2023-2024學年廣東省中考數(shù)學對點突破模擬試卷含解析

2023-2024學年廣東省中學山市教育聯(lián)合體中考數(shù)學對點突破模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.如圖，是由7個大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，若從標有①、②、③、④的四個小正方體中取走一個后，

余下幾何體與原幾何體的主視圖相同，則取走的正方體是（）

從江面看

A.①B.②C.③D.@

)

D.45°

3.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩個動點，且AE=FD,連接BE、CF、BD,CF與BD

交于點H,連接DH,下列結論正確的是（）

①△ABGs^FDG②HD平分NEHG③AG_LBE④SAHDG：SAHBG=tanNDAG⑤線段DH的最小值是2石-2

A.①②⑤B.①③④⑤C.①②④⑤D.①②③④

4.若一次函數(shù)y=（m+l）x+7〃的圖像過第一、三、四象限，則函數(shù)＞=g2-mx（）

A.有最大值?B.有最大值-￡C.有最小值?D.有最小值-￡

5.利用運算律簡便計算52x(-999)+49x(-999)+999正確的是

A.-999x(52+49)=-999xl01=-100899

B.-999x(52+49-1)=-999xl00=-99900

C.-999x(52+49+1)=-999xl02=-101898

D.-999x(52+49-99)=-999x2=-1998

6.如圖是由三個相同小正方體組成的幾何體的主視圖，那么這個幾何體可以是()

&

7.如圖1,點P從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B-C-A勻速運動到點A,圖2是點P運動時，線段BP的長度y隨時

間x變化的關系圖象，其中M為曲線部分的最低點，則AABC的面積是（）

8.一小組8位同學一分鐘跳繩的次數(shù)如下：150,176,168,183,172,164,168,185,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

A.172B.171C.170D.168

9.如圖，已知。O的半徑為5,AB是。O的弦，AB=8,Q為AB中點，P是圓上的一點（不與A、B重合），連接

PQ,則PQ的最小值為（）

10.下列各組單項式中,不是同類項的一組是（）

A.和2肛~B.3xy和—：C.和—2yx?D.—3?和3

11.下列命題是真命題的個數(shù)有（）

①菱形的對角線互相垂直;

②平分弦的直徑垂直于弦;

③若點(5,-5)是反比例函數(shù)y="圖象上的一點，則k=-25；

X

④方程2x-l=3x-2的解，可看作直線y=2x-1與直線y=3x-2交點的橫坐標.

A.1個B.2個C.3個D.4個

12.施工隊要鋪設1000米的管道，因在中考期間需停工2天，每天要比原計劃多施工30米才能按時完成任務.設原

計劃每天施工x米，所列方程正確的是()

1000100010001000

A.-------B.-----------------=2

xx+30x+30x

1000100010001000

C.-------------------=2D.-----------------=2

xx-30x-30x

二、填空題：(本大題共6個小題，每小題4分,共24分.)

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(-2,0),B(0,2),。。的半徑為1,點C為。O上一動點，過點B作BP,

直線AC,垂足為點P,則P點縱坐標的最大值為<

14.如圖，每一幅圖中有若干個大小不同的菱形，第1幅圖中有1個，第2幅圖中有3個，第3幅圖中有5個，則第

4幅圖中有個，第n幅圖中共有個.

?<3€><380…<3€>-O

第1幅京，幅第3幅第x幅

15.如圖，小明在A時測得某樹的影長為3米，B時又測得該樹的影長為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹

的高度為米.

16.RSABC中，AD為斜邊BC上的高，若:」=4則==__.

BC

17.請寫出一個比2大且比4小的無理數(shù)：.

18.如圖，在平面直角坐標系中，已知A(-2,1),B(1,0),將線段AB繞著點B順時針旋轉90。得到線段BA，,

則A，的坐標為

A

y

Bx

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.(6分)如圖，已知A3是。。的直徑，BC±AB,連結0C,弦直線交5A的延長線于點E.

(1)求證：直線CZ＞是。。的切線；

(2)若。E=28C,AO=5,求0C的值.

20.(6分)如圖，RtAABC,CA±BC,AC=4,在AB邊上取一點D,使AD=BC,作AD的垂直平分線，交AC

邊于點F,交以AB為直徑的。O于G,H,設BC=x.

(1)求證：四邊形AGDH為菱形；

(2)若EF=y,求y關于x的函數(shù)關系式；

(3)連結OF,CG.

①若AAOF為等腰三角形，求。。的面積；

②若BC=3,則同CG+9=.(直接寫出答案).

21.(6分)如圖所示，一次函數(shù)丫=1?+1)與反比例函數(shù)y=—的圖象交于A(2,4),B(-4,n)兩點.分別求出一

X

次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；過點B作BC，x軸，垂足為點C,連接AC,求AACB的面積.

22.（8分）如圖，AB是。O的直徑，點C為。O上一點，CN為。O的切線，OMLAB于點O,分別交AC、CN

于D、M兩點.求證：MD-MC；若。。的半徑為5,AC=46,求MC的長.

23.（8分）為加快城鄉(xiāng)對接，建設全域美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建.如圖，A、B兩地之間有

一座山，汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB」行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知

BC=80千米，NA=」45。，ZB=30°.開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走多少千米？開通隧道后，汽車從A地到

B地大約可以少走多少千米？（結果精確到0.1千米）（參考數(shù)據(jù)：0M.41,73=1,73）

24.（10分）如圖，A（4,3）是反比例函數(shù)y=幺在第一象限圖象上一點，連接OA,過A作AB〃x軸，截取AB=OA

X

（B在A右側），連接OB,交反比例函數(shù)y=8的圖象于點P.求反比例函數(shù)y=8的表達式；求點B的坐標；求小OAP

XX

25.(10分)如圖，在頂點為P的拋物線y=a(x-h)2+k(ar0)的對稱軸1的直線上取點A(h,k+—),過A作BC，1

交拋物線于B、C兩點(B在C的左側)，點和點A關于點P對稱，過A作直線mJ_L又分別過點B,C作直線BE_Lm

和CD，m,垂足為E,D.在這里，我們把點A叫此拋物線的焦點，BC叫此拋物線的直徑，矩形BCDE叫此拋物線

的焦點矩形.

(1)直接寫出拋物線y=9x2的焦點坐標以及直徑的長.

4

1317

(2)求拋物線y=—xZ±x+—的焦點坐標以及直徑的長.

424

3

(3)已知拋物線y=a(x-h)2+k(a/))的直徑為5,求a的值.

(4)①已知拋物線y=a(x-h)2+k(a/))的焦點矩形的面積為2,求a的值.

1317

②直接寫出拋物線y=-x2—x+—的焦點短形與拋物線y=x2-2mx+m2+l公共點個數(shù)分別是1個以及2個時m的值.

424

EA'

26.(12分)閱讀材料，解答下列問題：

神奇的等式

當時，一般來說會有a2+bWa+b2,然而當a和b是特殊的分數(shù)時，這個等式卻是成立的例如:

(1)特例驗證：

請再寫出一個具有上述特征的等式：;

(2)猜想結論：

用n(n為正整數(shù))表示分數(shù)的分母，上述等式可表示為：；

(3)證明推廣:

①(2)中得到的等式一定成立嗎？若成立，請證明；若不成立，說明理由；

②等式(竺)2+——=—+(——)2(m,n為任意實數(shù)，且n/))成立嗎？若成立，請寫出一個這種形式的等式

nnnn

(要求m,n中至少有一個為無理數(shù))；若不成立，說明理由.

27.(12分)如圖，ZkABC和A3EC均為等腰直角三角形，且NACB=NBEC=90。，AC=40,點尸為線段5E延

長線上一點，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD,線段B屈與CD相交于點F.

PCCE

(1)求證:

CDCB

(2)連接8,請你判斷AC與50有什么位置關系？并說明理由;

(3)若PE=L求APB。的面積.

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、A

【解析】

根據(jù)題意得到原幾何體的主視圖，結合主視圖選擇.

【詳解】

解：原幾何體的主視圖是：

視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，左側的圖形只需要兩個正方體疊加即可.

故取走的正方體是①.

故選A.

【點睛】

本題考查了簡單組合體的三視圖，中等難度,作出幾何體的主視圖是解題關鍵.

2、B

【解析】

分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)解答即可.

詳解：如圖,

VAB/7CD,Nl=45。，

.*.Z4=Z1=45°,

VZ3=80°,

Z2=Z3-Z4=80°-45°=35°,

故選B.

點睛：此題考查平行線的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)解答.

3、B

【解析】

首先證明AABE絲ADCF,△ADG^ACDG(SAS),△AGB^ACGB,利用全等三角形的性質(zhì)，等高模型、三邊關

系一一判斷即可.

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是正方形，

/.AB=CD,ZBAD=ZADC=90°,ZADB=ZCDB=45°.

\?在AABE和△DCF中，AB=CD,NBAD=NADC,AE=DF,

.,.△ABE^ADCF,

/.ZABE=ZDCF.

?..在AADG和△CDG中，AD=CD,ZADB=ZCDB,DG=DG,

/.△ADG^ACDG,

ZDAG=ZDCF,

/.ZABE=ZDAG.

VZDAG+ZBAH=90°,

，/BAE+/BAH=90°,

；.NAHB=90。，

AAGIBE,故③正確，

同理可證：AAGB^ACGB.

；DF〃CB,

/.△CBG^AFDG,

/.△ABG^AFDG,故①正確.

VSAHDG:SAHBG=DG:BG=DF:BC=DF:CD=tanZFCD,ZDAG=ZFCD,

ASAHDG:SAHBG=tanZFCD=tanZDAG,故④正確.

取AB的中點O,連接OD、OH.

由勾股定理得，OD=j4?+22=26，

由三角形的三邊關系得，O、D、H三點共線時，DH最小,

DH最小=1逐-1.

無法證明DH平分NEHG,故②錯誤，

故①③④⑤正確.

故選B.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關鍵是掌握

它們的性質(zhì)進行解題.

4、B

【解析】

解：???一次函數(shù)y=(m+1)x+m的圖象過第一、三、四象限,

m+l>0,m<0,即?lVmV0,

o1m

二函數(shù)y==o有最大值，

??最大值為---,

4

故選B.

5、B

【解析】

根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的混合運算法則可以解答本題.

【詳解】

原式=-999x(52+49-1)=-999x100=-1.

故選B.

【點睛】

本題考查了有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法.

6、A

【解析】

試題分析：主視圖是從正面看到的圖形，只有選項A符合要求，故選A.

考點：簡單幾何體的三視圖.

7^B

【解析】

根據(jù)圖象可知點P在BC上運動時，此時BP不斷增大，而從C向A運動時，BP先變小后變大，從而可求出BC與

AC的長度.

【詳解】

解：根據(jù)圖象可知點P在BC上運動時，此時BP不斷增大，

由圖象可知：點P從B向C運動時，BP的最大值為5,即BC=5,

由于M是曲線部分的最低點，

,此時BP最小，即BP_LAC,BP=4,

二由勾股定理可知：PC=3,

由于圖象的曲線部分是軸對稱圖形，

；.PA=3,

AAC=6,

.,.△ABC的面積為：-x4x6=12.

2

故選:B.

【點睛】

本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解題關鍵是注意結合圖象求出BC與AC的長度，本題屬于中等題型.

8、C

【解析】

先把所給數(shù)據(jù)從小到大排列，然后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】

從小到大排列：

150,164,168,168,,172,176,183,185,

二中位數(shù)為：(168+172)4-2=170.

故選C.

【點睛】

本題考查了中位數(shù)，如果一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，排在中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)；如果一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個，那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后，排在中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

9、B

【解析】

連接OP、OA,根據(jù)垂徑定理求出AQ,根據(jù)勾股定理求出OQ,計算即可.

【詳解】

解:

由題意得，當點P為劣弧AB的中點時，PQ最小，

連接OP、OA,

由垂徑定理得，點Q在OP上，AQ=-AB=4,

2

在RtAAOB中，OQ=JOA2_AQ2=3,

.\PQ=OP-OQ=2,

故選：B.

【點睛】

本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂徑定理的推論是解題的關鍵.

10、A

【解析】

如果兩個單項式，它們所含的字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同，那么就稱這兩個單項式為同類項.

【詳解】

根據(jù)題意可知：x2y和2xy2不是同類項.

故答案選：A.

【點睛】

本題考查了單項式與多項式，解題的關鍵是熟練的掌握單項式與多項式的相關知識點.

11,C

【解析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)、垂徑定理、反比例函數(shù)和一次函數(shù)進行判斷即可.

【詳解】

解：①菱形的對角線互相垂直是真命題；

②平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，是假命題；

③若點（5,-5）是反比例函數(shù)y=&圖象上的一點，則k=-25,是真命題；

x

④方程2x-l=3x-2的解，可看作直線y=2x-l與直線y=3x-2交點的橫坐標，是真命題；

故選C.

【點睛】

本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項,

結論是由已知事項推出的事項,一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.一些命題的正確性是用推理證實的，這樣的

真命題叫做定理.

12、A

【解析】

分析：設原計劃每天施工x米,則實際每天施工（x+30）米，根據(jù)：原計劃所用時間-實際所用時間=2,列出方程即

可.

詳解：設原計劃每天施工x米,則實際每天施工（x+30）米，

_______..—10001000

根據(jù)題意，可列方程：----------=2,

xx+30

故選A.

點睛：本題考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是讀懂題意，找出合適的等量關系，列出方程.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

1+6

13、

2

【解析】

當AC與。O相切于點C時，P點縱坐標的最大值，如圖，直線AC交y軸于點D,連結OC,作CH±x軸于H,PM±x

軸于M,DN_LPM于N,

AOCIAC,

在AAOC中,VOA=2,OC=1,

.,.ZOAC=30°,ZAOC=60°,

在RtAAOD中，VZDAO=30°,

/.OD=^loA=^l,

33

在RtABDP中，VZBDP=ZADO=60°,

?DP--RD-J-(22G、_1G

2233

在RtADPN中，,:NPDN=30。，

11J3

.*.PN=-DP=---rl,

226

而MN=OD=^^,

3

/.PM=PN+MN=1-立+=1+6,

632

即P點縱坐標的最大值為匕且.

2

【點睛】

本題是圓的綜合題，先求出OD的長度，最后根據(jù)兩點之間線段最短求出PN+MN的值.

14、72n-1

【解析】

根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個，第2幅圖中有2x24=3個，第3幅圖中有2x3-l=5個，…，可以發(fā)現(xiàn)，每個

圖形都比前一個圖形多2個，繼而即可得出答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個.

第2幅圖中有2x24=3個.

第3幅圖中有2x3-l=5個.

第4幅圖中有2x44=7個.

可以發(fā)現(xiàn)，每個圖形都比前一個圖形多2個.

故第n幅圖中共有(2n-l)個.

故答案為7；2n-l.

點睛：考查規(guī)律型中的圖形變化問題，難度適中，要求學生通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

15、1

【解析】

EDDC

根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：RtAEDC^RtAFDC,進而可得——=——；即DC?=ED?FD,代入數(shù)據(jù)可得答案.

DCFD

【詳解】

根據(jù)題意，作AEFC,

FD=12,

易得：RtAEDC^RtADCF,

.EDDC,

有——=——，即DC2=EDXFD，

DCFD

代入數(shù)據(jù)可得DC2=31,

DC=1,

故答案為1.

16、

2

【解析】

利用直角三角形的性質(zhì)，判定三角形相似，進一步利用相似三角形的面積比等于相似比的性質(zhì)解決問題.

【詳解】

如圖,

VZCAB=90°,且AD_LBC,

.,.ZADB=90°,

.,.ZCAB=ZADB,且NB=NB,

/.△CAB^AADB,

，(AB：BC)1=△ADB：ACAB,

又,；SAABC=4SAABD,則SAABD:SAABC=1:4,

AAB：BC=1：1.

17、兀(下或幣)

【解析】

利用完全平方數(shù)和算術平方根對無理數(shù)的大小進行估算，然后找出無理數(shù)即可

【詳解】

設無理數(shù)為炭，屈,所以x的取值在4~16之間都可，故可填石

【點睛】

本題考查估算無理數(shù)的大小，能夠判斷出中間數(shù)的取值范圍是解題關鍵

18、(2,3)

【解析】

作AC_Lx軸于C,作AfCr±x軸，垂足分別為C、C,證明AABC也△BAO,可得OC，=OB+BCT=1+1=2,AC=BC=3,

可得結果.

【詳解】

如圖，作ACLx軸于C,作ACx軸，垂足分別為C、C,

?.?點A、B的坐標分別為(-2,1)、(1,0),

/.AC=2,BC=2+1=3,

；NABA，=90。，

.*.ABC+NA，BC，=90。，

VZBAC+ZABC=90°,

/.ZBAC=ZA,BC,,

VBA=BA,,ZACB=ZBC,A,,

.,.△ABC^ABATS

.,.OC,=OB+BC,=1+1=2,A'C'=BC=3,

：?點A，的坐標為（2,3）.

故答案為（2,3）.

【點睛】

此題考查旋轉的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，點的坐標的確定.解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、（1）證明見解析；（2）二二二4.

【解析】

試題分析：（1）首選連接OD,易證得ACODg^COB（SAS）,然后由全等三角形的對應角相等，求得NCDO=90。,

即可證得直線CD是。O的切線；

（2）由ACOD^^COB.可得CD=CB,即可得DE=2CD,易證得△EDAsaECO,然后由相似三角形的對應邊成

比例，求得AD：OC的值.

試題解析：（1）連結DO.

；AD〃OC,

.,.ZDAO=ZCOB,ZADO=ZCOD.

又；OA=OD,

:.ZDAO=ZADO,

.\ZCOD=ZCOB.3分

又；CO=CO,OD=OB

.".△COD^ACOB(SAS)4分

.,.ZCDO=ZCBO=90°.

又?.?點D在。。上，

...CD是。。的切線.

(2)T△COD四△COB.

/.CD=CB.

VDE=2BC,

/.ED=2CD.

VAD#OC,

/.△EDA^AECO.

?.?-A--D----D--E-—_—2,

OCCE3

：.OC.

■

考點：1.切線的判定2.全等三角形的判定與性質(zhì)3.相似三角形的判定與性質(zhì).

20、(1)證明見解析；(2)y=-x2(x>0)；(3)①3?；?7r或(2&T+2)it；②4萬.

83

【解析】

(1)根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及垂徑定理證明AG=DG=DH=AH即可；

AEEF

(2)只要證明△AEFsaACB,可得一=—解決問題；

ACBC

(3)①分三種情形分別求解即可解決問題；

CFC

②只要證明ACFGSAHFA,可得——=——,求出相應的線段即可解決問題；

AFAH

【詳解】

(1)證明：???GH垂直平分線段AD,

；.HA=HD,GA=GD,

；AB是直徑，AB1GH,

；.EG=EH,

?\DG=DH,

.\AG=DG=DH=AH,

二四邊形AGDH是菱形.

(2)解：..28是直徑，

:.ZACB=90°,

VAE±EF,

:.ZAEF=NACB=90。，

VZEAF=ZCAB,

/.△AEF^AACB,

.AEEF

??—f

ACBC

1

.一x

??2_y，

4x

；.y=-x2(x>0).

8

(3)①解：如圖1中，連接DF.

G

圖1

VGH垂直平分線段AD,

；.FA=FD,

當點D與O重合時，ZiAOF是等腰三角形，此時AB=2BC,ZCAB=30°,

?AR—8g

3

OO的面積為—?t.

3

如圖2中，當AF=AO時,

H

圖2

AB=7AC2+BC2=V16+X2，

AOA=V16+X2

2

AF=VEF2+AE2=

2

解得x=4（負根已經(jīng)舍棄）,

**?AB=4-\/2，

/.OO的面積為8k.

如圖2-1中，當點C與點F重合時，設AE=x,則BC=AD=2x,AB=716+4??

圖

VAACE^AABC,

/.AC2=AE?AB,

--.16=X?716+4X2>

解得x2=2j17-2（負根已經(jīng)舍棄）,

:.AB2=16+4x2-8歷+8,

，。0的面積=兀?1?AB2=(2V17+2)n

綜上所述，滿足條件的。。的面積為或舐或(2717+2)兀；

②如圖3中，連接CG.

圖3

VAC=4,BC=3,ZACB=90°,

，AB=5,

A

.“亞9,~；---------15,~；--------72/30

..FG=，「-7,AF=JAE2+EP2=AH=>/AE2+EH=--

2oo2

VZCFG=ZAFH,ZFCG=ZAHF,

AACFG^AHFA,

.GF_CG

??一,

AFAH

A/219

.。-8CG

一冠

8。

2M3730

510

.?.同CG+9=44.

故答案為40T.

【點睛】

本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、

解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問

題.

Q

21、(1)反比例函數(shù)解析式為y=—,一次函數(shù)解析式為y=x+2；(2)△ACB的面積為L

x

【解析】

(1)將點A坐標代入產(chǎn)一可得反比例函數(shù)解析式，據(jù)此求得點3坐標，根據(jù)A、3兩點坐標可得直線解析式；

x

(2)根據(jù)點8坐標可得底邊BC=2,由4、5兩點的橫坐標可得邊上的高，據(jù)此可得.

【詳解】

解：(1)將點A(2,4)代入產(chǎn)㈣，得：桃=8,則反比例函數(shù)解析式為尸巨，

xx

當x=-4時，y=-2,則點5(-4,-2),

2k+b=4

將點A(2,4)、8(-4,-2)代入尸h+方，得：〈，，，

-4左+b=—2

k=l

解得：,C，則一次函數(shù)解析式為y=x+2；

(2)由題意知3c=2,則△ACB的面積=Lx2xl=l.

2

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及三角形的面積求法是解題的關

鍵.

22、(1)證明見解析；(2)MC=—.

4

【解析】

【分析】(1)連接OC,利用切線的性質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理解答即可.

【詳解】(1)連接OC,

；CN為。O的切線，

.'.OC±CM,ZOCA+ZACM=90°,

VOM±AB,

.,.ZOAC+ZODA=90°,

VOA=OC,

/.ZOAC=ZOCA,

:.ZACM=ZODA=ZCDM,

/.MD=MC；

(2)由題意可知AB=5x2=10,AC=4非,

；AB是。O的直徑，

/.ZACB=90°,

/.BC=^102-(4V5)2=2逐，

VZAOD=ZACB,ZA=ZA,

/.△AOD^AACB,

.OP_AO_5

"BC-AC**2下-4布'

可得：OD=2.5,

設MC=MD=x,在RtAOCM中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x?+52,

解得：x=

4

即MC=—.

4

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，準確添加輔助線，正確尋找相

似三角形是解決問題的關鍵.

23、（1）開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米；（2）汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千

米

【解析】

(1)過點C作AB的垂線CD,垂足為D,在直角AACD中，解直角三角形求出CD,進而解答即可;

(2)在直角ACBD中，解直角三角形求出BD,再求出AD,進而求出汽車從A地到B地比原來少走多少路程.

【詳解】

解：(1)過點C作AB的垂線CD,垂足為D,

杵益(千米),

2

AC+BC=80+40V2=40x1.41+80=136.4（千米）,

答：開通隧道前，汽車從A地到B地大約要走136.4千米;

BD一,

（2）cos30°=-----,BC=80（千米）,

BC

：.BD=BC?cos30°=80x2^=4073（千米）,

CD

,.,tan45°=——CD=40（千米），

AD

CD40

；.AD=Y=40（千米）,

tan45°

:.AB=AD+BD=40+406s：40+40x1.73=109.2（千米）,

二汽車從A地到B地比原來少走多少路程為：AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千米).

答：汽車從A地到B地比原來少走的路程為27.2千米.

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用以及解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決

的方法就是作高線.

17

24、(1)反比例函數(shù)解析式為y=一；(2)點B的坐標為(9,3)；(3)△OAP的面積=1.

x

【解析】

(1)將點A的坐標代入解析式求解可得；

(2)利用勾股定理求得AB=OA=1,由AB〃x軸即可得點B的坐標;

(3)先根據(jù)點B坐標得出OB所在直線解析式，從而求得直線與雙曲線交點P的坐標，再利用割補法求解可得.

【詳解】

(1)將點A(4,3)代入y=&,得：k=12,

X

12

則反比例函數(shù)解析式為y=一；

x

(2)如圖，過點A作ACLx軸于點C,

貝！IOC=4、AC=3,

?*,OA="2+3?=1，

；AB〃x軸，且AB=OA=1,

.?.點B的坐標為(9,3)；

(3)I?點B坐標為(9,3),

/.OB所在直線解析式為y=1x,

1

y=-x

-3

由《可得點P坐標為(6,2),(負值舍去),

12

y=—

x

過點P作PD_Lx軸，延長DP交AB于點E,

則點E坐標為(6,3),

；.AE=2、PE=1、PD=2,

則AOAP的面積=^x(2+6)x3--x6x2--x2xl=l.

222

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、正確添加輔助線是解題的關鍵.

21

25>(1)4(1)4(3)±—(4)①④二土萬；②當m=l-及或m=5+后時，1個公共點，當1-^/2<m<l或5WmV5+&

時，1個公共點,

【解析】

(1)根據(jù)題意可以求得拋物線y=-x1的焦點坐標以及直徑的長；

4

1317

(1)根據(jù)題意可以求得拋物線y=-xi-±x+—的焦點坐標以及直徑的長；

424

3

(3)根據(jù)題意和y=a(x-h)】+k(a邦)的直徑為可以求得a的值；

(4)①根據(jù)題意和拋物線y=axI+bx+c(a邦)的焦點矩形的面積為1,可以求得a的值；

1317

②根據(jù)(1)中的結果和圖形可以求得拋物線丫=:(-7*+:的焦點矩形與拋物線y=xi-lmx+mi+l公共點個數(shù)分別是

424

1個以及1個時m的值.

【詳解】

(1):?拋物線y=4xi,

4

1

二此拋物線焦點的橫坐標是o,縱坐標是：o+1r=i,

4x—

4

二拋物線y=，x】的焦點坐標為(0,1),

4

將y=l代入y=-X、得xi=-l,xi=l,

4

,此拋物線的直徑是：1-(-1)=4；

13171

(1)Vy=-x1--x+--(x-3)1+1,

4244

1

...此拋物線的焦點的橫坐標是：3,縱坐標是：1+11=3,

4x—

4

二焦點坐標為(3,3),

將y=3代入y=：(x-3)J+l,得

4

3=—(x-3)0I,解得，xi=5,xi=l,

4

二此拋物線的直徑時5-1=4；

(3)?.?焦點A(h,k+—),

4a

111

?*.k+—=a(x-h)Ik,解得，xi=h+7j—[,xi=h-Tj—T,

4a2|a|2|a|

1113

二直徑為：h+T|-|-(h-TT-|)=n=->

21al2|a||a|2

2

解得，a-±—,

3

..2

即a的值是士—；

3

1

(4)①由(3)得，BC=n，

lal

1

又CD=A'A=中.

21al

111

所以，S=BC?CD=.=1.

nIal21al2a2

解得，a=±1；

2

②當或m=5+&時，1個公共點，當l-夜<mWl或5WmV5+正時，1個公共點，

1317

理由：由(1)知拋，物線y=：xi-7x+下的焦點矩形頂點坐標分別為：

424

B(1,3),C(5,3),E(1,1),D(5,1),

當y=xi-lmx+mi+l=(x-m)41過B(1,3)時，m=L0或m=l+及(舍去)，過C(5,3)時，m=5-血(舍去)

或m=5+72，

二當m=L逝或m=5+0時，1個公共點；

當L正VmWl或5WmV5+0時，1個公共點.

由圖可知，公共點個數(shù)隨m的變化關系為

當m<l-、歷時，無公共點；

當m=l-正時，1個公共點；

當1-血Vm勺時