江西省八所中學(xué)2024屆高三年級下冊4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

江西省八所重點中學(xué)2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.拋物線y=2f的焦點坐標(biāo)為（）

A.(。,1)B.C.[ol]D,[olj

I兀2兀II兀兀

2,已知集合A='x|2E+q<x<2左兀+可，左￡Z1集合3=任%兀+1<%<攵兀+1,左￡2

則AB=()

i71,71],

A.I2AJI+—,2kn+I>k￡ZB.\kTi+—,k7i+—\,kEZ

C.f2^71+—,Iku+—\,k￡Z(T71,兀、，

D.IA：7i+—,^7i+—I,kETJ

3.已知S“是正項等比數(shù)列｛q｝的前〃項和，且％+%=82,%%=81,則Ss=（）

A.212B.168C.121D.163

4.復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z。為坐標(biāo)原點,將向量OZ繞點。逆時針

旋轉(zhuǎn)90。后得到向量OZ1,點Z］對應(yīng)復(fù)數(shù)為4，則z；=（）

A1^3.n1.13.

A.-----1-----iB.-1+iC.一二一好iD.-------1-—i

222244

5.函數(shù)f（元）N2x-M|-|lnx|有且只有一個零點，則機的取值可以是（）

A.2B.1C.3D.e

6.已知正四棱錐P-ABCD,現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個頂點涂色，每個頂點

只涂一種顏色，且同一條棱上的兩個頂點不同色，則不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

7.已知a,2（sin^+sinV）=^^;則tan（2a+/+:=（）

A.-V3B.-yC.立D.g

33

8.我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體n?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新

型材料-強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組

研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣一液兩

相界面的切線與液一固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，

即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液一固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小

于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為4,%,則（）

空氣夕

—-

固體材料

22

附：橢圓下方=>b>0）上一點優(yōu),為）處的切線方程為黃+器=1?

A.4<2B.0{=%

C.D.4和％的大小關(guān)系無法確定

二、多選題

9.已知隨機變量x、y,且Y=3X+I,X的分布列如下:

7

C.灰X)=3D.ay)、

105

10.已知函數(shù)/(%)=2COS(G%+。)。<G<6,GGN*，ec;滿足:XZXGR,

“x）-7（三］W0恒成立，且在（0,。上有且僅有2個零點，則（

)

A./（九）周期為兀

B.函數(shù)”好在區(qū)間上單調(diào)遞增

JT

C.函數(shù)/（X）的一條對稱軸為尤=1

D.函數(shù)/（X）的對稱中心為［而+彳,o］（"eZ）

11.在棱長為2的正方體ABC。-A瓦GR中，點E，歹分別為棱。2,J。的中點，過

點E的平面a與平面BDG平行，點G為線段Bq上的一點，則下列說法正確的是（）

A.AC。

B.若點。為平面a內(nèi)任意一點，則QC+Q3的最小值為26

C.底面半徑為|■且高為G的圓柱可以在該正方體ABC。-A耳GA內(nèi)任意轉(zhuǎn)動

試卷第2頁，共4頁

D.直線AG與平面BDQ所成角的正弦值的最大值為逑

3

填空題

12.3一:一1)展開式中f項系數(shù)為.

BD1

13.在三角形ABC中，BC=4,角A的平分線AD交8c于點。，若玄=耳，則三角

形A3C面積的最大值為.

r\X+\n-\

14.已知函數(shù)存在實數(shù)/尤2，，％使得wya)=〃x“)成立，

2+2i=i

若正整數(shù)〃的最大值為8,則正實數(shù)〃的取值范圍是.

四、解答題

15.數(shù)列｛見｝滿足q=3%/一卓"(〃eN)

0、乙乙)CUbCln

(1)證明：數(shù)列卜an?！保秊榈炔顢?shù)列，并求數(shù)列｛tan%｝的通項公式；

(2)求正整數(shù)優(yōu)，使得sinq?sin%--sina,?

2冗

16.三棱柱ABC-AAG中，AB1AC,AB=AC=2,側(cè)面AACC1為矩形，ZA,AB=—,

三棱錐G3c的體積為半

⑴求側(cè)棱AA的長；

(2)側(cè)棱CG上是否存在點E,使得直線AE與平面ABC所成角的正弦值為￡?若存在,

求出線段GE的長；若不存在，請說明理由.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，尸(1,0),直線4：x=-l,動點/在直線4上，過點/作直

線4的垂線，與線段的中垂線交于點P.

⑴求點P的軌跡G的方程;

⑵經(jīng)過曲線C］上一點P作一條傾斜角為45。的直線4,與曲線G：U-4)2+/=8交于兩個

不同的點。，R,求1?。川刊?1的取值范圍.

18.一次摸獎活動，選手在連續(xù)摸獎時，首次中獎得1分，并規(guī)定：若連續(xù)中獎，則第

一次中獎得1分，下一次中獎的得分是上一次得分的兩倍：若某次未中獎，則該次得0

分,且下一次中獎得1分.已知某同學(xué)連續(xù)摸獎〃次,總得分為X，每次中獎的概率為:，

且每次摸獎相互獨立.

⑴當(dāng)〃=5時，求X=3的概率；

(2)當(dāng)〃=3時，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶當(dāng)”=30時，判斷X的數(shù)學(xué)期望與10的大小，并說明理由.

19.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)-6，/(龍)40恒成立.

⑴求實數(shù)a的值；

⑵若關(guān)于x的方程/(x)=；(m-3尤)在24］上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)，"的取值

范圍；

2p

(3)數(shù)列｛%｝滿足：a?+i=a?+ln(p-a?),ax=^p+e-2,若數(shù)列｛%｝中有無窮個不同

的項，求整數(shù)P的值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)給定的拋物線方程，求出拋物線的焦點坐標(biāo)即得.

【詳解】拋物線y=2/可得：%2=^,

拋物線的焦點在y軸上，其坐標(biāo)為（（），:）.

O

故選：D.

2.A

【分析】根據(jù)給定條件把集合B寫成用""+夕（左eZ）形式表示的集合，再與集合A求交集

即可.

【詳解】依題意，2=卜|2版+竺<2①+^二次￡Zj>u卜2kn+/<%<24兀+，左￡Z：,

r兀2兀1

A=<j（\2k7i+-<x<2kn+—,kGZ>,

所以Ac5=2far+；<x<2kji+三,左￡z｝二^2ht+—,2ht+—,kwZ.

故選：A

3.C

【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出％,%，再列方程求出數(shù)列的公比4,利用等比數(shù)列

求和公式可求

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4，

因為數(shù)列｛氏｝為正項等比數(shù)列，所以4>。，

因為a2a4=a1a5,又a2a4=81,

所以=81,因為4+%=82,

[a,=81[a,=1

所以一或_2廠

也-1-81

[a,=81]q=811

若「，則4J解得%=81,q=3

[%-1=13

答案第1頁，共17頁

1

q(j5)_81x/

243

所以S5==121,

i—q1--

3

。1=1q=1

若,則,解得％=1,4=3,

%=81a^q4=81

所以S5=31x(1-243)

=121，

1~<71-3

所以，5=121,

故選：C.

4.C

1

【分析】先求出進而利用復(fù)數(shù)的乘方運算求出結(jié)果.

41=一一2+

,設(shè)其與實軸正半軸夾角為凡貝Utan。=立，

【詳解】由題意得。z=

3

故可設(shè)6=5,

6

TT2

設(shè)與實軸正半軸夾角為夕，則￡兀,

故cos￡=_g,sin￡=~^~，

\2

(1技，烏+3

故z「"i，2

則Z：=------1--------1

22424

7

(1\2

4

4=」+烏+4」+2

22J42422

\2

173.

z；=--------1--------1"1--_1.

22Jz一_r42-~r

故選：C

5.B

【分析】由題意將原條件轉(zhuǎn)換為機=可。根=(?⑺的根的個數(shù)之和為1,其中,(x)=2x+lnx,

g(x)=2x-1nx,(x>0),從而只需畫出它們的圖象即可通過數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】7(X)=12x-m\-\lnx\=0<^m-2x=]nx^m-2x=-]nx，

答案第2頁，共17頁

顯然/z(x)=2x+lnx單調(diào)遞增，令g(x)=2x-lnx,(x>0),

貝！Jg<x)=2-當(dāng)0<x<：時，g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>g時，g[x)>0,g(x)

單調(diào)遞增，

所以8(蟲產(chǎn)出=1+山2,

注意到/z(x)=g(x)的交點為(1,2),而2>1+山2,

所以在同一平面直角坐標(biāo)系中作出Mx),g(x)的圖象如圖所示，

由圖可知7"=/?(x),〃z=g(x)的根的個數(shù)之和為1,當(dāng)且僅當(dāng)〃?<l+ln2,

對比選項可知7"的取值可以是1.

故選：B.

6.B

【分析】分三種情況，用三種顏色，四種顏色，五種顏色，求出每種情況數(shù)相加得到答案.

【詳解】當(dāng)只用三種顏色時，A,C同色且氏。同色，

5種顏色選擇3種，且有A；=60種選擇，

當(dāng)只用四種顏色時，AC同色或民。同色，

從5種顏色中選擇4種，再從A,C和反。中二選一，涂相同顏色，

故有C；C；A：=24。種選擇，

當(dāng)用五種顏色時，每個頂點用1種顏色，故有A；=120種選擇，

B

答案第3頁，共17頁

綜上，共有60+240+120=420種選擇.

故選：B

7.A

【分析】由題意得2sin￡(sin尸+1)=2s16cos尸cosa,進一步

sma

cos=sina=cosacos-sinasin尸=cos(a+6),根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性得2a+4=],

由此即可得解.

【詳解】因為2卜也尸+sin?)=包底回，所以2sin對sin?+l)=2si"cos夕cosa,

'7tanasina

因為sin/?W0,所以sinc+sincrsin尸=cosacos0,

從而cos=sina=cosacosq一sinasin(3=cos(a+4)，

注意到g-a,a+尸e(O,兀)，而V=cosx在(0㈤上單調(diào)遞減，

TT■rr

從而5—a=a+，，即2a+/=],

所以tan12a+4+弓)=tang=-A/3.

故選：A.

8.A

【分析】運用圓和橢圓的切線方程分別求得tan。1、tan%,結(jié)合b＜H可判斷兩者大小.

【詳解】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為R,如圖所示,

24

所以tan，=

R—13

22

若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，設(shè)橢圓方程為斗=1（〃＞人＞0）,如圖所示,

ab

答案第4頁，共17頁

yt

（-2,6-1%

則切點坐標(biāo)為(-2,6-1),

則橢圓5■+[=1上一點(-2,6-1)的切線方程為考+嶺”=1,

abab

2b2

所以橢圓的切線方程的斜率為k=tan%=2〃=,

2a(/?-1)

將切點坐標(biāo)(-2,6-1)代入切線方程可得3+匕2=1,解得”=26-1,

a-b-a2

a」」

所以2b1

tan%=

"（b—1）b-12b-1

又因為6<R=g,

114

即0>O,

所以tan02=—（2+—―-）>—=tanOx,tan2tanx

所以

故選：A.

9.AC

【分析】由分布列的性質(zhì)和期望公式求出佻〃可判斷ABC；由方差公式可判斷D.

1139

【詳解】由根+記+y+〃+而=1可得：m+n=-@,

又因為鳳丫)=石(3*+1)=3*X)+l=10,解得：E(X)=3,故C正確.

113

所以_E（X）=M+2XF3X—+4n+5x一=3,

v710510

713

則〃?+4w=:②，所以由①②可得：n=^,m=—,故A正確，B錯誤;

22222

D（X）=（1-3）X]|+（2-3）X^+（3-3）X1+（4-3）X^+（5-3）X]1

=4x—+lx—+lx—+4x—,

101010105

13117

￡>（y）=￡>（3X+l）=9￡>（X）=9x—=—,故D錯誤.

故選：AC.

10.BCD

答案第5頁，共17頁

【分析】由/(尤)一個J40可得fM的最大值為嗎)，則得。=一三。+2E/eZ,再由/⑴

在(0,鼻上有且僅有2個零點，可得芳再結(jié)合的范圍可出。，。的值，

從而可求出/(x)的解析式，然后逐個分析判斷即可.

【詳解】因為VxeR,恒成立，所以廣⑺的最大值為了(會，

兀71

月f以-co-\-(p=2kn,%￡Z,即cp——~ty+2kn,左￡Z,

當(dāng)X￡[o,時，OX+0￡]G+夕],

因為了⑶在(04)上有且僅有2個零點，所以?<三0+夕

所以羽〈二g—巴刃+2配42/wZ,gp—<2fai<—,^GZ,得k=l,

233222

JI-

所以0=—1刃+2兀，

因為0<O<6,0￡N;OG[。,]]，所以0=5,0=],

TT

所以/(x)=2cos(5x+§),

0L^rrOl^jr勺

對于A,7a)的周期為等歡eZ,若q=%keZ,貝iU=]eZ,所以A錯誤，

對于B,由2E—7rW5x+&42E,AeZ,<-—,^eZ,

3515515

_

ll,?,.、乂.247t47r24兀7TZT

所以/(九)的遞增區(qū)間為-^5，—515(%EZ)，

27rJr(TVTTi27rTT

當(dāng)左=1時，/(x)的遞增區(qū)間為—,而是—的真子集，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以B正確，

對于C,令5x+%=kit,kQZ,貝!]%=9一R/EZ,所以/(九)的對稱軸為％=g—R,%EZ,

7T

當(dāng)左=2時，/(%)的一條對稱軸為x=§,所以C正確，

對于D,由5%+'='+E,左EZ,^X=—+—,^GZ,

32305

所以函數(shù)/(x)的對稱中心為eZ)，所以D正確，

故選：BCD.

11.ACD

【分析】對A,可證用平面A3G，可得與D，4G；對B,平面a截正方體的截面為

答案第6頁，共17頁

如圖正六邊形，點A，C關(guān)于平面a對稱，QC+Q8最小轉(zhuǎn)化為求QA+Q8即為Af；對C,

只要圓柱的外接球半徑小于等于正方體的內(nèi)切球半徑即可滿足題意；對D,當(dāng)AG最小時,

直線4G與平面BDG所成角的正弦值最大，此時點G是8G的中點，得解.

【詳解】對于A,如圖，又OR，平面ABCR,所以。。1瓦2,又Dp,BR

是平面局內(nèi)兩條相交直線，

所以AG，平面所以4。人AG，同理可證用DLBG，

而AGIC；u平面,所以耳O_L平面A^G，因為AGu平面ABC」

所以4。，AG,故A正確；

對于B,如圖，平面a截正方體的截面為正六邊形，點A，C關(guān)于平面a對稱，

所以。。+8=04,+。32”=2立故B錯誤；

DiFC.

對于C,底面半徑為高為百的圓柱的外接球的半徑為R=l,又正方體棱長為2,所以

圓柱可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，故C正確；

對于D,由題，點A到平面的距離為定值，所以當(dāng)AQ最小時，直線型?與平面BDG

所成角的正弦值最大，

此時點G是8G的中點，直線\G與平面BDQ所成角即ZA.GD,

答案第7頁，共17頁

在ADG中，\G=DG=46,Afi=2及cosZA.GD=6"^一]=

2x^6x^63

所以sin/AGO=]Z.故D正確.

故選：ACD.

【點睛】思路點睛：選項B,確定平面a截正方體的截面為正六邊形，由此確定點A，C關(guān)

于平面a對稱，將球QC+Q8最小轉(zhuǎn)化為求QA+QB；選項C,圓柱可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)

動，只要圓柱的外接球半徑小于等于正方體的內(nèi)切球半徑即可；選項D,直線AG與平面

所成角的正弦值最大，即AG最小時，此時點G是BG的中點，直線AG與平面BOG

所成角即/AGO.

12.-115

【分析】可將卜2-轉(zhuǎn)化為V-：1-1,然后再利用二項式定理展開求解.

【詳解】由題意得（J-/-J可化簡為［卜一：_1

5-k

且其展開式通項為I(-琰,標(biāo){0,123,4,5}

其中對于（尤2一jj”的展開式通項為c鼠（V廣?（一2）’（XT=（-2丫x—,

re{0,1,2,,5-左},

當(dāng)上=1/=2時，止匕時10—2左一3r=2,則/的系數(shù)為-120,

當(dāng)/=4/=0時,此時10—2J=2,則尤2的系數(shù)為5,

所以/項系數(shù)為-120+5=-115.

故答案為：-115.

13.3

\AB\1

【分析】先根據(jù)正弦定理可得勒=不，再建立平面直角坐標(biāo)系求解A的軌跡方程，進而可

I21C-zIJ

得,ABC面積的最大值.

答案第8頁，共17頁

【詳解】\AB\\BD\IACI\DC\

sinZADBsinABAD'sinZADCsinZCAP

網(wǎng)_sinNADBAC_sinZADC

力X網(wǎng)-sin/BAD，~DC~smACAD'

因為NADB=180。一/ADC,

所以sinZADB=sin(l80°-ZADC)=sinZADC,

因為角A的平分線AD交BC于點D,

ABAC

所以=所以「~DC

DD

\AB\\BD\1

所以匕*二焉=￡，以。為坐標(biāo)原點建立如圖平面直角坐標(biāo)系,

BD1

因為5C=4,-^=-,所以8(—1,。),C(3,0),

設(shè)4(x,y),則+

7(x-3)2+y23

所以Y+3%+y2=0,所以(1+3)22;Q

24

33

故點A(羽y)的軌跡是以(_10)為圓心，|■為半徑的圓(除去(-3,0)和(0,0)),

3313

故當(dāng)A縱坐標(biāo)最大，即4-萬,萬)時ABC面積取最大值為S"c=,x4xe=3.

［分析］設(shè)80)=2'+2_「\得到-l-q<g(x)-a<l-a,然后分類討論。的范圍，解出

即可.

答案第9頁，共17頁

QX+1r\

=]=]

【詳解】設(shè)2，+2T(2F+1,又因為(2)>0,(2)+1>1,所以-!<g(x)<l,

貝lj—1—a<g(%)—a<1—a,當(dāng)OWaWl時，-1——a<1,

M-l

則0<fix-)<a+l,顯然存在任意正整數(shù)n使得X/(x,)"(x“)成立;

1=1

當(dāng)a>1日寸，一1—a<l—Q<0,a-1</(%)va+1,

17(a—1)<a+194

要使得正整數(shù)〃的最大值為8,則J二1,解得

[8(a-l)>a+l73

則實數(shù)。的取值范圍是，9VQ<]4.

94

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查了分段函數(shù)值域的求法，解題的關(guān)鍵是分類討論求出函數(shù)人幻

的值域，然后根據(jù)題意列不等式求解.

3n-2

15.(1)證明見解析,tana」=

⑵加=3333

【分析】(1)推出tan2am=^^=l+tan2q“，從而得到kaY%｝是以1為公差的等差數(shù)

cosa般

列，求出通項公式，得到tan4=

1

⑵利用同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合tan”.L項得到

sint/jsin6i2--sinam=.---,求出答案.

tanam+1V3m+1

【詳解】(1)由已知條件可知,由于COSQ〃>0,

,,冗「21sin%+cos2a.’2

故%+1曰°，7，tanan+l=——=----r------^=l+tanan,

I2Jcosancosan

22

則tanan+1-tanan=l,

故數(shù)列｛tai?4｝是以1為公差的等差數(shù)列，且首項為tan?4=tan?￡=

答案第10頁，共17頁

〃3n-2

故tan2a=—i+L

n33

即tanan=

(2)sinax-sina2??sinam=tanaxcos%tana2cosa2??tanamcosam

tanaxtana2tanam

tana?tana3tanam+x

tan%]

tan-3m+1

pZ=_L得m=3333.

V3m+1100

16.(1)M=2

⑵C]E=2

【分析】（1）證明平面ABC,結(jié)合題目條件，先計算出AO的值，然后即可以求得側(cè)

棱A4的長；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)未知數(shù)2,結(jié)合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答

案.

【詳解】（1）在平面內(nèi)過A作瓦，垂足為。，

因為側(cè)面AACG為矩形，所以CALAA，

又C4_LAB,AB=A,AB,AA,u平面441耳2,

所以C4L平面四與臺，

又C4u平面ABC,所以平面①耳2,平面ABC,

易得ADu面例耳^,平面A41818c平面ABC=AB,

所以AD_L平面ABC,

因為匕Asc=」SABC，AD='X!X2X2AO=M，所以AO=石，

因為NAA8=@，A\AD=~,所以蝴=2；

36

答案第11頁，共17頁

(2)存在點E滿足題意，QE=2,理由如下：

如圖，以A為坐標(biāo)原點，以AB,ACAD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(-1,0,回B(2,0,0),C(0,2,0),q(-1,2,B,

設(shè)C]E=4cle,4e[0,1],則E(A.-1,2,百-感),

故AE=(/l-l,2,石-&),”=(3,0,-?AC=(L2,-揚

設(shè)平面\BC的法向量為根=(x,y,z)

m-AB=03X-A/3Z=0

則即《令z=Vs,貝U%=y=1,

x+2y-坦z-0

m-A1C=0

故平面AXBC的一個法向量m=(1,1,石),

設(shè)直線AE與平面\BC所成角為。,

卜￡同"I&

貝°sin0=解得4=1，

網(wǎng)?時“2-22+2?喬5

故存在點E滿足題意，所以GE=2.

17.(1)/=4x

(2)[4,8)u(8,200)

【分析】(1)利用線段的中垂線的性質(zhì)得出IPM|=|尸產(chǎn)|,根據(jù)拋物線的定義即得方程；

(2)設(shè)尸(r2),則直線的方程為y=x+2”產(chǎn)，將直線方程與曲線C?方程聯(lián)立，由A>0可

得f的取值范圍，設(shè)Q,R的橫坐標(biāo)分別為4結(jié)合4的傾斜角為45°,結(jié)合弦長公式可將

|「。?|依|表示為關(guān)于f的函數(shù)，從而求得其取值范圍.

【詳解】(1)由圖可得尸I,所以點尸的軌跡C是以尸(1,0)為焦點的拋物線，

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故點尸的軌跡C的方程為丁=4x；

⑵設(shè)尸(『2),則直線4的方程為y=x+2”/，代入曲線C2的方程得,

(x—4)~+(x+2f—廠)=8.

化簡可得：2x2-2(產(chǎn)-2r+4)x+僅2-2^)2+8=o①,

由于6與C?交于兩個不同的點，故關(guān)于x的方程①的判別式A為正，計算得,

：=(2/+4)2一2((產(chǎn)―2)+8)=(產(chǎn)-2fI-8(產(chǎn)-2/)+16-2(產(chǎn)-2)_16

=一(「一+8(〃-2r)=_-2。(/一2t-8)=-/(/-2)(/+2)(?-4),

因此有fe(-2,0)j(2,4),②

設(shè)Q,R的橫坐標(biāo)分別為的，巧，

由①知，X]+羽=廠—2t+4,無]%=/((廣—2')+8),

因此，結(jié)合4的傾斜角為45?？芍?/p>

|尸母|PR|=0(者-2).&(々_產(chǎn))=2尤]9_2/(&+%)+2/

=(產(chǎn)-2。2+8_2產(chǎn)02_2/+4)+2〃=？-4/+4r+8-2?+4?一8d+2/

=〃-4/+8=(產(chǎn)-27+4,③

由②可知，r-2e(-2,2)-(2,14),故(產(chǎn)一2);[0,4)54,196),

從而由③得：|尸0卜]尸網(wǎng)=12-2『+4€[4,8)58,200).

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【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決;

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù),

再求這個函數(shù)的最值或范圍.

4

18.(1)—

27

(2)分布列見解析，|35|

(3)E(X)>10,理由見解析

【分析】(1)將X=3的所有可能情況進行分類討論，即可求得尸(X=3)的表達式.

(2)易知X的可能取值為0,1,2,3,7,求出對應(yīng)概率可得分布列和期望；

(3)依題意可知，若每次投進都得1分，利用二項分布可知E(J)=10,再結(jié)合比賽規(guī)則可

得E(X)>10.

【詳解】(1)摸獎5次得分為3分，有如下兩種情形:

情形一，恰好兩次中獎，且兩次相鄰；

情形二，恰好三次中獎，且任意兩次都不相鄰.

情形一發(fā)生的概率為Cj.

情形二發(fā)生概率為,

4

所以P(X=3)=藥；

(2)X的可能取值為0,1,2,3,7,其中

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Q112

P(X=O)=->尸(X=1)=C；X]X

27

P—2)&"W，尸(X=3)心(『I書

1

p(X=T)=

27

所以X的概率分布列為

X01237

812241

P

2727272727

oinnJi%

所以E(X)=Ox￡+lx—+2x—+3x—+7x—=3

272727272727

(3)灰X)>10.理由如下：

記該同學(xué)摸獎30次中獎次數(shù)為九則4~83。［］

若每次中獎都得1分，則得分的期望為EC)=30xg=10.

由題中比賽規(guī)則可知連續(xù)中獎時，得分翻倍，

故實際總得分的期望E(X)必大于每次都得1分的數(shù)學(xué)期望.

所以E(X)>10.

19.(l)a=l

(2)[41n5-4,81n2-3)

⑶。=1