流體力學-03一元流體動力學基礎

第三章一元流體動力學基礎5/31/2024§3.1

描述流體運動的兩種方法拉格朗日法:這種通過描述每一質點的運動達到了解流體運動的方法，稱為拉格朗日法，其基本特點是追蹤流體質點的運動。a，b，c，t稱為拉格朗日變數(shù)

研究描述流體運動的方法，確定能夠表征流體運動特征的運動要素，根據(jù)運動要素研究流體運動的特征。5/31/2024全部速度分量可寫為5/31/2024加速度分量可寫為5/31/2024歐拉法：這樣通過描述物理量在空間的分布來研究流體運動的方法稱為歐拉法，基本特點是以固定空間點為對象。

x，y，z，t稱為歐拉變量

速度分量：5/31/2024加速度分量5/31/2024

§3.2恒定流和非恒定流非恒定流

在流場中各點流速隨時間變化，各點壓強，粘性力和慣性力也隨著速度的變化而變化。這種流速等物理量的空間分布與時間有關的流動稱為非恒定流動。5/31/2024

運動平衡的流動，流場中各點流速不隨時間變化，由流速決定的壓強，粘性力和慣性力也不隨時間變化。這種流動稱為恒定流動。我們以后的研究，主要是針對恒定流動。這并不是說非恒定流沒有實用意義，例如水擊現(xiàn)象，必須用非恒定流進行計算。但工程中大多數(shù)流動．流速等參數(shù)不隨時間而變，或變化甚緩，只需用恒定流計算，就能滿足實用要求。恒定流5/31/2024流線

在某一時刻，各點的切線方向與通過該點的流體質點的流速方向重合的空間曲線稱為流線。流線是歐拉法對流動的描繪，是為了反映流場中的流速，分析流場中的流動，在流場中繪出反映流動方向的一系列線條。

§3.3流線和跡線5/31/2024跡線

跡線是某一流體質點的運動軌跡線，跡線是拉格朗日對流動的描繪，其表示為同一質點在各個不同時刻所占有的空間位置連成的空間曲線。5/31/2024流線的繪制abc5/31/2024流線的性質：

流線一般不相交流線是光滑曲線或直線流線的形狀與固體邊界的形狀有關斷面小處，流速大、流線密斷面大處，流速小，流線疏5/31/2024流線的微分方程式

根據(jù)流線的定義，流線上任一點的速度方向和曲線在該點的切線方向重合，可以寫出它的微分方程式。沿流線的流動方向取微元距離ds，由于流速向量u的方向和距離向量ds的動方向重合。根據(jù)矢量代數(shù)，前者的三個軸向分量ux，uy，uz必然和后者的三個軸向分量dx、dy、dz成比例，即：在恒定流中，流線和跡線是完全重合的；在非恒定流中，流線和跡線不重合。5/31/2024流管

在流場內，取任意非流線的封閉曲線L。經此曲線上全部點作流線，這些流線組成的管狀流面，稱為流管。流管以內的流體，稱為流束?！?.4一元流動模型用歐拉法描寫流動，雖然經過恒定流假設的簡化．減少了歐拉變量中的時間變量．但還存在著x、y、z三個變量，是三元流動。下面我們將發(fā)展流線的概念，把某些流動簡化為一元流動。5/31/2024過流斷面

垂直于流束的斷面，稱為流束的過流斷面。元流

當流束的過流斷面無限小時，這根流束就稱為元流。總流

用以輸送流體的管道流動，由于流場具有長形流動的幾何形態(tài)，整個流動可以看作無數(shù)元流相加，這樣的流動總體稱為總流?？偭鞯倪^流斷面

處處垂直于總流中全部流線的斷面，是總流的過流斷面。斷面上的流速一般是不相等的，中點的流速較大，邊沿流速較低。5/31/2024流量、斷面平均流速這樣，流動問題就簡化為斷面平均流速如何沿流向變化問題。如果仍以總流某起始斷面沿流動方向取坐標s,則斷面平均流速是s的函數(shù)，即v＝f(s)。流速問題簡化為一元問題。5/31/2024§3.5連續(xù)性方程在總流中，斷面平均流速究竟如何沿流向變化呢，現(xiàn)在我們由質量守恒定律出發(fā)，研究流體的質量平衡來解決這個問題。5/31/2024不同斷面上密度不相同時反映兩斷面間流動空間的質量平衡的連續(xù)件方程，即可壓縮流體的連續(xù)性方程：當流體不可壓縮時密度為常數(shù)，不可壓縮流體的連續(xù)性方程為：不難證明，沿任一元流，上述各方程也成立。即5/31/2024由于斷面1、2是任意選取的，上述關系可以推廣至全部流動的各個斷面。即而流速之比和斷面之比有下列關系：5/31/20245/31/20245/31/20245/31/2024§3.6恒定元流的能量方程

動能定理：運動物體在某一時段內動能的增量等于各外力對物體所作的功之和5/31/2024重力作功為5/31/2024根據(jù)動能定理，有5/31/20245/31/2024實際流體的流動中，元流的粘性阻力作負功，使機械能量沿流向不斷衰減。以符號表示元流1、2兩斷面間單位能量的衰減。稱為水頭損失。則單位能量方程式(3-6-2)將改變?yōu)?/31/20245/31/2024能量方程式說明，理想不可壓縮流體恒定元流中，各斷面總水頭相等，單位重量的總能量保持不變。元流能量方程式，確立了一元流動中，動能和勢能，流速和壓強相互轉換的普遍規(guī)律。提出了理論流速和壓強的計算公式。在水力學和流體力學中，有極其重要的理論分析意義和極其廣泛的實際運算作用。5/31/2024沿ab流線寫元流能量方程由管的開口端液柱差hv，測定，用下式計算速度5/31/20245/31/20245/31/2024§3.7過流斷面的壓強分布我們根據(jù)流速是否隨流向變化，分為均勻流動和不均勻流動。不均勻流動又按流速隨流向變化的緩急，分為漸變流動和急變流動。質點流速的大小和方向均不變的流動叫均勻流動。均勻流的流線是相互平行的直線，因而它的過流斷面是平面。5/31/2024均勻流、恒定流、漸變流的區(qū)分

表征液體運動狀態(tài)的主要物理量有流速、加速度、動水壓強等。這些物理量統(tǒng)稱為液體的運動要素。

按運動要素是否隨時間變化，可把液流分為運動要素不隨時間變化的恒定流和隨時間變化的非恒定流。雖然嚴格的恒定流問題在工程中并不多見，但大多數(shù)液體運功可以近似當作恒定流來處理。

根據(jù)位于統(tǒng)一流線上各質點的流速矢量是否沿流程變化，可將液體流動分為均勻流和非均勻流兩種。若液流中同一流線上各質點的流速矢量沿程不變，這種流動稱為均勻流，否則稱為非均勻流。均勻流中各流線是彼此平行的直線，各過水斷面上的流速分布沿流程不變，過水斷面是平面。

均勻流與恒定流、非均勻流與非恒定流是兩種不同的概念。在恒定流時，當?shù)丶铀俣鹊扔诹悖诰鶆蛄鲿r，則是遷移加速度等于零。這里當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度是在用歐拉法描述液體時將加速度根據(jù)復合函數(shù)求導法則分為速度與時間的偏導數(shù)和速度在x、y、z三個坐標上的偏導數(shù)。我們將其中的速度與時間的偏導數(shù)稱為當?shù)丶铀俣?，將同一時刻因地點邊變更形成的加速度稱為遷移加速度，即速度在坐標上的偏導數(shù)之和。

在非均勻流中，流線多為彼此不平行的曲線。按流線圖形沿流程變化的緩急程度，又可將非均勻流分為漸變流和急變流兩類。漸變流（又稱緩變流）是指各流線接近于平行直線的流動。也就是說，漸變流各流線之間的夾角很小，而且流線的曲率半徑又很大，否則稱為急變流。5/31/2024為了進一步說明，我們任取軸線n-n位于均勻流斷面的微小住體為隔離體(圖3—13)，分析作用于隔離體上的力在n-n方向的分力。柱體長為l，核斷面為dA，鉛直方向的傾角為α，兩斷面的高程為Z1和Z2，壓強為p1和p2。5/31/20245/31/20245/31/2024流速沿流向變化顯著的流動，是急變流動。急變流動是漸變流動的對立概念，這兩者之間沒有明顯的分界，而是要根據(jù)具體情況，看在具體問題中，慣性力是否可以略而不計。流體在彎管中的流動，流線呈顯著的彎曲，是典型的流速方向變化的急變流問題。在這種流動的斷面上，離心力沿斷面作用。和流體靜壓強的分布相比，沿離心力方向壓強增加，例如在圖3—17的斷面上，沿彎曲半徑的方向，測壓管水頭增加，流速則沿離心力方向減小了。5/31/2024作業(yè)：3-8，3-9，3-125/31/2024§3.8恒定總流的能量方程

我們已經提出了元流能量方程式。現(xiàn)在進一步把它推廣到總流，以得出在工程實際中對平均流速和壓強計算極為重要的總流能量方程式。

在右圖的總流中，選取兩個漸變流斷面1-l和2-2。總流既然可以看作無數(shù)元流之和，總流的能量方程就應當是元流能量方程在兩斷面范圍內的積分：5/31/2024勢能積分

5/31/2024動能積分

5/31/2024能量損失積分

代入整理后得到恒定總流能量方程這就是實用上極其重要的恒定總流能量方程式，或恒定總流伯努利方程式。5/31/2024應用恒定總流能量方程注意事項：(一)方程的推導是在恒定流前提下進行的。(二)方程的推導又是以不可壓縮流體為基礎的。(三)方程的推導是將斷面選在漸變流段。

(五)方程的推導是在兩斷面間沒有能量輸入或輸出的情況下提出的。

(四)方程的推導是根據(jù)兩斷面間沒有分流或合流的情況下推得的。

(六)由于方程的推導用到了均勻流過流斷面上的壓強分布規(guī)律，因此，斷面上的壓強p和位置高度Z必須取同一點的值，但該點可以在斷面上任取。5/31/2024將上面第一、二個方程兩邊分別乘以再相加，得總能量守恒的伯努利方程（四）有分流或匯流時實際流體總流伯努利方程如圖為沿程有分流或匯流的情況。在分流時，?？煞謩e列出斷面1、2及斷面1、3之間可伯努利方程5/31/2024對于匯流情況，也可分別列出1、3及2、3的伯努利方程，同理可得總能量守恒的伯努利方程

（五）有機械能輸入或輸出時總流伯努利方程沿總流兩過流斷面間裝有水泵、風機或水輪機等裝置，流體流經水泵或風機時將獲得能量，流經水輪機時將失去能量。設流體獲得或失去能量頭為，則總流伯努利方程為式中前的正、負號，獲得能量為正，失去能量為負。5/31/2024§3.9能量方程的應用能量方程在解決流體力學問題上有決定性的作用，它和連續(xù)性方程聯(lián)立，全面地解決一元流動的斷面流速和壓強的計算。一般來講，實際工程問題，不外乎三種類型嚴是求流速，二是求壓強，三是求流速和壓強。這里，求流速是主要的，求壓強必須在求流速的基礎上，或在流速已知的基礎廣進行。其他問題，例如流量問題，水頭問題，動量問題，都是和流速、壓強相關聯(lián)的。

5/31/2024應用能量方程求流速、壓強的一般步驟是：分析流動，劃分斷面，選擇基面，寫出方程。（1）分析流動．要明確流動總體.

（2）劃分斷面，是在分析流動的基礎上進行。（3）選擇基面，要選擇一個基準水平面作為寫方程中Z的依據(jù)。（4）寫出方程，就是選擇適當?shù)姆匠淌?，并將個已知數(shù)代入。（5）最后解出方程，求出流速和壓強。5/31/2024有一從水箱引水的管道，其管徑d=20cm,圖中H=25m，水頭損失為hwAB=，求通過管道的流量。

5/31/20245/31/2024文丘里流量計是一種量測管道中流量的設備。在管道中安裝一段逐漸收縮后又逐漸擴散的管段，并在收縮段的前后斷面各安裝一根測壓管。收縮段前后的管徑為d1和d2。只需測出兩測壓管中的水面高差，即可求得通過管道的流量。試導出流量計的流量公式。取1、2兩漸變流斷面，寫理想流體能量方程式5/31/20245/31/2024由于推導過程采用了理想流體的力學模型，求出的流量值較實際為大。為此，乘以μ值來修正。μ值根據(jù)實驗確定，稱為文丘里流量系數(shù)。它的值約在0.95-0.98之間。則出現(xiàn)兩個流速，和連續(xù)性方程式聯(lián)立5/31/20245/31/2024空化現(xiàn)象

根據(jù)伯努力能量方程，當流速增大時，壓強減小，當壓強達到或小于水溫對應的汽化壓強時，水將會迅速汽化，一部分液體轉化為蒸汽，氣泡隨水流流入壓強教高的區(qū)域而破滅，這種現(xiàn)象稱為空化。空化現(xiàn)象是我們在設計中必須注意避免的，空化具有很大的危害性。5/31/20245/31/2024作業(yè)：3-13，3-165/31/2024§3.10總水頭線和測壓管水頭線測壓管水頭：總水頭線：5/31/2024總水頭線和測壓管水頭線的具體繪制：

1、選擇基準面，即確定位壓的計算起點；

2、求出起始斷面的總水頭和測壓管水頭；

3、分析確定沿程阻力損失和局部阻力損失；

4、列出起始斷面與沿線各斷面的能量方程；

5、連接各斷面的總水頭和測壓管水頭，即為要繪制的總水頭線和測壓管水頭線。5/31/2024例題分析：3-105/31/2024B點局部損失沿程損失入口阻力損失位置水頭線基準線總水頭線測壓管水頭5/31/2024有一等直徑的虹吸管：（1）試定性會出當通過實際水流時的總水頭線和測管水頭線；（2）在圖上標出可能產生的負壓區(qū)；（3）在圖上標出真空值最大的斷面。（1）總水頭線和測壓管水頭線（2）全部都可能為負壓區(qū) （3）A－A

斷面真空值最大 5/31/2024

1）試定性繪出當實際水流通過圖示管道時的總水頭線和測壓管水頭線；

2〕在圖上標注可能的負壓區(qū)；

3〕在圖上標注真空值最大的斷面。5/31/2024作業(yè)：3-195/31/2024§3.11恒定氣流能量方程式雖然它是在不可壓縮這樣的流動模型基礎上提出的，但在流速不高(小于68m／s)，壓強變化不大的情況下，同樣可以應用于氣體。當能量方程用于氣體流動時，由于水頭概念沒有像液體流動那樣明確具體，我們將方樣各項乘以容重γ，轉變?yōu)閴簭姷囊虼巍?/31/2024對于氣體流動，特別是在高差較大，氣體容重和空氣容重不等的情況下，必須考慮大氣壓強因高度不同的差異。此時l、2斷面絕對壓強和相對壓強的關系將不同。如圖3-31所示。設斷面在高程為Z1處，大氣壓強為pa；在高程為Z2的斷面，大氣壓強將減至pa-γa(Z2—Z1)。如果1斷面絕對壓強p1’和相對壓強p1之間的關系為：則2斷面的絕對壓強和相對壓強的關系為：5/31/20245/31/2024總壓：靜壓，動壓和位壓之和：全壓：靜壓和動壓之和：勢壓：靜壓和位壓之和：5/31/2024應用恒定氣流能量方程式方法和步驟一、選擇基準面（零壓面）二、分析氣流流動，根據(jù)所求合理劃分過流斷面三、根據(jù)劃分的過流斷面，列出恒定氣流能量方程式四、求解5/31/2024例題3-105/31/2024例題3-115/31/2024例題3-125/31/2024§3.12總壓線和全壓線總壓：靜壓，動壓和位壓之和：全壓：靜壓和動壓之和：勢壓：靜壓和位壓之和：5/31/2024總壓線和勢壓線的具體繪制：4、連接各斷面的總壓即為總壓線

1、選定零壓線（與前基準面相同，確定壓強計算起點）

3、根據(jù)第二斷面的總壓等于第一斷面的總壓減去兩斷面間的壓強損失，求第二斷面的總壓2、求出起始斷面的總壓，確定沿程阻力損失和局部阻力損失；※注意局部阻力損失和沿程阻力損失在個壓強線上的畫法5/31/2024例3-14：氣體由壓強為12mmH2O的靜壓箱A經過直徑為10cm、長為100m的管子流入大氣中，高差為40m，沿管子均勻作用的壓強損失為pl=9ρv2/2，大氣密度ρa=1.2kg/m3，（a）當管內氣體為與大氣溫度相同的空氣時；（b）當管內為ρ=0.8kg/m3燃氣時，分別求管中流量，作出壓力線，標出管中點B的壓強AB100m40mC5/31/2024解：（a）管內為空氣時，取A、C斷面列能量方程AB100m40mC5/31/2024作壓力線117.6B總壓線勢壓線pA11.7C注：此時全壓線與總壓線重合5/31/2024（b）管內為燃氣時，取A、C斷面列能量方程5/31/2024作壓力線274.4B總壓線勢壓線158位壓線pAC27.445/31/2024例題3-125/31/2024ab9.8d294c位壓線總壓線勢壓線a′b′c′a″b″c″b″′c″′d′205.8264.6氣流經過煙囪的各種壓強線5/31/2024作業(yè)：3-20，3-235/31/2024§3.13恒定流動量方程動量定律：單位時間內物體的動量變化等于作用于該物體上外力的總和，即作用于物體的沖量等于物體的動量增量。對于元流：5/31/2024為簡化積分，引進動量修正系數(shù)，動量修正系數(shù)表達式（見動能修正）為：采用平均流速后，則動量方程簡化為：5/31/2024對于不可壓縮流體，寫為x，y，z方向的投影方程為：層流αo=1.33，紊流αo=1.05-1.02~1對于紊流流動，動量方程為：5/31/2024注意：1.如考慮水頭損失，只要在能量方程中考慮；2.動量方程是矢量式，分量式中要考慮符號的正負，即要考慮力和速度的方向和坐標方向一致性；3.運用了牛頓第三定律：作用力與反作用力4.