2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 二次函數(shù)與距離、角度的綜合 探究

二次函數(shù)與距離、角度的綜合專題探究

一、技巧提煉

L最短路徑問題

問題作法原理

?B

i，PAP+BP=A'B

A'兩點之間,線段最短

已知直線1及點A、B,在直線1上作點P,將點A對稱到點A\

使最小

AP+BP連接AB,與1的交點

即為點P

將點P分別關(guān)于直線

11、對稱到點PlsPz,

連接與兩直線交

P1P2PA+AB+BP=PiP2兩點

點即為A、B之間，線段最短

分別在直線J卜上作點A、B,使PA+AB

+BP最小

PA+AB+BQ=PiQi兩

h

點之間，線段最短

分別在直線k卜上作點A、B.使PA+AB0.

將點、分別關(guān)于直線對稱到點連接

+BQ最小PQkkP*Qi,

P1Q1與兩直線交點即為A、B

PA+AB+BQ=PQ兩

點之間，線段最短

分別在直線kb上作點B、A.使PA+AB

+BQ最小將點p、Q分別關(guān)于直線L11對稱到點Pl、Q1,連接

P1Q1與兩直線交點即為A、B

?B

AP+PQ+QB=A"B+d

已知直線1及A、B兩點，在1上求作點兩點之間，線段最短

P、Q.使線段PQ=d,并且使AP+PQ+QB最將點A向右平移至點A；使AA，=d,BWA，關(guān)于1對稱到

小A",連接A”B,與1的1交點即為點Q,將Q向左平移定

長d即為點P

/|乙------------/.

d1

1

八、AP+PQ+QB

V=A'B+d

兩點之間，線段最短

?B

已知直線11仙2.且距離為d,分別在I1、L

將點A向下平移d個單位長度得到A',連接AB,與1

上作點P、Q且PQ一口力使AP+PQ+QB最2

的交點即為Q,過Q作卜的垂線與11的交點即為點P

小

①作線段AB的中垂線與直線1的交點即為P;

/A/；

/①線段中垂線上的點

到線段兩個端點的距

?B離相等；

在直線1上求作一點P,使BP-API：①最?。籃|BP-AP|=BA'

②將點A關(guān)于直線1對稱到點A，,連接BA，并延長與直

②最大

線1的交點即為點P

二P

PA+AB=PB垂線段

2-------/最短

2

分別在直線1】、12上求作一點Z

過點P作直線12的垂線，垂足為B,與11的交點即為A

A、B.使PA+AB最小

2.角度問題

(1)角度相等

由特殊位置構(gòu)造等腰三角形、

由角等構(gòu)造相似三角形(銳)角等則其三角函數(shù)值相等構(gòu)造輔助圓

平行線等

⑵角度和差

(3)特殊角45°

構(gòu)造正方形中的半角模

構(gòu)造等腰直角三角形AEF中若=1

構(gòu)造等腰直角三角形構(gòu)造以45。角為圓周tana/2,

型，利用旋轉(zhuǎn)及其結(jié)論的半角模型，利用旋轉(zhuǎn)及其

ABC,可得角的輔助圓。D,利

222

BC=BF+CD解決問結(jié)論BC=BE+CF解決問tanp=73,

△ACF^ACBE用/D=90。解決問題

題題則a+P=45°

注：以上模型及結(jié)論均需構(gòu)造并證明.

二、全能突破

(一)二次函數(shù)與距離問題的綜合

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(2,0)、B(4,0)兩點，直線y=1+2交y軸于點C,且過點D(8,m).

(1)求拋物線的解析式.

(2)在x軸上找一點P,使CP+DP的值最小,求出點P的坐標(biāo).

(3)將拋物線y=必+bx+c左右平移，記平移后點A的對應(yīng)點為A1,點B的對應(yīng)點為B',當(dāng)四邊形4'B，DC的周長最小時，求平

移后拋物線的解析式及此時四邊形A'B'DC周長的最小值.

(4)設(shè)拋物線的頂點為Q,過點C作x軸的平行線1,點M在直線1上，且MNLx軸，垂足為N,若DM+MN+NQ最小，直接寫出

此時點M、N的坐標(biāo).

2.如下圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=手/+bx+c的圖像與x軸交于4(-1，0),B(3,0)兩點頂點為C.

⑴求此二次函數(shù)的解析式.

⑵點D為點C關(guān)于x軸的對稱點,過點A作直線Z:y=當(dāng)久+日交BD于點E,過點B作直線BK||4D交直線1于K點.問：在四邊形

ABKD的內(nèi)部是否存在點P,使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在,請說明理

由.

⑶在⑵的條件下，若M、N分別為直線AD和直線1上的兩個動點，連接DN、NM、MK,求DN+NM+MK的最小值

(4)設(shè)拋物線交y軸于點R,若點K在拋物線對稱軸上，當(dāng)|KB-KR|的值最大時，直接寫出此時點K的坐標(biāo).

3.如下圖所示，已知拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點A(l,3)和點B(2,l).

(D求此拋物線解析式.

(2)點C、D分別是x軸和y軸上的動點，求四邊形ABCD周長的最小值.

⑶過點B作x軸的垂線，垂足為E點.點P從拋物線的頂點出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達(dá)F點,再沿FE到達(dá)E點，若P點在對

稱軸上的運動速度是它在直線FE上運動速度的迎倍，試確定點F的位置，使得點P按照上述要求到達(dá)E點所用的時間最短

(要求：簡述確定F點位置的方法，但不要求證明).

4.拋物線y=-/+加：+c與x軸交于點A、B與y軸交于點C.已知A(-1,O),C(O,3).

⑴求拋物線解析式.

⑵點P為線段BC上任意一點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點D,求線段DP長度的最大值及此時點D的坐標(biāo).

⑶點Q為拋物線上一動點,且點Q到直線BC的距離等于看VX,求點Q的坐標(biāo).

(二)二次函數(shù)與角度問題的綜合

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=7+"+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,點B的坐標(biāo)為(3,0),

將直線y="沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經(jīng)過B、C兩點.

⑴求直線BC及拋物線的解析式.

(2)設(shè)拋物線的頂點為D,點P在拋物線的對稱軸上，若(①乙4PD=LACB-,②)乙APB=乙4cB.分別求點P的坐標(biāo).

⑶連接CD,求Z0C4與NOCD兩角和的度數(shù).

(4)已知點M0),點K是y軸右側(cè)的拋物線圖像上的一個動點，請直接寫出銳角乙KCO>/MC。時，點K的橫坐標(biāo).標(biāo)的取值

范圍.

6.如下圖所示，已知拋物線y=ax2+bx+x軸交于點A(-2,0)、B(8,0),與y軸交于點(C(0,-4)直線y=x+m與拋物線交于點

D、E(D在E的左側(cè))，與拋物線的對稱軸交于點F.

⑴求拋物線的解析式.

⑵當(dāng)?n=2時,求NDCF的大小.

(3)過G(3,3)作x軸的平行線1,點H在直線1上且到拋物線對稱軸的距離為4,設(shè)點K在直線1上，請直接寫出使得乙FHG+

乙FKG=45。的點K的坐標(biāo).

7.如下圖所示，拋物線y=?+打-4a經(jīng)過A(-1,O),C(0,4)兩點，與x軸交于另一點B.

(I)求拋物線的解析式.

(2)已知點D(m-m+1)在第一象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標(biāo).

(3)在⑵的條件下，連接BD,點P為y軸上一點，且乙DBP=45。,求點P的坐標(biāo).

8.如下左圖所示，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=呆2+打+c與x軸交于A、B兩點點C是AB中點,CD_LAB且CD=AB.直線

BE與y軸平行，點F是射線BE上的一個動點，連接AD、AF、DF.

(1)若點F的坐標(biāo)為(?，1),4F=V17.

①求此拋物線的解析式；

②點P是此拋物線上一個動點，點Q在此拋物線的對稱軸上，以點A、F、P、Q為頂點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，請直接

寫出點Q的坐標(biāo).

(2)若2b+c=-2,b=-2-t,且AB的長為kt,其中t>0.如下右圖所示，當(dāng)NDAF=45。時，求k的值和NDFA的正切值.

9.如下左圖所示，點P是直線l:y=-2x-2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線y=產(chǎn)于A、B兩點

(1)若直線m的解析式為y=-：x+|,求A、B兩點坐標(biāo).

⑵①若點P的坐標(biāo)為(21),當(dāng)PA=AB時請直接寫出點A的坐標(biāo)；

②試證明：對于直線1上任意給定的一點P,在拋物線上都能找到點A，使得PA=AB成立.

⑶如下右圖所示,設(shè)直線1交y軸于點C,若AAOB的外心在邊AB上，且NBPC=NOCP,求點P的坐標(biāo).

1.(1)拋物線的解析式是y=必-6x+8.

⑵依題意，得C(0,2),D(8,6)

作點C(0,2)關(guān)于x軸的對稱點C,(0,-2)

直線C'D的解析式為y=x-2,與x軸的交點即為P點，,P點坐標(biāo)為(2.0)

(3)YAB=2,

，將點C向右平移2個單位得Ci(2,2),作點Ci關(guān)于x軸的對稱點C2,C2點的坐標(biāo)為(2,-2).由點C2(2,-2),D(8.6)得直線C?D的解析式

M414

為y=§彳--?

直線CzD與x軸的交點即為B，點，可求夕(go)因此4仔，0).

???當(dāng)四邊形AEDC周長最小時，拋物線解析式為

y=(久-1)(久一即y=x2-5x+^.

A'C+B'D=C2D=V62+82=10.

CD=V82+42=4V5

，四邊形A'B'DC的周長最小值為2+4/5+10=12+4V5.

⑵可求點C的坐標(biāo)為((L-2V3)

...點D的坐標(biāo)為(1.2V3).

可求直線AD的解析式為y=+VI

由題意可求直線BK的解析式為y=V3x-3V3.

??,直線1的解析式為〃=梟+多

..?點K的坐標(biāo)為((5,2/3).

易求AB=BK=KD=DA=4.

二四邊形ABKD是菱形.

???菱形的中心到四邊的距離相等。

.??點P與點E重合時，即是滿足題意的點，坐標(biāo)為(2.V5).

(3)易證點D、B關(guān)于直線AK對稱.

/.DN+MN的最小值是MB.

如右圖所示.過K作KF±x軸于F點.

過點K作直線AD的對稱點P.連接KP.交直線AD于點Q.

.,.KP1AD.

VAK是ZDAB的角平分線.

KF=KQ=PQ=2V3.

/.MB+MK的最小值是BP.

即BP的長是DN+NM+MK的最小值.

?.,BK〃AD,：.ZBKP=90°.

在RtABKP中,由勾股定理得BP=8.

.,.DN+NM+MK的最小值為8.

(4)K(l.-3/3)

3.⑴拋物線解析式為y=-2x2+4x+l.

⑵點A(L3)關(guān)于y軸的對稱點A，的坐標(biāo)是(-1.3).

點B(2,l)關(guān)于x軸的對稱點B，的坐標(biāo)是(2,-1).

由對稱性可知

B+BC+CD+DA=AB+B'C+CD+DA'=AB+4'E'由勾股定理可求AB=y/5,A'B'=5.

r.四邊形ABCD周長的最小值是AB+A'B'=5+V5.

(3)設(shè)P點在EF上的速度為v,則在AF上的速度為&v.P點在EF上運動的時間為t,在AF上運行的時間為t2,“+t?=§+氯

EF+竿

—叵則

V

要求ti+功最小，只須求EF+篝最小即可.

V2

故以AF為斜邊作等腰直角三角形AMF,即ZAFM=45。送=FM,求EF+FM最小即可.

E為定點,NAFM=45。為定角,當(dāng)M、F、E三點共線時EF+FM最小NHFE=45。.F(L1).

4.(1)解析式為y=-x2+2x+3;

⑵令y=0,則-/+2x+3=0,解得X1=-l,x2=3,

.?.B(3.0),XC(0.3)

，直線BC解析式為y=-x+3.

設(shè)點P橫坐標(biāo)為x,則P(x,-x+3).

D(x，—x2+2%+3),

PD=-x2+2x+3-(-x+3)即PD=-X2+3X=-(X-|)+：

???0拜3,.,.當(dāng)久=|時，線段PD的最大值為I，此時D

⑶如下圖所示，將直線BC平移至11，卜的位置，分別交y軸于點艮F.過點C作CHUi于點H,

依題意得CH/2,又OC=OB,ZOCB=45°.

???^CEH=45。，;CE=1."i的解析式為y=-x+與

他轉(zhuǎn)）

同理CF="的解析式為y=-％+*

??-—X2+2%+3=—%+耨得%=士

5.(1)???y=kx沿y軸向上平移3個單位長度后經(jīng)過y軸上的點C.Z.CQ3),又B(3.0).

?二直線BC的解析式為y=-x+3.

??.拋物線y=x2+bx+c過點B、C.

{9+?：廠。,解得已；仲

..?拋物線的解析式為y=/-4久+3.

(2油y=x2-4x+3可得D(2.-l),A(l.0).

.,.OB=3,OC=3.OA=1.AB=2.

可得AOBC是等腰直角三角形.

NOBC=45°,CB=3V2.

①解法一：如右圖所示，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點F.

1

過點A作AH_LBC于點H.

，ZAHB=90°.

可得BH=AH=/2,

CH=2/2.

在ZkAHC與ZkAFP中，

ZAHC=ZAFP=90°.

ZACH=ZAPF.

???AHCAFP..'.—=—^=迫解得PF=2.

AFPF1PF

???點p在拋物線的對稱軸上，

...點P的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).

解法二:證明AABCs/iADP,求出DP長即可得出P點坐標(biāo)；

解法三:作AABC的外接圓，由/APD=NACB彳導(dǎo)NAPB=2NACB,所以點P即為圓心.

②如下圖所示，作AABC的外接圓OE,設(shè)OE與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點為點Pi，點Pi關(guān)于x軸的對稱點為點

Pz，點Pi、點P2均為所求點

可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線x=2上.

也在BC邊的垂直平分線即直線y=x上.

...點E的坐標(biāo)為E(2.2).

由勾股定理得EA=V5..'.EPi=E4=遍.

；?點Pi的坐標(biāo)為心(2,2+y).

由對稱性得點Pz的坐標(biāo)為「2(2,-2-V5).

符合題意的點P的坐標(biāo)為Pi(2,2+V5).P2(2，-2-V5).

(3)解法一：如下圖所示，作點A(1,0)關(guān)于y軸的對稱點A；則A'(-l.O).

連接ACA'D,

,

可得4c=AC=V10,ZOCJ4=LOCA.

由勾股定理可得(CD2=20,A'D2=10.又A'C2=10,

A'D2+A'C2=CD2.

???AA'DC是等腰直角三角形,NCAD=90。.

乙DCA'=45°.

Z.OCA'+乙OCD=45°,

ZOCA+ZOCD=45°.

即NOCA與ZOCD兩角和的度數(shù)為45°.

解法二:連接BD,由ACBDsACOA可得NBCD=NOCA.

???ZOCB=45°,.,.NOCA與/OCD兩角和的度數(shù)為45°.

(4)2?？冢?

6.(l)y=—|x—4.

(2)解法一：由(1)可得拋物線的對稱軸為直線x=3.

m=2,直線的解析式為y=x+2.

???直線y=x+2與拋物線交于點D、E,與拋物線的對稱軸交于點F.

???F、D兩點的坐標(biāo)分別為F(3.5)、D(-2,0).

設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點為M.

可得CM=FM=MD=5.

???F、D、C三點在以M為圓心，半徑為5的圓上.

1

Z.DCF=-Z-DMF=45°.

2

解法二:設(shè)CF交x軸于點N,可求N點坐標(biāo)，由AANFs/\CDF可得NACF=NNDF=45。;

解法三:CF過點P(2.2),連接DP,可證AAPC為等腰直角三角形,.INDCF=45。；

解法四：設(shè)DF交y軸于點Q.由tan/ACQ=1

tan/FCQ=*可得NACQ+NFCQ=45°.

(3)Ki(-3.3).K2(9.3)

7.⑴拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.

(2)T點D(m,m+1)在拋物線上。

m+1=—m2+3m+4,

即m2—2m-3=0,2m=-11或m=3.

V點D在第一象限..I點D的坐標(biāo)為(3.4).

由(1)知OC=OB,，ZCBA=45°.

設(shè)點D關(guān)于直線BC的對稱點為點E.

C(0,4),CD〃AB.且CD=3.

，ZECB=ZDCB=45°.

，E點在y軸上,且CE=CD=3.

.,.OE=1..,.E(0.1).

即點D關(guān)于直線BC對稱的點的坐標(biāo)為(0.1).

(3)方法一：如下圖所示。作DF1BC于F,設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,n).

由⑴有:OB=OC=4.

，ZOBC=45°.

ZDBP=45°,

ZCBD=ZPBA.

VC(0.4),D(3.4).

...CD〃OB且CD=3.

???乙DCF=zCBO=45°.-,DF=CF=—2

...OB=0C=4,:.BC=4V2,BF=BC-CF=哼

DF3

tan^PBO=tan^CBD=-=

BF5

n312

H=一

455

.??P點坐標(biāo)為((0.昔)

方法二：如右圖所示.過點D作BD的垂線交直線PB于點Q.

過點D作DH_Lx軸于H.過Q點作QG1DH于G.

VZPBD=45°.

.?.QD=DB.

由AQDG咨Z\DBH,可得QM.3).

直線BP的解析式為y=-：久+￡

點P的坐標(biāo)為((0.孩).

方法三：如下左圖所示，與方法二類似，作等腰R3DQB后，構(gòu)造陰影所示的全等三角形亦可得QG1.3)

方法四：如下右圖所示，構(gòu)造正方形中的半角模型，由陰影全等可得PD=DK+PO.設(shè)P(0.m),在ACDP中.

(m+I)2=(4-m)2+解得m=y.

□DDK

BOB

8.⑴①??,直線BE與y軸平行.fg-1),

9

AB(^.0).ZFBA=90°,BF=l.

在RtAFAB中,.AF=/Tf.二AB=/人產(chǎn)一F￡P(guān)=V17-1=4.???點A的坐標(biāo)為0).

???拋物線的解析式為y=[/一+：

②點Q的坐標(biāo)為Qi(|,3),Q26,5),Q3(I，7)

(2)*/2b+c=-2,b=-2-t,c=2t+2.

y=|x2—(2+t)x+2t+2.

由三％2—(2+t)x+2t+2=0解得%i=2,X2=2t+2.

t>0,A(2.0),B(2t+2.0).AAB=2t+2-2=2t,BPk=2.

方法一：過點D作DG〃x軸交BE于點G,AH〃BE交直線DG于點H,延長DH至點M,使HM=BF.

??,DG〃x軸RH//BE,J四邊形ABGH是平行四邊形.

??,NABF=90。,J四邊形ABGH是矩形.

同理四邊形CBGD是矩形.

:.AH=GB=CD=AB=GH=2t.

*.?ZHAB=90°,ZDAF=45°,；.Zl+Z2=45°.

.?.△AFB^AAMH.

AZ1=Z3,AF=AM,Z4=ZM.Z3+Z2