湖南湖北三校2024屆高三年級下冊4月模擬考試二（含答案解析）

湖北省華中師范大學第一附屬中學、湖南省湖南師范大學附

屬中學等三校2024屆高三下學期4月模擬考試(二模)數(shù)學

試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若集合A={x|3%2_16%40},3={x|y=ln(5元一2)},則AB=()

A.1x|O<X<||B.

c-D-bt<x-y!

2

2.已知z=(2a-l)+(a+l)i(aeR),則z|=是"a=二”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.如圖所示，己知一質(zhì)點在外力的作用下，從原點0出發(fā)，每次向左移動的概率為:，

向右移動的概率為;.若該質(zhì)點每次移動一個單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動后，該質(zhì)點位

于X的位置，則P(X>0)=()

-4-3-2-10123456^

50

A052八2「17

A?-----B.C.—U.—

243243981

4.青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分

記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足

I=5+lgV.已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9,記小明和小李

視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為乂，區(qū),則能?()

A.(1.5,2)B.(2,2.5)C.(2.5,3)D.(3,3.5)

1+tan1902cos70°/、

3.oo-)

1-tan370sin40

A.tan20B.tan70C.—tan10D.—tan40

6.已知正方體ABC。-44GA中，點E是線段B片上靠近用的三等分點，點尸是線段

AG上靠近2的三等分點，則平面AE尸截正方體ABCO-ABC4形成的截面圖形為

()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

7.已知數(shù)列M，｝的前〃項和為s“，S,=l,邑=3,且角是2%,%+2的等差中項,

Vi509

則使得2一＞不6成立的最小的〃的值為（）

Mq128

A.8B.9C.10D.11

8.若關(guān)于x的不等式?（lnx+lna）＜2e2^在（0,+s）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.（0,7e]B.（0,e2]

C.（O,e]D.（0,2e]

二、多選題

9.若函數(shù)〃力=卜2_（m_2卜+]在上單調(diào)，則實數(shù)加的值可以為（）

A.-1B.--C.-D.3

22

10.已知函數(shù)〃x)=sin(0x+e)(0>0),則()

A.若。=3,V，則將函數(shù)/（力的圖象向右平移瑞個單位后關(guān)于y軸對稱

318

B.若夕=：，函數(shù)在1,3上有最小值，無最大值，且/D,則o=5

C.若直線x為函數(shù)”力圖象的一條對稱軸，[￡,0）為函數(shù)〃尤）圖象的一個對

稱中心，且在上單調(diào)遞減，則。的最大值為二

D.若=；在xe[考上至少有2個解，至多有3個解，則4,梟

11.已知拋物線c：y2=2px（p＞0）的焦點為尸，點MN在拋物線c上，則（）

MF33

A.若M,N,F三點共線，且寸=:，則直線MN的傾斜角的余弦值為±=

NF47

B.若M,N,歹三點共線，且直線MN的傾斜角為45。，則OMN的面積為Yip?

2

C.若點A（4,4）在拋物線C上，且",N異于點A,AM，4V,則點MN到直線y=Y

的距離之積為定值

D.若點4(2,2)在拋物線C上，且M,N異于點A,kAM+kAN=Q,其中心“>1,

2/s

貝I]|sinZFMN-sinZFNM\<

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

22

12.關(guān)于雙曲線C：/==l（a>0,b>0）,四位同學給出了四個說法：

小明：雙曲線C的實軸長為8；

小紅：雙曲線C的焦點到漸近線的距離為3；

3

小強：雙曲線C的離心率為；；

小同：雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為1；

若這4位同學中只有1位同學的說法錯誤，則說法錯誤的是；雙曲線C的方程

為.（第一空的橫線上填“小明”、“小紅”、“小強”或“小同”）

13.已知等邊；ABC的外接圓。的面積為367，動點”在圓。上，若

MAMB+MBMC<A，則實數(shù)2的取值范圍為.

14.已知空間四面體ABCD滿足AB=AC=DB=OC,AD=23C=6,則該四面體外接球

體積的最小值為.

四、解答題

15.某農(nóng)業(yè)大學組織部分學生進行作物栽培試驗，由于土壤相對貧瘠，前期作物生長較

為緩慢，為了增加作物的生長速度，達到預(yù)期標準，小明對自己培育的一株作物使用了

營養(yǎng)液，現(xiàn)統(tǒng)計了使用營養(yǎng)液十天之內(nèi)該作物的高度變化

天數(shù)X12345678910

作物高度y/cm9101011121313141414

（1）觀察散點圖可知，天數(shù)無與作物高度y之間具有較強的線性相關(guān)性，用最小二乘法求

出作物高度y關(guān)于天數(shù)x的線性回歸方程夕=以+&（其中&花用分數(shù)表示）；

（2）小明測得使用營養(yǎng)液后第22天該作物的高度為21.3cm,請根據(jù)（1）中的結(jié)果預(yù)測

第22天該作物的高度的殘差.

￡（無,-可（"一刃io

參考公式：>=------------*=歹-笳.參考數(shù)據(jù)：￡%%=710.

元丫;=1

i=l

16.已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S“，且％=3,2S"=〃（a.+2）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若存在“eN*，使得」一+―一++一-—N/U什］成立，求實數(shù)幾的取值范圍.

。償2a2a3。,見+1

17.已知四棱柱ABC。-44GA如圖所示，底面ABCD為平行四邊形，其中點。在平

面A耳G2內(nèi)的投影為點A，且AB=A41=2AD,ZABC=120°.

(1)求證：平面ABDJ_平面ADRA;

(2)已知點E在線段G。上(不含端點位置)，且平面A8E與平面BCG片的夾角的余弦

值為害，求當?shù)闹?

51i

18.已知函數(shù)/(%)=ln(l+x)—.

⑴求曲線y=/(x)在(0,7(0))處的切線方程；

⑵若xe(-U),討論曲線y=/(x)與曲線y=-2cosx的交點個數(shù).

22

19.已知橢圓C：=+2=1e>5>0)短軸長為2,左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過點工

ab

的直線/與橢圓C交于M,N兩點，其中分別在X軸上方和下方，MP=PFX,NQ=QR,

直線PF,與直線MO交于點G),直線QF2與直線NO交于點G2.

⑵在(1)的條件下，過點工并垂直于x軸的直線交C于點8,橢圓上不同的兩點A,

。滿足EA，?耳目，|gq成等差數(shù)列.求弦A。的中垂線的縱截距的取值范圍；

⑶若4SMN%<3s可M5sMNG”求實數(shù)a的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定集合A,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域確定集合B,再根

據(jù)集合的交集運算得結(jié)果.

【詳解】因為集合4=卜肉2-16xW0}={x|0Wx4g},8={x[y=ln（5x-2）}=1x|x）|},

則A3=1x[g<xW.

故選：D.

2.B

【分析】由|z|=0建立。的等量關(guān)系，求解。，從而判斷選項.

【詳解】因為|z|=J（2aT『+（a+l）2=&,化簡得5a2_2a=0,解得。=0或a=|,故

“目=0”是“a=g”的必要不充分條件.

故選：B.

3.D

2

【分析】由題意當X>0時，X的可能取值為1,3,5,且X8（5,：）,根據(jù)二項分布的概率公

式計算即可求解.

【詳解】依題意，當X>0時，X的可能取值為1,3,5,且X3（5,|）,

所以P（X>0）=尸（X=5）+尸（X=3）+P（X=1）

故選：D.

4.C

【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出泊班麗，根據(jù)2.55=98<100<35=243得至U

痂屋（2.5,3）.

【詳解】依題意，+坐，兩式相減可得，0.4=匠-電匕=唾，

[4.5=5+坨匕K

故￡=10。4=^55,而25=98<100<35=243,故^155<2.5,3）.

答案第1頁，共18頁

故選：c.

5.A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導公式和倍角公式，準確化簡、運算,

即可求解.

sinlO

l+tanl902cos701+tanlO2sin20+coslO2sin20

【詳解】由

1-tan370sin401-tanlOsin40sinlO2sin20cos20

1----------

coslO

(coslO+sinlO)-1l+sin201”

-----弓-------------5-----------------=-------------------------=tan20"

cos-10-sin_10cos20cos20cos20

故選：A.

6.C

【分析】如圖，由題意，根據(jù)空間線面的位置關(guān)系、基本事實以及面面平行的性質(zhì)定理可得

1//AE,進而五//ME,結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)AB=6,分別延長AE、A瓦交于點G,止匕時4G=3,

連接FG交4G于耳，連接四，

設(shè)平面A跖與平面。CG2的交線為/,則/e/,

因為平面〃平面DCC］，，平面AEFc平面A831A=AE,平面AEFc平面

DCCyDx=I,

所以//M￡,設(shè)/DtD=I,則以/ME,

4

此時故肛=1連接旬,

所以五邊形兒FHE為所求截面圖形，

故選：C.

7.D

答案第2頁，共18頁

【分析】由題意得到｛〃「4｝是等比數(shù)列，進而得到%=2"\利用錯位相減法求出

￡上=4-答，構(gòu)造函數(shù)"x）='（x＞0）,并利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可

日%Z2

求出符合條件的〃的最小值.

【詳解】（用是2",,4,+2的等差中項，

a

?+2=3限-2a,,故an+2-an+1=2（a?+1-a?）,

而a,一%=S、-2S］=1N0,-----=2,

an+i-an

故數(shù)列｛%+「””｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，則%+「見=21,

??-1）+（??-1-??-2）++（出7+%=2^2+2^++2°+1=+1=2"~',

1—Z

記丁“=￡;則＜=焉+號++白,

i=l%ZZZ

24=Jr+|r+L+鼠，

Tn=[+4+!+L+工-n/2+〃

兩式相減可得,-----=4---------

"2T20212"~22"2〃-i2”T

2

i2+"人"2+n5092+n3

即￡*一4一廣，才4一手＞同，即nn廣＜高'

i=i%乙ZIZoZIZo

2^-（2+x）-2x-1-ln2_l-（2+x）-ln2

設(shè)/口）=券。＞0），則-（無）=

x＞0,，r（x）＜。，，/（x）在（0,+8）單調(diào)遞減,

［筌］是遞減數(shù)列，

2+n_2+10_3

一當〃=10時，10

2，T-2^-128’

509

*e?當〃＞10時，說

nj509

,使得X—＞高？成立的最小的n的值為11.

Z7?,■128

故選：D.

答案第3頁，共18頁

8.D

【分析】根據(jù)指對混合型不等式，利用指對運算將不等式。(111*+1110)4262工轉(zhuǎn)化成

曲n(詞<2雙"，根據(jù)結(jié)構(gòu)相同設(shè)函數(shù)/(x)=xe',xeR,利用函數(shù)的單調(diào)性及取值情況,

2x2x

將問題轉(zhuǎn)化為a<三,令8紅卜彳戶已他+司，求導確定最值即可得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】依題意得，axln(ax)<2xe2\故即⑹ln(ax)"2府"

令/(尤)=m*,xeR,則/'(x)=(x+l)e",令/'(x)=0可得尸-1,

所以時，/'(x)<0,則/(x)在(-oo,T)上單調(diào)遞減，xe(-l,+oo)時，/'(x)>0,

則/(X)在(-1,+8)上單調(diào)遞增;

且當x<0時，/(x)<0,當x>0時，/(x)>0；

2x

貝U由7(in依)W/(2x)(x>0),得ln(ax)W2x,貝!—

x

令g(x)=J，x￡(0，+8)'則g，(x)=(2x?e,

故當x40，m時，g[x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當xeg,+j時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

故[g(x)]mm=gg1=2e,貝i]aW2e,則實數(shù)"的取值范圍為ae(0,2e]

故選：D.

9.BD

【分析】分別討論AV0和A>0兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析，即可得到答案.

【詳解】①當八=(加一2)2-440,BPO<m<40t,/(x)=|x2-(m-2)x+l|=x2-(m-2)x+l,

m—9

所以fM的對稱軸為x=三一,則/(%)的圖象如下：

結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)""=產(chǎn)_(加_2卜+［在上單調(diào)，則彳*或

乙乙乙乙

答案第4頁，共18頁

m—21

----<——,解得：機23或加￡1,即3WmW4或0?機?1；

2---2

②當A=O—2)2—4>0,即相<0或機>4,令人(X)=爐一(m—2)%+1,則%(%)的對稱軸為

結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)〃力=--(加-2卜+1|在上單調(diào),

1m—2

卡2~2

或j

/z(--)<0

91

解得：4<m^—,或一一<m<0,

22

91

綜上：3〈m《耳或一5w根wi；

故選：BD

10.ACD

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖像平移及正弦函數(shù)性質(zhì)可逐一判定各選項.

【詳解】對于A：若0=3,則”x)=sin(3x+1],將函數(shù)〃x)的圖象向右平移日

313/18

個單位后得g(x)=sin[X-g+弓j=sin卜x一鼻=-cos3x,

其圖象關(guān)于y軸對稱，故A正確；

對于B：依題意，當.上=工時，“X)有最小值，所以sin[?+：卜-1,

所以曹+三=2析+?；痚z),所以0=84+3化eZ),

因為〃x)在區(qū)間。，雪上有最小值，無最大值，所以即oW12,

令k=0,得。=1?4,故B錯誤；

答案第5頁，共18頁

詈+夕=2勺兀+：化eZ）

與^+0=&兀（心eZ）,則或故C正確;

對于C：依題意有，

兀、兀兀兀

T=-2-5--7

2G6412

對于D：因為“工)=；,貝ljs+夕=2E+[(左EZ)或G%+0=2E+g(k￡Z),

一兀

則mi%=上0-+--2%--+春（丘Z）或.+至(ZeZ),

CDCD6a)

JTTT

則需要上述相鄰三個根的距離不超過5,相鄰四個根（距離較小的四個）的距離超過萬,

271<71

即《32,解得口￡4,—j,故D正確;

8兀兀

——>—

、3。2

故選：ACD.

11.BCD

【分析】分別設(shè)定拋物線C和直線MN的方程，設(shè)2（網(wǎng),％）,N（9,%）,聯(lián)立求得關(guān)于點

3y.3

坐標的韋達定理形式，進而轉(zhuǎn)化各個選項即可；選項A,=7轉(zhuǎn)化為五=一^,

求解即可；選項B,50W=1x|x|y2-yi|,求解即可；選項C,求得點M,N的坐標，進

而求得點到直線＞=-4的距離，求解即可；選項D,設(shè)點下到直線MN的距離為d,

11

可得|sinNFMN-sinNFNM\=d\FM\網(wǎng)'求解即可?

【詳解】對A,設(shè)拋物線C：y2=2px,設(shè)直線初V：x=”夕twO）,

y2—2px

設(shè)N（天,%）,聯(lián)立“P,

貝1|9一2。力一=0,%+丫2=2pt，%為=-P2，

MF3V,313

由于訴=W，可得五=一7,代入上式得：-y2=2^,--y2=-p，

解得：/=4，且直線MN的斜率為1,

48t

sincn

設(shè)直線MN的傾斜角為。，則tan2a=48,且sir?a+cos2a=l,tani=-------,

coscr

答案第6頁，共18頁

則,，解得cosa=±；,故A錯誤；

2

對B,設(shè)拋物線C：y=2Px,且直線M;V的傾斜角為45。，

設(shè)直線MN：x=y+1,

y2=2px

設(shè)N(x2,y2),聯(lián)立＜n,

I2

則y2—2py—p2=o，%+%=2〃，%%=-/，

sOMN=；x^x|%-M|=gJ(2p)2-4(-p2)=#p2,故B正確;

對c,由于點A(4,4)在拋物線c上，此時拋物線C：y2=4x,

設(shè)直線AM：%-4=*丁-4)(”0),

、y2=4x

聯(lián)立,(人

x-4=/(y-4)

貝u2一4。+16(”1)=0,解得”=4(舍去，此時M,A重合)或%=書一4,

則點M到直線＞=T的距離為回+4|=囹，

14

同理可得，因為/1M_L4V,則N到直線y=-4的距禺為4?--=-,

4

故所求距離之積為47=16,故C正確；

對D,由于點4(2,2)在拋物線C上，此時拋物線C：J=2x,

設(shè)直線AM：y-2=k(x-2),

與拋物線方程聯(lián)立可得"_2y+4-4左=0,

貝4加,2=-；—,則y”:一■—,用一左替換可得)N=—；-，

kkk

k_一一6_加一―_2_1

[Till~MN~XX—2、,2-,一G

人」M~N%>NVM+'N2，

T-T

，/\2\(2

21-n2-2k22z1+4x2+2左、

nIMwv-7,----,Nv—7,-----,

k2kk2k

\7\7

答案第7頁，共18頁

故直線MM，一2-丁2k=一］I>2（1_-左），即y=_/1x+至1一1,

12-2k2

則點F到直線MN的距離j2—一15k2-4（、，

a=-------j=------=w）

[1

而|sinZFMN-sinZFNM\=d

\FM\但N|

1_______1__

即sinZFMN-sinNFNM\=d二dXM—XN

11XMXN+^XM+/)+；

XM+2XN+2

IsinNFMN-sinZFNM\=5k---32%——,

120。1251-24父+16

16

得|sinZFMN-sinZFNM\=

忑25F-24+14650j+16

4

令t=5k——>1,

k

故即〃“如如昨翁九溪?卡.

t

|sinZFMN-sinZFNM\<.—==

yj5I16,585>

當且僅當f=4時等號成立，故D正確；

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：若點A在拋物線C上，且",N異于點A,七《+七.=。，則直線MN的

斜率為定值，且該定值為A處切線斜率的相反數(shù).

22

12.小強"=1.

【分析】根據(jù)題意，小明、小紅、小強三個人中必有1位同學說法錯誤，則小同的說法一定

是正確的，小明和小紅正確，小強的說法錯誤，得解.

【詳解】由此確定

c3

由題意，小明正確則有。=4,小紅正確有萬=3,小強正確有一=二，小同正確則有c-a=l,

a2

答案第8頁，共18頁

由此分析小明、小紅、小強三個人中必有1位同學說法錯誤，則小同的說法一定是正確的,

22

即c-。=1,則小明和小紅正確，即雙曲線C：1-3=1,故小強的說法錯誤.

169

22

故答案為：小強；—..-=1.

169

13.[72,+oo）

【分析】根據(jù)正三角形的幾何性質(zhì)可得外接圓半徑，再由正弦定理得邊長A5,取線段AC的

中點N,取線段3N的中點尸，根據(jù)向量的線性運算及數(shù)量積的運算性可得

21_2__

MA-MB+MB-MC=2MB-MN，旦MB-MN=MP--BN，再由三角形三邊關(guān)系列不等式得

4

結(jié)論.

【詳解】依題意，設(shè)；ABC的外接圓的半徑為R,貝lkR2=367T,故R=6,

在等邊「ABC中由正弦定理得=12,則AB=6石；

sin60

取線段AC的中點N,連接3N,則5N=Y^A5=9,

2

取線段5N的中點P,連接的，則。在線段上，且ON=±BN=3,所以

93

OP=NP-ON=一一3=-,

22

則=加_；前,又城二河尸（（MQ+QP）2=[+j;苧，

22521

故MB-MN4-------=36,則讓72.

44

故答案為：[72,+8）.

14.36TI

【分析】設(shè)及尸分別為3C,AQ的中點，連接AE,DE,BF,CF,結(jié)合三角形全等可證EF是線

段AD的垂直平分線，同理可證班是線段BC的垂直平分線，故而判斷球心在E尸上，由三

答案第9頁，共18頁

角形兩邊之和大于第三邊可得R的范圍，結(jié)合圖形判斷球心的位置以及半徑，從而求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)瓦尸分別為8CAO的中點，連接

由已知，A8=DB,AC=￡>C,8C=BC,故△ABC當△Z>BC,因為E是3C的中點,所以AE■=￡>E,

因為尸為AD的中點，故所工即EF是線段AD的垂直平分線；

同理可得，所是線段8c的垂直平分線，故球心在所上，

fOB+OC>3f27?>3

設(shè)球的半徑為R,球心為。，貝I八“八八、<,即CD、/，故R23,

[OA+OD>6[27?>6

此時0為線段AD的中點，且R=3,故所求外接球體積的最小值為367t.

故答案為：36兀

⑵一0.7cm.

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)利用公式求出之另即可求解.

（2）將x=22代入回歸方程求得預(yù)測值，然后根據(jù)殘差定義求解即可.

-1+2+3+4+5+6+7+8+9+10一

【詳解】（1）依題意,x—=5.5,

10

—1c—I+1+2+3+3+4+4+4

y=l0+---------------------------------=12,

10

1010

A一")('一")4"“—1°孫)710-10x5.5x1220

±frb=e________=_______=_________=

￡(%-寸385-10x5.5233

1=1Z=1

人20112644匕匚4rnii擊工口4人2026

?=12--X—=—,故r所求回歸直線萬程為了=三彳+飛-.

(2)由(1)可知，當x=22時，y=—x22+—=22cm,

'333

故所求殘差為21.3-22=-0.7cm.

答案第10頁，共18頁

16.(1)?！?〃+1；

⑵[f

【分析】⑴當〃=1時，求得4=2,當“N3時,得到2s>1=(〃-1)(-+2),兩式相減化

簡得到念一看=一2匕^一士【’結(jié)合疊加法，即可求得數(shù)列｛%｝的通項公式;

111111_1__1

(2)由(1)得到求得—+---+ananl5"+2

4A+1〃+1n+2Cl?^^3+

n

n--------=-------1-----

解法1：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為-V2(〃+2)2'結(jié)合2(〃+2)22r+4+4\結(jié)合基本不等式,

即可求解;

C11

解法2：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為.《2(〃+2)―證療’結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)解：當〃=1時，2s1=2%=%+2,解得%=2,

當幾23時，25〃=〃(q+2),2S〃_i=-1)(%+2),

兩式相減可得，(〃-2)為-(幾-1)=-2,

則弋一A^=一21—一-一|,&^一制=一21一—-,

n—\n-2\n—2n-1Jn-2n-3\n-3n-2J

疊加可得，々_牛=上?，貝|%=附+1,

n-11n-1

而77=1,2時也符合題意，

所以數(shù)列｛%｝的通項公式為4=〃+1.

1111

(2)解：由(1)矢口?！?幾+1,可得-----=(--7?，

anan+x(〃+1)("+2)n+1n+2

111111111n

故----1-----1~~1--------+——~H-------------—7----r.

aa

axa2a2a3nn+\2334n+1n+22(〃+2)'

解法1：由」一+」一++一~一之九%+i,可得o/「、”'("+2)，

a2a3anan+\2^+2)

n「幾1-----〃----=-------I------/W—

即也而才，即則八訴下'又由2("2『2"4+4「6,

L\'」maxy/Iy

答案第11頁，共18頁

當且僅當〃=2時取等號，故實數(shù)4的取值范圍為1-0,[

V16

11111“7

解法2：由---+----++-----=-__—->>1(?+2),

aa

axa2a2a3nn+\2〃+2

可得xw1——^=-f---9+—,

2(?+2)(n+2)23+24J16

當〃+2=4,即〃=2時，TV--=77,

2(H+2)(H+2)16

-\，Jmax

則％4」，故實數(shù)4的取值范圍為J。,1.

16I16」

17.(1)證明見解析

DE]_

(2)EQ=

3

【分析】（1）不妨設(shè)45=1,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明A。，A。，利用勾股定理證明

ADYDB,再根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理即可得證；

（2）以￡）為坐標原點，建立的空間直角坐標系。-WZ,利用向量法求解即可.

【詳解】（1）不妨設(shè)45=1,

因為平面ABCRADu平面ABCD,故

在‘AD3中，AB=2,AD=1,ZDAB=60,

由余弦定理，BD2=AB2+AD2-2ABAD-COSZDAB=22+12-2X2X1XCOS60=3,

得BD=布,AD2+BD2=AB2>則AD_L￡>3,

因為4。門。2=。，4￡>,。2匚平面ABD,所以4），平面$8。，

而ADu平面ADDA，所以平面4"S。，平面；

（2）由（1）知，）兩兩垂直，

如圖所示，以。為坐標原點，建立的空間直角坐標系。-孫z,

則O（0,0,0）,A（1,0,0）,8（o,0）,A（0,0,g,0）,

故4。=卜2,道,0），AG=AC,

:.C（2,區(qū)⑹,所以AB=（O,6，-百）,0。1=卜2,6,唐），

答案第12頁，共18頁

設(shè)DE=；IOC］（0<；1<1）,則。石=2℃1=卜2九岳,&）,即網(wǎng)—2尢&,&）,

設(shè)〃=(%,y,zj為平面A]￡5的一個法向量，

n?A^B=6y「6Z]=0

人」ri'AXE--22^+-^\/32-A/3jz^o"

令4=24,貝！J必=22,Xj=2^/32-75,所以〃=(2括X-也,2X,22),

因為y軸，平面BCCA,則可取加=(0,1,0)為平面BCC^的一個法向量,

設(shè)平面與平面3CC4的夾角為。，

In-ml22

ccq"=—--------=——______

H-lmlV2022-12A+35

3

18.(i)y=-^-i；

(2)2.

【分析】（1）求導，即可根據(jù)點斜式求解方程，

（2）求導，分類討論求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,

結(jié)合最值求解.

【詳解】（1）依題意，/（切=占+,1、2,故尸（0）=：，

1+X2（1+X）2v72

3Q

而〃。）=-1，故所求切線方程為丁+1=5x，即y=1.

（2）令"In（1+冗）—/——2cosx,故^In（1+x）+2cos%—/=0,

+XJl+X

答案第13頁，共18頁

令g(x)=In(1+x)+2cosx——2-—,

、A/1+X

i1、_311,、_3

g'(x)=^-------2sinx+—(1+x)2,令"(％)=g'(%)=^-------2sinx+—(1+x)],

13/\_1

h!(1)—---------2—2cos%—(1+x)2

(1+x)4,

(715

①當時,cosx>0,(l+x)2>0,(1+%)5>0,

，/?'(%)<0,，//(同在1-1，9上為減函數(shù)，即g'(x)在(T，9上為減函數(shù),

111_2111

又g[o)=l+—>o,g[l)=_2sinl+--22<——2-sinl+-<l-2x-=0,

2222

???g'（x）在（0,1）上有唯一的零點,設(shè)為％,即？（飛）=0（0<$<1）.

，g（x）在上為增函數(shù)，在1％,5上為減函數(shù).

g(0)=2-l>0,gf-^Ulnfl-^1

又

，g（x）在（T,x°）上有且只有一個零點，在1%,印上無零點；

（兀5yr11、—3,、

②當匕，不時，g<x）<c^-l+5（l+x）2<0,g（x）單調(diào)遞減,

又g[3>0,g鼠）=ln（l+引_退_11+引2<ln4-V3<0>

，g（x）在內(nèi)恰有一零點；

③當XL，TI]時，/7'（彳）=_八1、2_2cos無一+元）2為增函數(shù),

16）（1+無）4

???”3=陪卜占+1-斗+爸2>。，

.??g〈x）單調(diào)遞增，又，⑺>0,g，O<0,所以存在唯一七?C，兀｝g〈Xo）=O,

當xe仔時，g<x）<0,g（x）遞減；當xe（xo,7r）時，g<x）>0,g（x）遞增，

答案第14頁，共18頁

g（尤）Wmax[g[乎],g（兀）|<0,

.?.g（x）在引內(nèi)無零點.綜上所述，曲線y=〃x）與曲線>=-2cosx的交點個數(shù)為2.

【點睛】方法點睛：本題考查了導數(shù)的綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，利用導數(shù)

求單調(diào)性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新

的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩

種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)

往往是解題的關(guān)鍵.

19.⑴[+9=1；

【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)可得6=1,再由兩中線的交點為重心和重心的性質(zhì)得到點〃[1,句，

代入橢圓方程可得。即可；

（2）由等差中項的性質(zhì)得到帆A|+優(yōu)。=2優(yōu)用=石，再由弦長公式得到％+%=乎=2廝,

然后分當AB斜率存在時由點差法得到心°=-四，再由點斜式寫出弦的中垂線方程，當

4%

x=0時，得至！jAy=-個；當斜率不存在時，此時A。：x=^-,Ay=O；最后得到范圍；

1