2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)突破過關(guān)檢測6 解析幾何（附答案）

過關(guān)檢測六解析幾何

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

22

1.(2023?廣東韶關(guān)模擬)橢圓2+匕=1的長軸長為6,則該橢圓的離心率為()

5m

AB.fC粵口駕

粵3366

2.(2023?廣東深圳中學(xué)模擬)若圓(/a)2+(y-3)2=20上有四個點到直線2x-y+l=0的距離為

通，則實數(shù)。的取值范圍是()

A/13、..17、—/1317、

A.(-oo,-)U(zy,+oo)B.(—,y)

3737

C.(-8《)嗎+8)D岐9

3.已知雙曲線諄-，=l(a＞0力＞0)的一條漸近線被圓好+廣10丁=0截得的線段長等于

8,則雙曲線C的管心率為()

A.孚B]C.3D.|

4.(2023?湖南長沙一中模擬)已知A(-3,0),3(3,0),C(0,3),一束光線從點網(wǎng)-1,0)出發(fā)經(jīng)AC反

射后，再經(jīng)3c上點D反射,落到點E(l,0)上，則點D的坐標為()

A41,|5)B.(3|,|3)

C.(l,2)D.(2,l)

5.已知拋物線/=8x的焦點為￡經(jīng)過點P(l,l)的直線I與該曲線交于A,B兩點，且點尸恰

好為A3的中點，則|A川+|3川=()

A.4B.6C.8D.12

6.(2022.全國甲，文11)已知橢圓C:馬+4=13＞。＞0)的離心率為111加分別為C的左、

右頂點,3為C的上頂點.若西?阿=-1,則C的方程為()

A.^+g=lB.〈+q=l

lo1698

C.^+^=lD.?+y2=l

322

7.已知圓Ci：(x+2)2+y2=i,C2：(x-2)2+y2=49,動圓C滿足與G外切且與。2內(nèi)切，若M為Ci

上的動點，且麗?互不0,則|兩|的最小值為()

A.V2B.V3C.2D.V5

8.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在17世紀證明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一條直

線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABGABnACna

點3(-1,3),點C(4,-2),且其“歐拉線”與圓M:(*a)2+(y-a+3)2=戶相切測圓M上的點到直線

x-y+3=0的距離的最小值為()

A.2V2B.3V2C.4V2D.6

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知拋物線C:y2=4x的焦點為R準線為/,過點F的直線與拋物線交于兩點

。(★/。，。(應(yīng)”工點「在/上的射影為。^^)

AJPQI的最小值為4

B.已知曲線C上的兩點S,T到點R的距離之和為10,則線段ST的中點的橫坐標是4

C.設(shè)"(0,1),則歸必+|勿1|三直

D.過”(0,1)與拋物線C有且僅有一個公共點的直線至多有2條

10.已知橢圓的左、右焦點分別是人匹，左、右頂點分別是4,A2,點尸是橢

圓上異于4^2的任意一點，則下列說法正確的是（）

A.|PFI|+|PF2|=5

B.直線PAi與直線PA2的斜率之積為T

C.存在點P滿足/人尸八=90°,

D.若AF1PF2的面積為4病,則點P的橫坐標為上而

11.（2022.新高考〃,10）已知。為坐標原點，過拋物線。:>2=2后防>0）的焦點R的直線與C

交于A,B兩點，點A在第一象限，點”30）,若|4月=|同|,則（）

A.直線AB的斜率為2①

B.\OB\=\OF\

C.|AB|>4|OF|

D.ZOAM+ZOBM<180°

12.（2023?湖南長沙模擬）已知雙曲線諄—，=1（。>0力>0）的左、右焦點分別為人方2,過

人作斜率為上的直線與雙曲線的右支交于A乃兩點（A在第一象限）,|43|=|3八|,尸為線段

A3的中點，。為坐標原點，則下列說法正確的是（）

A.|AFI|=2|AF2|

B.雙曲線C的離心率為2

的面積為字

D.直線OP的斜率為?

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.（2022.全國甲，文14）設(shè)點航在直線2%+廣1=0上,點（3,0）和（0,1）均在0"上廁。加的方

程為.

14.圓錐曲線有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后,反射光線經(jīng)過

另一個焦點;從拋物線焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上一點反射后，反射光線平行于拋物

線的對稱軸.已知橢圓婚+胃=13>。>0）過點（3,1）.由點P（2,l）發(fā)出的平行于x軸的光

線經(jīng)過拋物線Ci：y2=16；k射到橢圓C上后,反射光線經(jīng)點（-4,0）,則橢圓C的方程

為.

22

15.（2023?廣東茂名一模）已知直線x=2m與雙曲線一金=1（m>°，">°）交于人石兩點

（A在3的上方）,A為BD的中點，過點A作直線與y猛菱疝交于點E若XBDE的內(nèi)心到

y軸的距離不小于|打則雙曲線C的離心率的取值范圍是.

16.已知拋物線Z:—=4y的焦點為R圓F:x2+（y-l）2=4與拋物線Z在第一象限的交點為

直線與拋物線Z的交點為A,直線/與圓R在第一象限的交點為

3,則m=周長的取值范圍為.

四、解答題:本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知點展,0）,直線/:x=3,動點尸到點R與到直線/的距離相等.

⑴求動點P的軌跡C的方程；’

（2）過軌跡C上一點"（3,四）作圓（x-2）2+〉2=i的兩條切線，分別與軌跡C交于異于“點

的A乃兩點，求以酣

2“2

18.(12分)已知橢圓av+%=l(a>">0)的左、右焦點分別為人典離心率為日過點八且

斜率不為0的直線與橢圓交于A,B兩點,△EAR2的周長為4+2V3.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)0為坐標原點，求+9］的取值范圍.

丫2

19.(12分)已知橢圓P:^+y2=l的右頂點為A,點M(xo,yo)是橢圓P上異于A的一點,MN,

無軸于點N,B是MN的中點，過動點Mxo,yo)的直線/:xox+4yoy=4與直線AB交于點C.

⑴當xo1時，求證:直線I與橢圓P只有一個公共點；

(2)求證:點C在定直線上運動.

20.（12分）（2023?山東日照一模）已知拋物線的焦點為F,E為C上的動

點,EQ垂直于動直線y=/（/<0）,垂足為。，當△EQR為等邊三角形時，其面積為4V3.

（1）求C的方程.

（2）設(shè)0為原點，過點E的直線I與C相切，且與橢圓《+。=1交于A,B兩點，直線OQ與

A3交于點M,試問:是否存在/，使得以必=|3必?若存在，求/的值;若不存在,請說明理由.

21.（12分）（2022.新高考/,21）已知點A（2,l）在雙曲線厚-痣=1他>1）上，直線/交C于

P,Q兩點，直線AP,AQ的斜率之和為0.,

⑴求/的斜率；_

⑵若tanNP4Q=2vx求△P4Q的面積.

22.（12分）（2023?山東濰坊一模）已知橢圓塔+，=1伍9>0）的焦距為2舊,離心率為今

直線/:y=?x+l）（左>0）與E交于不同的兩點M,N.

（1）求E的方程；

（2）設(shè)點P（l,0）,直線與E分別交于點C,D.

①判斷直線CD是否過定點?若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.

②記直線CD,的傾斜角分別為a/,當a/取得最大值時，求直線CD的方程.

過關(guān)檢測六解析幾何

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

22

1.B解析因為橢圓￡+\=1的長軸長為6,所以橢圓的焦點在y軸上，且機=32=9,所以

橢圓的離心率為=|.

2.D解析因為圓的方程為。-4+(廣3)2=20,所以圓心為(a,3),半徑為2遍.又因為圓(x-

a)2+(j-3)2=20上有四個點到直線2x-y+l=Q的距離為遮，所以圓心到直線2x-y+l=Q的距

離區(qū)所以等<遮即|2a-2|<5,解得

3.D解析雙曲線"一棄=1(<2>0力>0)的漸近線方程為即ay±bx=0.

圓的方程N+V-lOyR可化為/+什-5)2=25,則圓心為(0,5),半徑為5,

圓心到漸近線的距離為蒜，由弦長公式可得8=2以與，

yJa2+b2\az+bz

化簡可得/二技片,.：。2=。2+/=孩。2,則g=￡—|-

4.C解析根主入射光線與反，光線的關(guān)系,為別作出RE關(guān)于ACBC的對稱點G,H,連

接GH,交3c于。，則點。即為所求,如圖.

由題意知,AC所在直線方程為產(chǎn)x+3風(fēng)-1,0),設(shè)G(x,y),

金=叁+3

則2y2'解得x=3,y=2,即G(-3,2).

3=j，

由3c所在直線方程為y=-x+3,E(l,0),同理可得”(3,2),

所以直線GH的方程為產(chǎn)2.

聯(lián)立R二j*，解得x=l,y=2,即0(1,2).

5.B解析拋物線y2=8x中,=4,其焦點網(wǎng)2,0),準線方程x=-2,過點A,B,P作準線的垂線,

垂足分別為MN,R(圖略).

由拋物線定義可知,以川+|3川=|4〃|+|5朗.

而P恰好為A3的中點，故PR是梯形A3N航的中位線，故|AM|+|3N|=2|PR|,

又故|PH|=l+'3,

所以|AR|+|3N=2x3=6.

6.B解析由題意知21(口0)血3,0)網(wǎng)0力),

則?瓦號=(-。,-6>(&,-。)=-次+/=-1,①

39a2a2

即b2=la2.@

聯(lián)立壺，解得次=9,"=8.故選B.

7.B解析易知圓Ci的圓心Ci(-2,0),圓G的半徑為n=l.0C2的圓心。2(2,0),半徑為

r2=7.|CiC2|=4<|n-r2|,

所以圓。內(nèi)含于圓C2.

設(shè)圓c的半徑為民則m號1，

故|CCI|+|CC2|=8>|CC2|=4,

故圓心C的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點為C1,C2.

22

設(shè)該橢圓的方程為篇+31(〃9>0),焦距為2c(c>0),

則2〃二8,可得。=4;由2c=4,可得c=2;Z?=Va2-c2=2A/3,

22

所以點C的軌跡方程為3+3=1.

1612

由石標?瓦瓦=0,得且|的|=1,

由橢圓的幾何性質(zhì)可得|鬲|min=a-C=2,故|前|min=j|前篇nLL=卮

8.A解析因為在AABC中A3=AC=4,所以3c邊上的高線、垂直平分線和中線合一,

A

DJ

則其“歐拉線”為"5。邊的垂直平分線AD.

因為點5(-1,3),點C(4,-2),

所以琥，)

因為直線3c的斜率為要=-1,所以3c的垂直平分線的斜率為1.

-1-4

所以3c的垂直平分線方程為即x-y-l=0.

因為"歐拉線"與圓〃:(%-。)2+(廣4+3)2=/相切，

所以圓心3a-3)到“歐拉線”的距離為生嚶=廠，可得片魚.因為圓心3a-3)到直線%-

y+3=0的距離為喈蟲=3a,所以圓M上的點到直線x-y+3=0的距離的最小值為

V2

3V2-V2=2V2.

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.ABC解析由題意知(=1,拋物線的焦點網(wǎng)1,0),準線方程為x=-l.

對于A,當PQLx軸時,|PQ|取得最小值，最小值為22=4,所以A正確；

對于B,曲線C上的兩點S,T到點尸的距離之和為10,所以點S,T的橫坐標之和為10-

2=8,則線段ST的中點橫坐標為4,所以B正確；

對于C,設(shè)M(Q,l),^]\PM\+\PPi\=\PM\+\PF\三\FM\=42,當且僅當M,P,F三點共線時取等

號，所以C正確；

對于D,當直線過點”(0,1)且與X軸平行時,直線與拋物線有且只有一個公共點.過點

”(0,1)且與拋物線相切的直線有兩條，此時直線與拋物線有且只有一個公共點，所以過點

”(0,1)與拋物線有且只有一個公共點的直線有3條，所以D錯誤.

10.BD解析由題意得。=5力=2遮,0=遮尸1(-述,0)F2(芯,0),4(-5,0)4(5,0),短軸一個頂

點B2(0,2V5),|PFi|+|PF2|=2a=10,A錯誤;

設(shè)PQ)砥+學(xué)1,戶20(1一勺，

人】?kpA2=京x己=段=20(1-，)x露二，B正確；

因為tanNO32R2='=*=工<1,所以0°</。32g<45°,從而//山2g=2/

\OB2\2V52

。比仍<90°,而P是橢圓上任一點，當P是短軸端點時NBPR2最大，因此不存在點尸滿

足NBPR2=90°,C錯誤；

SAPF#2=[RIR21M=遙防|=4年阱1=4,則黃+|^=1,%P=±V5,D正確.

、乙ZZbZU

p

11.ACD解析選項A,由題意知，點A在線段板的垂直平分線上，則%，所以

24

選項B,由斜率為2乃可得直線AB的方程為x=V^y+*聯(lián)立拋物線方程得產(chǎn)盍啖22=0,

設(shè)B（XB,ys）,

2

則5+”=臣，則*=-率,代入拋物線方程得（-率）=2b碼解得XB=*

.'.\OB\2=xj+另=9+等=普力故選項B錯誤；

選項C,|AB|=：/?+：+p=||p>2p=4|QF],故選項C正確；

選項D,由選項A,B知A0P凈）吃黑p）,

4Z33

所以瓦？-與）?（§,-與）=--p2=-%2<o,所以ZAOB為鈍角.

423344

又麻廂=（金凈）.（箏號）=%2=豺<0,

所以NAMB為鈍角.0°'

所以NQ4M+NO3M<180°.

故選項D正確.

故選ACD.

12.AD解析如圖所示.

對于A選項，因為|AB|=|8尸11,所以|A尸2|=I-18尸2|=|8尸1卜|8尸2|=2a,

由雙曲線的定義可得|AF1|-|AF21=IA刈-2a=2a,所以|AFi|=4。=21AW|,故A正確；

對于B選項油題意知直線AB的斜率為夕,設(shè)直線AB的傾斜角為火則a為銳角且tan

近,聯(lián)立［,仙2a+北2a_i解得cosa當,

ISillCl十CUbCt—_L,4

cosa>0,

則cosNAF2尸i=cos（兀-a）=-cosa=--,

4

.出『+用6|2.-丘|2_4a2+4c2-16a2_V2

在AAF1F2中,由余弦定理得cosZAF2F1='

2|巾忸尸21

即2，+企〃06〃2=0,兩邊同時除以/得2e2+V2e-6=Q,

解得e=&或e=-等（舍去），故B錯誤；

對于C選項，因為cosNAR2K=-玄，所以NAR2R1為鈍角，

4_________

22

所以sinXAFiFil-cosZ-AF2F1=J1-(-^-)=

所以SAAF,&=-|AF2|-|FiF2|sinZAFFi=ix2tzx2cx—=2aX企ax—=位次，故c錯誤;

【222244

丫1+丫2n

對于D選項，設(shè)人⑴刈以必》),則P(汽這，中)，可得kop==^~=左手，

因為c=&d所以b=y/c2-a2-a.

由提一，得至1_&1=0

性或=1。2b25

ka2'b2~

所以鑼=2.3kop4=1,所以kl

Xj-%2%1-%2比l+%2a7

所以直線OP的斜率為祭故D正確.

故選AD.

三、填空題沐題共4小題海小題5分洪20分.

13.(x-l)2+(y+l)2=5解析(方法1)設(shè)A(3,0),3(0,1),則線段A3的垂直平分線方程為廣

[=3卜(),即j=3x-4.

由除+手上。解嘯2,

即圓心M的坐標為(1,-1).

設(shè)OM的半徑為小則^=(3-1)2+12=5.

故所求?！ǖ姆匠虨?x-l)2+(y+l)2=5.

(方法2)設(shè)圓心M(Q』-2Q),OM的半徑為八貝1]r2=(^-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(l-2a-1)2,

整理可得-10Q+10=0,即a-\.

則圓心故所求的方程為01)2+0+1)2=5.

22

14鼻+-=1解析由題設(shè)知,拋物線G:y2=16x的焦點為(4,0),

由點P(2,l)發(fā)出的平行于x軸的光線經(jīng)過拋物線Ci反射后必過點(4,0),再經(jīng)過橢圓C反

射經(jīng)過(-4,0),

可知(4,0),(-4,0)為橢圓C的兩個焦點，

故c=4,而(3,1)在橢圓C上,

盤+2=1,可得[=詈即橢圓°的方程為[+[=1.

由

,a2-b2—16,力N—2,182

15.(1,等]解析因為A在3的上方，且這兩點都在C上,

所以A(2m,y/3n),B(2m,-y/3n),

所以|A3|=2百〃.

因為A是線段3。的中點,軸，

所以￡4,3D,|ED|=|E3|,

所以ABDE的內(nèi)心G在線段E4上.

因為DG平分NADE,所以在AADE中，器=獸,

_\DE\\GE\

設(shè)|EG|=d，所以I之辰==網(wǎng)4=網(wǎng)】

J(2m)2+(2V3n)2""

因為G至1Jy軸的距離不小于|也,

所以|/nWd<2/n,

所以,■

(2m)2+(2V3n)2

=

Xt9第_t

/+(y-1)2=4,解得『=；+"^7所以B(Z,1+74^).

{%>0,y>0,y~一'

由拋物線的定義，知AR=AC,

△E4B的周長=K4+RB+A3=AC+A3+3R=3C+2=V^+4.

因為史(0,2),所以網(wǎng)于+4@(4,6).

四'解答題:本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.解(1)設(shè)點P(x,y),根據(jù)題意得=k+

化簡得動點p的軌跡c的方程為/=1%.

⑵：加⑶魚),(x-2)2+y2=i,.：x=3即圓的一條切線5A(3,-&).

設(shè)過”的另一條切線斜率為匕燈0,則切線方程為廣夜=網(wǎng)+3),又設(shè)3(xi,yi).

fy-V2=fc(x-3)5222V2

由方程組V=|陽付廣-藐丁+盂-2=o,

:‘直線為廣魚=攵(+3),其與圓相切,

.|2fc-0-3fc+V2|T，?:T

Vfc2+1

.：yi=y.：B滿足y2=|x,.:端,y).

.??荏=(T，竽存匚字

(2a+2c=4+2V3,

18.解⑴由題意得\_四

解得『=2故廬=4-3=1.

lc=V3,

2

所以橢圓C的方程為號+>2=1.

4

(2)因為尸2(遮,0),所以設(shè)直線A5的方程為x=my+43,A(xi,yi),B(x2,y2).

?+3=i

由，4'消去工得⑺2+44+2右瓶y-l=0,

x=my+V3,

,2V3m

,1乃一；訴’

一{絲=-高.

又。力+。8=(%1+孫丁1+丁2)=(加yi+加”+275》+丁2),所以|。力+OB\

22

(m%+my2+2V3)+(為+y2)

72

8g37n2+48

+產(chǎn)22

,m2+z\m2+4.(m+4)'

3

令t—e(0斗所以受駕=當學(xué)簪=苧=36?+3/.

m2+4\4」(m2+4)2(m2+4)2A.

t2

因為二次函數(shù)產(chǎn)36P+3/在怎(0用上單調(diào)遞增，所以7=36戶+3/?(0,3],

因此\OA+6(0,2遮](當m=0時取得最大值),

所以|U1+加|6(0,2百].

19.證明⑴不妨設(shè)yo>O,當xo=g時，由￡■+走=1得yo=g

所以直線/的方程為|x+4x24,即產(chǎn)-**"

'_35V，

y--~x+-■>

84解得

由x24

彳+f=1,

故直線/與橢圓P:點坐標為d

所以直線/與橢圓P只有一個公共點.

yp

因為泗>0,所以次先,所以直線AB的方程為產(chǎn)f(x-2),即y=-^-(x-2),

%o-，Z[X0-Z)

(Xox+4y0y=4,

聯(lián)立|v_yo(x2)得(哈+2%-2xo)x=4xo-8+4%.

(7—2(久0-2)1-〃

又因為多+正=1,所以正=1-§,

因此卜］+2(1-?)-2&k=4%0-8+4(1_*),即：(元0-2)2%=-(%0-2)2,

所以％=-2,所以點。在定直線x=-2上運動.

20.解⑴:AEQb為等邊三角形時，其面積為4V3,

???卜|EQ『s嗎=4劣,解得|EQ|=4.

根據(jù)|ER|=|EQ|和拋物線的定義可知，。落在準線上，即y=t=y

設(shè)準線和y軸交點為H,易證NHFQ=*

.".\FQ\cos^=2=\FH\=p,

.：C的方程為x2=4y.

（2）假設(shè)存在方使得|,|=|3必,則航為線段A3的中點.

設(shè)E（xo,子）（x（#O）,依題意得Q（xo,力則koQ=—.

4x0

由丁=.可得

4Z

.:切線/的斜率為fo=|xo.

設(shè)4（磯8）,3（%2,>2）,線段A5的中點M（第，左盧）.

（五十城=12222

由2+/=；可得手+號=0，

I42-

.（%1+%2）（久廣汽2）+（以+丫2）（%，2）=0

42一，

整理可得也且?也與=±

%廣%2久1+%22

即ki?koM=%.^co-koM=-^

?*?koM=-——.

久0

又koQ=koM--,

XO

?:當t=-l,koQ=koM=--,

XO

此時。,〃,。三點共線，滿足〃為A3的中點.

綜上，存在。使得=且t=-l.

21.斛⑴?點A（2,l）在雙曲線C-———l（tz>l）J1,..——二廠1,解付a—2.

azaz-lazaz-l

v2

?:雙曲線的標準方程為萬-V=l.

易知直線I的斜率存在.設(shè)直線I的方程為尸丘+私點尸（孫丁1）,。（九2,丁2）,

由y=kx；工得(L2FW-4座-2(序+i)=o,

..八4km-2(m2+l)

^J>O,X1+X2=__,X1X2=_.

設(shè)直線AP^AQ的斜率分別為人轉(zhuǎn),近0,則k0,

~*1-2比2-2

??(y1-1)(^2-2)+(y2-1)(xi-2)=0,

?:(Axi+m-1)(%2-2)+(te+m-1)(xi-2)=0,

整理，得2kxiX2+(m-1-2^)(xi+%2)-4(m-1)=0,

?：2Z(-2加_22)+4而O-1-2Q-4O-1)(1-2^)=0,

即23+化(陰+1)+機-1=0,(左+1)(2左+m-1)=0.

或加=1-2匕把m=l-2k代入y二日+加,得y=日+1-2左=%(x-2)+l,此時直線PQ過點

A(2,l),舍去,,"二-1,即直線/的斜率為-1.

(2)由(1)知，直線/的方程為y二-%+加,%1+%2=4帆,XI%2=2扇+2,則好+%2~12m2-4,

21+2222

r.\PQ\=y/l+k-](久X2)-4X1X2=V2-V16m-8m-8=4Vm-l,AA(2,l)到直線I

的距離4=叫型=等.

r.^PAQ的面積S^AQ=ld-\PQ\=V2\3-m\yJm2-l.

由tanNPAQ=2V^