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文檔簡介
2024屆高三獨立作業(yè)(9)
一、單選題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符
合題目要求的)
2-z
1,2023-(、7)
A.2B.41C.5D.75
2.已知集合M={yeZ|y=——2x},N={x|y=ln(—x)},則M口N=()
A.。B.{-1}C.{(1,-1)}D.[-l,0)
3.已知關(guān)于x的不等式(x-?)(x-2)>0成立的一個充分不必要條件是-1<x<1.則a的取值范
圍是()
A.(-oo,-l]B.(-oo,0)C,[1,+co)D.[2,+oo)
—fff兀—f-fff
4.已知非零向量a,6滿足|6|=2,<4]>=§,若(a—6)_La,則向量。在向量方向上的投
影向量為()
J43—f2-f4J43一f4-f
A.43(a+3Z?)B.^j(a+3Z))C.——-—(a+3Z?)D.—((2+3b)
IT
5.已知函數(shù)/(x)=cos(a)x+°)(?!?,0<°〈萬)圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的距離為一,
4
JT
當(dāng)G取最小值時,將/(X)的圖象向右平移一個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,若函數(shù)g(x)在區(qū)
6
間[生,紅]上是增函數(shù),則。的取值范圍為()
24
TC5萬、7l2萬_,TC3兀、
A.[—,—]B.[r―,——]C.[r—,——]D.[r—,—]
62363344
6.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足對任意實數(shù)x有〃x+2)=〃x+l)-“X),若y=/(2x)的圖像
1
關(guān)于直線X=5對稱,/⑴=2,則Z//)=()
2左=i
A.2B.lC.-1D.-2
7.已知a=e°m,b=ln(L03e),c=7E5^,則()
A.C>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c
8.在AA5c中,已知45?4。=9,5吊5=005/5111。,5"50=6,尸為線段45上的一點,且
CB11
+.V?一,則一+一的最小值為(
\CB\xy
A.1-+蟲B.12C.-D.9+也
1233124
二、多選題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目
要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)
9.早在古巴比倫時期,人們就會解一元二次方程。16世紀上半葉,數(shù)學(xué)家們得到了一元三次方程、
一元四次方程的解法。研究過程中得到一個代數(shù)基本定理:任何一元次復(fù)系數(shù)多項式方
程/(x)=0至少有一個復(fù)數(shù)根。請借助代數(shù)基本定理解決下面問題:設(shè)實系數(shù)一元四次方程
辦4+加+℃2+〃+e=o(aW0)在復(fù)數(shù)集。內(nèi)的根為西,馬,工3,》4,則下列結(jié)論正確的是()
1O.Z],Z2,Z3為復(fù)數(shù),Z,70,下列命題中的真命題有()
A.若匕2國Z3I,則Z2=±Z3B.若Z/2=k/,則Z]=Z2
C.若ZR=2/3,則Z2=Z3D.若4=23,則由?|=匕色|
11.點分別是A48C的外心、垂心,則下列選項正確的是()
A.尸為A48C平面內(nèi)一點,則5AMe方+5Y”?麗+正
B.若2而=詼+部,且28=2,則就?薪=4
TT-----*-----?------*
C.若NB=—,OB=mOA+nOC,則加+〃的取值范圍為[—2,1]
3
—?—.._,Jio
D.右2HA+3HB+4HC=。,貝hos/8/fC=--------
5
\X71\X
12.已知函數(shù)/(x)=2sin—+:+2cos—,則下列說法正確的是()
<36J3
77
A.直線X=1為函數(shù)/(X)圖象的一條對稱軸B.函數(shù)/(X)的最小值為1
C.函數(shù)/(x)在上單調(diào)遞增D./(x)23的解集為[31萬,3k7i+7i],keZ
三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
13.平面向量48=(%/),把刀繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到向量方,貝!二
14已知同=1,W=亞,標=—1,若Z+正與R+B的夾角為銳角,則實數(shù)/的取值范
圍________。
15.已知ee[0,2〃),。終邊上有一點尸(sin2+cos2,cos2-sin2),貝!]。=。
sin2m,x<0
16.設(shè)aeR,函數(shù)/(x)=<,,若/(x)在區(qū)間(-a,+s)內(nèi)恰有4個零點,則
x~-4x+7-4a,x>0
a的取值范圍是o
四、解答題(本題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)函數(shù)y=/sin(ox+e)(Z>0,忸|<|)的一段圖像如圖所示,
(1)求函數(shù)v=/(x)的解析式;
jr
(2)將函數(shù)y=/(x)的圖像向右平移1個單位,得到y(tǒng)=g(x)圖像,求函數(shù)y=/(x)+g(x)在
xe(0,J]T)值域.
18.(本題滿分12分)在AABC中,內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,且
acosA+acos(5-C)=2^Z?cos(〃-Z)sinC
(1)求角A的大??;
(2)若點M為8c的中點,點N滿足AN=^AC,AB=2,AC=6點P為AM與BN的交點,
求/MW的余弦值.
19.(本題滿分12分)某企業(yè)為響應(yīng)國家號召,研發(fā)出一款特殊產(chǎn)品,計劃生產(chǎn)投入市場.已知該產(chǎn)
品的固定研發(fā)成本為180萬元,此外,每生產(chǎn)一臺該產(chǎn)品需另投入450元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該
產(chǎn)品X(0<X?50)萬臺并委托一家銷售公司全部售完.根據(jù)銷售合同,0<xW2時,銷售公司按
零售價支付貨款給企業(yè);2<xV50時,銷售公司按批發(fā)價支付貨款給企業(yè).已知每萬臺產(chǎn)品的銷售
收入為/(x)萬元,滿足:
2(x-l)ex-2+2,0<x<2
蛆)=44。+理-曾,2K5。
、xx
(1)寫出年利潤尸(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X的函數(shù)關(guān)系式;
(利潤=銷售收入-固定研發(fā)成本-產(chǎn)品生產(chǎn)成本)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時,該企業(yè)的獲利最大?并求出此時的最大利潤.
20.(本題滿分12分)A48c的內(nèi)角4民。的對邊分別為a,"c,AD為/氏4c的平分線,
c:AD:b=M:2:2也
(1)求44;
(2)AD上有點ZBMC=90°tanZABM.
21.(本小題滿分12分)^E(l)c(sinA-sinC)=(?-Z?)(sinA+sinB),(2)2bcosA+a=2c,
③王acsin3=/+c2.〃三個條件中任選一個,補充在下列問題中,并解答
3
(1)求角B的大小;
(2)如圖所示,當(dāng)sinZ+sinC取最大值時,若在A48c所在平面內(nèi)取一點。(。與5在ZC兩
側(cè)),使得線段Z?C=2,D4=1,求A5CD面積的最大值.
22.(本題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=axlnx-x?+(3-a)x+l(aeR),
(1)當(dāng)時。=1,求曲線/(x)在。J⑴)處的切線方程;
(2)若/(X)存在兩個極值點看廣2區(qū)<X2),
①求。的取值范圍;②當(dāng)紅取得最小時,求〃的值.
2024屆高三數(shù)學(xué)獨立作業(yè)9
總分:150分時間:120分鐘命題人:鐘旭
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項
是符合題目要求的.
2-i_
L[2023-()
A.2B.6C.5D.y[5
【答案】D
2.已知集合"={yeZ|y=_?-2x},N={,y=ln(-x)},則()
A.0B.{-1}C.{(1,-1)}D.[-1,0)
【答案】B
【詳解】N={x|x<0},而〃=卜€(wěn)2|丫=(工一1)2-1),因為y=故MN={T},
故選:B.
3,已知關(guān)于%的不等式(x-a)(x-2)>0成立的一個充分不必要條件是則。的取值范圍是
()
A.(-8,-1]B.(-8,0)C.口,+⑹D.[2,+8)
【答案】C
【詳解】解:設(shè)4=卜|(*-〃)(》-2)>0},B=
當(dāng)a>2時,不等式(了一。)(十一2)>。的解集為(口,2)1,(°,y),即A=(—,2)」(a,s),
當(dāng)a=2時,不等式(x-a)(x-2)>0,gp(x-2)2>0,則解集為(—,2)U(2,”),即
A=(F,2)U(2,+oo),
當(dāng)a<2時,不等式(x—a)(x—2)>0的解集為(一?,a)U(2,y),艮口A=(f,a)U(2,收),
不等式(尤-a)(x-2)>0成立的一個充分不必要條件是.1B冬A,所以14a<2或a=2或
a>2,
綜上可得a21,即ae[l,+8);故選:C.
1
__TT_
4.已知非零向量〃,〃滿足|〃|=2,<a,b>=-,若則向量〃在向量。+3,方向上的投
影向量為()
x/43-24^/43-_4
A------(a+3〃)B.—(a+36)C--------(〃+3萬)D.—(a+3b)
43434343
【答案】C
又(a—b)J_a,;?(a—b)?a=|a|2—a?b=0,即a?b=|a|2,
|a|I,cos£=|a12,得|a|=1.
o
(a+3>>a=l+312-g=4,|。+3川=,1+9?4+612?(=屈
,..,,.41二一門口/心目、1II(a+3/7),au+3b4
向量sa在7向量〃+36萬向上的投影向量為I。I’------------------------=—(a+3b)
\a+3b\\a\\a+3b\43
TT
5.已知函數(shù)/(尤)=cos(8+0)O>O,Ov0V%)圖象的一條對稱軸與一個對稱中心的距離為一,當(dāng)3取最小
4
值時’將八X)的圖象向右平移段個單位長度得到函數(shù)ga)的圖象'若函數(shù)ga)在區(qū)間言上是增函
6
數(shù),則。的取值范圍為
7171715萬712萬713萬
A.B.C.D.
?,-6"7
TkT7tllri(2k+l)TTI._.._.
【詳解】由題意可得函數(shù)/(%)的周期T滿足1+萬=—,所以-------二一,解傳G=4k+2,當(dāng)左=0時
444
⑷取得最小值2,則〃x)=cos(2x+°),將了3的圖象向右平移v個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,可
£,苧,—g71+與2?+。,7?%+。,函數(shù)g(“)的圖象在
得g(x)=1cost2x-^+(p\,由xG
24336
萬+2上萬wg+e
3萬
T上是增函數(shù)'故,解得—+2左1<(p<—+2k7i,由OV0V/,當(dāng)左=0
區(qū)間36
I—(pQ27r+2kjr
時,(pe,故選:B.
36
6.已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)%有〃x+2)=〃x+l)-〃x),若y=/(2x)的圖象關(guān)于
123
直線x對稱,/(1)=2,則£/出=()
2k=i
A.2B.1C.-1D.-2
【答案】C
【詳解】因為〃%+2)=/(%+1)-〃十),所以/(%+3)=/(%+2)—
2
從而可得;'(x+3)=-/(x),所以〃x+6)=〃x),所以函數(shù)/(x)的一個周期為6.
因為y=〃2x)的圖象關(guān)于直線x=;對稱,
所以『(l-2x)=『(l+2x),即函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對稱.
又〃1)=2,/(2)=/(1)-/(0),
所以〃2)=〃0)=1,所以〃3)=-〃0)=-1,〃4)=—〃1)=-2,〃5)=—〃2)=—1,〃6)=〃0)=1,
所以〃1)+〃2)+…+"6)=0.由于23除以6余5,
23
所以工/(幻=川)+〃2)+-+/(5)=_/(6)=-1.故選:C.
女=1
7.已知夕:已。。"b=ln(1.03e),c=J1.06,則()
A.c>a>bB.a>c>b
C.b>a>cD.a>b>c
【答案】B
【詳解】由題意a=eos,&=ln(1.03e)=ln(l+0.03)+l,c=7fo6=71+2x0.03,
下面先證明e—x+1,設(shè)函數(shù)e(x)=e'—x—l,則。(x)=e-1,
當(dāng)%>0時,"(x)>0,夕(x)在(O,+。)內(nèi)單調(diào)遞增,
當(dāng)%<0時,"(x)<0,夕⑴在(一8,0)內(nèi)單調(diào)遞減,
所以。(%"夕(。)=。,所以當(dāng)x>0時,e%>%+1,
________產(chǎn)_1
設(shè)于(%)=x+1—+2%,x>0,令/=Jl+2%>1,貝[]>¥=—-—,
所以/(x)=/z(r)=-一-+l-t=?T,
22
所以元+1>Jl+2x①,
所以e0°3>0.03+l〉J1+2XO.O3=A/T麗,即〃〉c.
再設(shè)g(x)=ln(l+x)+l-V^(x>。),83=幣一屁玄=(x+l)Jl+2x,
又由①知/(力<0,所以g@)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,所以g(x)<g(o)=o,
所以In(1+%)+1vJl+2x,
3
所以如(1+0.03)+1<,1+2x0.03,EPln(1.03e)<Vl.06,所以〃<c.
綜上,a>c>b.故選:B.
8.在中,已知AQ.AC=9,sinB=COSAsinC,SABC=6,F為線段AB上的一點,且
「八CACB11
CP=X'\7A+y,\7^'則一+一的最小值為()
CA\CB\xy
A.2_+@B.12C.-D.,也
1233124
【答案】A
【詳解】在ABC中,設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,
:sinB=cosAsinC,即sin(A+C)=cosAsinC,即sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,/.sinAcosC=0,
廠7C
0<A<TT,/.sinA>0,.\cosC=0,0<C<7r,:.C,
2
ABAC=9,即仍cosA=9,又SMe==hcsinA=6,/.tanA===£
'2becosA3b
a4r
S22
.ABC=-ab=6,則a)=12,所以,<63,解得/,c=>Ja+b=5-
2,10=3
ab-1O2
以AC所在的直線為光軸,以BC所在的直線為y軸建立如下圖所示的平面直角坐標系,
則C(0,0)、4(3,0)、3(0,4),
P為線段A3上的一點,則存在實數(shù)幾使得
AP=2A5=2(-3,4)=(-32,42)(0<2<1),
.-.CP=C4+CB=(3-3A,42),
CACB|一|?.
設(shè)"=網(wǎng),弓=同’則M卜同二L二弓=。,。),e2=(0,l),
CD同CA+?.CB同*/、4[^x=43—23Z,消去幾得23…2,.二x十上v八
11
所以,-+—
1y
當(dāng)且僅當(dāng)x=1y時,等號成立,
2
因此,工+工的最小值為且+二.故選:A.
Xy312
4
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題
目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.
9.早在古巴比倫時期,人們就會解一元二次方程.16世紀上半葉,數(shù)學(xué)家們得到了一元三次方程、一元四
次方程的解法.研究過程中得到一個代數(shù)基本定理:任何一元nN*)次復(fù)系數(shù)多項式方程"X)=。至少
有一個復(fù)數(shù)根請借助代數(shù)基本定理解決下面問題:設(shè)實系數(shù)一元四次方程公,+加+/+公+e=0
(?*0),在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為々,X》形,/,則下列結(jié)論正確的是()
“b
A.再+/+元3+4=---
a
c
XXX=
B.X1X2X3+X1X2X4+西七七+234——
a
-e
C.x{x2x3x4--
a
d
D.+石44+元243+%2%4+%3%4=一
'''a
【答案】AC教材P82
41
【詳解】由題設(shè)知:ax+CX+dx+e=tz(x-^)(x-x2)(x-^)(x-x4),
,2
/.ax[+bx+dx+e=dc^+x2)x+jqx2][x-(A^+^)X+^A^],
ax4+b£+ex2+dx+e=
XXXXX?++
一(%+%2+毛+%)%3+(番%2+%七+%2七+芯%+24+34)一(石工2%3石玉%3%+%2%3%4)%+X^X^]
bd
+x2+x3+x4=——,XyX2+XyX3+x2x3+x,x4+x2x4+x3x4=—,x1x2x3+x1x2x4+x,%3%4+x2x3x4=-
aaa
取243元4-—?故選:AC
a
10.4*2*3為復(fù)數(shù),Z]W0,下列命題中的真命題有()
A.若Iz2|—IZ3I,則z?=土Z3
B.若Z/24Z]I,則Z]=z2
C.若Z]Z2-z/3,則z2—Z3
D.若z2=Z3,則|z/2|=|z/3I
【解答】解:設(shè)zi="i+bi3Z2=az+bzi,23=43+63"若|z2|=|z31,則Jaj+b棄
5
此時Z2=±Z3不一定成立,故/錯誤;若Z1Z2=Z1Z3,貝!Jzi(Z2-Z3)=0,又因Zl70,所以Z2=Z3,故。正
確;若^2=Z3'則。2=田b2=-所以|Z1Z2I2+j途2+221>1)2,
2,
所以區(qū)⑶尸區(qū)肉,故。正確;當(dāng)z2Gl時,ZjZ2=IZ1I此時Z1=Z2不一定成立,故8錯誤.
故選:CD.
1L點O,H分別是..A3C的外心、垂心,則下列選項正確的是()
A.P為:ABC平面內(nèi)一點,貝1sAp809+3.0尸笈+33尸。=0
B.若2BO=B4+8C,且AB=2,貝IJACAB=4
C.若=OB=mOA+nOC,則必+”的取值范圍為[一2,1]
D.^2HA+3HB+4HC=O,貝IJcosZBHC=-回■
5
【答案】BD
【詳解】A.尸在A2C外時,不滿足,故A錯誤;
B.若2B0=84+BC,則點。是AC的中點,點。又是ABC的外心,
所以NA3C=9O,ACAB=|AC||Afi|cosA=\AB^=4,故B正確;
C.因為/8=[,所以NAOC=?,如圖,建立平面直角坐標系,
3J
y
、
e1,2兀
設(shè)C(r,0),A-Jr,專,B(rcos^,rsin,0
7
rcos0=m-+nr
因為。右=加。4+m9。,所以<
rsin0=m-—r
2
得機=*sin6,n=cos8+9sing,
m+n=cose+V^sin6=2sin[6,
6
e+qe]不sin^0+—j6-1,—j,貝2,1),故C錯誤;
D.因為A〃_L6C,所以AH.8C=0,
即AH?HC-HB)=AH?HC-AH?HB=0,則HA-HC=HA-HB,
同理,HAHC=HCHB,所以HA,HC=HA-HB=HB,HC,
設(shè)HA-HC=HA-HB=HB-HC=x,
因為2HA+39+4HC=0,所以3HB=-2HA-4HC,
即3HB2=-2HA-HB-4HCHB=-6x,則|期=,
4HC=-2HA-3HB:即4HC=-2HAHC-3HBHC=-5x,
cosNBHC=cos(HB,HC、=普胃==-眄西cf施
'/網(wǎng)陽15,x<0,故D正確.
故選:BD
12.已知函數(shù)/。)=2411仁+3+23=,則下列說法正確的是()
\3673
A.直線1為函數(shù)/(")圖象的一條對稱軸B.函數(shù)/(%)的最小值為1
1\jr137r
C.函數(shù)八)在上單調(diào)遞增D./(%)23的解集為[3左萬,3左萬+%],左£2
xX71
【詳解】?「/(x+3〃)=2sin—+—+^-|+2cos—+^-=2sin—+—+2cos—/?,故x=3萬為函數(shù)
363363
/⑴的一個周期;因為/(x+gJ=2sin5+qJ+2cosK+A
所以了仆+m=2卜ng+f—X7C
+2cos-------1
36
所以/卜+£|=/1彳+3,故函數(shù)/卜+|^為偶函數(shù),所以直線x=]為函數(shù)〃%)圖象的一條對稱軸,
故A正確;當(dāng)XC-3,不時,,1+^e0,耳,又/(x)=2++2cos5,
223o2363<3bJ3
x.x冗Ax.兀、x
所以/(x)=2sin—d■—+2cos—=2sin—cos——I-2cos—sin——i-2cos—,
(36)336363
所以/。)=后嗚+33;=2氐,:+1^,當(dāng)xe時,|eX712n
—+—G
36
7
稱圖時,做"2<3,當(dāng)Y,1時,由2島ixn
當(dāng)工£sin-+—23解得。<無<%,所以
22337
/(1)23的解集為[3左萬,3左萬+萬],左£2,故D正確,故選:ACD
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.平面向量A8=?y),把相繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)e角得到向量",則
AP=________________
【答案】(xcos。一ysina%sin6+ycos。)教材P53
14.已知H=l,M=也,a-b=-l.若a+仍與s+5的夾角為銳角,則實數(shù)/的取值范圍
(a+tb)-(td+b)
又cosa+tb,ta+b=
【詳解】因為a+為與s+6的夾角為銳角|?+zZ?|-|^+Z?|
所以(3+tb),(應(yīng)+b)—/之+(1+/2)個+仍?>o,
又,卜1,W=V^,a.b=-1,所以,一(1+/2)+21=一/+3/-1>0,
解得匕
又因Q+仍/a+6£[0,兀],
22
8
當(dāng)4+/?瓦箱+6=0時,也滿足m+必)?(紜+很)〉0,此時不合題意,
一\\=ut
當(dāng)3+仍與,口+^共線同向時,有r@+仍="(紜+人),從而得到《,解得才=±1,
又_1<匕后,所以實數(shù)/的取值范圍是
2
故答案為:
15.已知。€[0,2?),夕終邊上有一點尸(sin2+cos2,cos2—sin2),貝ije=
【答案】--2
4
【詳解】因為tan9=B^2U=LW22=tan(日—2)又6e[0,2?),尸在第四象限
sin2+cos21+tan24
:.0=--2+27T=--2
44
Isin2TLX%v0
16.設(shè)aeR,函數(shù)/(尤)={2_,若〃x)在區(qū)間(-a,+s)內(nèi)恰有4個零點,則。的取值范
Ix^TX+/4a,x>u
圍是.
【答案】]I,|M:,2
sin2JLX尤v0
【詳解】作出/。)=2,',/八的圖像,左側(cè)是正弦型函數(shù)的,右側(cè)是開口向上,可以上下平
1%—4%+7-4々,%>0
移對稱軸為x=2的二次函數(shù).
A<0
①當(dāng)在區(qū)間(-。,0)有4個零點且在區(qū)間(0,+8)沒有零點時,滿足5°,無解;
—V—〃<—2
[2
A>0
②當(dāng)〃尤)在區(qū)間(-a,0)有3個零點且在區(qū)間(0,+8)有1個零點時,滿足</(0)<0
-2<-a<
2
[A=0
7
或者,3解得丁屋2;
-2<-a<——
2
③當(dāng)〃x)在區(qū)間(-a,0)有2個零點且在區(qū)間(0,+8)有2個零點時,
9
A>0
滿足〃0"0,解得(1,|]
3一
——<-a<-\
[2
綜上所述,a的取值范圍是[1,釧;2
2
故答案為:R|M^
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
函數(shù)y=4sin(0x+°)[A>,0>O,|d<_|)的一段圖象如圖所示
⑴求函數(shù)y=〃x)的解析式;
⑵將函數(shù)y=的圖象向右平移g個單位,得到y(tǒng)=g(x)圖象,求函數(shù)y=〃x)+g(x)在相嗚)值域.
【答案】(l)〃x)=2sin(2x+J);⑵(—1,2].
6
【詳解】⑴觀察圖象,得4=2,函數(shù)/(x)的周期7=史-(-烏)=無=",解得。=2,即
1212a)
f(x)=2sin(2%+(/)),
由/(-烏)=2sin(一四+夕)=0,得一4+夕=阮,即夕=E+$,ZeZ,而|0|<四,則夕=巴,
1266626
所以函數(shù)y=/(x)的解析式是/?=2sin(2x+*.
TT'llTT
(2)由(1)得g(%)=2sin[2(x——)+—]=2sin(2x——)=-2cos2x,
362
兀J31
貝【Jy=/(x)+g(x)=2sin(2xH■—)-2cos2x=2(——sin2x-\■—cos2x)~2cos2x
622
=sin2x-cos2x=2sin(2x--),當(dāng)0<%<g時,一四<2不一色〈多,
62666
1ITjr
有——<sin(2x——)<1,于是一l<2sin(2x——)<2,
233
所以所求值域為(T2].
10
18.(本小題滿分12分)
在jASC中,內(nèi)角A氏C所對的邊分別為,且acosA+〃cos(b—C)=2百Z?cos(兀一A)sinC.
⑴求角力的大??;
⑵若點M為3c中點,點N滿足4V=gAC,AB=2,AC=6,點P為郵與BN交點,求/余弦值.
【答案】⑴斗⑵叵教材P53
【詳解】⑴由已知得—acos(5+C)+?cos(B-C)=一2百〃cosAsinC,
即2^sinBsinC二-2后7cosAsinC?
由正弦定理得sinAsinBsinC=-V3sinBcosAsinC.
因為在中,sinB>0,sinC>0,所以tanA=—6-
因為Ae(O,?i),所以A..
(2)設(shè)A^l=a,AB=6,所以AC=3°,
1131
因為Af為5c的中點,所以AM=萬A6+5AC=萬之+萬方,
又BN=a-b,
27r
由(1)知,A=莖,AB=2,AC=6,
故忖=2,忖=2,4力=瓦口卜05日=一2,
^AMBN=^a-^a-b+^ab-^b2=6+2-2=6.
I…I192_3;1~2F-
AM—/—ciH—a,bT—a=,7,
IIA\424
|BN^=ya-la-b+b^=A/12=2指,
c/……AMBN6V2T
所以cosZMPN=UN〉=~,
11
所以的余弦值為國.
7
19.(本小題滿分12分)
某企業(yè)為響應(yīng)國家號召,研發(fā)出一款特殊產(chǎn)品,計劃生產(chǎn)投入市場.已知該產(chǎn)品的固定研發(fā)成本為180萬
元,此外,每生產(chǎn)一臺該產(chǎn)品需另投入450元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x(OvxV5O)萬臺并委托一家
銷售公司全部售完.根據(jù)銷售合同,0<xV2時,銷售公司按零售價支付貨款給企業(yè);2<xW50時,銷售公
司按批發(fā)價支付貨款給企業(yè).已知每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為/⑺萬元,滿足:
2(x-l)e%-2+2,0<x<2
/(x)=<30509000
440+,2<x<50
⑴寫出年利潤尸(磯單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:萬臺)的函數(shù)關(guān)系式;
(利潤=銷售收入-固定研發(fā)成本-產(chǎn)品生產(chǎn)成本)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時,該企業(yè)的獲利最大,并求出此時的最大利潤.
2x(x-l)ex-2-448x-180,0<x<2
【答案】⑴尸(x)=,
-10x-型四+2870,2<x<50
X
⑵當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時,該企業(yè)獲利最大,且此時的最大利潤為2270萬元
【詳解】(1)當(dāng)0<xV2時,P(x)=x[2(x-l)ev-2+2]-(180+450%)=2x(x-l)e^2-448x-180,
當(dāng)2<x450時,P(X)=X(440+KW-?^)-(180+450X)=440X+3050-絲5^-180-450X
XXX
=-10x-^^+2870,
X
2x(x-l)ex-2-448^-180,0<x<2
所以,尸(無)=<
-10x-^^+2870,2<x<50
X
(2)當(dāng)0<xV2時,Z(x)=2(x-l)eJ-2+2,
令r=x-2jc(-2,0],則/(x)=2(x-l)e、"2+2轉(zhuǎn)化為。⑺=2(/+l)e'+2,
則"⑺=2(f+2)e\當(dāng)他(-2,0)時,。'⑺>0,。⑺在(-2,0)上單調(diào)遞增,
。⑺的最大值為。(0)=4,即當(dāng)x=2時,/(x)取得最大值4萬元,
此時銷售收入遠小于投入,企業(yè)虧損,所以最大獲利一定在2<x<5時取得,
90009000
此時P(x)=-10x-+2870=-10x++2870
xx
12
V—2JlOx?2她+2870=-600+2870=2270,當(dāng)且僅當(dāng)10工=史也,即x=30(負值舍去)時等號成立,
XX
此時p(x)取得最大值,且最大值為2270(萬元),
所以,當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時,該企業(yè)獲利最大,且此時的最大利潤為2270萬元.
20.(本小題滿分12分)
—ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為?,b,C,AD為/BAC平分線,c;AD:b=6:2:2欄.
⑴求/A;⑵AD上有點/BMC=90,求tanNABAf.
【答案】嗚⑵一++\/11
4
【詳解】⑴設(shè)c=Ck,AD=2k,b=2四>SABC—SABD+S、ADC,
/.—Z?csinA=—IAD\-csin—+—IAD\'bsm—,
221122112
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