)，G四點(diǎn)共圓，

∴∠BEF＝∠BGF．

∵cos∠BGF＝，

∴cos∠BEF＝，

∵cos∠BEF＝，

∴，

設(shè)BE＝2x，則EF＝3x，AE＝3x，

∴BF＝x，AB＝AE+BE＝5x．

∵AB2+BF2＝AF2，

∴，

解得：x＝1．

∴AB＝5，BF＝．

∵，

∴，

∴AD＝3，

∴矩形ABCD的面積＝AD?AB＝15．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，

等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角

形斜邊上的中線的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，充分利用相似三角形

的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

22．已知拋物線y＝ax2﹣4ax﹣6（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣1）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）直線l交拋物線于點(diǎn)A（4，m），B（n，6），若點(diǎn)P在拋物線上且在直

線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．

【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣6，頂點(diǎn)為（2，﹣10）；

（2）﹣2＜xP＜4或4＜xP＜6，﹣10≤yP＜6或﹣6＜yP＜6．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得解析式，然后化成頂點(diǎn)解析式即可求得頂

點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）分別求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，根據(jù)圖象開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣4ax﹣6（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣1），

∴a+4a﹣6＝﹣1，

∴a＝1，

∴y＝x2﹣4x﹣6，

∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，

∴頂點(diǎn)為（2，﹣10）；

（2）把x＝4代入y＝x2﹣4x﹣6得y＝42﹣4×4﹣6＝﹣6，

∴m＝﹣6，

把y＝6代入函數(shù)解析式得6＝x2﹣4x﹣6，

解得n＝6或n＝﹣2，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（4，﹣6），點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，6）或（﹣2，6）．

∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣10），

∴拋物線頂點(diǎn)在AB下方，

∴﹣2＜xP＜4或4＜xP＜6，﹣10≤yP＜6或﹣6＜yP＜6．

【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌

握二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．

23．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．

如何調(diào)整蔬菜大棚的結(jié)構(gòu)？

素材1我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分

成熟，一塊土地上有一個(gè)蔬菜大棚，其

橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固

定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC

上，其橫截面有2根支架DE，F(xiàn)G，相

關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示，其中支架DE＝BC，

OF＝DF＝BD．

素材2已知大棚共有支架400根，為增加棚內(nèi)

空間，擬將圖2中棚頂向上調(diào)整，支架

總數(shù)不變，對應(yīng)支架的長度變化如圖3

所示，調(diào)整后C與E上升相同的高度，

增加的支架單價(jià)為60元/米（接口忽略

不計(jì)），現(xiàn)有改造經(jīng)費(fèi)32000元．

問題解決

任務(wù)1確定大棚形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物

線的函數(shù)表達(dá)式．

任務(wù)2嘗試改造方案當(dāng)CC'＝1米，只考慮經(jīng)費(fèi)情況下，請通過

計(jì)算說明能否完成改造．

任務(wù)3擬定最優(yōu)方案只考慮經(jīng)費(fèi)情況下，求出CC'的最大值．

【答案】任務(wù)2：見解析；任務(wù)2：能完成改造，理由見解析；任務(wù)3：1.6米．

【分析】（1）根據(jù)題意得到函數(shù)的對稱軸為5，再利用待定系數(shù)法得到函數(shù)的

解析式；

（2）根據(jù)已知條件得到函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)解析式得到C'、E'的坐標(biāo)

即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)已知條件表示出G'、E'的坐標(biāo)得到a的不等式，進(jìn)而得到CC'的最

大值．

【解答】解：（1）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖1所示的坐標(biāo)系，

∴A（0，1），C（6，3.4），

∴設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+1，

∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC，

∴拋物線的對稱軸為直線，

∴y＝ax2﹣10ax+1，將C（6，3.4）代入解析式得，，

∴．

（2）如圖，建立與（1）相同的坐標(biāo)系，

∵CC'＝1，

∴C'為（6，4.4），

∵改造后對稱軸不變，設(shè)改造后拋物線解析式為y＝ax2﹣10ax+1，

將C'（6，4.4）代入解析式得，

∴，

∴G為，G'為，

∴，

∴共需改造經(jīng)費(fèi)，

∴能完成改造．

圖2

（3）如圖2，設(shè)改造后拋物線解析式為y＝ax2﹣10ax+1，

則G'為（2，﹣16a+1），E'為（4，﹣24a+1），

∴，

由題意可列不等式，（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，解得，

∵CC'＝EE'＝﹣24a+1﹣3.4，

∴時(shí)，CC'的值最大，為1.6米．

【點(diǎn)評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性

質(zhì)求對稱軸，方案選擇問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

24．如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，延長BC至D，使CD

＝CB，E為AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE并延長交AB于點(diǎn)F．作△BEF的外接圓

⊙O，EH為⊙O的直徑，射線AC交⊙O于點(diǎn)G，連結(jié)GH．

（1）求證：∠AEF＝∠CEB．

（2）①如圖2，當(dāng)DF⊥AB時(shí)，求GH的長及tan∠EHG的值．

②如圖3，隨著E點(diǎn)在CA邊上從下向上移動(dòng)，tan∠EHG的值是否發(fā)生變化，

若不變，請你求出tan∠EHG的值，若變化，求出tan∠EHG的范圍．

（3）若要使圓心O落在△ABC的內(nèi)部（不包括邊上），求CE的長度范圍．

【答案】（1）見解答過程；

（2）①；

②tan∠EHG的值不變，tan∠EHG＝；

（3）2＜CE＜6．

【分析】（1）由△ECD≌△ECB（SAS）