第一章§1.1集合課件

第一章§1.1集合1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.3.會(huì)求兩個(gè)集合的并集、交集與補(bǔ)集.4.能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言描述不同的具體問(wèn)題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運(yùn)算.課標(biāo)要求內(nèi)容索引第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型課時(shí)精練第一部分落實(shí)主干知識(shí)1.集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特性：

、

、

.(2)元素與集合的關(guān)系是

或

，用符號(hào)

或

表示.(3)集合的表示法：

、

、

.確定性互異性無(wú)序性屬于不屬于∈?列舉法描述法圖示法(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法集合非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)___

N*(或N＋)___

___

___

NZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中

都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作

(或B?A).(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且

，就稱集合A是集合B的真子集，記作

(或B

A).(3)相等：若A?B，且

，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是

的子集，是

的真子集.任意一個(gè)元素A?Bx?AA

BB?A任何集合任何非空集合3.集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算集合語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法并集________________

______

交集________________

______

補(bǔ)集________________

____

{x|x∈A，或x∈B}A∪B{x|x∈A，且x∈B}A∩B{x|x∈U，且x?A}?UA1.若集合A有n(n≥1)個(gè)元素，則集合A有2n個(gè)子集，2n－1個(gè)真子集.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.4.?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}.(

)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(

)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(

)(4)對(duì)任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B).(

)√×××2.(必修第一冊(cè)P14T4改編)設(shè)集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則(?RA)∩B等于A.{x|2<x≤3} B.{x|7<x<10}C.{x|2<x<3或7≤x<10} D.{x|2<x≤3或7<x<10}因?yàn)?RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(?RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}.√3.(必修第一冊(cè)P35T9改編)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a＝________.2因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，所以a＋2∈A.當(dāng)a＋2＝3，即a＝1時(shí)，A＝{1,3,1}，不滿足集合中元素的互異性，不符合題意；當(dāng)a＋2＝a2時(shí)，a＝－1(舍去)或a＝2，此時(shí)A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合題意.綜上，實(shí)數(shù)a＝2.4.(必修第一冊(cè)P9T5改編)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________.[2，＋∞)因?yàn)锽?A，所以利用數(shù)軸分析法(如圖)，可知a≥2.返回第二部分探究核心題型例1

(1)(2023·長(zhǎng)春模擬)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4√題型一集合的含義與表示集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)為圓心，2為半徑的圓上的所有點(diǎn)，集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直線x＋y＝0上的所有點(diǎn)，因?yàn)橹本€x＋y＝0經(jīng)過(guò)圓心(0,0)，所以直線與圓相交，所以A∩B的元素個(gè)數(shù)為2，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為4.(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，則實(shí)數(shù)m的值為A.2 B.3 C.0 D.－2√因?yàn)榧螦＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，則m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}.當(dāng)m＝0時(shí)，集合A中的元素不滿足互異性；當(dāng)m＝2時(shí)，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不滿足互異性；當(dāng)m＝3時(shí)，A＝{0,3,2}，符合題意.綜上所述，m＝3.解決集合含義問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)(1)一是確定構(gòu)成集合的元素.(2)確定元素的限制條件.(3)根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練1

(1)(2023·蘇州模擬)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個(gè)數(shù)為A.3 B.4 C.5 D.6√因?yàn)榧螦＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}.即C中元素的個(gè)數(shù)為4.(2)若含有3個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成

，又可表示成{a2，a＋b,0}，則a2024＋b2024＝________.1此時(shí)兩集合分別是{a,1,0}，{a，a2,0}，則a2＝1，解得a＝1或a＝－1.當(dāng)a＝1時(shí)，不滿足互異性，故舍去；當(dāng)a＝－1時(shí)，滿足題意.所以a2024＋b2024＝(－1)2024＋02024＝1.例2

(1)(2023·?？谫|(zhì)檢)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，則A.A?B

B.B?AC.A∩B＝?

D.A∪B＝R因?yàn)榧螦＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A?B.√題型二集合間的基本關(guān)系(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是√∵B?A，∴①若B＝?，即ax＋1≤0無(wú)解，此時(shí)a＝0，滿足題意.②若B≠?，即ax＋1≤0有解，(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問(wèn)題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解.(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來(lái)直觀解決這類問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知集合M＝{x|y＝

，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，則集合M，N的關(guān)系是A.M

N

B.N

MC.M??RN

D.N??RM√因?yàn)镸＝{x|y＝

，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N

M.(2)設(shè)集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，當(dāng)x∈Z時(shí)，集合A的非空真子集的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______；當(dāng)B?A時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是________________________.254{m|m≤－2或－1≤m≤2}易得A＝{x|－2≤x≤5}.若x∈Z，則A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8個(gè)元素，∴A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28－2＝254.①當(dāng)m－1≥2m＋1，即m≤－2時(shí)，B＝?，B?A；②當(dāng)m>－2時(shí)，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠?，綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤－2或－1≤m≤2}.命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例3

(1)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N等于√題型三集合的基本運(yùn)算所以M＝{x|0≤x<16}；因?yàn)镹＝{x|3x≥1}，(2)(多選)已知M，N均為實(shí)數(shù)集R的子集，且N∩(?RM)＝?，則下列結(jié)論中正確的是A.M∩(?RN)＝? B.M∪(?RN)＝RC.(?RM)∪(?RN)＝?RM D.(?RM)∩(?RN)＝?RM√√∵N∩(?RM)＝?，∴N?M，如圖，若N是M的真子集，則M∩(?RN)≠?，故A錯(cuò)誤；由N?M可得M∪(?RN)＝R，故B正確；由N?M可得?RN??RM，故C錯(cuò)誤，D正確.命題點(diǎn)2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(范圍)例4

(1)(多選)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，則m的值可能為√√√由題意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，m＝0，滿足題意；(2)(2024·本溪模擬)設(shè)集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(?RB)＝A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.[0,1] B.[0,1)C.(0,1) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)√因?yàn)锽＝{x|x>a}，所以?RB＝{x|x≤a}，又A∩(?RB)＝A，所以A??RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,1].對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況.跟蹤訓(xùn)練3

(1)(多選)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，則A.(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}B.(?RA)∩B＝{x|1<x<2}C.A∩B＝{x|2<x<3}D.A∩B是{x|2<x<5}的真子集√√√由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以?RA＝{x|0≤x≤2}，對(duì)于A，因?yàn)锽＝{x|1<x<3}，所以(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)锽＝{x|1<x<3}，所以(?RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)锳＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)锳∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正確.(2)已知集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(－∞，1] B.(－∞，2]C.[1，＋∞) D.[2，＋∞)√因?yàn)榧螦，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝?，則a－1≤1，解得a≤2.例5

(多選)群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒(méi)有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“·”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的運(yùn)算還滿足：①?a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②?e∈G，使得?a∈G，有e·a＝a·e＝a；③?a∈G，?b∈G，使a·b＝b·a＝e，則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群.題型四集合的新定義問(wèn)題則下列說(shuō)法正確的有A.G＝{－1,0,1}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群√√對(duì)于A，若G＝{－1,0,1}，則對(duì)所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，滿足乘法結(jié)合律，即①成立，滿足②的e為1，但當(dāng)a＝0時(shí)，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，若G＝R，則對(duì)所有的a，b∈R，有a＋b∈R，滿足加法結(jié)合律，即①成立，滿足②的e為0，?a∈R，?b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正確；集合新定義問(wèn)題的“三定”(1)定元素：確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫(xiě)出所有元素.(2)定運(yùn)算：根據(jù)要求及新定義運(yùn)算，將所求解集合的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集或補(bǔ)集的基本運(yùn)算問(wèn)題，或轉(zhuǎn)化為數(shù)的有關(guān)運(yùn)算問(wèn)題.(3)定結(jié)果：根據(jù)定義的運(yùn)算進(jìn)行求解，利用列舉法或描述法寫(xiě)出所求集合中的所有元素.跟蹤訓(xùn)練4

(多選)設(shè)A為非空實(shí)數(shù)集，若對(duì)任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，則稱A為封閉集.下列敘述中，正確的為A.集合A＝{－2，－1,0,1,2}為封閉集B.集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}為封閉集C.封閉集一定是無(wú)限集D.若A為封閉集，則一定有0∈A√√對(duì)于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封閉集，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，設(shè)x，y∈A，則x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}為封閉集，故B正確；對(duì)于C，封閉集不一定是無(wú)限集，如：{0}為封閉集，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若A為封閉集，則取x＝y(tǒng)，得x－y＝0∈A，故D正確.返回課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1.(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M滿足?UM＝{1,3}，則A.2∈M

B.3∈M

C.4?M

D.5?M√由題意知M＝{2,4,5}.123456789101112131415162.(2023·新高考全國(guó)Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N等于A.{－2，－1,0,1} B.{0,1,2}C.{－2} D.{2}√方法一因?yàn)镹＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}.方法二因?yàn)镸＝{－2，－1,0,1,2}，將－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}.123456789101112131415163.(2024·南京模擬)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集個(gè)數(shù)為A.2 B.4 C.8 D.16√A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集個(gè)數(shù)為22＝4.123456789101112131415164.已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且滿足A∪B＝B，則下列集合中表示空集的是A.(?UA)∩B

B.A∩BC.(?UA)∩(?UB) D.A∩(?UB)√由Venn圖表示集合U，A，B如圖，由圖可得(?UA)∩B＝?BA，A∩B＝A，(?UA)∩(?UB)＝?UB，A∩(?UB)＝?.123456789101112131415165.(2024·綿陽(yáng)模擬)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B?A，則m等于A.0或4 B.1或4 C.0

D.4√∵

B?A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，當(dāng)m＝4時(shí)，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，滿足題意；當(dāng)m＝m2時(shí)，得m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時(shí)，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，滿足題意；當(dāng)m＝1時(shí)，代入集合中，不滿足集合的互異性.綜上，m可取0,4.123456789101112131415166.已知M，N均為R的子集，若存在x使得x∈M，且x??RN，則A.M∩N≠?

B.M?NC.N?M

D.M＝N因?yàn)閤??RN，所以x∈N，又因?yàn)閤∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠?，故A正確；由于題目條件是存在x，所以不能確定集合M，N之間的包含關(guān)系，故B，C，D錯(cuò)誤.√123456789101112131415167.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，則圖中的陰影部分表示的集合為A.(－∞，1]∪(2，＋∞) B.(－∞，0)∪(1,2)C.[1,2) D.(1,2]B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由題意可知陰影部分對(duì)應(yīng)的集合為?U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以?U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞).12345678910111213141516√8.設(shè)集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同時(shí)滿足：①A?I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的個(gè)數(shù)，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為I的一個(gè)“好子集”，則I的所有“好子集”的個(gè)數(shù)為A.7 B.8 C.9 D.10√12345678910111213141516當(dāng)|A|＝1時(shí)，即集合A中元素的個(gè)數(shù)為1時(shí)，A的可能情況為{1}，{3}，{5}，{7}；當(dāng)|A|＝2時(shí)，即集合A中元素的個(gè)數(shù)為2時(shí)，A的可能情況為{3,5}，{3,7}，{5,7}；當(dāng)|A|＝3時(shí)，即集合A中元素的個(gè)數(shù)為3時(shí)，A的可能情況為{3,5,7}，綜上所述，I的所有“好子集”的個(gè)數(shù)為8.12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題9.已知I為全集，集合M，N?I，若M?N，則A.M∪N＝N

B.M∩N＝NC.?IM??IN

D.(?IN)∩M＝?因?yàn)镸?N，則M∪N＝N，M∩N＝M，則A正確，B錯(cuò)誤；又I為全集，集合M，N?I，則?IM??IN，(?IN)∩M＝?，C錯(cuò)誤，D正確.12345678910111213141516√√10.已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，則實(shí)數(shù)a的取值可以是A.－1 B.0 C.1 D.2A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示關(guān)于x的方程ax＝1的解集，因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，當(dāng)a＝0時(shí)方程ax＝1無(wú)解，此時(shí)B＝?，符合題意；當(dāng)B＝{1}時(shí)，a＝1；當(dāng)B＝{－1}時(shí)，－a＝1，解得a＝－1，綜上可得a＝0或±1.12345678910111213141516√√√三、填空題11.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.4根據(jù)題意，A∩B的元素是x＋y＝8上滿足x，y∈N*且y≥x的點(diǎn)，即點(diǎn)(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4).1234567891011121314151612.已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和為12，則m＝________.－3當(dāng)m＝1或m＝2或m＝3時(shí)，A∪B＝{1,2,3,4,5}，所有元素的和為15，不符合題意；當(dāng)m≠1且m≠2且m≠3時(shí)，A∪B＝{1,2,3,m,4,5}，由題意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.1234567891011121314151613.高三某班共有55人，其中有14人參加了球類比賽，16人參加了田徑比賽，4人既參加了球類比賽，又參加了田徑比賽，則該班這兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加的人數(shù)是________.由題意畫(huà)出Venn圖，如圖所示，由Venn圖知，參加比賽的人數(shù)為26，所以該班這兩項(xiàng)比賽都沒(méi)有參加的人數(shù)是29.123456789101112131415162914.對(duì)于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，記A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，則B－A＝___________，A*B＝__________________.由題意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}.因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}.12345678910111213141516{x|－3<x<0}{x|－3<x<0或x≥3}15.(多選)由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到