大題預(yù)測1 （解析版）-沖刺2024年高考數(shù)學(xué)大題預(yù)測卷

大題預(yù)測01（A組+B組+C組）

【A組】

（建議用時：60分鐘滿分：77分）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知函數(shù)/（x）=x（lnx-a）+lnx+a.

（1）若a=l,當x＞l時，證明：/（x）＞0.

（2）若a＜2,證明：/（無）恰有一個零點.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得了々x）,。，即可得到“X）在（1,y）上單調(diào)遞增，再由〃x）＞〃l）=0,

即可證明；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-a+W+f,求導(dǎo)可得g'（x）＞0,即g（無）在（。,+巧上單

調(diào)遞增，再結(jié)合g（l）=0,即可證明.

【解析】（1）證明：因為。=1,所以/（x）=xlnx-x+lnx+l,/'（x）=lnx+-...................................2分

當x＞l時，/'（%）＞0,則/（X）在上單調(diào)遞增,

所以當x>l時，f(x)>/(l)=0.5分

Inxa

(2)/(x)=x(lnx-a)+lnx+a=.r\nx—a+---+—

xx

g(x)=lnx-a+^-+^,貝=11-lnxax+l-\nx-a

—+.7分

x%2

1Y-]

令M%）=%+l-lnx-a,則//（%）=1——=------.

當工￡（0,1）時，〃（x）＜0,M]）在（0,1）上單調(diào)遞減，

當%￡（l,+oo）時，/zr（x）＞0,"（X）在（1,+00）上單調(diào)遞增，..........................10分

所以/?（力2硝）=2-4＞0,所以區(qū)（。=尤+1一二、二4＞0,

則g⑺在（0,+“）上單調(diào)遞增............................12分

因為g⑴=0,所以g（x）恰有一個零點，則恰有一個零點......................13分

16.（15分）

某學(xué)校進行班級之間的中國歷史知識競賽活動，甲、乙兩位同學(xué)代表各自班級以搶答的形式展開，共五道

題，搶到并回答正確者得一分，答錯則對方得一分，先得三分者獲勝.每一次搶題且甲、乙兩人搶到每道題

的概率都是1甲乙正確回答每道題的概率分別為:4，3且兩人各道題是否回答正確均相互獨立.

（1）比賽開始，求甲先得一分的概率；

（2）求甲獲勝的概率.

【答案】（1）3（2）翡2133

【分析】（1）根據(jù)獨立事件的乘法公式，結(jié)合題意即可求解；（2）由（1）知，在每道題的搶答中甲、乙

得一分的概率分別為（3、p2設(shè)兩人共搶答了X道題比賽結(jié)束且甲獲勝，則X的可能取值為3,4,5,利用

獨立事件的乘法公式計算即可求解.

【解析】（1）每道題的搶答中，記甲得一分為事件

由題意，M發(fā)生有兩種可能：甲搶到題且答對，乙搶到題且答錯，..................2分

所以尸（叫下1/41+力12,三3，

3

故比賽開始，甲先得一分的概率為二..........................6分

（2）由（1）知，在每道題的搶答中甲、乙得一分的概率分別為:3、j2,....................................8分

設(shè)兩人共搶答了X道題比賽結(jié)束且甲獲勝，

根據(jù)比賽規(guī)則，X的可能取值為3,4,51.....................................................10分

所以尸(X=3)=e=蕓,P(X=4)=C；A1(j)3=普|,

512555625

648

.....................................................13分

3125

故中獲勝的概率P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=^*......................................................15分

17.（15分）

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD,AD=BC=CD=1,AB=2,AD±PB.

（1）證明：平面平面ABCD；

（2）若DP=6,且尸D_LCD,求二面角A—PB—D的正弦值.

證明見解析；（2）亞

【答案】

5

【分析】過點。作求出2D,利用勾股定理即可證明;

根據(jù)（1）中的結(jié)論建立空間直角坐標系即可求解.

【解析】過點。作

2分

因為。E2AB,所以?！?且,

2

因為BE=—,所以BD=A/3,

所以4￡>2+3￡)2=帥2，所以...........................4分

因為AD13￡>,AD±PB,BDPB=B,

8￡),P2u平面pen,所以A￡>_L平面PBD,

因為A￡>u平面A3CD,所以平面PSD，平面ABC。；..........................6分

因為A￡>_L平面PBD,所以AD_LPD,

因為PD_LCD,PD±AD,CZZAOu平面A5CD,

所以PD，平面ABC。,

所以。為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,.....................................................8分

所以4(1,0,0),P(0,0,粗),B(0,V3,0),

所以AP=(-l,0,&),PB=(0,A/3,-A/3),。8=(0,6,0),......................................................9分

設(shè)平面APB的法向量根=（%，X，z。，

［—舟M+-13后Z1—=0?！钊铡缘V松，

所以

同理可得平面P8D的法向量”=（1,0,0）,11分

18.（17分）

設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）,過焦點歹的直線與C交于點A,B.當直線AB垂直于x軸時，|他|=2.

（1）求C的方程；

（2）已知點尸（1,0）,直線AP,分別與C交于點C,D.

①求證：直線CD過定點；

②求.與.PCD面積之和的最小值.

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②三.

【分析】（1）根據(jù)通徑的定義求出。得解；（2）①設(shè)直線方程與拋物線聯(lián)立，韋達定理找到AB坐標

關(guān)系，同理可得AC和民。的坐標關(guān)系，設(shè)CD與x軸交于點G,同上面方法可求得為為定值；②利用面

積分割法求出兩個三角形面積表達式，然后利用二次函數(shù)求最值即可.

【解析】（1）由題意通徑長2。=2,2=1,「.C的方程為V=2x.........................................................3分

（2）①設(shè)直線A8方程為尤

2

d6；（半小。鼻%:........5分

1

、，、x=my+—八

聯(lián)乂12=>y9-2my-l=0,

、y2=2x

???%%=-1，%+>2=2相，且A=4機2+4>0，....................................................8分

-22

同理，可得%%=—2?」=一2,二?%=——，，2y4=-2n%=—，...................................11分

%%

4

設(shè)CD與x軸交于點G,同上方法可得必?”=-2〃%=-----=-2%n%=2,

???直線CO過定點（2,0）；.....................................................14分

?c11|I1,22515/“2，、5

②S..+S.PCD=51帆1%|+/產(chǎn),一虱=d%_yJ=/41+4>-,

當且僅當m=0時取“=”.............................17分

19.(17分)

若函數(shù)〃x)的定義域、值域都是有限集合&={42,…,%},〃eN*,則定義為集合A上的有限完整

函數(shù).已知g(x)是定義在有限集合M={1,2,3,4,5,6,7}上的有限完整函數(shù).

7

(1)求￡這⑴的最大值；

1=1

(2)當i=l,2,3,4時，均有g(shù)⑺<g?+l),求滿足條件的g(x)的個數(shù)；

(3)對于集合M上的有限完整函數(shù)g(x),定義“閉環(huán)函數(shù)”如下：&(x)=g(x),對左wN*,且左W6,

gz(x)=g(gAx))(注：g7k+i(x)=gt(x),AvN*,i=l,2,…,7).若HxeM,meN*,g』x)=gi+“(x),則稱

g(x)為”階閉環(huán)函數(shù)”.證明：存在一個閉環(huán)函數(shù)g(x)既是3階閉環(huán)函數(shù)，也是4階閉環(huán)函數(shù)(用列表法表

示g(x)的函數(shù)關(guān)系).

【答案】(1)140；(2)42；(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)有限完整函數(shù)的定義，結(jié)合基本不等式，即可求的答案；

(2)由題可得出g(D<g(2)<g⑶<g(4)<g(5),由此結(jié)合排列組合的知識，即可求得答案;

(3)由題意可知，不妨取一個閉環(huán)函數(shù)g(x),然后結(jié)合階閉環(huán)函數(shù)”的定義,

證明該函數(shù)既是3階閉環(huán)函數(shù)，也是4階閉環(huán)函數(shù)，即可證明原命題.

7

【解析】⑴由題意得￡次⑺=g6+2g⑵+3g(3)+4g(4)+5g(5)+6g(6)+7g(7)

i=\

』+[g（i）\22+[g（2）L3?+[g⑶L42+[g（4）「52+[g（5）12+[g⑹丁產(chǎn)十上⑺了

2222222

77c

￡/+中g(shù)?）]

7

i=Ti=l=￡/2=140'......................................................3分

2i=l

當且僅當g⑴=l,g（2）=2,,g（7）=7時取等號,

7

即?g⑴的最大值為140；.....................................................5分

1=1

(2)由題意知g(l)<g(2)<g⑶<g(4)<g(5),

從集合M中任取5個數(shù)，記為乙也，仄也也，共有C：中取法，.....................7分

然后剩余的兩個數(shù)全排列，故共有C；A；=42個g（x）滿足條件；.....................9分

（3）證明：以下面表格作為g（x）的函數(shù)關(guān)系：

X1234567

g(x)2315674

&⑴=2,g2⑴=g⑵=3,g3⑴=g⑶=Lg4⑴=g⑴=SI（1），

故g（x）為3階閉環(huán)函數(shù)；...........................13分

又&（4）=5,g2（4）=g（5）=6,g3（4）=g（6）=7,g4（4）=g（7）=4,g5（4）=g（4）=g1（4）,

故g（x）也為4階閉環(huán)函數(shù)，

故原命題得證...........................17分

【B組】

（建議用時：60分鐘滿分：77分）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知函數(shù)〃x）=x3+ax-6（aeR）.

（1）若函數(shù)的圖象在尤=2處的切線與x軸平行，求函數(shù)的圖象在彳=-3處的切線方程;

（2）討論函數(shù)“X）的單調(diào)性.

【答案】（1）15x-y+48=0;（2）答案見解析

【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)再求斜率最后寫出切線方程；

（2）分類討論列表根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性.

【解析】（1）/'（"=3/+。...........................1分

由題意（（2）=12+。=。，解得。=一12,......................................................3分

所以/（x）="12x-6,/（-3）=3,/（-3）=15

/（x）在》=—3處的切線方程為15x-y+48=0.....................................................5分

（2）/,（x）=3x2+a.

①當時，f'（x）＞0,/（x）在R上單調(diào)遞增...........................7分

②當。＜0時，由/@）=0得*=±腐,.....................................................8分

/（%）在R上的變化情況如下表：

X1一間41fl

（）

/'X+0-0+

“X)極大值極小值T

由上表可得/（X）在上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減，在（后上單調(diào)遞增.

在12分

綜上，當時，增區(qū)間為+°°）,無減區(qū)間、;

當4<0時，增區(qū)間為q和,+8,減區(qū)間為13分

7

16.（15分）

現(xiàn)有10個球，其中5個球由甲工廠生產(chǎn)，3個球由乙工廠生產(chǎn)，2個球由丙工廠生產(chǎn).這三個工廠生產(chǎn)該類

產(chǎn)品的合格率依次是0.8,0.9,0.7.現(xiàn)從這10個球中任取1個球，設(shè)事件8為“取得的球是合格品”，事件

A，4分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的”.

（1）求尸（4）,i=l,2,3；

（2）若取出的球是合格品，求該球是甲工廠生產(chǎn)的概率.

13140

【答案】（1）P（A）=-,P（4）=—（2）—

211）5o1

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率公式計算即得.

（2）由（1）的結(jié)論，利用全概率公式列式計算求得尸（8）,進而求得結(jié)果.

513?1

p

【解析】（1）（A）=^=?^（A）=-=o.3,p（A）=-=-.....................................................3分

-L乙I\JLJ

（2）P（B|4）=0.8,|4）=0.9,P（B|A,）=0.7,....................................................6分

??.P（B）=P（A）P（3|A）+P（4）P（B|4）+P（A）P（3|A）

=0.5x0.8+0.3x0.9+0.2x0.7=0.81......................................................9分

⑻=中=尸竺.

、7P（B）P（B）0.8181

40

該球是甲工廠生產(chǎn)的概率為玄...........................13分

17.（15分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面尸平面A3CD,四邊形A3CD為等腰梯形，且AB=；C￡>=1,PCD

為等邊三角形，平面上4Bc平面PCD=直線/.

P

（1）證明：///平面A3CD；

7T

（2）若/與平面尸AD的夾角為二，求四棱錐P-ABCD的體積.

6

【答案】（1）證明見解析；（2）逑

16

【分析】（1）首先證明AB〃平面PCD,從而得到///AB,即可證明"/平面A3CD；

（2）設(shè)等腰梯形ABCD的高為，（a>0）,用向量法求出平面PAD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積表示直

線/與平面可￡）所成角的正弦值，從而解得。的值，再用棱錐的體積公式即可得到答案.

【解析】（1）證明：由題可知AB〃CD,ABU平面PCD,CDu平面PCD,

.1AB//平面尸CD.........................................................2分

又ABu平面上45,平面PABc平面尸CD=/,：.l//AB........................................................4分

又平面ABCD,ABu平面ABC。，.J//平面ABC￡>..........................................................6分

（2）以。為原點，平面ABCD內(nèi)垂直于DC的直線為x軸，0c所在直線為，軸,

設(shè)等腰梯形ABCD的高為>0）,

則0（0,0,0）,83.|，。］，C（0,2,0）,P（0,1,A/3）,

則DA=（〃,：,0）,DP=（0,1,73）,AB=（0,1,0）......................................................8分

設(shè)。=（x,y,z）為平面PAD的法向量，

C（1

n-DA=0ax+—y=0

則，即2,

加方=。[y+小=0

令y=T得〃=[],一1,手]為平面刈的一個法向量............................If）分

又/〃AB,則可得直線/的一個平行向量加=（0,1,0）,

設(shè)。為I與平面PAD的夾角,

由sin6=|cos〈〃,m）卜木=：,解得。=彳.............................13分

V=-x73x—x—x（l+2）=..........................................................15分

Pp-AABCDD32816

18.（17分）

22

已知雙曲線E：三-乙=1（。＞0）的左焦點為歹，A,8分別為雙曲線的左、右頂點，頂點到雙曲線的

a23

漸近線的距離為且.

2

（1）求E的標準方程；

（2）過點3的直線與雙曲線左支交于點P（異于點A）,直線BP與直線/：%=-1交于點M,NPE4的角

平分線交直線/于點N,證明：N是的中點.

2

【答案】（1）9一匕=1；（2）證明見解析

3

【分析】（1）分析條件，求解方程即可.

（2）找到斜率不存在的情況，容易證明，再求證斜率存在的情況即可.

22_

【解析】（1）因為二一二=1,所以b=......................................................1分

a23

雙曲線的一條漸近線為氐-ay=。，

因為雙曲線的右頂點為（a,0）,設(shè)右頂點到浙近線的距離為d,

產(chǎn)

4屬一+ra=1

由題意得一二一5'解得。；...........................3分

4Z2+3=C2,

2

則E的標準方程為/-匕=1.....................................................4分

3

（2）①當NPE4=90。，即WA尸時，設(shè)點網(wǎng)一2,%），

代入雙曲線方程得，（-2『-寺=1,解得先=±3,

取第二象限的點，則P（-2,3）,

因為30,0），所以直線3尸的斜率為%>=*=-1，

所以直線的的方程為產(chǎn)尤+1,

令》=-1,解得y=2,即M（T,2）,.....................................................6分

因為直線引V是NPE4的角平分線，且.NPE4=90。，所以直線PN的斜率為七.=1，

直線FN的方程為、=尤+2,令4-1,解得，=1,即

此:時|A2V|=；|4W|,即N是的中點；...........................8分

②當NPE4W90。時，設(shè)直線3尸的斜率為左，則直線3尸的方程為y=Mx-l）,

y=%（尤-1）,

,肖去》得（—左）工左（左）

聯(lián)立方程2丫？322+22*-2+3=0,

/上=1,

I3

由韋達定理得，xx=—...，

BpE-3

x7m,1，匚I、I公+3./\6k上k+36k

又因為"1,所以馬=正三，力=左（%-11）=正導(dǎo)，點尸［正與，記與

6k

又因為尸（—2,0）,所以原F=苦停一=5^=含，..........................11分

——-+2

V-3

由題意可知，直線橋的斜率存在，設(shè)為玄，則直線行：y=k'（x+2）,

因為-V是NPE4的角平分線，

所以NPFB=2ZNFB,所以tanNPEB=tan2N2VFB,

2k2tan/NFB2K

又因為tanNPFB=ktan2NNFB=

PFk2-l1一tan?NNFB-1-浮

22

所以4^=2^,spk'k+(k'-i)k-k'=o,

K.—11—K

即優(yōu)+左'）（辰'-1）=0,得人=_《或左=」,

K

由題意知左和左'異號，所以左=一左',

所以直線WV的方程為＞=—MX+2),...........................14分

令x=T,可得y=一左，即N(-1,_后),所以

直線尸3的方程為〉=左(％-1),令x=-1,可得y=-2%,

即M(T—2%),所以|4W|=k2札

所以借=便小即N是客的中點.

綜上，N是M4的中點............................17分

19.(17分)

已知集合5={乂區(qū)=(%,%...%),可?{0,1},，=1,2,…〃}(n>2),對于A=

B=甄電,GS.；定義A與B的差為A—3=(向一4，"-4I，…，1%,-2|);A與8之間的距離為"(AB)

=k-b^+\a2-b2\+...+\an-bn\.

(1)若A-B=(O,l)寫出所有可能的A,B；

(2)VA,B,CeS?,證明：d(A-C,B-C)=d(A,B).

(3)XM,反CeS"，證明：d(A,B),d(A,C),d(8,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).

【答案】(1)A=(0,0),8=(0,1)；A=(0,l),8=(0,0)；A=(l,0),B=(l,l)；A=(l,l),8=(l,0).

(2)詳見解析；(3)詳見解析.

【分析】(1)由題意結(jié)合新定義A-3可直接得解；

(2)先證明G=。、J=1時，均有|q-q卜也一01|=M一M，由新定義運算即可得證；

(3)設(shè)d(AB)=%,d(A,C)=/,d(B,C)=h,由(2)可得d(AB)=d(0,3-A)=左,d(A,C)=d(0,C—A)=/,

d(B,C)=d(B-A,C-A)=h,設(shè)r是使歸一力=卜-⑷=1成立的i的個數(shù)，即可得/z=/+左—2/,由此可證得

結(jié)果..

【解析】(1)由題意可得，所有滿足要求的A,B為:

A=(O,O),8=(0,1)；A=(O,l),8=(0,0)；

A=(1,0),3=(1/)；A=(1,1),3=(1,0)............................4分

(2)證明:令，=(《,生，，%)，B=(瓦尼,也),C=(c19c2,,cj,

對i=l,2,,n,

當q=。時，有忖一0卜也一。|二%一"；..........................6分

當q=1時，有。卜也―dH(l—q)—(1—2)H《—4...........................8分

所以。(A—C,3—C)—。|一向一酬+||%—sHd—生||+…+||%—c〃H，一

二,一乙|+|生一打|+一+|為一修=d(A,3)...........................10分

(3)設(shè)、=(%,出，…，4)，5=(4也，…也)，C=(q,c2,---,cn)GS?,

d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)=h,記0=(0,0,…0)￡S〃，

由(2)可知:d(A,B)=d(A—A,B—A)=d(0,B—A)=k,

d(A,C)=d(A—A,C—A)=d(0,C—A)=/,d(B,C)=d(B—A,C—A)=h,

所以|2—4《=1,2,…,〃)中1的個數(shù)為上,

卜―R(i=l,2,…中1的個數(shù)為/...........................14分

設(shè)r是使性-葡=|q-⑷=1成立的i的個數(shù),^]h=l+k-2t.

由此可知，k,I,九三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，

即或AB),d(A,C),〃(氏C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)...........................17分

【C組】

(建議用時：60分鐘滿分：77分)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

已知函數(shù)/(x)=x(ae*+l),awR.

(1)若a=l,求曲線y=/(x)在點(0J(0))處的切線方程；

(2)若/(x)?/在(0,+8)上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)y=2x.(2)[eE+e)

【分析】(1)由給定條件求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，進而求得切線斜率即可得解；

(2)分離參數(shù)得。2二，設(shè)g(x)=二，利用導(dǎo)數(shù)得8(x)2=g(2)=b,可得。的取值范圍.

ee

【解析】(1)當a=l時，/(x)=x(eA+l),/'(x)=e，(x+l)+l,..........................1分

則/'(0)=2,而/(O)=O,

所以曲線y=“X)在點(0,”0))處的切線方程為y=2x；.....................................................3分

(2)Vxe(0,+oo),由/(X)NX2,得

e

設(shè)g(x)=W，則g，(x)=W，

ee

令8'(勸=2一—x=0,得x=2,....................................................7分

e

貝U無c(O,2)時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

xe(2,y)時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，..........................10分

故g(x)max=g(2)=e\故0

即實數(shù)。的取值范圍為［e之+8)...........................13分

16.(15分)

某校舉行知識競賽，最后一個名額要在A,8兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測試方案如下：A,8兩名學(xué)生各自從給定

的4個問題中隨機抽取3個問題作答，在這4個問題中，已知A能正確作答其中的3個，8能正確作答每

3

個問題的概率都是A,B兩名同學(xué)作答問題相互獨立.

(1)求A,8兩名同學(xué)恰好共答對2個問題的概率；

(2)若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生，簡要說明理由.

3

【答案】(1)-77；(2)應(yīng)該選擇學(xué)生A,理由見解析

256

【分析】(1)根據(jù)離散型隨機變量以及古典概型的概率公式，結(jié)合概率乘法公式，可得答案；

(2)根據(jù)數(shù)學(xué)期望以及方差的意義，可得答案.

【解析】(1)設(shè)A同學(xué)答對的題數(shù)為X,則隨機變量X的所有可能取值為2,3.

則尸(X=2)=胃=：,P(X=3)="=：；..........................2分

設(shè)B同學(xué)答對的題數(shù)為y,則隨機變量y的所有可能取值為0,I,2,3.

4⑷64

.......................................................6分

所以A,3兩名同學(xué)恰好共答對2個問題的概率為

=2)p(r=o)8分

\7v7464256

/\319

2\由(z1ME(X)

7\±\/-4-4-4-

E(y)=oJ+1X2+2X2+3X2」10分

646464644

22

而0(X)=2-:33.29|13

441416

222

D(y)=(o一:19<927<9\X27_9

x---F2——x——+3——I64"14分

64464464416

因為E(x)=E(y),D(x)<D(y).所以應(yīng)該選擇學(xué)生A.15分

17.(15分)

如圖，在ABC中，ZACB=90,3C=3,AC=6,Q,E分別為邊4?,48上一點，且。。=2,。石//5。，將丫血石

沿DE折起到△PDE的位置，使得尸尸為尸3上一點，且P君F=(?

(1)求證:「。//平面CEF；

(2)若H為線段9上一點(異于端點),且二面角CF-E的正弦值為手,求需的值.

pjj1pH5

【答案】⑴證明見解析；⑵元=5或而r

【分析】(1)連接皮>交CE于點G,利用線面平行的判定推理即得.

(2)由已知證得直線CRCD圓兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法列式計算即得.

【解析】(1)連接5。交CE于點G,連接FG,

DGDE

由DE//BC,得

GBBC

在9C中，由的/5C,得黑嗖"

3分

DGDE2.'DG2PF，一

于是一,貝U=—=，PD//FG，

GBBC3DB5PB

而又FGu平面W平面CEF,所以P。//平面CEF.6分

（2）由小，。,￡>后，尸，8門尸￡>=28,尸。<=平面/>8,得DEI平面PCD,

又PCu平面PCD,則WPC,

又DEUBC,因此PC_L3C,直線CRCRCB兩兩垂直，..........................8分

以C為坐標原點，直線C2CB,CP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖，

則0(2,0,0),2(0,3,0),E(2,2,0),尸(0,0,2月)，尸(0,g,券)，

CE=(2,2,0),CF=(0,&,罕)，尸0=(2,0,-24),..........................10分

設(shè)PH=tPD(0<t<l),貝ljCH=CP+P”=(2/,0,2A/3-2A/3Z),

設(shè)平面CEF的法向量機二(x,y,z),

6,6』n

rn-Cr=—y+---z=0，一ll

則5-5,令z=l,得m=(6,-6,1),

m-CE=2x+2y=0

設(shè)平面CFH的法向量〃=(。,仇c),

a6.6若「

,n-Cr=—b+---c=0一

貝！J<55,s*c=t,=(A/3(/—1),—A/3^,t)?..................12%

n-CH-2ta+2\/3(l-^)c=0

設(shè)二面角H—CF—￡的大小為e,

則|85例=|玄$〈相,〃〉|=1"川=L31==',解得/=《或/=以，............14分

lmllnl幣小t1-6t+37214

所以空△或也二

...........................15分

PD2PD14

18.（17分）

22

已知橢圓C:5+與=1（。>6>0）的離心率為：，依次連接四個頂點得到的圖形的面積為46.

ab乙

（1）求橢圓。的方程;

（2）過直線x=4上一點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為M,N,求證：直線MN過定點.

22

【答案】（1）工+匕=1；（2）證明見解析

43

【分析】（1）根據(jù)離心率和四邊形面積得到方程組，求出。=2,b=6,得到橢圓方程；

（2）設(shè)P（4j）,,N?,%）,設(shè)過點％）且與橢圓相切的直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根

之和，兩根之積，根據(jù)A=0結(jié)合三+g=1求出4=,，求出以M為切點的橢圓C的切線方程為

434%

芋+W=1,同理得到以N為切點的橢圓C的切線方程，得到直線MN的方程為3x+?-3=0,直線MN

43

過定點片（1,0）.

【解析】（1）由題可得￡=[,即￡=」，匕￡=工，得2=/.①

a2a24a24a2

又;x2cr2b=4上,即ab=2相，②...........................3分

由①②可得。=2,b=拒,

22

所以橢圓C的方程為：—+^=1.........................................................5分

43

（2）設(shè)P（4j）,。（石,％）,MX，%），

由題知，直線％=4上一點P作橢圓。的兩條切線斜率存在，......................6分

設(shè)過點”（石,％）且與橢圓相切的直線方程為：y-必=小-西），

y-M=Q_玉），

二?聯(lián)立方程＜X2y2得（3+4左+8左（必一句）％+4（,—fcrj_12=0,