二次函數(shù)在高考的考點(diǎn)

精品文檔-下載后可編輯二次函數(shù)在高考的考點(diǎn)二次函數(shù)是初中所學(xué)的知識(shí)，但高中繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，在高考中經(jīng)常涉及，是中學(xué)階段的一個(gè)重要函數(shù).通常要求學(xué)生掌握二次函數(shù)的概念、解析式、圖像及性質(zhì)，能利用二次函數(shù)研究一元二次方程的實(shí)根分布條件，能求二次函數(shù)的區(qū)間最值.

一般來說，高考所出的題型包括以下三類：

1.求二次函數(shù)的解析式

例1已知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-2，截x軸上的弦長為4，且過點(diǎn)（0，-1），求函數(shù)的解析式.

解二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-2，

設(shè)所求函數(shù)為f（x）=a（x+2）2+b，

又f（x）截x軸上的弦長為4，

f（x）過點(diǎn)（-2+2，0）.

f（x）又過點(diǎn)（0，-1），

4a+b=0，

2a+b=-1，a=12，

b=-2.

f（x）=12（x+2）2-2.

總結(jié)：求二次函數(shù)的解析式時(shí)，要根據(jù)條件選擇不同的形式.

2.討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布

這類問題的情況比較多，在考試時(shí)很少單獨(dú)出題，數(shù)形結(jié)合是處理本類題目的重要思想方法.

例2已知函數(shù)f（x）=x2-（2a-1）x+a2-2與非負(fù)x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

解法一由題知關(guān)于x的方程x2-（2a-1）x+a2-2=0至少有一個(gè)非負(fù)實(shí)根，設(shè)根為x1，x2，

則x1x2≤0或Δ≥0

x1x20

x1+x20，得-2≤a≤94.

解法二由題知f（0）≤0或f（0）0

--（2a-1）20

Δ≥0，得

-2≤a≤94.

總結(jié)：二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮：①判別式;②區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào);③對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置.

3.討論二次函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性與最值問題

例3函數(shù)y=x2+bx+c（x∈[0，+∞））是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）.

A.b≥0B.b≤0C.b0D.b0

分析對(duì)稱軸x=-b2.

函數(shù)y=x2+bx+c（x∈[0，+∞）是單調(diào)函數(shù)，

對(duì)稱軸x=-b2在區(qū)間[0，+∞）的左邊，即-b2≤0，得b≥0.

因此選A.

設(shè)f（x）=ax2+bx+c=0（a0），則二次函數(shù)在閉區(qū)間m，n上的最大、最小值有如下的分布情況：

mn-b2a

m-b2an

即-b2a∈[m，n]

-b2amn

圖

像f（x）=ax2+bx+c

=0（a0）

f（x）=ax2+bx+c

=0（a0）

f（x）=ax2+bx+c

=0（a0）

最大、

最小值f（x）max=f（m）

f（x）min=f（n）

f（x）max=max{f（n），

f（m）}

f（x）min=f-b2a

f（x）max=f（n）

f（x）min=f（m）

對(duì)于開口向下的情況，討論類似.其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：

（1）若-b2a∈[m，n]，則

f（x）max=maxf（m），f-b2a，f（n），

f（x）min=minf（m），f-b2a，f（n）.

（2）若-b2am，n，則

f（x）max=maxf（m），f（n），f（x）min=minf（m），f（n）.

另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大;反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí)，自變量的取值離開x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小.

例4已知函數(shù)y=-sin2x+asinx-a4+12的最大值為2，求a的值.

分析令t=sinx，問題就轉(zhuǎn)為二次函數(shù)的區(qū)間最值問題.

解令t=sinx，t∈[-1，1]，

y=-t-a22+14（a2-a+2），對(duì)稱軸為t=a2.

（1）當(dāng)-1≤a2≤1，即-2≤a≤2時(shí)，ymax=14（a2-a+2）=2，得a=-2或a=3（舍去）.

（2）當(dāng)a21，即a2時(shí)，函數(shù)y=-t-a22+14（a2-a+2）在[-1，1]單調(diào)遞增，

由ymax=-1+a-14a+12=2，得a=103.

（3）當(dāng)a2-1，即a-2時(shí)，函數(shù)y=-t-a22+14（a2-a+2）在[-1，1]單調(diào)遞減，

由ymax