2023年陜西省中考數(shù)學試題（解析版）

2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷）

一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分.每小題只有一個選項是符合題意的）

1.(3分)計算：3-5=()

A.2B.-2C.8D.-8

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

心‘co

3.(3分)如圖，1//AB,ZA=2ZB.若4=108。，則N2的度數(shù)為（）

C.72°D.

4.（3分）計算：6xy2-（-^x3y3）=（

)

A.3x4y5B.-3x4y5C.3/9D.

5.（3分）在同一平面直角坐標系中,函數(shù)y=ax和y=x+“(a為常數(shù)，

是（

A.

6.（3分）如圖，DE是AABC的中位線，點尸在33上，DF=2BF.連接￡F并延長，與

CB的延長線相交于點若3c=6,則線段CM的長為（）

A.—B.7C.—D.8

22

7.（3分）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看

到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖.AB是O的一部分，。是AB的中點，連接OD,

與弦至交于點C,連接OA,OB.已知AB=24C〃2,碗深CD=8a〃，則O的半徑Q4為

o

D.26cm

8.（3分）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=/+如+4一皿根為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點Q6），

其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值5B.最大值"C.最小值5D.最小值股

44

二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）

9.（3分）如圖，在數(shù)軸上，點A表示A，點3與點A位于原點的兩側(cè)，且與原點的距離

相等.則點3表示的數(shù)是—.

??????41?>

-3-2-10123

10.（3分）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線AB、8相交于點E.則線段班的長為

H.（3分）點￡是菱形ABCD的對稱中心，ZB=56°,連接移，則4LE的度數(shù)為.

12.（3分）如圖，在矩形。4BC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C,尸均在

x軸正半軸上，點。在邊3c上，BC=2CD,AB=3.若點3,E在同一個反比例函數(shù)的

圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達式是—.

13.（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,3C=4.點E在邊4）上，且ED=3,M、

N分別是邊AB、3c上的動點，且BM=BN,P是線段CE上的動點，連接尸M,PN.若

PM+PN=4.則線段PC的長為.

三、解答題（共13小題，計81分.解答應寫出過程）

14.（5分）解不等式：圍二^>2元.

2

15.（5分）計算：6x（-M）-d尸+|-23|.

7

16.（5分）化簡：（孚----L）+%二1.

a—1a—1a+1

17.（5分）如圖.已知角A45C,々=48。，請用尺規(guī)作圖法，在AABC內(nèi)部求作一點尸.使

PB=PC.且NPBC=24。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

18.（5分）如圖，在AABC中，ZB=50。，ZC=20°.過點A作AE_LBC,垂足為E,延

長EA至點D.使=在邊AC上截取AF=M,連接DF.求證：DF=CB.

19.（5分）一個不透明的袋子中裝有四個小球，這四個小球上各標有一個數(shù)字，分別是1,

1,2,3.這些小球除標有的數(shù)字外都相同.

（1）從袋中機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標有的數(shù)字是1的概率為—；

（2）先從袋中隨機摸出一個小球，記下小球上標有的數(shù)字后，放回，搖勻，再從袋中隨機

摸出一個小球，記下小球上標有的數(shù)字，請利用畫樹狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個小

球上標有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率.

20.（5分）小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元.已

知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元,求該文具店中這種大筆記本的

單價.

21.（6分）一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可

到達）的高AB.如圖所示，當小明爸爸站在點。處時，他在該景觀燈照射下的影子長為止，

測得。尸=24”；當小明站在爸爸影子的頂端尸處時，測得點A的仰角0為26.6。.已知爸

爸的身高8=1.8/"，小明眼睛到地面的距離即=1.6"，點B、D、3在同一條直線上，

EF±FB,CD^FB,AB±FB.求該景觀燈的高AB.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6。。0.45,

22.（7分）經(jīng)驗表明，樹在一定的成長階段，其胸徑（樹的主干在地面以上13〃處的直徑）

越大，樹就越高.通過對某種樹進行測量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹的樹高y（㈤是其胸徑x（峭的一

次函數(shù).已知這種樹的胸徑為0.2帆時，樹高為20優(yōu)；這種銅的胸徑為0.28〃z時，樹高為22〃z.

（1）求y與尤之間的函數(shù)表達式；

（2）當這種樹的胸徑為0.3機時，其樹高是多少？

23.（7分）某校數(shù)學興趣小組的同學們從“校園農(nóng)場”中隨機抽取了20棵西紅柿植株，并

統(tǒng)計了每棵植株上小西紅柿的個數(shù).其數(shù)據(jù)如下：28,36,37,39,42,45,46,47,48,

50,54,54,54,54,55,60,62,62,63,64.通過對以上數(shù)據(jù)的分析整理，繪制了統(tǒng)計

圖表：

分組頻數(shù)組內(nèi)小西紅柿的總個數(shù)

25?xv35128

35?xv45n154

45?尤<559452

55?x<656366

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）補全頻數(shù)分布直方圖：這20個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是

（2）求這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù);

（3）“校園農(nóng)場“中共有300棵這種西紅柿植株，請估計這300櫻西紅枝植株上小西缸柿的

總個數(shù).

24.（8分）如圖，AASC內(nèi)接于O,NB4c=45。，過點3作3c的垂線，交O于點D,

并與C4的延長線交于點E,作M_LAC,垂足為交］。于點F.

C1）求證：BD=BC；

（2）若cO的半徑r=3,BE=6,求線段B尸的長.

25.（8分）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨

度與拱高之積為48/,還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求價出了

兩個設(shè)計方案.現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12相，拱高PE=4w.其中，點N在x軸上，PE1ON,

OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度0M=8m,拱高尸'E'=6〃7.其中，點V在尤軸上，PE±ON',

OE=E'N'.

要在拱門中設(shè)置高為3切的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）.方案一中,

矩形框架ABCD的面積記為工，點A、。在拋物線上，邊BC在ON上;方案二中，矩形框

架A'B'CD'的面積記為邑，點A',。在拋物線上，邊B'C'在ON'上.現(xiàn)知，小華已正確

求出方案二中，當4'3'=3〃?時，邑=12缶/，請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問

題：

（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達式;

徑為4,點尸在。。上，點M在AB上，連接求線段PM的最小值；

（2）如圖②所示，五邊形A2CDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點8處，點

E處是該市的一個交通樞紐.已知：ZA=ZABC=ZAED=90°,AB=AE=10000m,

BC=DE=6000m.根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）

修一個半徑為30m的圓型環(huán)道。0；過圓心。，作垂足為與O。交于點

N.連接BN,點P在。。上，連接其中，線段BN、EP及是要修的三條道路,

要在所修迅路BN、E尸之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環(huán)道的

圓心0到AB的距離OM的長.

圖①圖②

2023年陜西省中考數(shù)學試卷（A卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分.每小題只有一個選項是符合題意的）

1.(3分)計算：3-5=()

A.2B.-2C.8D.-8

【分析】先根據(jù)有理數(shù)的減法法則計算即可.

【解答】解：3-5=-2.

故選：B.

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

令q

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，逐項判斷即可求解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

3、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；

。、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：C.

【分析】由對頂角相等可得N3=N1=1O8。，再由平行線的性質(zhì)可求得NA=72。，Zfi=Z2,

結(jié)合已知條件可求得NB,即可求解.

【解答】解：如圖,

/.Z3=Z1=1O8°,

1//AB,

.-.Z3+ZA=180°,Z2=Zfi,

/.ZA=180°-Z3=72°,

ZA=2ZB,

「.ZB=36。，

.\Z2=36°.

故選：A.

4.（3分）計算：6孫之.（_；%3y3）=（）

A.3/y5B.—3Vyc.3x3/D.-3x3y6

【分析】利用單項式乘單項式的法則進行運算即可.

【解答】解：6xy2-（~x3y3）

=6x（fy

=-3x4y5.

故選：B.

5.（3分）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y=ox和y=x+“（a為常數(shù)，。＜0）的圖象可能

是（）

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到函數(shù)y=ox和y=x+。的圖象經(jīng)過哪

幾個象限，本題得以解決.

【解答】解："0,

，函數(shù)y=◎是經(jīng)過原點的直線，經(jīng)過第二、四象限，

函數(shù)y=x+a是經(jīng)過第一、三、四象限的直線，

故選：D.

6.（3分）如圖，QE是AABC的中位線，點尸在JDB上，DF=2BF.連接EF并延長，與

CB的延長線相交于點若3C=6,則線段CM的長為（）

A

A.—B.7C.—D.8

22

【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得。石//5C,求出DE,進而證得ADEFs皿F,根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出9,即可求出結(jié)論.

【解答】解：。石是AABC的中位線，

:.DE//BC,DE=-BC=-x6=3,

22

:.ADEFsBMF,

.DEDF2BF。

BMBFBF

3

2

CM^BC+BM=—.

2

故選：C.

7.（3分）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖②是從正面看

到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖.是。的一部分，。是的中點，連接OD,

與弦至交于點C,連接OA,OB.已知A3=24c〃z,碗深CD=8c〃z,貝U。的半徑。4為

圖①

A.13cmB.D.26cm

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出AC=BC=~AB=12cm,O的半

2-

徑OA為Rcm,則OC=(R_8)。九.在RtAOAC中根據(jù)勾股定理列出方程R2=122+(R-8)2,

求出火即可.

【解答】解：是。的一部分，。是的中點，AB=24cm,

:.OD±AB,AC=BC=-AB=12cm.

2

設(shè)；O的半徑。4為Rem,貝!JOC=OD—CD=(R—8)m.

在RtAOAC中，ZOCA=90°,

.-.OA2=AC2+OC2,

R2=122+(7?-8)2,

:.R=13,

即O的半徑。4為13cm.

故選：A.

8.(3分)在平面直角坐標系中，二次函數(shù)＞=/+皿+病-〃?(加為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(0,6),

其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有()

最大畔口?最小畔

A.最大值5B.C.最小值5

【分析】將(0,6)代入二次函數(shù)解析式，進而得出機的值，再利用對稱軸在y軸左側(cè)，得出

m=3,再利用公式法求出二次函數(shù)最值.

【解答】解：由題意可得：6=rrr-m,

解得：叫=3,m2

二次函數(shù)y=f+"I。,對稱軸在y軸左側(cè),

/.m>0,

/.m=3,

y=x2+3x+6,

4ac—b14xlx6-32_15

.?.二次函數(shù)有最小值為:

4a4^1-T

故選：D.

二、填空題（共5小題,每小題3分，計15分）

9.（3分）如圖，在數(shù)軸上，點A表示百，點3與點A位于原點的兩側(cè)，且與原點的距離

相等.則點3表示的數(shù)是石

?1Pl??41?.

-3-2-10123

【分析】根據(jù)原點左邊的數(shù)是負數(shù)，由絕對值的定義可得答案.

【解答】解：由題意得：點3表示的數(shù)是-

故答案為：-也.

10.（3分）如圖，正八邊形的邊長為2,對角線鉆、CD相交于點E.則線段班的長為

2+72

【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形CEGF是矩形，AACE、ABFG是等腰直角三角形，

AC=CF=FB=EG=2,再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出AE,GE,BG

即可.

【解答】解：如圖，過點/作FG_LAB于G,由題意可知，四邊形CEGR是矩形，AACE、

ABFG是等腰直角三角形，AC=CF=FB=EG=2,

在RtAACE中，AC=2,AE=CE,

:.AE=CE=—AC=y[2,

2

同理BG=及,

:.BE=EG+BG=2+五,

故答案為：2+0\

11.（3分）點E是菱形ABC。的對稱中心，/5=56。，連接4￡,則/&場的度數(shù)為_62。_.

【分析】連接鹿，根據(jù)中心對稱圖形的定義得出點E是菱形ABCD的兩對角線的交點，根

據(jù)菱形的性質(zhì)得出NA5E=LNA5C=28。，那么NBAE=90?！狽A￡E=62。.

2

【解答】解：如圖，連接班，

.,點E是菱形ABCD的對稱中心，ZABC=56°,

：.點E是菱形ABCD的兩對角線的交點，

:.AE±BE,ZABE=-ZABC=28°,

2

ZBAE=90°-ZABE=62.°.

故答案為：62°.

12.（3分）如圖，在矩形Q4BC和正方形CDEF中，點A在y軸正半軸上，點C,尸均在

x軸正半軸上，點。在邊BC上，BC=2CD,AB=3.若點3,E在同一個反比例函數(shù)的

圖象上，則這個反比例函數(shù)的表達式是

y

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OC=AB=3,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD=CF=￡F,設(shè)

k

CD-m,BC=2m,得到3(3,2㈤，E(3+m,m),設(shè)反比例函數(shù)的表達式為y=—,列方程

x

即可得到結(jié)論.

【解答】解：?四邊形Q4BC是矩形，

OC=AB=3,

■四邊形CDEF是正方形，

:.CD=CF=EF,

BC=2CD,

設(shè)CD=m,BC=2m,

/.B(3,2m),E(3+m,ni),

設(shè)反比例函數(shù)的表達式為

/.3x2m=(3+m)-m?

解得m=3或根=0(不合題意舍去)，

/.5(3,6),

k=3x6=18,

這個反比例函數(shù)的表達式是y=電，

X

故答案為：y=—,

x

y

13.（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,3c=4.點E在邊4）上，且￡0=3,M、

N分別是邊AB、3c上的動點，且BM=BN,P是線段CE上的動點，連接尸M,PN.若

PM+PN=4.則線段PC的長為_20

【分析】由題意知ACDE是等腰直角三角形，作點N關(guān)于EC的對稱點N',則N'在直線8

上，連接PN',PN=PN',PM+PN=4.BPPM+PN'=4,BC=4,BM=BN,所以

此時A/、P、N'三點共線且MN'//AD,點尸在MN'的中點處，PM=PN'=2，尸C=2應.

【解答】解：DE=AB=CD=3,

.?.△CDE是等腰直角三角形，

作點N關(guān)于EC的對稱點N',則V在直線C￡＞上，連接PN',如圖:

PM+PN=4.

:.PM+PN'=4=BC,即M7V'=4,

此時M、P、N'三點共線且W//AD,點P在肱V'的中點處,

:.PM=PN'=2,

PC=2A/2.

故答案為：2點.

三、解答題（共13小題，計81分.解答應寫出過程）

3x-5

14.（5分）解不等式:>2x.

2

【分析】去分母，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可.

【解答】解：蟲至>2元，

2

去分母，得3x-5>4x,

移項，得3x-4x>5,

合并同類項，得-x>5,

不等式的兩邊都除以-1,得x<-5.

15.（5分）計算：出x（-癡）-（—尸+|-23|.

【分析】直接利用二次根式的乘法運算法則以及負整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化

簡，進而得出答案.

【解答】解：原式=-5行-7+|-8|

=-50-7+8

=-5A/2+1.

16.（5分）化簡：（T----匚）:2匕

a—1CL—1a+1

【分析】先算括號里的運算，把除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可.

【解答】解：（孚———

a—1a—1〃+1

_[3aa+1]〃+1

（a—l）（a+1）（a—1）（Q+1）2Q—1

3d—（Q+1）〃+1

（6Z+1）（Q—1）2Q—1

2々-1]

a—12a—1

1

6Z—1

17.（5分）如圖.已知角AA5C,ZB=48。，請用尺規(guī)作圖法，在AABC內(nèi)部求作一點尸.使

PB=PC.且NPBC=24。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】先作NABC的平分線皮>,再作的垂直平分線/,直線/交5。于P點，則P點

滿足條件.

【解答】解：如圖，點P即為所求.

18.(5分)如圖，在AABC中，ZB=50°,ZC=20°.過點A作垂足為￡,延

長E4至點使AD=AC.在邊AC上截取=連接DF.求證：DF=CB.

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得NC4B的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)

論.

【解答】證明：在AABC中，ZB=50°,ZC=20°,

:.ZCAB=lSO°-ZB-ZC=nO°.

AE.LBC.

:.ZAEC=90°.

..ZDAF=ZAEC-^-ZC=110°,

:.ZDAF=ZCAB.

在AZM尸和AC鉆中，

AD=BC

<ZDAF=/CAB,

AF=AB

ADAF=ACAB(SAS).

:.DF=CB.

19.(5分)一個不透明的袋子中裝有四個小球，這四個小球上各標有一個數(shù)字，分別是1,

1,2,3.這些小球除標有的數(shù)字外都相同.

(1)從袋中機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標有的數(shù)字是1的概率為-;

一2一

(2)先從袋中隨機摸出一個小球，記下小球上標有的數(shù)字后，放回，搖勻，再從袋中隨機

摸出一個小球，記下小球上標有的數(shù)字，請利用畫樹狀圖或列表的方法、求摸出的這兩個小

球上標有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率.

【分析】(1)根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以計算出從袋中機摸出一個小球，則摸出的這個

小球上標有的數(shù)字是1的概率；

(2)根據(jù)題意可以畫出相應的樹狀圖，然后即可求出摸出的這兩個小球上標有的數(shù)字之積

是偶數(shù)的概率.

【解答】解：(1)由題意可得,

從袋中機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標有的數(shù)字是1的概率為2

42

故答案為：—;

2

(2)樹狀圖如下:

開始

1123

1123112311231123

兩數(shù)之積1123112322463369

由上可得，一共有16種等可能性，其中兩數(shù)之積是偶數(shù)的可能性有7種,

摸出的這兩個小球上標有的數(shù)字之積是偶數(shù)的概率工.

16

20.(5分)小紅在一家文具店買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元.已

知她買的這種大筆記本的單價比這種小筆記本的單價多3元,求該文具店中這種大筆記本的

單價.

【分析】設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價是x元，根據(jù)買了一種大筆記本4個和一種小筆

記本6個，共用了62元，得4尤+6。-3)=62,即可解得答案.

【解答】解：設(shè)該文具店中這種大筆記本的單價是x元，則小筆記本的單價是。-3)元，

「買了一種大筆記本4個和一種小筆記本6個，共用了62元，

.,.4%+6（兀-3）=62,

解得：x=8；

答：該文具店中這種大筆記本的單價為8元.

21.（6分）一天晚上，小明和爸爸帶著測角儀和皮尺去公園測量一景觀燈（燈桿底部不可

到達）的高.如圖所示，當小明爸爸站在點。處時，他在該景觀燈照射下的影子長為DP,

測得OF=24"；當小明站在爸爸影子的頂端尸處時，測得點A的仰角。為26.6。.已知爸

爸的身高CD=1.8m,小明眼睛到地面的距離EF=16w,點P、D、3在同一條直線上，

EF±FB,CD±FB,AB±FB.求該景觀燈的高AB.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°?0.45,

【分析】過點E作EHJ_AB,垂足為H,根據(jù)題意可得：EH=FB,EF=BH=1.6m,然

后設(shè)EH=FB=xm,在RtAAEH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH的長，從而求出AB

的長，再根據(jù)垂直定義可得NCDF=N4BF=90。，從而證明A字模型相似三角形

ACDF^AABF,最后利用相似三角形的性質(zhì)可得AB=-x,從而列出關(guān)于x的方程，進行

4

計算即可解答.

【解答】解：過點E作垂足為"，

設(shè)EH=FB=xm,

在RtAAEH中，ZAEH=26.6°,

AH-EH?tan26.6°?0.5x(m),

/.AB=AH+BH—(0.5x+1.6)m,

CD上FB,ABLFB,

ZCDF=ZABF=90°,

ZCFD=ZAFB,

:.kCDFs/sABF,

.CDDF

AB-'

1.82.4

..---=—,

ABx

3

/.AB=—x

4

3

—x=0.5x+1.6，

4

解得：尤=6.4，

3

/.AB=—x=4.8（m）,

/.該景觀燈的高AB約為4.8m.

22.（7分）經(jīng)驗表明，樹在一定的成長階段，其胸徑（樹的主干在地面以上1.3相處的直徑）

越大，樹就越高.通過對某種樹進行測量研究，發(fā)現(xiàn)這種樹的樹高y（㈤是其胸徑工（㈤的一

次函數(shù).已知這種樹的胸徑為0.2m時，樹高為20〃z；這種銅的胸徑為0.28根時，樹高為22〃z.

（1）求y與尤之間的函數(shù)表達式；

（2）當這種樹的胸徑為03〃時，其樹高是多少？

【分析】（1）設(shè)＞=依+優(yōu)左/0）,利用待定系數(shù)法解答即可；

（2）把x=0.3代入（1）的結(jié)論解答即可.

【解答】解：（1）設(shè)〉=疆+6（左W0）,

0.2k+b=20

根據(jù)題意,

0.28k+)=22

%=25

解之，得

b=15

.\y=25x+15；

（2）當工=0.3時，y=25x0.3+15=22.5.

當這種樹的胸徑為03m時，其樹高為22.5m.

23.（7分）某校數(shù)學興趣小組的同學們從“校園農(nóng)場”中隨機抽取了20棵西紅柿植株，并

統(tǒng)計了每棵植株上小西紅柿的個數(shù).其數(shù)據(jù)如下：28,36,37,39,42,45,46,47,48,

50,54,54,54,54,55,60,62,62,63,64.通過對以上數(shù)據(jù)的分析整理，繪制了統(tǒng)計

圖表：

分組頻數(shù)組內(nèi)小西紅柿的總個數(shù)

25?x<35128

35?x<45n154

45?x<559452

55?xv656366

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)補全頻數(shù)分布直方圖：這20個數(shù)據(jù)的眾數(shù)是54；

(2)求這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；

(3)“校園農(nóng)場“中共有300棵這種西紅柿植株，請估計這300櫻西紅枝植株上小西缸柿的

總個數(shù).

【分析】(1)用總數(shù)減去其它三組的頻數(shù)可得〃的值，進而補全頻數(shù)分布直方圖，然后根據(jù)

眾數(shù)的定義解答即可；

(2)根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的計算公式解答即可；

(3)用300乘(2)的結(jié)論可得答案.

【解答】解：(1)由題意得，“=20-1-9-6=4,

補全頻數(shù)分布直方圖如下

這20個數(shù)據(jù)中，54出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為54.

故答案為：54；

(2)x=—x(28+154+452+366)=50.

這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是50；

(3)所求總個數(shù)：50x300=15000.

估計這300棵西紅柿植株上小西紅柿的總個數(shù)是15000個.

24.(8分)如圖，AABC內(nèi)接于O,NB4c=45。，過點3作3c的垂線，交O于點。，

并與C4的延長線交于點E,作班'_LAC,垂足為交。于點

(1)求證：BD=BC；

(2)若O的半徑r=3,BE=6,求線段加1的長.

【分析】(1)如圖，連接。C,根據(jù)圓周角定理得到乙BDC=44C=45。，求得

ZBCD=90。-ZBDC=45。，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)如圖，根據(jù)圓周角定理得到CD為O的直徑，求得CD=2廠=6.根據(jù)勾股定理得到

EC=JBE，+3c2=而+=3屈,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖，連接“

則ZBDC=NS4C=45°,

BD.LBC,

ZBCD=90°-NBDC=45°,

:.ZBCD=ZBDC.

BD=BC；

(2)解：如圖，ZDBC=90°,

;.CD為_。的直徑，

/.CD=2r=6.

J?r-

BC=CD-sinZBDC=6x—=372,

2

/.EC=y1BE2+BC2=762+(372)2=3^j6，

BF±AC,

/.ZBMC=ZEBC=90°,ZBCM=ZBCM,

ABCM^AECB.

BCBMCM

~EC~~EB~~CB

c*,BCEB3A/2X6、

BM=-------=、「=2，3，

EC3n

連接CF,則NF=NBDC=45°,ZMCF=45°,

MF=MC=底,

BF=BM+MF=273+?.

25.（8分）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨

度與拱高之積為481,還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求價出了

兩個設(shè)計方案.現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12相，拱高PE=4m.其中，點N在x軸上，PE±ON,

OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8m,拱高P'E'=6m.其中，點V在x軸上，PE_LON',

<7E'=E'N'.

要在拱門中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）.方案一中,

矩形框架ABCD的面積記為工，點A、。在拋物線上，邊BC在ON上;方案二中，矩形框

架A'?。。'的面積記為邑，點A,。在拋物線上，邊B'C'在ON'上.現(xiàn)知，小華已正確

求出方案二中，當AQ=3〃2時，S?=12&2,請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問

題:

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式;

【分析】(1)由題意知拋物線的頂點尸(6,4),設(shè)頂點式用待定系數(shù)法可得方案一中拋物線

的函數(shù)表達式為y=--x2+-x；

93

(2)令y=3可得x=3或x=9,故BC=6O),S,AB-BC=18(m2)；再比較S?的大

小即可.

【解答】解：(1)由題意知，方案一中拋物線的頂點尸(6,4),

設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為y=a(x-6)2+4,

把0(0,0)代入得：0=。(0-6)2+4,

解得：a=——,

9

1/乙、2124

y=—(x—6)+4A=—x~\—x9

993

方案一中拋物線的函數(shù)表達式為y=

93

(2)在y=-1爐+3工中，令)=3得：3=——x2+—x;

9393

角犁得％=3或%