2024年中考數(shù)學(xué) 定值問題

備考2024年中考數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)專題十三定值問題

一、選擇題

1.如果a,b為定值時(shí)，關(guān)于x的方程更答-卑bi,無論k為何值時(shí)，它的根總是2,則a+b的

Z4

值為（）

A.18B.15C.12D.10

2.如圖，把一個(gè)周長為定值的長方形分割為五個(gè)四邊形，其中A是正方形，B,C,D,E都是長方形,

這五個(gè)四邊形的周長分別用1A，1B，1c，ID，片表示，則下列各式的值為定值的是（）

A.1AB.1B+IDC.1A+1B+】DD.1A+1C+】E

3.如圖，長為y（ca）,寬為x（czn）的大長方形被分割為7小塊，除陰影4B外，其余5塊是形狀、

大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為4cm,下列說法中正確的有（）

①小長方形的較長邊為12）cm；

②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為（尢-y+4）cm；

③若久為定值，則陰影2和陰影B的周長和為定值；

④當(dāng)％=20時(shí)，陰影4和陰影B的面積和為定值.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.如圖，在邊長為8的正方形4BCD中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC,點(diǎn)尸是CE上一動(dòng)點(diǎn),

則點(diǎn)P到邊BD,BC的距離之和PM+PN的值（）

A.是定值4魚B.是定值8C.有最小值4魚D.有最大值8

5.如圖，E在線段BA的延長線上，LEAD=Z.D,Z.B=4D,EF//HC,連接FH交AD于點(diǎn)G,^FGA

的余角比ADGH大16。，K為線段BC上一點(diǎn)，連接CG,GK,使乙CKG=MGK,在乙4GK內(nèi)部有射

線GM,GM平分ZFGC,則下列結(jié)論：①AD〃BC；②GK平分乙4GC；③乙DGH=37°；④ZMGK的

角度為定值且定值為16°,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()

C.2個(gè)D.1個(gè)

6.如圖，在第一象限內(nèi)，點(diǎn)A是一次函數(shù)y=x圖象上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別是S，1),

(b+1,2),若反比例函數(shù)丫=勺和了=今的圖象分別經(jīng)過點(diǎn)A,D,則下列代數(shù)式的值為定值的是

()

7.如圖，在等腰RtaABC中，NC=90。，AC=6,F是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D,E分別在AC,BC

邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD=CE,連接DE,DF,EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，下列結(jié)論：①4DFE是等

腰直角三角形；②四邊形CDFE的面積是定值9；③4DFE的面積最小值為4.5；④DE長度的最小

值為3.其中正確的結(jié)論是()

c

E

/\

AFB

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

8.如圖，正方形ABC。的邊長為4,G是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，GE_LCD于點(diǎn)E,GFJ.BC于點(diǎn)F,

連接EF,給出四種情況：

①若G為BC的中點(diǎn)，則四邊形CEGF是正方形；②若G為BC上任意一點(diǎn)，則AG=EF；③點(diǎn)

G在運(yùn)動(dòng)過程中，GE+GF的值為定值4；④點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，線段EF的最小值為2金.

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

9.如圖，在邊長為a的正方形ABC。中，E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC,點(diǎn)P是CE上一動(dòng)點(diǎn),

則點(diǎn)P到邊BQ,BC的距離之和PM+PN的值（）

A.有最大值aB.有最小值孝aC.是定值aD.是定值學(xué)a

10.已知無論％,y取什么值，多項(xiàng)式（3/-my+9）-（ri/+5y-3）的值都等于定值12,則m+幾

等于（）.

A.8B.-2C.2D.-8

11.如圖，直線y=>0）與雙曲線y=±交于4B兩點(diǎn)，3。_1,久軸于點(diǎn)C,連接ZC交y軸于

點(diǎn)。。下列結(jié)論：?OA=OB-,②△2BC的面積為定值；③。是4C的中點(diǎn)；@S^A0D=其中正

確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

12.如圖，在菱形4BCD中,ZB=BD,點(diǎn)E,F分別是邊AB,AD上任意點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且4E=DF,

連接BF,CE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H,下列結(jié)論：①AAED34DFB；②ZBGE的

大小為定值；③CG與BD一定不垂直；④若4F=2DF,則BG=6GF,其中正確的結(jié)論有（）

A,①②B.①②④C.③④D.①③④

二、填空題

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P,。是函數(shù)y1（x>0）圖象上異于/。，1）的點(diǎn)，直線P。與

X

直線〉=x垂直，分別交x軸，了軸于點(diǎn)N.現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①M(fèi)P=NQ；

②NE4Q可能是直角；

③肱V2-尸。2為定值；

④△XON的面積可能為2.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

14.已知關(guān)于x,y的方程組二無論k取何值，久+9y的值都是一個(gè)定值，則這個(gè)

定值為.

15.若a、b為定值,關(guān)于x的一次方程駕⑼―上著=2無論k為何值時(shí)，它的解總是x=1,則（2a+

332022的值為.

16.已知關(guān)于x,y的二元一次方程組（留5套￥6有下列說法：①當(dāng)x與y相等時(shí)，解得k=—4；

②當(dāng)x與y互為相反數(shù)時(shí)，解得k=3；③若4*8曠=32,則k=ll；④無論k為何值，x與y的

值一定滿足關(guān)系式久+5y+12=0,其中正確的序號(hào)是.

17.如圖，點(diǎn)P為定角乙4OB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且NMPN與乙4OB互補(bǔ)，若乙MPN在繞點(diǎn)P旋

轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與04、0B相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：①PM=PN恒成立;②OM+ON

的值不變；③四邊形PMON的面積不變；④MN的長不變，其中正確的序號(hào)為.

18.如圖，小明在計(jì)算機(jī)上用“幾何畫板”畫了一個(gè)Rt^ABC,ZC=90°,并畫出了兩銳角的角平分線

AD,BE及其交點(diǎn)F.小明發(fā)現(xiàn)，無論怎祥變動(dòng)Rt^ABC的形狀和大小，NAFB的度數(shù)是定值.這

個(gè)定值為________.

19.如圖，邊長為1的正方形4BCD中，點(diǎn)E為4。邊上動(dòng)點(diǎn)（不與A、D重合），連接BE,WAABE

沿BE折疊得到AEBH,延長EH交CO于點(diǎn)F,連接BF,交AC于點(diǎn)N,連接則下列結(jié)論：

①ZEBF=45。；②△DET的周長是定值2；③當(dāng)點(diǎn)E是入。中點(diǎn)時(shí)，CN=孝；④點(diǎn)D到"1距離

的最大值為迎-1,其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

三、綜合題

20.項(xiàng)目化成果展示了一款簡易電子秤：可變電阻上裝有托盤（質(zhì)量忽略不計(jì)），測(cè)得物品質(zhì)量x（kg）

與可變電阻y（Q）的多組對(duì)應(yīng)值，畫出函數(shù)圖象（如圖1）.圖2是三種測(cè)量方案，電源電壓恒為8V,

定值電阻為30。，與可變電阻串聯(lián).

圖1圖2

【鏈接】串聯(lián)電路中，通過兩個(gè)電阻的電流I相等，/=g.可變電阻、定值電阻兩端的電壓之和為

8V,則有/(y+30)=8.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍.

(2)三個(gè)托盤放置不同物品后，電表A,乙，匕的讀數(shù)分別為0.1A,6V,4V.請(qǐng)從以下方案中選

擇一個(gè)，求出對(duì)應(yīng)物品的質(zhì)量是多少kg?

(3)小明家買了某散裝大米65kg,為了檢驗(yàn)商家是否存在缺斤少兩的情況，請(qǐng)你將大米分批稱重，

用方案一、二、三來進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)大米為a(60<aW65)kg,前兩次稱合適的千克數(shù)，第3次用含a

的代數(shù)式表示，請(qǐng)?zhí)顚懴卤?

第1次(方案一)第2次(方案二)第3次(方案三)

—

大米(kg)

VQ=匕>

讀數(shù)1=________A

VV

21.在面積為定值的一組矩形中，當(dāng)矩形的一條邊長為7.5cm時(shí)，它的鄰邊長為8cm.

(1)設(shè)矩形相鄰的兩條邊長分別為xcm,ycm,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.這個(gè)函數(shù)是反比例函數(shù)

嗎？

(2)若其中一個(gè)矩形的一條邊長為5cm,求這個(gè)矩形與之相鄰的另一條邊長.

22.已知代數(shù)式/-6久+11,先用配再求出當(dāng)x取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小，最小值是多少？

方法說明，不論x取何值，這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù).

23.定義：若n為常數(shù)，當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)和為n的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象關(guān)

于n的“恒值點(diǎn)”，例如：點(diǎn)(1,2)是函數(shù)y=2%圖象關(guān)于3的“恒值點(diǎn)”.

(1)判斷點(diǎn)(1,3),(2,8),(3,7)是否為函數(shù)y=5工—2圖象關(guān)于10的“恒值點(diǎn)”.

(2)如圖1,拋物線y=2/+b工+2與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè))，現(xiàn)將拋物線在x

軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，所得的新圖象如圖2所示.

I.求翻折后A,B之間的拋物線解析式.(不必寫出x的取值范圍)

II.當(dāng)新圖象上恰好有3個(gè)關(guān)于c的“恒值點(diǎn)”時(shí)，請(qǐng)用含b的代數(shù)式表示c.

24.對(duì)于某一函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù),,當(dāng)其自變量的值為0時(shí)，其函數(shù)值等于小則稱。

為這個(gè)函數(shù)的不動(dòng)值，在函數(shù)存在不動(dòng)值時(shí)，該函數(shù)的最大不動(dòng)值與最小不動(dòng)值之差q稱為這個(gè)函數(shù)

的不動(dòng)長度，特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)不動(dòng)值時(shí)，其不動(dòng)長度q為0,例如，下圖中的函數(shù)有0和1

(1)下列函數(shù)①y=2x,②y=N+l,③y=N-2%中存在不動(dòng)值的是(填序號(hào))

(2)函數(shù)y=3x2+&t,

①若其不動(dòng)長度為0,則6的值

為____________________________________________________________________________________

________________________________________________________________;

②若-2<b<2,求其不動(dòng)長度q的取值范圍；

(3)記函數(shù)y=N-4x(x>/)的圖象為Gi,將Gi沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為G2,函數(shù)G

的圖象由Gi和G2兩部分組成，若其不動(dòng)長度q滿足g把5,則/的取值范圍

為

25.在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把縱坐標(biāo)的值與橫坐標(biāo)的值的平方相等的點(diǎn)稱為“雅心點(diǎn)”，例如

點(diǎn)（-1,1）,（0,0）,（V2,2）,…都是“雅心點(diǎn)”，顯然，這樣的“雅心點(diǎn)”有無數(shù)個(gè).

（1）求一次函數(shù)y=x+2上的所有“雅心點(diǎn)”的坐標(biāo)為；

（2）若過點(diǎn)（1,-3）的直線上恰好只有一個(gè)“雅心點(diǎn)”，請(qǐng)求出符合要求的直線解析式；

（3）若二次函數(shù)y=a/-6a久+9a-1（a是常數(shù)，a>0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“雅心點(diǎn)”，

且“雅心點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的值都不大于2,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

26.我們規(guī)定，對(duì)于已知線段AB,若存在動(dòng)點(diǎn)C（點(diǎn)C不與點(diǎn)A,B重合）始終滿足NACB的大小

為定值，則稱AABC是“立信三角形"，其中AB的長稱為它的“立信長”，NACB稱為它的“立信角”.

（1）如圖（1）,已知立信4ABC中“立信長ZB=2,“立信角”乙4cB=90°,請(qǐng)直接寫出立信AABC

面積的最大值；

（2）如圖（2）,在4ABD中，AD=BD=2,AB=2顯,C是立信AABC所在平面上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且立信角乙4cB=60。，求立信AABC面積的最大值；

（3）如圖（3）,已知立信長ZB=a（a是常數(shù)且a>0）,點(diǎn)C是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且滿足立信角乙4cB=

120°,若/ABC,NBAC的平分線交于點(diǎn)D,問：點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡長度是否為定值？如果是，請(qǐng)求

出它的軌跡長度；如果不是，請(qǐng)說明理由.

27.在正方形ABCD中，等腰直角△力EF,^AFE=90°,連接CE,H為CE中點(diǎn)，連接BH、

BF、HF,發(fā)現(xiàn)磊和乙HBF為定值.

（1）①囂=_Jk_;

②4HBF=▲.

③小明為了證明①②，連接AC交BD于O,連接OH,證明了器和需的關(guān)系，請(qǐng)你按

他的思路證明①②.

(2)小明又用三個(gè)相似三角形(兩個(gè)大三角形全等)擺出如圖2,黑=爵=卜，Z-BDA=^EAF=

e(o°<0<90°)

求①能=(用k的代數(shù)式表示)

②鋸=(用展e的代數(shù)式表示)

如圖1,某數(shù)學(xué)興趣小組在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)在直線AB上的三點(diǎn)4(1,3)，

B(2,5)，C(4,9)，有k：AB==2，%c==2，%B=卜4c，興趣小組提出猜想：

xx

若直線y=kr+b(kA0)上任意兩點(diǎn)P(x>y)，Q(x2,y2)(i2)，則々PQ=是定值.

通過多次驗(yàn)證和查閱資料得知，猜想成立，kpQ是定值，并且是直線y=kx+b(kH0)中的k,

叫做這條直線的斜率.

(1)請(qǐng)你應(yīng)用以上規(guī)律直接寫出過5(-2,-2),7(4,2)兩點(diǎn)的直線ST的斜率

ksT=-

(2)探究活動(dòng)二：數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到正確結(jié)論：當(dāng)任意兩條不

和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積是定值.

如圖2,直線DE與直線DF垂直于點(diǎn)D,且。(2,2),E(l,4),F(4,3).請(qǐng)求出直線DE與

直線DF的斜率之積.并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

(3)綜合應(yīng)用:

如圖3,M(l,2),N(4,5),請(qǐng)結(jié)合探究活動(dòng)二的結(jié)論，求出過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直

線的解析式.

29.跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一

部分(如圖中實(shí)線部分所示)，落地點(diǎn)在著陸坡(如圖中虛線部分所示)上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為

飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過點(diǎn)K越遠(yuǎn)，飛行距離分越高.2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺(tái)

的起跳臺(tái)的高度OA為66m,基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m,高度為h(m)(為定值).設(shè)運(yùn)

動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度y(m)與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c(a/)).

CDc的值為.

(2)若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)a=-擊，b=4，求基準(zhǔn)K點(diǎn)的高度h.

(3)若a=-京時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過點(diǎn)K,則b的取值范圍是.

(4)若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m，試判斷他的落地點(diǎn)能否超過

點(diǎn)、K,并說明理由.

四'實(shí)踐探究題

30.【問題】探究一次函數(shù)y=kx+k+l(k,0)圖象特點(diǎn).

【探究】可做如下嘗試：

y=kx+k+l=k(x+1)+1,當(dāng)x=-1時(shí)，可以消去k,求出y=l.

【發(fā)現(xiàn)】結(jié)合一次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)無論k取何值，一次函數(shù)丫=質(zhì)+1<+1的圖象一定經(jīng)過一個(gè)固定

的點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)是4；

【應(yīng)用】一次函數(shù)丫=(k+2)x+k的圖象經(jīng)過定點(diǎn)P.

①點(diǎn)P的坐標(biāo)是▲；

②已知一次函數(shù)丫=(k+2)x+k的圖象與y軸相交于點(diǎn)A,若AOAP的面積為3,求k的值.

31.閱讀材料：

對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a、b,則a+b>24ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)).

當(dāng)ab為定值時(shí)，a+b有最小值；當(dāng)a+b為定值時(shí)，ab有最大值.

例如：已知%>0，若丫=汽+工，求y的最小值.

Jx

解：由a+bN24ab,得y=x+->2lx--=2xJI=2，當(dāng)且僅當(dāng)久=工即x=l時(shí)，y

x7xx

有最小值，最小值為2.

根據(jù)上面的閱讀材料回答下列問題：

(1)已知%>0,若y=4x+*,則當(dāng)%=時(shí)，y有最小值，最小值為;

(2)已知久>3,若y=%+,貝I」支取何值時(shí)，y有最小值，最小值是多少？

(3)用長為100小籬笆圍一個(gè)長方形花園，問這個(gè)長方形花園的長、寬各為多少時(shí)，所圍的長方

形花園面積最大，最大面積是多少？

32.(發(fā)現(xiàn)問題)

小明在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形.那么，面積為定值的矩形中，

其周長的取值范圍如何呢？

(解決問題)

小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究：

(1)建立函數(shù)模型

設(shè)一矩形的面積為4,周長為m,相鄰的兩邊長為x、y,則x-y=4,2(x+y)=m,

即y=>y=-x+^,那么滿足要求的(x,y)應(yīng)該是函數(shù)y=S與'=—久+號(hào)的圖象在

第象限內(nèi)的公共點(diǎn)坐標(biāo).

(2)畫出函數(shù)圖象

①畫函數(shù)y=S(x>0)的圖象；

②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出y--x的圖象，貝I]y=-x+y的圖象可以看成是由y=—%

的圖象向右平移▲個(gè)單位長度得到.

(3)研究函數(shù)圖象：平移直線y=-久，觀察兩函數(shù)的圖象；

①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y=S(x>0)的圖象有唯一公共點(diǎn)的位置時(shí)，公共點(diǎn)的坐標(biāo)為▲,

周長m的值為▲；

②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有什么情況？請(qǐng)直接寫出公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)

應(yīng)周長m的取值范圍.

(4)(結(jié)論運(yùn)用)面積為10的矩形的周長m的取值范圍為

33.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，（口—Vb）2>0,/.a—2y[ab+b>0a+b>2y[ab，只有Q=b時(shí)，

等號(hào)成立.結(jié)論：在a+b之14ab（,均為正實(shí)數(shù)）中，若為定值,貝!Ja+b>2y/ab,只有當(dāng)a=b

時(shí)，a+b有最小值2VP.根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

（）初步探究：若,只有當(dāng)n=時(shí)，有n+-最小值；

1n>0n

（2）深入思考：下面一組圖是由4個(gè)全等的矩形圍成的大正方形，中空部分是小正方形，矩形的

長和寬分別為，試?yán)么笳叫闻c四個(gè)矩形的面積的大小關(guān)系，驗(yàn)證a+b22屬，并指出等號(hào)成

立時(shí)的條件；

，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向

坐標(biāo)軸作垂線，分別交軸和軸于，兩點(diǎn)，矩形的面積始終為48,求四邊形面積的最小值以及此時(shí)點(diǎn)的

坐標(biāo).

答案解析部分

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】B

U.【答案】C

12.【答案】B

13.【答案】①③

14.【答案】7

15.【答案】1

16.【答案】①②③④

17.【答案】①②③

18.【答案】135°

19.【答案】①②④

20.【答案】(1)解：根據(jù)圖象得：y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=k久+b,

將(0,60),(30,0)代入，得｛0』晚口,解得｛建藍(lán)

...所求函數(shù)表達(dá)式為y=-2%+60

自變量X的取值范圍是0<%<30.

(2)解：選擇方案一：由題意得0.1x(y+30)=8,則y=50,

將y=50代入y=—2久+60,得久=5,即物品的質(zhì)量是5kg；

選擇方案二：由題意得/=孺=0,2,則y=%f=I。'

將y=10代入y=—2尤+60,得久=25,即物品的質(zhì)量是25kg；

選擇方案三：由題意得電阻之比等于電壓之比，即看=占，二、=30,

將y=30代入y=—2久+60,得久=15,即物品的質(zhì)量是15kg.

(3)

第1次(方案一)第2次(方案二)第3次(方案三)

大米(kg)2020a—40

讀數(shù)1=0.16AVci—4V匕＞2V

21.【答案】(1)解：設(shè)矩形的面積為Sen?,則S=7.5x8=60(cm2),.'y關(guān)于x的函數(shù)解析式是

這個(gè)函數(shù)是反比例函數(shù).

(2)解：當(dāng)x=5時(shí)，y嚶=12,

,這個(gè)矩形與之相鄰的另一條邊長為12cm.

22.【答案】解：由題意，得：x2-6x+11=(%-3)2+2,

V(%-3)2>0,

/.(x-3)2+2>2,

二(%-3)2+2>0

,這個(gè)代數(shù)式的值總是正數(shù).

設(shè)代數(shù)式的值為M,則有M=/-6x+ll,

：.M=(%-3)2+2,

當(dāng)久=3時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小為2.

23.【答案】(1)解：把點(diǎn)(1,3),(2,8),(3,7)代入y=5x—2

檢驗(yàn)得：(1,3)和(2,8)是函數(shù)y=5久—2上的點(diǎn)，

：1=3力10,2+8=10,

.,.點(diǎn)(2,8)是函數(shù)y=5比一2圖象關(guān)于10的“恒值點(diǎn)”；

(2)解：I.①拋物線y=2/+b久+2的頂點(diǎn)為(一與，駕妁，

4o

由翻折得新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為七竺)，

48

翻折后拋物線解析式為y=-2(x+令2+匕竺

4o

即得y=-2x2—bx—2；

II.由(2)知新圖象解析式為y=-2/一b%一2或y=2x2+bx+2,

設(shè)圖象上的點(diǎn)為(x,—2%2—bx—2)(x,2x2+bx+2)

V新圖象上有關(guān)于c的“恒值點(diǎn)”，

X—2%2—bx—2=c①，x+2%2+bx+2=c②，

;兩方程恰有3個(gè)解，

二①△=(b-1)2-8(2+c)=0,

②^二(b+1)2-8(2-c)>0；或①△>(),②△=(),

解得：c="+由2T6或0=(八『16；

24.【答案】(1)①③

(2)解：①1②由題意得：y=3x?+bx=%,3x2+bx-x=0,x(3x+b-1)=0,解得：x=0

或早；q=早，-Wb%解得：12早步!即

、，、Q

(3)2<m<5或mV—

o

25.【答案】(1)(2,4)或(-1,1)

(2)解：設(shè)符合要求的直線解析式為：y=kx+b(kW0)代入點(diǎn)(1,-3)得，

k+b=-3

y=kx-k—3

設(shè)直線的“雅心”的坐標(biāo)為(x,X2),

kx—k—3=x2

x2-kx+k+3=0

???直線上恰好只有一個(gè)“雅心點(diǎn)”，

???△=()

??.k2-4(/c+3)=0

???(k-6)(k+2)=0

；?k=6或k=—2

???直線解析式為y=6%-9或y=-2x-1

(3)解：設(shè)二次函數(shù)y=a/—6ax+9a—l(a是常數(shù)，a>0)的圖象上的“雅心”為(x,x2),

ax2—6ax+9a—1=%2

即(a—l)x2—6ax+9a—1=0

??,二次函數(shù)y=ad-6Q%+9a-1(a是常數(shù)，a>0)的圖象上存在兩個(gè)不同的“雅心點(diǎn)”，

??.(a-I)%2-6ax+9a-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

Hnfa-1^0

即1(-6a)2-4(a-1)(9〃-1)>0

解得a>上且aW1

設(shè)(a—I)%2—6ax+9a—1=0的兩個(gè)根為石，x?，

6a9a—1

?■-X1+X2=^l,…=釬亍

由題意設(shè)%1<2,血<2貝！J,

巧+%244

X\,%2—2(%i+%2)+4之0

9a—l12a

+4>0

.d—1CL—1

一2<a<1

.??白<a<l時(shí)，二次函數(shù)、=。/—6ax+9a—1（a是常數(shù)，a>0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“雅

心點(diǎn)”，且“雅心點(diǎn)''的橫坐標(biāo)的值都不大于2,

.,.二次函數(shù)y=a/-6ax+9a-1（a是常數(shù)，a>0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“雅心點(diǎn)”，且至少有

一個(gè)“雅心點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的值大于2,

26.【答案】（1）解：1

（2）解：如圖，過點(diǎn)。作DE14B于點(diǎn)E,

AD-BD—2,AB=2V5,

AE=EB=V3,乙DAB=ADBA,

DE=1,

+ED1乃

-'-tanAyDnAE=AE=^=^

4DAB=乙DBA=30°,

AZ.ADB=120°,

v^ACB=60°,

??.C在以力。為半徑，。為圓心的。。上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ECLAB時(shí)，SMBC取得最大值，

設(shè)。。的半徑為r,則r=4￡>=2,

當(dāng)E,D,C三點(diǎn)共線時(shí)，SMBC取得最大值，止匕時(shí)CE=DE+r=l+2=3,

此時(shí)SMBC=xCE=1x2V3x3=3V3

(3)解：如圖，當(dāng)C位于2B上方時(shí),

???AB=a,乙4cB=120°,

???ABC,/BAC的平分線交于點(diǎn)D,

1

4ADB=180°+^CBA)=150%

。在。0的ADB上運(yùn)動(dòng)，

4ADB=150°,

???2B所對(duì)的圓心角為60。，即乙40B=60。，

則AAB。是等邊三角形，則。。的半徑為a,

.??點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為AOB,長度為ADB=蓋兀Xa=等,

當(dāng)C點(diǎn)位于AB的下方時(shí)，同理可得4DB=詈，

綜上所述，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡長度是等.

27.【答案】(1)解：?V2；@45°；③證明：如圖所示:

BA

由正方形性質(zhì)得：需=或，O為AC的中點(diǎn)

又為CE的中點(diǎn)，則OH〃AE,OH^^AE

：.AAEF是等腰直角三角形

：.AE=^2AF

?AF[7zAB

??萌=72=前

*.?OH//AE

:?乙COH=^CAE,又???2C4E=Z.DAF

：.Z.COH=2LDAF

又Z-BOC=匕BAD=90°

:?乙BOH=^BAF,又?:%=粽=品

：.△BOH~ABAF

RFL

:端=V2,乙HBO=4FBA

：2HBF=乙HBO+乙DBF=Z-FBA+乙DBF=乙DBA=45°

(2)2；J/c2—4fccos0+4

牙k

28.【答案】(1)|

(2)解：\?。(2,2)，E(l,4)，F(xiàn)(4,3)，

._4-2_3-2_1

??片1DE=iZ^——QN，KDF=4^2=29

.1

??kpExkpF=-2X]=-1，

結(jié)論：當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積等于-1.

(3)解：設(shè)過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線為PQ，解析式為y=kPQx+b,

VM(1,2),N(4,5)，

.7_5-2_.

??KMN-4^-=1,

\'PQ1MN,

kpQx1(MN=-1)

??kpQ=-1,

;直線PQ經(jīng)過點(diǎn)N(4,5),

，5=—lx4+b,解得6=9.

二過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線的解析式為y=-x+9.

29.【答案】(1)66

(2)解：,.，a=一春，6=白，

???運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度y(m)與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=—白/+白久+66,

由題意得：點(diǎn)K的橫坐標(biāo)為：75,

二令久=75,則y=21,

，K(75,21),

求基準(zhǔn)K點(diǎn)的高度h為：21；

、Q

(3)“而

(4)解:他的落地點(diǎn)能超過點(diǎn)K,理由如下：

由題意設(shè)函數(shù)表達(dá)式為：y=以%一25>+76,

把71(0,66)代入函數(shù)關(guān)系式為66=a(0-25)2+76,

._2

,,。=一歷’

.,.函數(shù)