湖南省長沙市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期月考二試題含解析

2024屆高三月考試卷（二）

數(shù)學(xué)

得分.

本試卷共8頁.時量120分鐘.滿分150分.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.若集合AfU止用,5=卜"+1）（—）叫，則38的元素個數(shù)為o

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】求出5={x|-1VXV9},得到交集，得到元素個數(shù).

【詳解】集合5={x|—lVxV9},A={-1,3,7,11,15,},

則Ac3={—1,3,7},即元素個數(shù)為3.

故選：B

1_-2023

2.設(shè)awR,若復(fù)數(shù)二1—的虛部為3（其中i為虛數(shù)單位），則〃=（）

ai

A.—B.—3C.—D.3

33

【答案】A

【解析】

【分析】利用i的性質(zhì)和復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡求出其虛部令其等于3可得答案.

「年存八有料1-產(chǎn)31+i（l+i）i-1+i1i

【詳解】復(fù)數(shù)-------=——=-———=-----=------，

aiai-a-aaa

因為其虛部為3,所以—4=3,可得。=—』.

a3

故選：A.

3.已知非零向量”，6滿足人=（、瓦1）,卜6后，若"則向量q在向量6方向上的投影

向量為（）

1;

B.-bc,烏D.b

22

【答案】A

【解析】

a-b工

【分析】依題意可得卜-根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出“，即可求出a-b，最后根據(jù)

麗

計算可得.

【詳解】因為（a-O）_La,所以（，一注）.￡=/一￡%=0,

A|a|-^|a||z?|=O,又b=所以愀==2,卜|=1或,|=0（舍去）,

所以a-/?=a=1，

a-b,1,

所以a在6方向上的投影向量為仃百/=了人.

m4

故選：A.

4.設(shè)拋物線C：必=2刀焦點(diǎn)為F,M（x,4）在。上，同=5,則。的方程為（）

A.x2=4yB.%2=-4yC.x2--2yD.x2=2y

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義求得P,進(jìn)而確定正確答案.

【詳解】拋物線必=2py的開口向上，

由于M（x,4）在C上，川兒陽=5,

根據(jù)拋物線的定義可知4+'=5,p=2,

2

所以拋物線C的方程為x2=4y.

故選：A

5.若函數(shù)外力=/31—X在區(qū)間（0,+“）上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,l）

C.[0,+8）D.（-00,1]

【答案】D

【解析】

【分析】由題意可得/（同20在區(qū)間（0,+"）恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為aWx+1在區(qū)間（0,+"）恒成立，從

而可求出實數(shù)。的取值范圍

【詳解】由/（x）=e"“M—x’得r（x）=ei+i—1,

因為函數(shù)/（x）=ei+i—%在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增，

所以/'⑴=/”+1—120在區(qū)間（0,+x）恒成立，

所以x—。+120在區(qū)間（0,+。）恒成立，

即aWx+1在區(qū)間（0,+。）恒成立，所以“<1.

故選：D

6.直線/：y=Ax+l與圓。：f+/=］相交于A,B兩點(diǎn)，貝『%=1"是"一。43的面積為g”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：由左=1時，圓心到直線l-.y=x+1的距離d=與.所以弦長為血,所以

SA.R=』xJ5xY2=工?所以充分性成立，由圖形的對稱性，當(dāng)左=—1時，Q鉆的面積為:?所以不

A3B2222

要性不成立.故選A.

考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系.2.充要條件.

已知aw0,巴，且夜cos2a=sina+工貝！Jsin2a=()

C.-1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】據(jù)二倍角公式，兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.

【詳解】Q^2cos2a=sin(6Z+—),

、4

QV2(COS2a-sin2a)=(sina+cosa),

(cosa+sindf)(cos。一sin。一；)=0,

又則sine>0,cosc>0,即coso+sina>0

所以cosa-sina=—,

因為所以2a￡(0,兀)，sin2a>0.

113

由cosa—sini=—平方可得l—sin2。=—,即sin2a=—,符合題意.

244

3

綜上，sin2a=—.

4

故選：B.

8.若實數(shù)a,dc,d滿足旦=上=—=1,則(a—cy+3—d)?的最小值是()

ba

A.8B.9C.10D.11

【答案】A

【解析】

【分析】先畫出函數(shù)/(x)=x—2e，和g(x)=—x+2的圖像，再根據(jù)圖像解釋(a—c?(6—1丫的幾何

意義即可.

Oa

【詳解】由佇竺=1,得。=a—2e"，令〃x)=x—2e"則/'(x)=l—2e"

b

令/(x)=。得x=—ln2,當(dāng)x>—ln2時，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x<—ln2時,

單調(diào)遞增；

由=得1=一0+2,令g(x)=-x+2,

/(x),g(x)的圖像如下圖:

則（a—c）2+S—d）2表示y=/（%）上一點(diǎn)M（a⑼與y=g（X）上一點(diǎn)N（c,d）的距離的平方，

顯然，當(dāng)過〃點(diǎn)了（%）的切線與g（x）平行時，|肱V|最小，

設(shè)y=/（x）上與y=g（x）平行的切線的切點(diǎn)為此（/，%），由/'伉）=1—2e*=—1,解得%=0,

所以切點(diǎn)為"。（0,—2）,切點(diǎn)到y(tǒng)=g（x）的距離的平方為[〔°]=8,

<6+1,

即（?-c）2+（b-d）2的最小值為8；

故選：A.

二、多選題本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對

的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.關(guān)于下列命題中，說法正確的是（）

2

A.已知XB（n,p）,若E（X）=30,D（X）=20,則p=§

B.數(shù)據(jù)91,72,75,85,64,92,76,78,86,79的45%分位數(shù)為77

C.已知JN（O,1）,若PC>1）=。，則P（—l〈J〈O）=g—p

D.某校三個年級，高一有400人，高二有360人.現(xiàn)按年級分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校抽取57人，

已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人

【答案】CD

【解析】

【分析】對各個選項進(jìn)行分析判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】對于A,X~B（n,p）,

.』X)=np=30,

D(X)=n/?(l-p)=20,)

：.l-p=~,解得p='，故A錯誤;

33

對于B，將數(shù)據(jù)從小到大排序為64,72,75,76,78,79,85,86,91,92,

10x45%=4.5,

.?.45%分位數(shù)為第5個數(shù)，即78,故B錯誤；

對于C,J~N(0,l),

.?.P(-1<^<O)=1[1-P(^>1)-P(^<-1)]=1[1-2P(^>1)],故C正確;

對于D,.抽樣比為----=—,

40020

二高二應(yīng)抽取360x」一=18人，貝。高三應(yīng)抽取57—20—18=19人，故D正確.

故選：CD.

10.已知函數(shù)/(%)=25111%(：05%(：050+(：052%5m0(一》<0<?),貝!!()

A.函數(shù)/(%)的最小正周期為萬

B.若函數(shù)/(%)為偶函數(shù)，則9=]

C.若9=-彳，則函數(shù)丁=/(尤)的圖象可由函數(shù)g(x)=sin2x的圖象向右平移￡個單位長度得到

36

D.若夕=則函數(shù)y=/(x)的圖象的對稱中心為(4+肺,。](左eZ)

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐項判定，得出結(jié)論.

【詳解】由題意，函數(shù)/(x)=2sinxcosxcos。+cos2xsin。

=sin2%coscp+cos2xsincp=sin(2x+(p),其中一冗<(p<n

27r

可得函數(shù)A九)的最小正周期為—=1，故A正確;

2

若函數(shù)/⑴為偶函數(shù)，則夕=左左+]/eZ,故B錯誤；

若。=-￡77",則函數(shù)＞=/(%)的圖象可由函數(shù)g(%)=sin2x的圖象向右平移7一L個單位長度得到，故C正確;

36

■jrjr冗K7TTC

若夕=彳，則函數(shù)y=/(x)=sin(2x+d),令2工+不=左萬，=-,左GZ,

k冗jr

可得它的圖象的對稱中心為(三-五,0)(左eZ),故D正確,

故選：ACD.

11.如圖，四棱錐P—A3CD的底面是梯形，BC//AD,AB=BC=CD=1,AZ)=2,PA=PD=g，

平面上平面ABC。，O,E分別為線段A。，刈的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是底面A3CD內(nèi)(包括邊界)的

一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

B.三棱錐5-AOE外接球的體積為叵

4

3

C.異面直線PC與OE所成角的余弦值為一

4

D.若直線PQ與平面ABCD所成的角為60。，則點(diǎn)。的軌跡長度為山兀

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)平面上平面ABCD,得到平面A3C。,可判斷A,B選項；異面直線PC與OE

所成角的余弦值在.PCD中由余弦定理，可判斷C選項；若直線尸。與平面A3CD所成的角為60。，點(diǎn)Q

的軌跡為以。為圓心，正為半徑的半圓可判斷D選項.

3

p

易證四邊形A3C0為菱形，所以301AC,

連接尸0,因為PA=PD=6,所以POLAD，

因為平面上40,平面ABCD,平面上4Z5c平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以P01平面ABCD,

因為ACu平面A3CD,所以POLAC,

又POOB=O,所以AC,平面PQB又5Pu平面PQ3,所以故A正確；

易證"OE為等腰直角三角形，A03為等邊三角形，且平面上4DJ_平面A3CD,

所以三棱錐8—AOE外接球的球心為等邊三角形A03的中心，所以三棱錐5—AOE外接球的半徑為

V3

V

所以三棱錐8—AOE外接球的體積為V=當(dāng)"X故B錯誤;

3

因為PD//OE,所以NCPD為異面直線PC與0￡所成的角(或其補(bǔ)角)，

因為po=Rp?—oif=I，所以PC7Po2+oc?=拒,

2+2-13

在PCD中,由余弦定理，得cos/CPD=^―q-7==-,故C正確；

2xj2xj24

因為尸01平面A3CD，所以。。為PQ在平面A3CD內(nèi)的射影，

若直線P。與平面ABCD所成的角為60。，則/尸。。=60。，

因為PO=1,所以。0=￡,故點(diǎn)。的軌跡為以。為圓心，半為半徑的半圓,

所以點(diǎn)。的軌跡長度為叵，故D錯誤.

3

故選：AC.

12.已知定義在R上的函數(shù)/(尤)滿足：對于任意的羽yeR,都有/(x+y)=/(x)+/(y)+l,且當(dāng)

x>o時，若y(i)=i,則下列說法正確的有()

A./(O)=O

B.〃尤)關(guān)于(1,1)對稱

C.無)在R上單調(diào)遞增

D./(1)+/(2)++/(2023)=20232

【答案】BCD

【解析】

【分析】賦值法可判斷AB；利用單調(diào)性的定義可判斷C；利用已知可得/(")-/("-1)=2,再由累加法

可判斷D.

【詳解】對于A,令x=y=O,得/⑼=2〃0)+1,可得〃0)=—1,故A錯；

對于B,令x=y=l,則42)=3,令y=2—x,

則〃2)=/(x)+〃2—x)+ln/(x)+/(2—x)=2,故B對；

對于C,設(shè)％>々，則/(%)=>(萬一%+9)=/(1-％)+/(々)+1=/(%)-/(%)=/(及一%)+1，

因為%-％2>0，故”占-9)>-1,故/(七)一/(々)=/(王一%)+1>0，

故了(九)在R上單調(diào)遞增，故C對；

對于D,令x=〃,y=l,故/(〃)=/(〃—+=2,

所以/(〃)=/(〃)—+——+/(2)-/(1)+/(1)=2?-1,

1+2x02312

故/⑴+/(2)++/(2023)=(|-)x2023=2023,故D對.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.1(2x+y)5的展開式中，產(chǎn),3的系數(shù)為

【答案】40

【解析】

【分析】根據(jù)二項式的通項公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】二項式（2x+“的通項公式為Tr+1=C＞（2x）51

所以的系數(shù)為c；.23+（—l）.C；?2?=40,

故答案為：40

14.已知S,是數(shù)列｛4｝的前幾項和，％=2,2=3,%=4,數(shù)列｛a〃+a””+4+2｝是公差為1的等差數(shù)

列，貝US4o=.

【答案】366

【解析】

【分析】設(shè)2=4+4+1+?！?2，易得4=9+（〃-l）xl="+8,再由

S40=弓+4+4++%求解.

【詳解】解：設(shè)勿=4+。用+?！?2，由題意知｛4｝是公差為1的等差數(shù)列,

則4=q+%+%=9,

故4=9+（"—l）xl=〃+8,則4=仿+1=10，

皿/、，、/、13x（2+38）

故4+々++%=（2+8）+（5+8）++（38+8）=13x8+———=364.

于是S4g=tZj+（4+%+。4）+（%+。6+3）+（g8+。39+。40），

=q+3+々++“38=2+364—366.

故答案為：366

22

15.已知雙曲線C:二-1=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,B，過雙曲線。上一點(diǎn)尸向y軸作垂線,

ab

垂足為Q,若|PQ|=]￡閭且尸耳與。心垂直，則雙曲線C的離心率為.

【答案】縣1

2

【解析】

【分析】由題意知四邊形PQ耳鳥為菱形，再結(jié)合圖形得出|P耳|=2氐,歸囚=2c,最后根據(jù)定義即可得

出離心率.

22

【詳解】設(shè)雙曲線二-當(dāng)=1(“>0,6>0)焦距為2c,不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限，

ab

由題意知PQ〃耳招，由|PQ|=|耳聞且尸耳與。工垂直可知，四邊形PQ4鳥為菱形，且邊長為2c,而

。耳。為直角三角形，|Q4|=2c,閨Q|=c,

故/月。。=30,二/。與。=60,則N￡QP=120,

1

貝J|叫=Zcx^x2=2y/3c,\PF2\=2c，

故歸周一|尸閶=2&-2c=2a,

即離心率e=/—=也擔(dān)

G-12

故答案為：?1

2

16.如圖，有一半徑為單位長度的球內(nèi)切于圓錐,則當(dāng)圓錐的側(cè)面積取到最小值時，它的高為

+2

【解析】

y1h2-hh2-h

【分析】由△SC0szxS0]A,求得產(chǎn)=——,得到側(cè)面積S=7T^~令f(h)J~

X—1h-21)h-2

(77-2)2-2

得到r㈤=,求得函數(shù)/(與的單調(diào)性，進(jìn)而得到答案.

(丸-2)2

【詳解】如圖所示，設(shè)SO=x,半徑高SQ=x+l=%>2,

球半徑為單位長度。。==1,

因為△SCOS^SOA,可得空=42L

SOSA

x+1h

所以xr=Jr?+(X+1『，解得「?=

x-1h-2

所以側(cè)面積S=+(x+l『=nr2x==n-—~羨,

/i2—h.mix—4/1+2(h—2]—2

令于(埼可得——丁=：)、,，

')h-2(/z-2)(/?-2)-

令/'(/i)=0,可得(〃—2)2—2=0,解得無=2+行.

當(dāng)丘(2,2+班)，/'㈤<0,/(與單調(diào)遞減；

當(dāng)/ie(2+0,+oo),f'(h)>0,/(/?)單調(diào)遞減，

所以丸=2+行時側(cè)面積S有最小值.

故答案為：2+0.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等比數(shù)列｛4｝的第二、三、四項分別是等差數(shù)列｛〃｝的第二、五、十四項，且等差數(shù)列抄/的首項

4=1,公差d>0.

(1)求數(shù)列｛q,｝與｛2｝的通項公式;

⑵設(shè)數(shù)列匕｝對任意zieN*均有」■+，■+二++'L=6"成立，求C1+C2+C3++C2023的值?

dyCl?^^3n

【答案】(1)2=2"一1,4=3"T.

(2)32023-2

【解析】

【分析】(1)由題意得偽=。2/5=。3也4=。4,再利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)列方程可求出從而

可求出公比4,進(jìn)而可求得數(shù)列｛%｝與｛2｝的通項公式；

(2)由,+，■+?+‘■="〃，得'■+，■++'"+'*=2+1，兩式相減可求得22),再驗證q,

%aian%。2anan+l

然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,

由題意，b2=a2,b5=a3,bu=a4,

=444,(1+4d)2=(l+d)(l+13d),解得d=2,或4=0(舍去)，

/.a2=3,%=9,/.q=-=3,q=-=1,

a2q

..?2=1+2(〃_1)=2〃_1,為二3"一1.

【小問2詳解】

由題意，」+上++-=bn,①

dyCl2

??4+且++、+皿=%，②

a\a?anan+\

②-①得2=be—bL2,:.cll+l=2an+l,:.cn=2an=2x3"-'("22),

4+i

l.n=l

當(dāng)”=1時，q=l不滿足上式，所以c”=<

2X3〃T,〃N2'

]_2022、

Cj+(72H-+。2023=1+2X3X=32。23_2.

1-3,

18.在銳角中，內(nèi)角A5,C的對邊分別為d瓦。，已知ZsinAdcosB+bcosCjMJ5a.

(1)求A；

(2)若a=6,求從+02+3歷的取值范圍.

7T

【答案】⑴-

3

(2)(11,15]

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理化簡即可得解;

(2)先利用正弦定理求出b,c,再根據(jù)三角恒等變換化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，由正弦定理得

2sinA(sinCcosB+sinBcosC)=2sinAsin(B+C)=2sinAsinA=y/3sinA,

又銳角一ABC中，有Ae0,5,所以sinA>0,

所以sinA=且，所以A=g；

23

【小問2詳解】

7T2TE

結(jié)合(1)可得A=—,8+。=?！狝=—,

33

ah「

由。=百，則根據(jù)正弦定理有一=——=——=2,

sinAsinBsinC

得b=2sinB,c-2sinC,

根據(jù)余弦定理有a2=b2+c2-2/?ccosA，得/+c?=3+Z?c，

所以/+，+^bc=3+4bc=3+16sinBsinC=3+16sinBsinf-B

=3+sVSsinBcosB+8sin2B=7+4^sin2B-4cos2B=7+8sin12J5一2

7171

得Be

又.43C為銳角三角形，則有—?,2

所以25個1,蔣，所以425一)1,1

故。2++3bc=7+8sin[23—7)e(11,15].

19.如圖，在三棱柱ABC-中，為等邊三角形，四邊形BCG用是邊長為2的正方形，D為

AB中點(diǎn)，且4。=厲一

(1)求證：平面45與4；

(2)若點(diǎn)尸在線段用C上，且直線相與平面所成角的正弦值為管，求點(diǎn)尸到平面的距

離.

【答案】(1)證明見解析

(2)拽

5

【解析】

【分析】(1)由勾股定理證明AALAD,再由AAL3C,可證AA_L平面ABC,即得。，懼，由

CDLAB,可證CD,平面A35A；(2)由題意證明得04,06,00兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系,

寫出對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)，求解平面ACD的法向量，設(shè)CP="4=(24240),2e[0,1],再由

向量夾角的公式代入計算得CP=(1,1,0),根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式代入計算，可得答案.

【小問1詳解】

證明：由題知A4,=2,">=1，4。=6，

22

AD+府=5=AXD^^AlAD,

又AA,所以AALBC,

又ADBC=B,AD,BCu平面ABC,

所以AAL平面ABC,又CDu平面ABC,所以CDL44,

在正ABC中，。為A3中點(diǎn)，于是CDLA5,

又A3cAA=A,平面A544,所以CD,平面AB與A

【小問2詳解】

取BC中點(diǎn)為0,4G中點(diǎn)為Q，則OA±BC,OQLBC,

由(1)知，AAJ■平面A8C,且OAu平面ABC,

所以。4，相，又4B〃AA,

所以O(shè)AJ_BBi，BB]CBC=B,BB},BCu平面BCCXBX

所以O(shè)A,平面5?！暧茫谑荙A,O6,O。兩兩垂直.

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，03,。。,。4的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),A(0,0,石),A(0,2,6),c(—1,0,0),

--,0,-^-,CA]=(1,2,*$^卜

,4(1,2,0),所以CD=

I22J

CB1=(2,2,0),AC=(-l,0,-V3).

設(shè)平面ACD的法向量為n=(%,y,z),

3A/3

〃?CD=0——X+z=0

則即〈2~2

n-CA,=0

%+2y+Qz=0

令x=l,則z=—A/5",y=1,于是〃=(1/,一

設(shè)CP=ACBi=(22,22,0),2G[0,1],

則AP=AC+CP=AC+2c4=(22—1,22,-A/3).

由于直線AP與平面A。。所成角的正弦值為拽，

5

/\|2A-1+2A+3|275

'/Vl+1+3-y/(2A-1)2+(2A)2+35

即|2/l+l|=J(2/l—l)2+(2/l)2+3,整理得

4%_84+3=0，由于/Le[O,l],所以X=

于是CP=ACBX=（1,1,0）.

\CP-IT\11+112非

設(shè)點(diǎn)P到平面\CD的距離為d，則d=

口V1J+1+?35,

所以點(diǎn)尸到平面ACD的距離為亭.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量,

利用向量的夾角公式求解.

20.第19屆杭州亞運(yùn)會-電子競技作為正式體育競賽項目備受關(guān)注.已知某項賽事的季后賽后半段有四支戰(zhàn)

隊參加，采取“雙敗淘汰賽制”，對陣表如圖，賽程如下：

第一輪：四支隊伍分別兩兩對陣（即比賽1和2）,兩支獲勝隊伍進(jìn)入勝者組，兩支失敗隊伍落入敗者組.

第二輪：勝者組兩支隊伍對陣（即比賽3）,獲勝隊伍成為勝者組第一名，失敗隊伍落入敗者組；第一輪落

入敗者組兩支隊伍對陣（即比賽4）,失敗隊伍（已兩?。┍惶蕴ǐ@得殿軍），獲勝隊伍留在敗者組.

第三輪：敗者組兩支隊伍對陣（即比賽5）,失敗隊伍被淘汰（獲得季軍）；獲勝隊伍成敗者組第一名.

第四輪：敗者組第一名和勝者組第一名決賽（即比賽6）,爭奪冠軍.假設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率均為0.5,

每場比賽之間相互獨(dú)立.問:

（1）若第一輪隊伍A和隊伍。對陣，則他們?nèi)阅茉跊Q賽中對陣的概率是多少？

（2）已知隊伍8在上述季后賽后半段所參加的所有比賽中，敗了兩場，求在該條件下隊伍8獲得亞軍的概

率.

【答案】（1）-

8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)乘法公式求概率即可；

（2）根據(jù)條件概率公式求概率即可.

【小問1詳解】

由題意可知，第一輪隊伍A和隊伍。對陣，則獲勝隊伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊伍需要贏得比賽4

和比賽5的勝利，他們才能在決賽中對陣，

所以所求的概率為

2228

【小問2詳解】

設(shè)叱表示隊伍8在比賽i中勝利，右表示隊伍B在比賽i中失敗，

設(shè)事件E：隊伍B獲得亞軍，事件尸：隊伍2所參加的所有比賽中敗了兩場，

則事件/包括嗎嗎44,叱4暝4,4嗎暝4，且這五種情況彼此互斥,

進(jìn)而P⑺=網(wǎng)以4）+。仁叱4）+。（暝44）+。（嗎8M6）+。（右叱W4）

11111111111111115

=——X——I--X—X——I——X—X——I——X—X—X——I——X—X—X—=—

22222222222222228

事件石方包括嗎乙暝七6，乙2也暝4,且這兩種情況互斥,

進(jìn)而（叱4暝4）+P（4叱暝+=

ZZZZZZZZo

1

,z,\P（EcF）O1

所以所求事件E|E的概率為P（E|F）=v=5s

v）-3

8

22

21.已知橢圓C:3+%=l（6〉0）的左右焦點(diǎn)分別為片,8,C是橢圓的中心，點(diǎn)M為其上的一點(diǎn)滿足

\MFr\-\MF2\^5,\MC\=2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)定點(diǎn)7。,0）,過點(diǎn)T的直線/交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，若在C上存在一點(diǎn)A,使得直線"的斜率

與直線AQ的斜率之和為定值，求才的范圍.

22

【答案】（1）—+^=1

63

（2）t>逐或t<-瓜

【解析】

【分析】（1）在△加耳心中，根據(jù)余弦定理及|此|可得2a2一C2=9,從而求得橢圓方程.

（2）設(shè)4（%,%），尸（七，乂），。（乙，%），直線/的方程為x=Xy+f，代入橢圓方程得韋達(dá)定理，要使

2（）（）

%-M?%-%2x0y02+2/x0-122+4y0x0T

為常數(shù)，則2、-12=0,根據(jù)%范圍得到t的

%一石玉一々

范圍及點(diǎn)A坐標(biāo).

【小問1詳解】

設(shè)|肛|=?|明卜弓，在△“耳心中，設(shè)/耳班=。,

2

\FXF^=r[+r^-2z;^cos^=4c，

-2s―+甘-4口又火」（小+阻，

MC2=；（MP；+2+2MF,-MF^=^（r；+r；+2.cos^）=^-+^--c2,

■,MC2=^+^-c2=^+^~2r]^-c2=2a2-c2-5=4

222

2a2—c2=9,a1=6,c2=3,b2=3,

22

所以橢圓C的方程為：—+—=1

63

【小問2詳解】

設(shè)人（七,為）,尸（玉,%）,0（七,%），直線/的方程為x=Xy+f,

「22

土匕=]

<63—=>（Z2+2）/+2?2y+?2-6=0,

x=Ay+t

2沈/—6.q

二%+%=一^^，%y2=^F^，X1=2%+/，

4t2t2-6A2

(%-MM%-%2)+(%-%),(%-%)

設(shè)q+g

(x()—X]),(%—%)

x0-x1x0-x2

2%%—%(%+々)+24yly2+(-3)(%+%)

2

2x0y02+(ltxQ-12)2+4y0(x0

22

(%o-6)2+2(X0-R)

若。為常數(shù)，貝iJ2%—12=0,

,__2%0%_4yo(x0-f)_2yo

即6=%,而此時「~7\=~(白=7，

(片-6)2(X°T)x0-t

又—y/6<Xo<\/6,—y/6<—<-\/6,即f〉y/6或f<—A/6,

/

6,土、3T,使得直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為定

綜上所述，t>屈或t<-屈,存在點(diǎn)A—

值

--上+2/%尤+(2%—12"+4”國—。

對任意恒為定值，因為分子分母中同時含

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1一工/一2二/X

(%o-6)2+2(X0-?)

有2，這種情況下分子分母2的對應(yīng)系數(shù)成比例則整體可以為定值，故需要2笈0-12=0且

2x0y04y0(x0-/)

(2一甘即外項、常數(shù)項對應(yīng)成比例.

(%—6)2(x0-f)

[3

22.函數(shù)/(%)=cAwc+%2-(Q+l)x+](Q>0)?

⑴求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)。=1時，若“石)+/(%)=°，求證：xx+x2>2；

2

(3)求證：對于任意neN*都有21n("+1)+，,>n.

1=1

【答案】(1)答案見解析

(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求定義域，求導(dǎo)，分。=1和。>1三種情況，求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間;

(2)令g(x)=/(尤)+/(2—x)=I