D1-1函數(shù)改培訓(xùn)課件

課程：高等數(shù)學(xué)（一）(二）

（經(jīng)濟(jì)類班級(jí)使用）教材：高等數(shù)學(xué)（第三版）主編:方桂英,崔克儉出版社：科學(xué)出版社普通高等教育“十二五”國(guó)家規(guī)劃教材江西省優(yōu)秀教材一等獎(jiǎng)高等數(shù)學(xué)（一）第一章函數(shù)與極限第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章不定積分第五章定積分及其應(yīng)用高等數(shù)學(xué)（二）第六章多元函數(shù)微積分第七章微分方程與差分方程第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對(duì)象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限

第一章二、函數(shù)的性質(zhì)三、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)一、函數(shù)的概念第1節(jié)函數(shù)(復(fù)習(xí)）四、初等函數(shù)元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作*一、集合(略講）1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.簡(jiǎn)稱集簡(jiǎn)稱元表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)開(kāi)區(qū)間閉區(qū)間無(wú)限區(qū)間點(diǎn)a的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開(kāi)區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,

若設(shè)有集合記作記作必有定義3.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或定義域二、函數(shù)定義5.設(shè)數(shù)集如果對(duì)D中每一個(gè)記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量

定義域

對(duì)應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達(dá)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義的自變量集合.如,絕對(duì)值函數(shù)定義域值域?qū)o(wú)實(shí)際背景的函數(shù),書(shū)寫(xiě)時(shí)可以省略定義域.對(duì)實(shí)際問(wèn)題,書(shū)寫(xiě)函數(shù)時(shí)必須寫(xiě)出定義域；自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.在自變量的不同變化范圍中,

對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例1.已知函數(shù)解:及寫(xiě)出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說(shuō)明:

還可定義有上界、有下界、無(wú)界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對(duì)任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無(wú)界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說(shuō)明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記說(shuō)明:

給定則偶函數(shù)奇函數(shù)(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為

周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無(wú)理數(shù)3.反函數(shù)

反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單調(diào)的,則存在一新函數(shù)習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此函數(shù)為f

的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):使其中2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱.例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對(duì)稱.指數(shù)函數(shù)*4.復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:但可定義復(fù)合函數(shù)時(shí),雖不能在自然域R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù)當(dāng)改兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):約定:為簡(jiǎn)單計(jì),書(shū)寫(xiě)復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫(xiě)出其定義域,

默認(rèn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.*5.初等函數(shù)(詳見(jiàn)補(bǔ)充word)(1)基本初等函數(shù)（6種）：常量函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).都為初等函數(shù).非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)常見(jiàn)基本初等函數(shù)圖像1.冪函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)3.對(duì)數(shù)函數(shù)4.三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)5.反三角函數(shù)

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

設(shè)函數(shù)

x

換為f(x)例5.解:*例6.求的反函數(shù)及其定義域.解:當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),則反函數(shù)定義域?yàn)閮?nèi)容小結(jié)1.集合的概念