D3-4極值與最值培訓(xùn)課件

二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第四節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值

第三章定義:在其中當時,(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點

.一、函數(shù)的極值及其求法注意:為極大值點為極小值點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如,為極大值點,是極大值是極小值為極小值點,函數(shù)定理1(極值必要條件)且定理2(極值第一充分條件)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負”,(2)“左負右正”,例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點令得因為3)列表判別是極大值點，其極大值為是極小值點，其極小值為定理3(極值第二充分條件)二階導(dǎo)數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.極值的判別法(定理1~

定理2)都是充分的.說明:當這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理2的條件.二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(2)

最大值最小值特別:

當在內(nèi)只有一個極值可疑點時,

當在上單調(diào)時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)

對應(yīng)用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.因此也可通過例3.求函數(shù)說明:求最值點.與最值點相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.(k為某常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運為使貨物從B運到工

20解:

設(shè)則令得又所以為唯一的極小值點,故AD=15km時運費最省.總運費廠C的運費最省,從而為最小值點,問D點應(yīng)如何取?km,公路,價之比為3:5,存在一個取得最大利潤的生產(chǎn)水平?如果存在,找出它來.售出該產(chǎn)品x千件的收入是例5.

設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x千件的成本是解:售出x千件產(chǎn)品的利潤為問是否故在x2=3.414千件處達到最大利潤,而在x1=0.586千件處發(fā)生局部最大虧損.說明：在經(jīng)濟學(xué)中稱為邊際成本稱為邊際收入稱為邊際利潤由此例分析過程可見,在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上即邊際收入＝邊際成本（見右圖）成本函數(shù)收入函數(shù)即收益最大虧損最大內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值定理3最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號性2.

設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的