2023-2024學(xué)年必修二 第十一章 解三角形 章節(jié)測(cè)試題(含答案)

2023-2024學(xué)年必修二第十一章解三角形章節(jié)測(cè)試題

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一'選擇題

1、如圖，平面四邊形A、瓦C、。,己知

ZDCA=45°,ZCDB=ZADB=30。，=（痛+行）,ZACB=60°，則A,B兩點(diǎn)的距離是

()

AB

DC

A.4班B.2MC.6在D-710

2、在△ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為o,b,c,bsin2A+y/3asinB=0,

b=6c,則g的值為()

a

A.lB.—C.—D.—

357

3、在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是Q,b,c,若acos_B-Z?cosA=c,且

c=],則3=()

A.—B.-C.—D.—

105105

4、在△ABC中，AB=4,BC=3,則當(dāng)函數(shù)

/(B)=cos23—cos[5+]J—也$也[3+1]+5取得最小值時(shí)，AC=()

A.V13B.273C.4D.2

5、已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,且滿足sin2c=2sin2A—3sin23,則

tan6的最大值為()

A.3B近C.還D2

2224

6、在△ABC中，下列各式正確的是()

asinB.「八

A.—=------B.asmC=csmB

bsinA

C./=〃2+/—2abcos(A+B)D.asin(A+B)=csinA

7、在△ABC中，ZA=-,AB=2,3C邊上的中線AD的長度為立，則AC=（）

32

A.lB.百C.2D.A/5

8、在△ABC中,。一6=°（856-854）,則這個(gè)三角形一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

9、在△ABC中,a=6，b=6百，A=30。，則最長邊c=（）

A.6B.12C.6或12D.6月

10、在△ABC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知

ccos5+〃cosC=2acosA,a=2,△ABC的面積為VL則△ABC的周長是（）

A.4B.6C.8D.18

二、填空題

11、某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)對(duì)山西省朔州市的應(yīng)縣木塔的高度進(jìn)行測(cè)量.如圖，該校數(shù)學(xué)建模

社團(tuán)成員在應(yīng)縣木塔旁水平地面上的A,3處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別是45。和30。，且

測(cè)得/Q鉆=60。，=140米，則該校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)測(cè)得應(yīng)縣木塔的高度

OP=米?

P

12、如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂。為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從A點(diǎn)測(cè)得

M點(diǎn)的仰角NWW=60。，C點(diǎn)的仰角NC4B=45。以及NM4C=75。，從C點(diǎn)測(cè)得

ZMCA=60°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N-m.

13、在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若A=105。，3=45。，b=100，則

14、在三棱錐A-BCD中,=NABC=60°，BC=BD=3^，AB=6①，則三棱錐

A-BCD外接球的表面積為.

15、在△ABC中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,0,c,且2sinA+sinC=2sinBcosC，寫出滿足

條件"ac=10”的一個(gè)b的值________.

16、如圖，為了測(cè)定河兩岸點(diǎn)3與點(diǎn)C間的距離，在點(diǎn)3同側(cè)的河岸選定點(diǎn)A,測(cè)得

ZCAB=45°,ZCBA=75。，AB=120m，則點(diǎn)3與點(diǎn)C間的距離為m.

三、解答題

17、在△ABC中，已知NB4C=120。，AB=2,AC=1.

(1)求sinZABC；

(2)若。為3c上一點(diǎn)，且440=90。，求△ADC的面積.

18、在△ABC中，設(shè)角48,C的對(duì)邊分別為公瓦c,且9C=細(xì)三.

cosBb

(1)求sinB的值；

⑵若匕=40,且。=°,求邊4。上的高.

19、△ABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,0,c,已知A為銳角,廠一°一=8

sinB-cosC?

2ab3

(1)求A;

(2)若〃二34。邊上的高為孑叵，求△ABC的面積.

7

20、在△ABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為tzAc^acosC+VScsinA=/j+c-

(1)求A;

(2)若a=6,ABC的面積為9TL求△ABC的周長.

參考答案

1、答案：D

解析:由題意可知在△ADC中，有ZDCA=45°,ZADC=ZADB+ZCDB=60°,

CD=（幾+0］所以/ZMC=75。，由正弦定理可得

ADCD+

sinZACD.sinZDAC=_sin（45。+30。）

而sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=立~義走-+立-義、-="十應(yīng)，故

''22224

包=2&，又高梟AC=273，在/\BDC

sinZACD

中,NCBD=180?！猌BDC—ZACD—ZACB=45。，

由正弦定理可得CDCB“1x（V6+V2）

------------=nBC=4=V3+1

sinZCBDsinZBDC---------------sin45°

在△AC6中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC-3c-cosZACB=10nAB=&U?

故選:D

2、答案：D

解析：由正弦定理，Z?sin2A+y/3asinB=Q,可得sinBsin2A+百sinAsinB=0,即

2sinBsinAcosA+^sinAsinB=0,由于sin5sinAw0,所以cosA=-1^,因?yàn)?/p>

2

0<A<K,所以4=型.又。=病，由余弦定理可得

6

?2—b2+c2—2bccosA—3c2+c2+3c?=7c?.即a?=7c2>所以$=-^―.故選D.

a7

3、答案：C

解析：因?yàn)閍cos3-Z?cosA=c,所以由正弦定理得

sinAcosB-sinBcosA=sinC=sin（B+A）,則2sinBcosA=0.在AABC中，

sinB/O,則cosA=0,A=-,所以3=?！狝—。=?！通D巴=里，故選C.

22510

4、答案：A

解析：因?yàn)楹瘮?shù)

f(B)=2cos2B-l-2cos^B+|-1^+5-2cos25-20085+4=2^085-^+1,所以

當(dāng)cos3=；時(shí)，函數(shù)/(B)取得最小值，此時(shí)，由余弦定理，得

AC=VAB2+BC2-2AB-BCcosB=^42+32-2x4x3x1=713.

5、答案：B

解析：依題意得sin2c=2sin2A-BsiMB,由正弦定理得c?=21—，則

71

。2=4/一_L/,所以

33

2,22211c21242

a+c—a-\—c—aH—c1/+4°2I2M4c22

cos於三*_______3333——.------------2——,-----------------=——

lac2aclac6ac6ac3

7A八

當(dāng)且僅當(dāng)Q=2c時(shí)等號(hào)成立.易知8為銳角，-<cosB<l,則一<cosB<1,

39

22

I9匚G、［2nsinBI-cosB—\----lefo,4,所以tanB的最大

1KqW"所以tanf=Q=^^-

cos25I4j

值為坐故選B.

6、答案：D

解析：對(duì)于選項(xiàng)A：由正弦定理有，=2=」—，故q=里里，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

sinAsinBsinCbsinB

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?="，故asinC=csinA,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

sinAsinC

對(duì)于選項(xiàng)C：cos（A+B）=-cosC,由余弦定理c?=/+/-2aZ?cosC得

c2=cr+b2+2abcos（A+B）;故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

a_c

對(duì)于選項(xiàng)D：由正弦定理可得」」二一,再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得:

sinAsinCsinAsin(A+B)

即asin(A+=csinA,故選項(xiàng)D正確;

故選：D

7、答案：A

解析：設(shè)AC=x,3c=2y,由AD為3C邊上的中線，則CD=y,5D=y.在△ACO

中，由余弦定理得好=Z+y2—2.正.y.cosNADC,在△ABD中，由余弦定理得

4-2'

4=(+;/_2.等.y.cos/ADB,由cosZADC=—cosZADB,可得x?+4=(+2/,即

1jr

2y2=爐+5.①在△ABC中，由余弦定理得(2y)2=%2+4_2><2><XXCOS§,將①式代入

可得x2+Zx-3=0,解得x=l或l=-3(舍)，即AC=1,故選A.

8、答案：D

解析：由余弦定理可得:cosA=?+°?―/，cos3=?+—”,

2bclac

代入Q-Z?=C(COSJB-COSA)=ccos5-ccosA中，

彳日a1+C1-b1b1+C1-a2

付a-7b=------------------------------，

la2b

等式兩邊同乘2Q6得：

2a2〃—2aZ72—ci^b+c^b—Z?3—tzZ?2—cic^+，

移項(xiàng)合并得:a2b-ab2+(-c2Z?+?c2)-(tz3-Z?3)=0,

整理得:ab^a—b^+c1(?-Z2)-(o-Z?)(?2+ab+b2^=0,

即(a—3—⑹=o,

可得a=b或a2+b2=c2,

則三角形為等腰三角形或直角三角形，

故選:D.

9、答案：B

解析：在△ABC中,a=62=6K，A=30°，

由余弦定理得“2=b2+c2—2bccosA，36=108+°2—126xYlc，

2

化簡(jiǎn)得C2_]8C+72=0,解得c=6或c=12,

因?yàn)?。是最長的邊，所以c=12,

故選:B

10、答案：B

解析:ccosB+Z?cosC=2acosA,由正弦定理得,sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA,

又sinCeosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,

所以sinA=2sinAcosA,

因?yàn)锳￡(0,兀),所以sinAw0,故cosA=；，

因?yàn)锳?0,兀)，所以A=：

由二角形面積公式可得工besinA=^~bc=A/3,故Z?C=4,

24

由余弦定理得cosA=片=(b+c)2-2bc-?=e+c)2—8-4=L

2bc2bc82

解得Z?+c=4或-4(舍去)，

故三角形周長為4+2=6-

故選:B

11、答案：70

解析：設(shè)。。=%米，則OA=x米,QB=Gx米.

在△Q4B中,NQ4B=60°，由余弦定理可得OB2=OA2+AB2-2OA-AB?cos/OAB，

2222

即3f=x+140-140%，即2x+140%-140=0，即(2x—140)(x+140)=0,解得x=70或

x=-140(舍去)?

故答案為：70.

12、答案：150

解析：在△ABC中，Z￡L4C=45°,ZABC=9Q°,BC=100,

在△AMC中，NM4c=75°,ZMC4=60°,z.ZAMC=45°,

由正弦定理可得嬴%7=嬴端’即焉=震’解得."⑼百'

在Ri八AMN中，MN=AM-sin/MAN=10073xsin60°=150(m).

故答案為150.

13、答案：10

解析：在△ABC中，因?yàn)?=105。，6=45。，所以。=30。-

由正弦定理得:上=」一，

sinBsinC

即10應(yīng)=C，解得:c=10.

sin450sin300

故答案為：10

14、答案：7271

解析：由ZAB￡>=ZABC=60o,8C=5￡>=3VLAB=6VL

△ABC中，由余弦定理可得

AC=VAB2+BC2-2AB-BCcos600=J(6近『+(3&『—2義6后義3后xcos60。=3底，

所以人。2+5c2=,貝IjAC，BC,

在△ABD中，由余弦定理可得

AD=AB2+BD2-2AB-BDcos60°=J(6A/2『+(3月?—2x672x3Acos60°=3娓，

AD2+BD2=.2，則^￡>15￡>，

取A3中點(diǎn)。，則在Rt^ABC和RtA4B￡)中,Q4=Ofi=OC=OD,則三棱錐A-BCD外接

球的球心為。，其半徑為空=3后，

2

所以三棱錐A-BCD外接球的表面積為4兀?（修j=4兀X（3V2）2=72兀，

故答案為：72兀.

15、答案：730（答案不唯一）

解析：由正弦定理可得2a+c=2bcosC，

由余弦定理可得2a+c=2b-a+——=>a2+c2-b2=-ac，

lab

1OJT

所以cosB=——，BeB=一

2v73

由于ac=10,不妨考慮此時(shí)△ABC為等腰三角形時(shí)，則a=c=河,

由〃+。2一"=—訛,得io+io—/=—10,=而，

故答案為：胸（答案不唯一）

16、答案：40n

解析:在△ABC中,NC4B=45。,NC&4=75。，AB=120m,

則NACB=60。,

因?yàn)锳BBC

sinZACB~sinZBAC"

19nV2

所以氐

2

所以點(diǎn)3與點(diǎn)C間的距離為40&m.

故答案為：40斯.

17、答案：（1）sin/A8C="

14

⑵興

解析：（1）如圖，由余弦定理得3c2=AB2+AC2—2AB?AC.COSNBAC

=22+l2+2x2xlx-=7,得BC=出.

1X

由正弦定理得一^TVn

法一:——,則sin/A3C=

sinZABCsinZBAC77-14

由余弦定理得c°s4BC=工小=當(dāng)衰=等'

法二:

___________歷

所以sinZABC=Vl-cos2ZABC=--

14

（2）法一：由sin/A3C=^,得tan/A3C=且，

145

pDADAg、|?2A/3

又tan^ABC==,以DA=-----,

AB25

故△ADC的面積為gzM-ACsin（120。-90。）=：義手xlxg=^

法二：445。的面積為LACsinZBAC」xlx2x3=@,

2222

0—AC-AD-sinZCAD.Qno.

SAADC=2=sin30。=j_,

S^BAD-AB-AD-sinZBAD2xsin90°4

2

故△AOC的面積為』SaBc=」x走=走.

55210

18、答案：（i）￥

⑵4

解析：（1）由正弦定理及9g=%三，有整￡=3sinA-sine,

cosBbcosBsinB

即sinBcosC=3sinAcosB-sinCcos5,所以sin（5+C）=3sinAcosB,

又因?yàn)锳+5+C=7i,sin（5+C）=sinA,所以sinA=3sinAcosB,

因?yàn)閟inAw0,所以cosB='，又0<5<兀,所以sinB=A/1-COS2B=冬旦.

33

（2）在△ABC中，由余弦定理可得"+，一一4=32,又。=。，

3

所以有=32,即/=24,所以△ABC的面積為5=工砒51115=8拒，

32

所以AC邊上的高為空=嘩=4.

b4yb

19、答案：（1）A=-

3

（2）

2.