解三角形（十年高考）-2024高考數(shù)學(xué)

解三角形

考點(diǎn)一正弦定理和余弦定理

1.（2021全國(guó)甲文,8,5分）SAABC中，已知B=120。,AC=V19,AB=2,貝UBC=（）

A.lB.V2C.V5D.3

答案D解題指導(dǎo):思路一（利用余弦定理）：已知角民邊c,瓦利用余弦定理，得到關(guān)于a的一元二次方程，

求解即可;思路二（利用正弦定理）：已知角3,邊瓦c,借助正弦定理求出角。的正弦值,進(jìn)而利用兩角和的正

弦公式及誘導(dǎo)公式求出角A,再借助正弦定理求出Q.

解析解法一:設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,^ABC中，由題意知b=后,c=2,由余弦定理

得Z?2=c2+tz2-2ctzcosB,即19=4+Q2-2?2QCOS120°,整理得?2+2?-15=0,解得〃=3或a=-5（舍），所以BC=3.故選

D.

解法二:在AABC中，由正弦定理得當(dāng)=名，即0=告,所以sinC=篝=區(qū)，又0°<C<60。,所以cos

sinBsinCsinl20°smCV19yj19

C=V1-sin2C=所以sinA=sin（B+C）=sin5cosC+cosBsin。=當(dāng)x-^=+（-：）*所以

2《_71^6也4=空墨=3

sinB叵'

2

@2+622.

2.(2018課標(biāo)m,理9,文11,5分)Z\ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若AABC的面積為一則

c二()

,71IT

A.-B.—■

23

cTT71

C."D.—

46

“2?.2.22nheci

222

答案c根據(jù)余弦定理得a+b-c=2ab?cosC,因?yàn)镾AABC=--------,所以SA\BC=---------------,又SABc=-absinC,

44AL

所以tanC=l,因?yàn)镃C(0,n)，所以C=1故選C.

3.(2016課標(biāo)I文,4,5分)ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=?,c=2,cosA=|,則b=()

A.V2B.V3C.2D.3

答案D由余弦定理得5=22+b-2x2b?cosA,-.-cosA=|,.-.3b2-8b-3=0,.-.b=3^=-3舍去)故選0.

評(píng)析本題考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了方程的思想方法.

4.(2016山東文,8,5分)AABC中,角A,B,C的對(duì)邊分另(］是a,b,c.已知b=c,a=2b2(l-sinA).貝!JA=()

廬+/_Q22b2-Q2

答案C在aABC中，由b=c,得cosA=---....=----~，又a2=2b2(l-sinA),所以cosA=sinA,即tanA=l,

2bc2b

又知A￡(0,n),所以故選C.

評(píng)析恰當(dāng)運(yùn)用余弦定理的變形形式是求解本題的關(guān)鍵.

5.(2015廣東文,5,5分)設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2,c=20,cosA=/■且b<c,則

b二()

A.3B.2V2C.2D.V3

答案C由余弦定理b2+c2-2bccosA=a；得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,*/b<c=2V3,.,^=2.選C.

6.（2014課標(biāo)II理,4,5分）鈍角三角形ABC的面積是AB=1,BC=A/I則AC=（）

A.5B.V5C.2D.1

111

答案BSAABC=-AB?BCsinB=-x1x-\/2sinB=-,

-,.sin13=5,.1B=45°或135°.若B=45°,則由余弦定理得AC=1,.,.△ABC為直角三角形,不符合題意,因此B=135",

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosB=l+2-2x1x&x（-曰）=5,「心通.故選B.

7.（2013課標(biāo)n文,4,5分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=2,B=1C=J,則AABC的面積為

o4

（）

A.202B.V3+1C.2V3-2D.V3-1

答案B由二及已知條件得c=2a.

sinBsine

「1V2V3V2V2+V611V2+V6r-

又sinA=sin（zB+Cx）=-x—+—x—=---.從而SAABc=-bcsinA=-x2x2Vr2x---=y/3+l.故選B.

ZZZZ4LL4

8.（2013課標(biāo)I文,10,5分）已知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,

則b=（）

A.10B.9C.8D.5

答案D由23COS2A+COS2A=0得25cos2A=1,

112

因?yàn)锳為銳角,所以cosA=-.又由a2=b2+c2-2bccosA得49=b2+36-—b,整理得5b2-12b-65=0,

13

解得b二了（舍）或b=5,故選D.

9.（2016課標(biāo)IH,8,5分）在AABC中,B=；,BC邊上的高等于|BC,則cosA二（）

3V10V10Vio3^410

A.B.C.__~~~D.———

10101010

[2/2

答案c過(guò)A作AD±BC,垂足為D,由題意知AD=BD=-BC,則CD=-BC,AB=yBC,AC=yBC,在AABC中,由余弦

g+AcZ-B/爭(zhēng)C2+5BC2BC2

VTo,,

定理的推論可知,cos/BAC*:一^丁,故選C.

2ABAC2x孝BCx苧BC

10.（2021全國(guó)乙理，15,5分）記AABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為遮,5=60°,/+/=3℃,則

b=.

答案2注

解題指導(dǎo):首先由面積公式得ac的值,再借助余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化,從而得到b與ac的關(guān)系.

解析由SAABC=IacsinB=-^-ac=遍得ac=4.

由b2=a2+c1-2ac-cosB=a2+c2-ac,

結(jié)合a2+c2=3ac得至!Jb2=2ac=S,*.b=2y/2.

方法總結(jié):解三角形問(wèn)題時(shí)，若條件中含有邊的二次式和角，則考慮用余弦定理;若條件中含有角或邊的一次

式,則考慮用正弦定理;特征不明顯時(shí),兩個(gè)可能都用.

11.（2021浙江,14,6分）中，ZB=60°,M是8C的中點(diǎn),AM=2y/3,則AC=,cosZ

MAC=.

答案2m;警

解題指導(dǎo):解三角形的關(guān)鍵在于鎖定已知的邊長(zhǎng)和角較多的三角形,抓住''邊長(zhǎng)"，求AC的長(zhǎng)時(shí)，在不同三

角形中分別用兩次余弦定理即可;求NM4C的余弦值時(shí),在AACM中直接利用余弦定理可得結(jié)果.

解析由題意知在AABM中,AB=2,ZB=60°,AM=2V3,

由余弦定理得即

解得BM=4或BM=-2（舍）,

為BC的中點(diǎn)，.?.BAf=MC=4,BC=8,

在AABC中，由余弦定理知AC^A"+BC^ABBGcosB,

.?.AC2=4+64-2x2x8xi=52,

2

AAC=2VT3.

在△AMC中，由余弦定理可得

AM2+AC2-MC212+52-162-739

cosZMAC=---------------=----F~T==-------

2AM-AC2X2V3X2V1313

一題多解過(guò)A作AH_LBC交8c于H,,.,ABuZ,ZB=60°,：.AH=y/3,BH=1,X'-"AM=2y[3,：.HM=3,：.

BM=MC=4,：.AC=y]AH2+HC2=y/AH2+(HM+MC)2=V3+49=2V13.

在AAMC中，由余弦定理可得

32+心—MU2回

cosZMAC=12+52-16_2

2AM-AC2X2V3X2V13-13'

_45

12.(2016課標(biāo)n,13,5分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=",cosC=—,a=l,則

b=.

冬-空21一

口木13

_63

gL3123541263ablx送21

2解1析由已知可得sinA=-,sinC=—,則milsinB=sin(Az+Cx)=-x—+-x再由一二一b二——二.

51351351365smAsmB213

5

思路分析利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA與sinC的值,進(jìn)而由sinB=sin(A+C)求出sinB的

值再利用正弦定理即可求出b的值

13.(2019課標(biāo)n文，15,5分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則

B=.

3

答案F

解析本題考查正弦定理及三角函數(shù)求值，考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.

在AABC中，由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0,

'.,sinA7^0,/.sinB+cosB=0,

即tanB=-l,

又B￡(0,Tl),「.B當(dāng).

14.(2017課標(biāo)in文,15,5分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=&,c=3,則

A=.

答案75。

解析由正弦定理得」一=粵,.isinB=孝，

sin60°smB2

又?「c>b,/.B=45°,/.A=75°.

易錯(cuò)警示本題求得sinB=/■后,要注意利用b<c確定B=45。,從而求得A=75°.

15.(2017課文,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,右2bcosB—acosC+ccosA,則

B=.

答案60°

解析解法一：由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinC,cosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180°

-B),可得B=60°.

__六fe，日cici2+c2-fo2a2+Zj2-c2Z?2+c2-a2a2+c2-b2、1,匚匚

解法一:由余弦7E理得2b--------二a?———+c-—----,即b---------二b,所以a2+c2-b2=ac,所

2ac2ab2bcac

以cosB=i又00<B<1800,所以B=60°.

思路分析利用正弦定理或余弦定理將邊角統(tǒng)一后求解.

16.(2016北京文,13,5分)在AABC中,NA丹,a=^c,則竺

答案1

解析在aABC中，a2=b2+c2-2bc?cosA,

將NA=與,a=V3c代入，

可得(beMAcBbc-(-?

整理得2c2=b2+bc.

?.等式兩邊同時(shí)除以c)

?b2be(bVb

得2二”+”,BQPn2=(-)+-.

czcL\c/c

令t=-(t>0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,

c

解得t=l或t=-2(舍去),

思路分析本題先由余弦定理列出關(guān)于b、C的方程，再將方程轉(zhuǎn)化為以2為變?cè)姆匠糖蠼?

C

評(píng)析本題考查余弦定理的應(yīng)用及換元思想的應(yīng)用,屬中檔題.

17.（2015福建理,12,4分）若銳角AABC的面積為10Vl且AB=5,AC=8,則BC等于.

答案7

解析設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,由已知及gbcsinA二10百得sinA=-^,因?yàn)锳為銳角,所以

I1

A=60°,cosA=-.由余弦定理得aJ^+c^ZbccosA=25+64-2x40x/=49,故a=7,即BC=7.

評(píng)析本題考查了三角形的面積和解三角形,利用三角形的面積求出COSA是求解關(guān)鍵.

18.（2015安徽文,12,5分）在4ABC中,AB=&,ZA=75°,ZB=45°,貝AC=.

答案2

ARACARsinRV6-sin45°

解析由已知及三角形內(nèi)角和定理得NC=60。,由『二』知AO—；—二-------二2.

sinesinnsinCsin600

19.（2015福建文,14,4分）若AABC中,AC=V3,A=45",C=75",則BC=.

答案V2

解析B=180o-45o-75o=60o.由正弦定理得吟=能，可得BC=，I

smBsini4

1

20.（2015重慶文,13,5分）設(shè)4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=--,3sinA=2sinB,則

c=.

答案4

解析由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,又a=2,所以b=3,故c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2x2x3x

（一3）=16,所以c=4.

sin2/

21.（2015北京理,12,5分）在AABC中,a=4,b=5,c=6,則

答案1

h2+2_2^^2_423

解析在AABC中,由余弦定理的推論可得cosA=fc-a=—+^――=-,由正弦定理可知

2bc2x5x64

3

sin24_2sin4cos4_2a-cos4_2x4X4_]

sinCsinCc6'

評(píng)析本題主要考查正弦定理、余弦定理的推論以及二倍角公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和知識(shí)的

應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力.

22.（2014課標(biāo)I理,16,5分）已知a,b,c分別為4ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,且（2+b）（sinA-sin

B）=（c-b）sinC,則AABC面積的最大值為.

答案V3

解析因?yàn)閍=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化為(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定

h?.202

理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b?+c2-a?二be,由余弦定理可得cosA二一—...又0<A<TT,故A..因?yàn)?/p>

2bc2bc23

1/)2+c2—42bc—41

cosA?——,所以bc<4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào).由三角形面積公式知SAABc-besin

22bc2bc2

評(píng)析本題考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及基本不等式的應(yīng)用,考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用

能力以及運(yùn)算求解能力.能把2代換成a是正確解決本題的關(guān)鍵.

23.（2011課標(biāo)文,15,5分）AABC中,B=120°,AC=7,AB=5,則4ABC的面積為.

解析由余弦定理b2=/+c2—2accosB,及已知條件得

49=a2+25-2x5xacos120°.

整理得a+5a-24=0,

解得a=3或a=-8（舍）.

1115V3

?'.SAABc--acsinB=-x3x5sin120o二一--.

224

評(píng)析本題考查余弦定理、解三角形等知識(shí),根據(jù)余弦定理正確求出a的值是解答本題的關(guān)鍵.

24.（2020新高考I,17,10分）

在①ac=V5,②csinA=3,③方這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c

的值;若問(wèn)題中的三角形不存在,說(shuō)明理由.

問(wèn)題:是否存在它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為且

AABC,A,B,Ca,b,c,sinA=V3sinB,C=og____________?

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析方案一:選條件①.

由c=m和余弦定理得智F=條

62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理得a=y/3b.

于是嚶薩=當(dāng)由此可得b"

由①。。=舊,解得a=V3,b=c=l.

因此,選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在,此時(shí)c=l.

方案二:選條件②.

由C=￡和余弦定理得智了=￡

62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理得a=y/3b.

于是嗎薩=T由此可得b-B=C關(guān),A號(hào).

由②csinA=3,所以c=b=2y/3,a=6.

因此,選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在,此時(shí)c=2Vl

方案三:選條件③.

由和余弦定理得駕了=條

62ab2

由sinA=V3sinB及正弦定理得a=V3b.

于是嚶浮=當(dāng)由此可得?

由③與b=c矛盾.

因此,選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在.

25.（2022浙江，18,14分）在中，角A,昆C所對(duì)的邊分別為a,瓦c.已知4〃二7外,cosC=|.

（1）求sinA的值；

⑵若打H,求△AHC的面積.

解析⑴由于cosC=|,sinC>0,則sinC=g.

由已知及正弦定理得4sinA=V5sinC,則sinA=，.

（2）解法~1:由sinC=t>sinA=^-,cosC=|>0,得A<C<p/.cos

?，小A「A?「b日bsinA_

.?si?nCB=s?m/\./A+C）=sinAcosC+cosAsmC=-11-V-5,田u-.---=--a-付4a=------=5,

25sinBsinAsinB

故ZkABC的面積S^absinC=1x5xllx蓑22.

解法二：由COSC=|=a；匕;得普斫次+⑵一/

52ab5

將c=-^=a代入上式整理得層+6々-55=0,解得a=5或a=-ll（舍），，AABC的面積S=-absinC=-x5x11x

V522

-=22.

5

26.（2021新高考/,19,12分）記△ABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為a",c.已知b2=ac,點(diǎn)。在邊AC上,BDsin

ZABC=asinC.

⑴證明：30=6;

⑵若AD=2DCf求cosZABC.

解題指導(dǎo)：（1）利用正弦定理將題干中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系是解題突破口.（2）在不同的三角形中

利用余弦定理探究邊長(zhǎng)間的關(guān)系是解決本題第二問(wèn)的關(guān)鍵.

解析⑴證明：在中，由5DsinNA3C=〃sinC及正弦定理可得BD斥”又b2=ac,所以BDb=b?,故

BD=b.

⑵由AD^lDC得AD=|"DC=g,

AD2+AB2-BD2C2--b2

在△A3。中，cosA=9

2ADAB-be

3

忐+心一叱_匕

在△?13c中,cosA=2+c2-a2

2ACAB-2bc

b2+c2a

故軍竺=-\化簡(jiǎn)得3cMi3+6/=0,

-be2bc

3

又Z?2=ac,

所以3c2-llac+6a2=0,即(c-3d)(3c-2tz)=0,

所以c=3a或c=|a

當(dāng)c=3a時(shí),b2=ac=3a2,所以b=y/3a,此時(shí)a+b<c,故a,b,c構(gòu)不成三角形;

當(dāng)c=|a時(shí),b2=ac=^a2,所以b空此時(shí)a,6,c可以構(gòu)成三角形，

a+cb

故c上a,b=^-a,所以在△ABC中，cosZABC=~=3a

332ac2a—。a+吃

3

27.(2021北京,16,13分)已知在AA8C中,c=20cosB,C=y.

(1)求B的大??；

(2)在三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，使44BC存在且唯一確定,并求BC邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度.

①C的,②AABC的周長(zhǎng)為4+2何③小c=乎.

解析(1)由c=2Z?cosB及正弦定理得，sinC=2sinBcosB,即sinC=sin2B,五,.*.0<B<psin

2若，，畤

(2)由⑴可知三角形三內(nèi)角均可求出，只有知道邊長(zhǎng),三角形才能被唯一確定，因此選②或③.如圖所示,設(shè)。

為BC的中點(diǎn),則AD為8C邊的中線(xiàn).

若選②,AABC的周長(zhǎng)為4+2V3.

c=V3b,a=b,a+b+c=b+b+yl3b=2b+V3/>=4+2y/3,

：.b=2,貝！JCD=1,

在AACZ)中，由余弦定理得人。2=462+?！?gt;2_240。。8$。=22+12_2*1*2*(-3=7,???40=77,因此5c邊上的中

線(xiàn)長(zhǎng)為舊.

若選③,SAABC=^-.

4

SMB昌absinC=亨82=乎，即b=s/3,則CD=y,在"CD中，由余弦定理得小幺0+⑦一2/。/^

C=3+--2XbX隹X(一)=烏，；.4。=回.因此BC邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為旦.

42\2/422

15.(2022北京，16,13分)在AABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求NC;

⑵若b=6,H.AABC的面積為6V3,求AABC的周長(zhǎng).

解析⑴'；sin2C=V3sinC,.".2sinCeosC=V3sinC,又sinC^O,.".cosC=~.

VZCG(0,Ji),.'.ZC=-.

6

(2)*/S^ABC=-absinC=-ax6xsin-=-a=675,

2262

a=4V3.

由余弦定理得C2=(4A/3)2+62-2X4V3X6Xy=12,

.*.c=2V3,AABC的周長(zhǎng)為a+b+c=6+6y/3.

28.(2017課標(biāo)H理,17,12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin=1.

⑴求cosB;

(2)若a+c=6,AABC的面積為2,求b.

解析本題考查了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用.

B

(1)由題設(shè)及A+B+OTI得sinB=8sin2—,故sinB=4(1-cosB).

上式兩邊平方,整理得17COS2B-32COSB+15=0,

15

解得cosB=1(舍去)，cosB=—?

,.15/日8.,14

(2)xBScosB二記得sinB=—,EXSAABc=-acsinB=-ac.

17

又SAABC=2,則ac=y.

由余弦定理及a+c=6得bJa'c'—ZaccosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2x：x(l4-

所以b=2.

解后反思在余弦定理和三角形面積公式的運(yùn)用過(guò)程中,要重視“整體運(yùn)算”的技巧.如本題中

b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)中的轉(zhuǎn)化就說(shuō)明了這一點(diǎn).

一3

29.(2017北京理,15,13分)在AABC中，ZA=60°,c=-a.

⑴求sinC的值；

(2)若a=7,求4ABC的面積.

解析本題考查正、余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式.

3

⑴在4ABC中，因?yàn)镹A=60°,c=-a,

-csinTl3V33A/3

所以由正弦XE理得sinC=----=-x—=—.

a7214

3

⑵因?yàn)閍=7,所以c=-x7=3.

1

由余弦定理a2=b2+c-2bccosA得7-b2+32-2bx3x-

解得b=8或b=-5(舍).

所以AABC的面積S=^bcsinA=gx8x3x苧=6百.

解后反思根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.在求解面積

時(shí),經(jīng)常用余弦定理求出兩邊乘積.

30.(2017山東文,17,12分)在Z\ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3,AB-AC=~6,S*3,求A

和a.

解析因?yàn)槿?前二-6,所以bccosA=-6,

又SAABC=3,所以bcsinA=6,

因此tanA=-l,又0<A<TT,所以A二手.

又b=3,所以C=2A/2.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

得a=9+8-2x3x272x(-y)=29>

所以a=內(nèi).

,__?.■、...._ii__,■>>ir-i,ia-?cos/1COSBsinf

31.（2016四川文,18,12分）在AABC中,角A,B,C所對(duì)的K邊分別是a,b,c,且丁+丁=丁

⑴證明：sinAsinB=sinC;

(2)若b2+c2-a2=-|bc,求tanB.

解析(1)證明:根據(jù)正弦定理,

可端噓噎二代。).

貝a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.

八、、cosZcosBsinC,.

代入丁十丁二丁中，有

cosi4cosBsinC-“一’口

----+-----二----,變形可得

ksinAksinBksinC

sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）.

在AABC中，由A+B+C=TT,有sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,

所以sinAsinB=sinC.

⑵由已知,b2+c2-a2=|bc,

根據(jù)余弦定理,有cosA=--*——

2bc5

所以sinA=V1—cos2A=g.

由⑴,sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,

443

所以gsinB=-cosB+-sinB,

.,sinB

故tanB=---=4.

cosB

方法總結(jié)解三角形中,要根據(jù)題干條件恰當(dāng)選取正、余弦定理,當(dāng)涉及邊較多時(shí),可考慮余弦定理,當(dāng)涉及

角較多時(shí),可考慮正弦定理.AABC中,也常用到sin(A+B)=sinC.

評(píng)析本題考查了正、余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，根據(jù)條件恰當(dāng)選擇正、余弦定理是解題的關(guān)

鍵.

32.(2016浙江文,16,14分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.

⑴證明:A=2B;

2、

(2)若cosB=-,求cosC的值.

解析(1)由正弦定理得

sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,

于是sinB=sin(A-B).

又A,B￡（0,Ti）,故（KA-B〈n,

所以,B=TT-。3）或8=人3，

因此A=rr（舍去）或A=2B,

所以,A=2B.

⑵由cosB=|得sinB=苧，

,1

cos2B=2cosB-1二w，

十61.4V5

故cosA=w，slnA=—,

22

cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=—.

評(píng)析本題主要考查正弦和余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.

33.（2016課標(biāo)I理，17,12分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC?（acosB+bcosA）=c.

⑴求C;

⑵若c=幣,AABC的面積為早,求AABC的周長(zhǎng).

解析（1）由已知及正弦定理得，

2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC,（2分）

2cosCsin（A+B）=sinC.

故2sinCeosOsinC.（4分）

1TT

可得cosC=2,所以C=w.（6分）

（2）由已知，得/absin

又c（,所以ab=6.（8分）

由已知及余弦定理得,a>b2-2abeosC=7.

故a，b2=13,從而（a+b>=25.（10分）

所以AABC的周長(zhǎng)為5+V?.（12分）

解后反思本題屬解三角形問(wèn)題中的常見(jiàn)題型,要先利用正弦、余弦定理，將已知中的"邊"或"角"的關(guān)

系式，轉(zhuǎn)化為只有"邊"或只有"角"的方程形式，進(jìn)而通過(guò)三角函數(shù)或代嬲口識(shí)求解方程.解題中要注意三

1

角形的一些性質(zhì)應(yīng)用,例如：sin（A+B）=sinC,SAABc=-absinC.

評(píng)析本題重點(diǎn)考查了正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，同時(shí),對(duì)三角恒等變換的公式也有所考查.

在解題過(guò)程中,要注意先將已知條件中的"邊"與"角"的關(guān)系,通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為"角"之間的關(guān)系，

再運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)求解.

34.(2016浙江理,16,14分)ffiAABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.

⑴證明:A=2B;

a2

⑵若AABC的面積S=—,求角A的大小.

解析⑴由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,

故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinA?cosB+cosAsinB,

于是sinB=sin(A-B).

又A,BG(0,TT),故0<A-B<n,所以,B=TT-(A-B)或B=A-B,

因此A=n(舍去)或A=2B,

所以,A=2B.

(2)由S=+得gabsinC=1,故有sinBsinC=^sin2B=sinBcosB,

4242

因sinBWO,得sinC二cosB.

又B,C￡(0,Tl),所以Cg士B.

當(dāng)B+C=5時(shí),A=-;

當(dāng)c-B=m時(shí),A=-.

Z4

...IT,、It

綜上,或A=彳.

思路分析(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式將已知條件轉(zhuǎn)化為NA與NB的三角函數(shù)關(guān)系,利用A,B的范

圍誘導(dǎo)公式得出NA與NB的關(guān)系；

(2)利用三角形的面積公式將已知條件轉(zhuǎn)化為NC與NB的三角函數(shù)關(guān)系,再由ZB,ZC的范圍及誘導(dǎo)公式求

ZA的大小.

評(píng)析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.

35.(2015課標(biāo)H理，17,12分)AABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分NBAC,AABD面積是AADC面積的2倍.

sinNB

⑴求----;

sinZC

(2)若AD=1,DC=y,求BD和AC的長(zhǎng).

解析(1)SAABD=-AB?ADsinZBAD,

1

SAADC--AC,ADsinZCAD.

因?yàn)镾AABD=2SAADC,NBAD=NCAD,所以AB=2AC.

sinzgXC1

由正弦定理可得

sinZCAB5

⑵因?yàn)镾aw:SAMFBD:DC,所以BD=V2.

在AABD和AADC中，由余弦定理知

AB=AD2+BD-2AD?BDcosZADB,

AC-AD2+DC2-2AD-DCcosZADC.

故AB2+2AC=3AD2+BD2+2DC2=6.

由⑴知AB=2AC,所以AC=1.

評(píng)析本題考查正弦定理,余弦定理的應(yīng)用,以及三角形的面積公式.屬常規(guī)題,中等偏易.

36.（2015課標(biāo)I文,17,12分）已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sinAsinC.

⑴若a=b,求cosB;

（2）設(shè)B=90°,且a=V2,求AABC的面積.

解析（1）由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.

又a=b,可得b=2c,a=2c.

由余弦定理可得cos4（6分）

2ac4

（2）由（1）知b，=2ac.

因?yàn)锽=90°,由勾股定理得a"c三出

故a2+c2=2ac,得c=a=&.

所以AABC的面積為1.（12分）

評(píng)析本題考查了正弦定理、余弦定理;考查了解三角形的基本方法，屬容易題.

IT1

37.（2015浙江理,16,14分）在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知A=-,b2-a2=-c2.

4Z

⑴求tanC的值；

⑵若4ABC的面積為3,求b的值.

I11

解析⑴由b?-@2二,2及正弦定理得sin2B--=-sin2C,所以-cos2B二sir12c.

1T3

又由A=:，即B+C二:TI,得-cos2B=sin2C=2sinCeosC,

44

解得tanC=2.

(2)由tanC=2,C?(0,TT)得sincosC=g.

又因?yàn)閟inB=sin(A+C)=sin(；+c\所以sin

由正弦定理得C=^b,

又因?yàn)锳=7,1bcsinA=3,所以bc=6\/2,故b=3.

4Z

評(píng)析本題主要考查三角函數(shù)及其變換、正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.

38.(2015山東理，16,12分)設(shè)f(x)=sinx,cosx-cos(久+：).

⑴求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)在銳角4ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若f(1)=0,a=l,求AABC面積的最大值.

sin2x1+COS(2X+5)

解析(D由題意知f(x”等-----1~篁

sin2x1—sin2x1

=------------sin2x--.

222

[iji11ji

S--+2kTl^2x^-+2kTl,kGZ,可得-了+即心忘了+g,k￡Z;

2244

Tt3IT__IT3IT

由7+2kTtW2xWk+2kTU,k￡Z,可得7+knWx〈7+kTi,kRZ.

2244

所以f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是[一：++kn](kez);

單調(diào)遞減區(qū)間是卜+kn,與+ku](kez).

/4\1

由

f(-)-s?n得s-

2)\2z-1InA=2

由題意知A為銳角,所以cosA=—.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,

可得l+V^bc=b2+c222bc,

即bc^2+V3,且當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立.

因此gbcsinAW

所以4ABC面積的最大值為空.

評(píng)析本題考查三角恒等變換,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法,對(duì)運(yùn)算能力

有較高要求.屬中等難度題.

39.(2015陜西理,17,12分)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量m=(a,遮b)與n=(cosA,sinB)

平行.

⑴求A;

(2)若"小,b=2,求aABC的面積.

解析(1)因?yàn)閙〃n,所以asinB-\/3bcosA=0,

由正弦定理，得sinAsinB—\/3sinBcosA=0,

又sinBWO,從而tanX=y/3,

由于0<A<n,所以A

⑵解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,

及a=5,b=2,A=g,

得7—4+c2-2c,MPc2—2c—3—0,

因?yàn)閏>0,所以c=3.

故ZkABC的面積為gbcsinA二二段.

解法二:由正弦定理,得圣=熹，

■Hvn

從而sinB=—,

又由a>b,知A>B,所以cos

故sinC=sin(A+B)=sin(B+§

.TT.IT3V21

二sinBcos—+cosBsin-.

3314

所以AABC的面積為%bsinC=竽.

40.(2014課標(biāo)H文,17,12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.

⑴求C和BD;

(2)求四邊形ABCD的面積.

解析（1）由題設(shè)及余弦定理得

BD=BC*2+*6CD-2BC-CDcosC

=13-12cosC,①

BD2=AB2+DA2-2AB?DAcosA

=5+4cosC.②

由①,②得cos［故C=60。,BD坊.

⑵四邊形ABCD的面積

11

S=-AB-DAsinA+-BC?CDsinC

=2<3.

評(píng)析本題考查余弦定理的應(yīng)用和四邊形面積的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化的思想,把四邊形分割成兩

個(gè)三角形是求面積的常用方法.

41.（2014浙江理,18,14分）在4ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知aW

b,c=V3,cos2A-cos2B=V3sinAcosA-V^sinBcosB.

（1）求角C的大

4

(2)若sinA=-,求AABC的面積.

解析（1）由題意得

14-cos2i4l+cos2BV3V3

sin2A---sin2B,

2222

V3.1V31

即nn萬(wàn)sin2A-cos2A=—sin2B--cos2B,

n

sinl2A—

6

由aWb,得AWB,又A+Be(0,TT),得

TTn

2A--+2B--=Tl,

66

__2u

即A+B『,

所以c1.

⑵由⑴及c=V3,sinA4,就=已,得a號(hào),

3

由a<c,得A<C.從而cosA二三

故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=———,

所以,AABC的面積為S=1acSin8=嗖竺.

評(píng)析本題主要考查誘導(dǎo)公式、兩角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí),

同時(shí)考查運(yùn)算求解能力.

42.(2013課標(biāo)n理,17,12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.

⑴求B;

(2)若b=2,求AABC面積的最大值.

解析(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinC?sinB.①

又A=TT-(B+C),

故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②

由①②和Cd(0,TT)得sinB=cosB.

又Be(0,n),所以B與

]V2

(2)AABC的面積S=-acsinB=—ac.

24

由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos^.

4

4

又a'+c'Aac,故acW會(huì),當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立.

因此AABC面積的最大值為a+1.

43.(2012課標(biāo)文,17,12分)已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,c=ga?sinC-ccosA.

⑴求A；

(2)若a=2,AABC的面積為遮,求b,c.

解析⑴由c二BasinC-c-cosA及正弦定理得/sinA,sinC-cosA,sinC-sinC=0.

1

由于sinCWO,所以sin(/—?jiǎng)?/p>

2,

IT

又0〈A〈TT,故A=-.

(2)AABC的面積S=-bcsin故bc=4.

而a2=b2+c2-2bccosA,

故b2+c2=8,解得b=c=2.

評(píng)析本題考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,靈活利用正、余弦定理是求解關(guān)鍵,正確

的轉(zhuǎn)化是本題的難點(diǎn).

44.（2012課標(biāo)理,17,12分）已知a,b,c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,acosC+V3asinC-b-c=0.

⑴求A;

（2）若a=2,AABC的面積為Ji,求b,c.

解析（1）由acosC+V3asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+V3sinAsinC-sinB-sinC=0.

因?yàn)锽=TT-A-C,所以＞/5sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.

由于sinC#0,所以sin（4-e月.

IT

又故A=-.

（2）AABC的面積S=-bcsin故bc=4.

而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.

評(píng)析本題考查了正、余弦定理和三角公式，考查了方程的思想.靈活運(yùn)用正、余弦定理是求解關(guān)鍵.

考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用

1.（2021全國(guó)甲理,8,5分）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單

位:m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖,現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn),

且A,B,C在同一水平面上的投影A】B',。滿(mǎn)足

ZA'C'B'=45°,/4BC=60。.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°,BB'與CC的差為100;由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為

45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面ABC的高度差4T-CC約為（遍切.732）（）

A.346B.373C.446D.473

答案B如圖,過(guò)點(diǎn)C分別作A'C,的平行線(xiàn),分別交4A與BB于點(diǎn)D和E,連接DE,則DE//A'B',過(guò)點(diǎn)

B作DE的平行線(xiàn)BF,交4r于點(diǎn)F.

A

故△A'B'CNZXOEC,???NOCE=NA'CB'=45。,

ZCDE=ZC,A,B,=lS0°-ZA,C,B'-ZA'B'C>=75o.

在RtABCE中，可得tan15°=||,即2-V3=詈,

???CE=黑二100(2+?

在ACDE中，由正弦定理可得,

sm45°sin750

...D￡=sin4￡c￡=I。。(遍+1),

又知在RtAABF中，NAB尸=45°,所以AF=BF,所以

AACC'=AD=AF+DF=AF+BE=BF+BE=DE+BE=100（2+圾=373.故選B.

解題關(guān)鍵通過(guò)作平行線(xiàn)（或垂線(xiàn)），將空間問(wèn)題平面化,然后利用正弦定理解三角形是本題的關(guān)鍵.

2.（2021全國(guó)乙理,9,5