2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章圓錐曲線的方程3.3.1拋物線及其標準方程課件新人教A版選擇性必修第一冊

第三章3.3.1拋物線及其標準方程學習目標1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程.(直觀想象)2.體會數(shù)形結(jié)合思想在拋物線問題中的應用.(直觀想象)3.會解決拋物線的簡單應用問題.(數(shù)學運算)基礎落實·必備知識一遍過知識點1

拋物線的定義1.我們把平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離

的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.

2.數(shù)學表達式:拋物線就是下列點的集合P={M||MF|=d}.名師點睛拋物線的定義實質(zhì)可以歸結(jié)為“一動二定一相等”:“一動”即一個動點,設為M;“二定”包括一個定點F,即拋物線的焦點,一條定直線l,即拋物線的準線;“一相等”即|MF|=d(d為M到準線l的距離).微思考定義中為什么要求直線l不經(jīng)過點F?提示

當直線l經(jīng)過點F時,點的軌跡是過點F且垂直于直線l的一條直線,而不是拋物線.知識點2

拋物線的標準方程

名師點睛1.要注意弄清拋物線四種形式的標準方程的特征及其對應拋物線的形狀(焦點位置、開口方向等).在拋物線的標準方程中,有一個一次項和一個二次項,二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)為±2p;若一次項的字母是x,則焦點就在x軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在x軸的正半軸上(開口向右),若系數(shù)是負的,焦點就在x軸的負半軸上(開口向左);若一次項的字母是y,則焦點就在y軸上,若其系數(shù)是正的,則焦點就在y軸的正半軸上(開口向上),若系數(shù)是負的,焦點就在y軸的負半軸上(開口向下).2.焦點的非零坐標是標準方程下一次項系數(shù)2p的

.3.準線與坐標軸的交點和拋物線的焦點關于原點對稱.微思考1.平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是否一定是拋物線?

2.二次函數(shù)的圖象也是拋物線,與本節(jié)所學拋物線相同嗎?

提示

不一定,當這個定點不在定直線上才是拋物線,否則,就是過定點且垂直于定直線的直線了.提示

不完全相同.當拋物線的開口向上或向下時可以看作是二次函數(shù)的圖象,當開口向左或向右時不能看作是二次函數(shù)的圖象,因為此時根本不是函數(shù)圖象.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1在拋物線的定義中,涉及的幾何要素有哪些?如何將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題?探究點一根據(jù)拋物線方程求焦點坐標以及準線方程問題2根據(jù)拋物線方程,如何得到其焦點坐標及準線方程?【例1】

求下列各拋物線的焦點坐標和準線方程.(1)y2=-12x;思路分析先將所給方程轉(zhuǎn)化為標準方程的形式,確定其開口方向,求出p的值,再寫出焦點坐標和準線方程.(2)3x2-4y=0;

(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).

規(guī)律方法

由拋物線方程求焦點坐標與準線方程的基本方法已知拋物線方程求焦點坐標和準線方程時,一般先將所給方程化為標準形式,由標準方程得到參數(shù)p,從而得焦點坐標和準線方程,要注意p>0,焦點所在坐標軸由標準方程的一次項確定,系數(shù)為正,焦點在正半軸,系數(shù)為負,焦點在負半軸.探究點二求拋物線的標準方程問題3根據(jù)拋物線的焦點、準線等幾何性質(zhì),能否求出拋物線的標準方程?【例2】

根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程.(1)準線方程為y=;(2)焦點在y軸上,焦點到準線的距離為5;解已知拋物線的焦點在y軸上,可設方程為x2=2my(m≠0),由焦點到準線的距離為5,知|m|=5,m=±5,所以滿足條件的拋物線有兩條,它們的標準方程分別為x2=10y和x2=-10y.(3)一個動圓經(jīng)過點A(2,0),并且和直線l:x=-2相切,求動圓圓心M的軌跡方程;解設動圓的半徑為R.因為動圓經(jīng)過點A(2,0),所以|MA|=R.又因為動圓和直線l:x=-2相切,所以圓心M到直線l:x=-2的距離d=R,即圓心M到定點A的距離與到定直線l的距離相等,故其軌跡是拋物線,且A是焦點,l是準線,并且有p=4,故動圓圓心M的軌跡方程是y2=8x.(4)焦點為直線3x-4y-12=0與坐標軸的交點.解對于直線方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,所以拋物線的焦點為(0,-3)或(4,0).當焦點為(0,-3)時,=3,所以p=6,此時拋物線的標準方程為x2=-12y;當焦點為(4,0)時,=4,所以p=8,此時拋物線的標準方程為y2=16x.所以所求拋物線的標準方程為x2=-12y或y2=16x.規(guī)律方法

1.拋物線標準方程的求法(1)定義法:建立適當坐標系,利用拋物線的定義列出動點滿足的條件,列出方程,進行化簡,根據(jù)定義求出p,最后寫出標準方程.(2)待定系數(shù)法:由于標準方程有四種形式,因而在求方程時應首先確定焦點在哪一個半軸上,進而確定方程的形式,然后再利用已知條件確定p的值.2.求拋物線的標準方程時需注意的三個問題(1)把握開口方向與方程間的對應關系.(2)當拋物線的類型沒有確定時,可設方程為y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).(3)注意p與

的幾何意義.探究點三利用拋物線的定義解決軌跡問題問題4我們不僅要學會把幾何問題代數(shù)化,同時,也要能夠識別代數(shù)式中蘊含的幾何意義,從中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.如何判斷動點的軌跡?【例3】

已知動點M(x,y)滿足

=|3x-4y+2|,則動點M的軌跡是(

)A.橢圓

B.雙曲線 C.直線

D.拋物線規(guī)律方法

定義法解決軌跡問題根據(jù)動點坐標滿足的方程判斷其軌跡時,要注意結(jié)合兩點間的距離公式以及點到直線的距離公式,對所給方程進行適當變形,分析其幾何意義,然后結(jié)合有關曲線的定義作出判定.探究點四與拋物線定義有關的最大(小)值問題問題5“將軍飲馬”問題是距離問題中的經(jīng)典名題.拋物線中涉及兩種距離,類比“將軍飲馬”問題,可否構(gòu)建與之類似的幾何問題?【例4】

設P為拋物線y2=4x上的一個動點.(1)求點P到點A(-1,1)的距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解

(1)拋物線的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.因為點P到準線x=-1的距離等于點P到F(1,0)的距離,所以問題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點P,使點P到A(-1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小.連接AF,如圖1所示.顯然當點P是AF與拋物線的交點時,所求距離之和最小,最小值為|AF|=.圖1(2)同理,|PF|與點P到準線x=-1的距離相等.如圖2所示,過點B作BQ垂直于準線交準線于點Q,交拋物線于點P1.由題意知|P1Q|=|P1F|,所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.所以|PB|+|PF|的最小值為4.圖2規(guī)律方法

求圓錐曲線上到兩定點的距離之和最小的點的位置時,通常有兩種情況:(1)當兩定點在曲線兩側(cè)時,連接兩定點的線段與曲線的交點即為所求點;(2)當兩定點在曲線同側(cè)時,由圓錐曲線定義作線段的等量轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換為(1)的情形即可.探究點五拋物線的實際應用問題6在實際生活當中,如何運用拋物線方程的知識來解決問題?【例5】

一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線型的隧道,已知拱口寬恰好是拱高的4倍,若拱口寬為am,求使卡車通過的a的最小整數(shù)值.規(guī)律方法

拋物線應用題的解法建立拋物線的標準方程的方法:以拋物線的頂點為坐標原點,對稱軸為一條坐標軸建立坐標系.這樣可使得標準方程不僅具有對稱性,而且曲線過原點,方程不含常數(shù)項,形式更為簡單,便于應用.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)拋物線的定義;(2)拋物線的標準方程的四種形式;(3)拋物線定義的應用.2.方法歸納:待定系數(shù)法、定義法、轉(zhuǎn)化化歸法.3.常見誤區(qū):(1)容易混淆拋物線的焦點位置和方程形式;(2)錯誤理解p的含義.學以致用·隨堂檢測促達標123451.(例1對點題)若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則點M到y(tǒng)軸的距離是(

)A.6 B.7 C.8 D.9D解析

拋物線y2=4x的準線方程為x=-1,拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,可得xM=9,則點M到y(tǒng)軸的距離是9.故選D.123452.(例2對點題)(多選題)經(jīng)過點P(4,-2)的拋物線的標準方程可以為(

)A.y2=xB.x2=8yC.x2=-8yD.y2=-8xAC12345解析

若拋物線的焦點在x軸上,設拋物線的方程為y2=2px(p>0),又因為拋物線經(jīng)過點P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p=,所以拋物線的方程可以為y2=x.若拋物線的焦點在y軸上,設拋物線的方程為x2=-2py(p>0),又因為拋物線經(jīng)過點P(4,-2),所以42=-2p×(-2),解得p=4,所以拋物線的方程可以為x2=-8y.123453.(例3對點題)若點P(x,y)到點F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則P(x,y)的軌跡方程為(

)A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8y

D.x2=-8yC解析

依題意得點P(x,y)到點F(0,2)的距離與它到直線y+2=0的距離相等,并且點F(0,2)不在直線y+2=0上,所以點P的軌跡是拋物線,并且F是焦點,y+2=0是準線,于是拋物線方程為x2=8y.123454.(例4對點題)拋物線y2=4x的焦點為F,點P(x,y)為該拋物線上的動點,又已知點A(2,2)是一個定點,則|PA|+|PF|的最小值是(

)A.4 B.3 C.2 D.1B解析

根據(jù)拋物線方程y2=4x,可得F(1,0),則準線l的方程為x=-1.作PM⊥l,M為垂足(圖略),則由拋物線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|.所以當A,P,M三點共線時,|PA|+|PM|取得最小值,且|AM|min=2-(-1)=3.所以|PA|+|PF|的最小值是3.故選B.123455.(例5對點題