高中數(shù)學函數(shù)內(nèi)容單元復習課教學建議

【摘要】數(shù)學單元復習課在高中數(shù)學教學中發(fā)揮著至關重要的作用，它是繼新知識學習后，對知識的進一步升華與凝練，是對新知識熟能生巧的過程。“題海戰(zhàn)術”式的數(shù)學單元復習課不符合當前“雙減”背景下的教學要求。張奠宙先生曾多次在其文章中強調上好數(shù)學復習課的必要性，本文結合張奠宙先生關于數(shù)學單元復習課的教育思想，以人教版高中數(shù)學（A版）必修第一冊第三章“函數(shù)的概念與性質”的單元復習課為例，給出數(shù)學單元復習課的六條教學建議?！娟P鍵詞】張奠宙；單元復習課；函數(shù)；數(shù)學教育思想一、引言2021年7月國家正式頒布了《關于進一步減輕義務教育階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的意見》，其中提出“大力提升教育教學質量，確保學生在校內(nèi)學足學好”，那么減輕學生負擔的根本在于提高學校教育教學的質量。在高中數(shù)學課堂中，單元復習課一直以來都對提升教育教學質量起著至關重要的作用。追溯歷史的腳步，我國偉大的教育家孔子早在幾千年前就強調了復習的重要性——“溫故而知新，可以為師矣”。在實際教學中，許多一線教師往往把數(shù)學單元復習課看作是簡單的習題課來講授，以高強度、大容量的解題訓練為主。顯然，“題海戰(zhàn)術”式的復習課已經(jīng)不能適應當前“雙減”背景下的教學要求。數(shù)學單元復習課不是簡單地回顧前面所學的知識，而是通過復習達到融會貫通、舉一反三、溫故知新的效果，并促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，以適應當前“雙減”背景的教學要求。早在2010年，張奠宙先生等就指出當時復習課中存在的許多弊端，如“公開課中難見好的復習課，大多是大容量、快節(jié)奏、高密度的解題訓練課”。［1］葉立軍等指出復習課不是簡單的炒冷飯，而是對學生認識的繼續(xù)、深化和提高。［2］楊漢鑫也指出了現(xiàn)在高中數(shù)學復習課中存在的一些問題，如教師缺乏“科學方法”，在復習課上只是簡單分析知識點，然后以大量習題訓練為主等。［3］單元復習課不能單純地變成高強度的解題訓練課，不能只是簡單的分析而缺乏對知識的整體梳理，更不能忽視學生的自主思考及思維能力的培養(yǎng)。要想更好地改進單元復習課，就要找到根源問題，對癥下藥。二、數(shù)學單元復習課及其作用（一）數(shù)學單元復習課單元復習課與新授課、習題課等課型在教學目標、教學方式等方面均有較大的不同。數(shù)學單元復習課是指根據(jù)學生的認知特點和規(guī)律，在一個單元教學之后，對所學知識進行系統(tǒng)復習整理的課型。單元復習課的目的是鞏固、梳理已學知識、技能，通過對知識的復習整理，幫助學生對所學知識形成結構化認知，提煉數(shù)學知識的思想方法，達到對知識的融會貫通。張奠宙先生等指出，數(shù)學知識的認識過程包含“前半段”和“后半段”。［4］單元復習課即“后半段”的學習，應重視反思、辨析、欣賞、提煉數(shù)學思想方法等。故教師在進行數(shù)學單元復習課教學時要做到：塑造學生的系統(tǒng)知識結構；促進學生形成理性批判、反思等思維；培養(yǎng)學生的探索發(fā)現(xiàn)精神；用數(shù)學美的內(nèi)在力量影響學生，體現(xiàn)數(shù)學科學的教育性。依據(jù)信息加工心理學，學生的學習是信息加工的過程，主要包括注意過程、短時記憶、編碼、長時記憶及信息的提取等五個部分。其中，信息提取的過程是記憶內(nèi)容梳理、重建的過程，而不是簡單的復述。針對學生在學習的過程中不可避免的遺忘現(xiàn)象，信息加工“激活理論”認為，信息要先被激活，才能提取。而信息不能被激活的情況有三種［5］：第一，學生對知識間的聯(lián)系掌握得不緊密；第二，對信息加工的深度不夠；第三，缺乏對知識的聯(lián)想而不能提取信息。由信息加工理論出發(fā)，可以總結出，在新知識的學習過程中，知識的習得與記憶主要在新授課中進行，而知識的信息提取亦不可或缺，此時就需要單元復習課充分發(fā)揮其功能與價值。首先，在單元復習課中應構建整體知識結構體系，以加強知識間的聯(lián)系。其次，通過融入數(shù)學思想方法，加深學生對知識的理解深度，促進信息加工。最后，采用多種數(shù)學表征形式，以多種表征的方式提升學生對知識的聯(lián)想能力，促進學生的信息加工。復習課不是簡單的炒冷飯，不能生硬地把數(shù)學知識直接傳授給學生，而應在其中添加數(shù)學美、數(shù)學思想方法等數(shù)學的“調味劑”。（二）數(shù)學單元復習課的作用隨著新課改的不斷推進與完善，形成了以核心素養(yǎng)為導向的教學目標，反映了新時期對人才培養(yǎng)的要求。對教師而言，上好一節(jié)數(shù)學單元復習課需要重視數(shù)學知識的整體性、系統(tǒng)性以及知識之間的關聯(lián)性，并合理地規(guī)劃和安排數(shù)學單元復習課。例如，在高中函數(shù)概念的復習課中，再次強調函數(shù)概念是由初中“變量說”到現(xiàn)在的“集合—對應說”，幫助學生建立關于函數(shù)概念的整體知識體系。建立這樣的整體知識體系不僅有利于提高課堂效率，培養(yǎng)教師的教學技能，提升教師的專業(yè)素養(yǎng)，而且通過不斷優(yōu)化數(shù)學單元復習課教學還可以達到促進教師自我發(fā)展的目的。此外，在數(shù)學單元復習課教學中，教師可以及時發(fā)現(xiàn)學生的知識盲點與困惑，掌握學生的學習情況，針對學生掌握不到位的知識進行著重講解。對學生而言，數(shù)學單元復習課可以幫助學生更加全面地掌握數(shù)學單元知識點，建立知識間的聯(lián)系，由點及面，橫向、縱向地深入拓展，從而對知識有更加深入的了解。此外，在單元復習課上采用總結單元典型例題的方法，而不是采用“題海戰(zhàn)術”的方式，能夠更加有效地提高課堂教學質量，減輕學生的學習負擔，并且通過學習相應的數(shù)學思想方法，還可以提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。三、數(shù)學單元復習課教學建議張奠宙先生針對復習課存在的問題，提出了好的數(shù)學單元復習課應涉及以下六個方面：一是整體知識框架；二是使用數(shù)學思想方法；三是數(shù)學本質；四是各種數(shù)學表征；五是美學欣賞；六是人文背景。［6］基于此，本文以“函數(shù)的概念與性質”這一單元復習課為例，給出數(shù)學單元復習課的教學建議。通過對高中函數(shù)的概念與性質的復習，學生能經(jīng)歷完整的函數(shù)概念抽象過程，掌握其中蘊含的數(shù)學思想和方法，形成良好的問題解決能力、思考問題的習慣等。（一）構建整體知識框架復習課的重點是幫助學生總結知識并做進一步的鞏固提升，所以構建數(shù)學單元整體知識框架是數(shù)學單元復習課中必不可少的環(huán)節(jié)。通過構建整體知識框架可以呈現(xiàn)單元知識間的內(nèi)在聯(lián)系，加強學生對本單元內(nèi)容的整體認識，形成清晰的思維脈絡。例如，在高中“函數(shù)的概念與性質”這一單元復習課上，課堂伊始，教師展示一部分本章內(nèi)容知識框架（如圖1），讓學生獨立思考將框架填充完整。在補充框架的過程中，若學生遇到困難，教師帶領學生一起補充完整（如圖2）。通過思維導圖的方式構建函數(shù)單元教學的整體知識結構框架，并讓學生先自己思考知識點，再由教師引導給出，有助于學生從整體上把握本單元知識體系，加深學生對知識點的理解。（二）使用數(shù)學思想方法單元知識結構體系如“骨架”，而其中蘊含的數(shù)學思想方法如填充其間的“血肉”。因此僅掌握了知識結構體系是不夠的，還應掌握其中的數(shù)學思想方法。張奠宙先生等提出：“復習課的首要目的是提煉數(shù)學思想方法，啟示如何熟能生巧，上升到新的境界?！保?］章建躍也指出，通常將數(shù)學思想方法從數(shù)學思想和數(shù)學方法兩個角度分別去闡釋。［7］其中，數(shù)學思想是對數(shù)學對象的本質認識，對數(shù)學活動具有指導意義；數(shù)學方法是指進行數(shù)學活動的具體操作方法。數(shù)學思想方法是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的源泉，是分析和解決數(shù)學問題的根本。在高中“函數(shù)的概念與性質”這一單元復習課上，需要向學生滲透的數(shù)學思想方法有：函數(shù)與方程、數(shù)形結合、特殊與一般、分類與整合等。在復習課上學生通過探究典型問題逐步體會數(shù)學的思想方法，有助于培養(yǎng)學生用數(shù)學的思維思考問題的意識（見表1）。在單元復習課中，解題訓練是必不可少的，但是不能將單元復習課變成大容量、高強度的解題訓練課，而應提煉題中蘊含的數(shù)學思想方法，幫助學生進行總結歸納，培養(yǎng)學生的解題思維能力及解決問題的能力，有助于學生在后面的學習中學會一題多解、舉一反三。（三）挖掘數(shù)學本質德國數(shù)學家克萊因曾將函數(shù)稱為數(shù)學的“靈魂”，并認為函數(shù)應該成為中學數(shù)學的“基石”。［8］清代數(shù)學家李善蘭對函數(shù)的解釋為“凡此變數(shù)函彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)”［9］，確切地反映了函數(shù)的本質。隨著數(shù)學的發(fā)展，函數(shù)的定義經(jīng)歷了變量說、對應說、關系說［10］的逐步抽象過程?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》對函數(shù)概念的教學提倡在初中用變量之間的依賴關系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念。［11］19這說明課程標準對初高中函數(shù)內(nèi)容的銜接以及函數(shù)本質的教學關注度越來越高。基于函數(shù)教學內(nèi)容主線，函數(shù)單元復習課教學既要“瞻前”，又要“顧后”?；仡櫺W、立足初中、呼應高中，尋根究底、深入分析，挖掘函數(shù)概念的本質。通過展示不同學習階段函數(shù)的概念、內(nèi)容、應用等方面的內(nèi)容（如表2），可以讓學生在縱向上了解并掌握函數(shù)，建立新舊知識之間的聯(lián)系，尋找知識的固著點，從而更好地理解和掌握函數(shù)概念?！百t者以其昭昭，使人昭昭?！保ā睹献印罚┰诮虒W方面強調教師要想讓學生明白所學內(nèi)容，首先自己要弄明白這些內(nèi)容。教師應熟練掌握所教內(nèi)容的本質，才能更好地讓學生掌握所學內(nèi)容的本質，正所謂“要給學生一杯水，教師要有一桶水”。教學的目的不僅是要教會學生如何解題，更重要的是要引導學生去挖掘數(shù)學知識的本質及內(nèi)涵，從根本上理解并掌握數(shù)學知識。因此，在數(shù)學復習課上就需要教師追本溯源、深入剖析，以高觀點的視角進行教學，引導學生思考所學知識的本源。（四）使用各種數(shù)學表征數(shù)學表征是指用某種外顯的形式來表達抽象數(shù)學知識的過程。［12］著名的認知心理學家西蒙曾指出，表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明問題在頭腦中是如何表現(xiàn)出來的。［13］在數(shù)學學習以及問題解決的過程中采用多種數(shù)學表征方式，有助于拓展學生思維，達到一題多解、融會貫通的效果。此外，對于同一知識，幫助學生在不同的年齡階段構造不同數(shù)學表征方式，將更適合學生學習。例如，對于函數(shù)y=3x+5的教學，美國著名心理學家布魯納針對不同學段的學生采用不同的數(shù)學表征方式進行教學，對于低學段的學生可以采用□=3△+5這樣的圖形表征方式，而對于高學段的學生可以使用更為抽象的表征方式y(tǒng)=f（x）。［14］再如，在高中“函數(shù)的概念與性質”單元復習課上，對于函數(shù)單調性的描述，可以采用圖象語言、文字語言和符號語言等三種表征方式，以達到更好地回顧與掌握函數(shù)的單調性概念的目的。通過在復習課上引導學生采用不同的表征方式表達函數(shù)單調性，可以有效開拓學生的思維，使其在解決數(shù)學問題時不局限于某種表征方式，避免思維定式；同時發(fā)展學生的抽象能力與直觀想象能力，借助圖象探究函數(shù)的基本性質，選擇合適的數(shù)學模型表述變化規(guī)律和解決問題。（五）美學欣賞羅素曾說：“數(shù)學不僅擁有真理，而且還擁有至高的美?！睆埼目≈赋?，數(shù)學美本質上是自然美的抽象化，既有結論之美，也有方法之美，還有結構之美。［15］在數(shù)學單元復習課中向學生展現(xiàn)數(shù)學美，有助于學生感受數(shù)學的美學價值，使已有知識的基礎得到進一步的升華，活躍復習課課堂的氛圍。例如“函數(shù)的概念與性質”這一單元中就蘊含著許多數(shù)學美。首先，函數(shù)的性質之一——函數(shù)的奇偶性，圖象中就包含著對稱美，即奇函數(shù)圖象關于原點對稱，偶函數(shù)圖象關于y軸對稱。其次，高中函數(shù)概念是在初中基礎上的進一步抽象，用y=f（x）來表示函數(shù)，體現(xiàn)了數(shù)學中的簡潔美。在數(shù)學單元復習課上展現(xiàn)數(shù)學美，有助于學生體會數(shù)學是富有生命的、美麗的、實用的學科，促使學生喜歡它、熱愛它，主動學習數(shù)學。（六）融入人文背景《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出，要將數(shù)學文化融入課程內(nèi)容。數(shù)學文化包括數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動。［11］10數(shù)學單元復習課不僅僅是簡單地總結本單元所學知識以及進行大量的習題練習，還應該在數(shù)學課本知識的基礎上進行進一步的升華。適當?shù)厝谌胂嚓P人文背景，有助于學生更好地理解和掌握單元內(nèi)容，提高學生學習的興趣和積極性，并且為學生未來的進一步學習打下堅實的人文背景基礎。高中數(shù)學單元復習課大致可以從數(shù)學游戲、生活實例、數(shù)學的發(fā)展歷程等方面融入相關人文背景。在“函數(shù)的概念與性質”數(shù)學單元復習課中，可以從生活實例和數(shù)學的發(fā)展歷程兩個方面來融入人文背景。首先，如文中表1內(nèi)的問題1和問題4是貼近學生生活的函數(shù)問題，在復習課中設置這樣的問題十分貼切、自然，讓學生感受到函數(shù)在實際生活中的應用，加深學生對函數(shù)的理解，讓學生不僅學會函數(shù)還學會用函數(shù)。其次，“函數(shù)的概念與性質”這一章中增設了“函數(shù)概念的發(fā)展歷程”的閱讀材料模塊，強調在進行了函數(shù)內(nèi)容新授課之后，要在復習課中讓學生了解函數(shù)概念的人文背景及發(fā)展歷程。此外，該章的章末還設置了“函數(shù)的形成與發(fā)展”的文獻閱讀與數(shù)學寫作的選學內(nèi)容。在復習課中布置文獻閱讀與寫作任務，讓學生自己查找并補充函數(shù)概念發(fā)展歷程的相關資料，進而完成論文的寫作任務，不僅能夠擴展學生的知識面，不拘泥于課堂上的內(nèi)容，而且還有利于因材施教，培養(yǎng)部分學有余力的學生的科研與創(chuàng)新能力，貫徹張奠宙