2024年江蘇高考數(shù)學(xué)模擬試題及答案

L若集合A={x|x-2<0},集合3={%|2、>1},

則AB=)

A.(2,+co)B.(0,2)C.(-oo,2)D.R

【答案】B

【分析】求得集合人={1|%<2},5={%|%>0},根據(jù)集合交集的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合A={x|x—2<0}={x|x<2},B={x|2x>l}={x|x>0},

根據(jù)集合交集的運(yùn)算，可得AcB={x[0<x<2}.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)z-(l-2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),則2=()

A.B.'i17.

D.—i

555°/55

【答案】A

【分析】由已知得到z-(l-2i)=3+i,利用復(fù)數(shù)的除法求出z即可.

【詳解】由已知復(fù)數(shù)z-(l-2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,1),

則z-(l—2i)=3+i,

3+i(3+i)(l+2i)_l+7i_17

所以z=

l-2i(l-2i)(l+2i)555

故選：A.

3

3.已知Q=2),b=(3,4),若Qh,則ci——b-()

A20B.15C.10D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)向量平行，求出加的值，再結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模.

3

【詳解】因?yàn)椤╞,所以：4m-(-2)x3=0^>m=--.

所以：=(-6,-8)

所以：a~~2y=|(-6,-8)|=10.

故選：c

./兀、

JTsm(a+—)

4.如圖所示，。為射線。3的夾角，NAQx=—，點(diǎn)P(—l,3)在射線03上，則

4

cosa

()

A.2-2+6

B.

22

C2-+1273-1

D.

*―2-2

【答案】A

【分析】射線所對(duì)的角為尸，由三角函數(shù)的定義可得sin￡=*°，cos￡=—吟且/?=1+：，于

是有1=夕-三，再根據(jù)兩角差的正、余弦公式可求得sin(z=26

cosa—，進(jìn)而可得

455

sing+-)=2島岳,代入求解即可.

310

【詳解】解：設(shè)射線所對(duì)的角為尸，則有sin/?=[d=鼻cos/?=1

A/IO-io

7T

又因?yàn)锳=a+—,

〃—cos〃)=孚,cosa=cos(〃—：)=昌

所以sin(a+-)=-sin(z+—cosa="+岳

32210

275+715

./71x

sm(a+—)2+V3

10

所以--------

cosa2

5

故選：A.

5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,2)上單調(diào)遞減的是()

A.丁=2國(guó)B.y=-x3

JQ2—x

C.y=cos—D.y=In----

22+x

【答案】C

【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(x)=2國(guó)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/(—%)==2國(guó)=/(x),所以函數(shù)人尤)為偶函數(shù),

當(dāng)xe(0,2)時(shí)〃x)=2',函數(shù)/(尤)單調(diào)遞增，故A不符合題意；

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=-V的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f(-x)=-(-%)3="=-f(x),所以函數(shù)/⑺為奇函數(shù)，

由哥函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)y=3在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)=-d在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=cos］的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

XY

且f(-x)=cos(--)=cos—=/(x),所以函數(shù)/(尤)為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,2)時(shí)：e(o,l),又(0,1)之,

所以函數(shù)f(x)=cos］在(0,1)上單調(diào)遞減，故C符合題意；

2—x

對(duì)于D,函數(shù)/(x)=ln—^的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

2+x

且/(-X)=In2+x=皿2~-)"1=-ln-~-=-/(%),

''2-x2+x2+xV'

11_2x

所以/(九)是奇函數(shù)，又/'(x)=

2-x2+x(2-冗)(2+x)

令—(%)<0=-2<%<0,令廣(1)>。=>。<%<2,

所以函數(shù)/(九)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：C.

6.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，耳為橢圓+=1的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，|。升=6,則cos/KPf；=

()

A.--B.0C.-D.

333

【答案】C

【分析】設(shè)忸片|=m,|。6|=〃，利用余弦定理可得cosNKPE,="「+"——8，再由向量表示可知

2mn

PFl+PF2=2PO,即可得病+/+2根“cos/耳Pg=12；聯(lián)立即可求得cos/￡P(guān)&=：.

【詳解】如下圖所示:

不妨設(shè)|尸制=叫尸鳥|=",根據(jù)橢圓定義可得機(jī)+九=2a=4,閨8|=2c=2頂;

由余弦定理可知cos/耳尸8=---------；

2mn

又因?yàn)镻G+P&=2PO,所以(PH+PK『=(2PO『，又=

22

即可得根2+n+2mncosZFiPF2=12,解得m?+；i=10；

Xm2+n2=(“z+〃)--2mn=16-2mn=10,即mn=3；

m2+“2-810-81

所以可得COS/KP&=

2mn6-3

故選：c

7.凈水機(jī)通過分級(jí)過濾的方式使自來(lái)水逐步達(dá)到純凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其工作原理中有多次的PP棉濾芯過濾，

其中第一級(jí)過濾一般由孔徑為5微米的。尸棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)是多層式，主要用于去

除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假設(shè)每一層PP棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過

濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為80mg/L,現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2mg/L,則。。棉濾芯的

層數(shù)最少為(參考數(shù)據(jù)：坨2。0.30,炮3。0.48)()

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】首先由條件抽象出經(jīng)過〃層皮棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量y的函數(shù)，再結(jié)合指對(duì)運(yùn)算，解不

等式.

【詳解】設(shè)經(jīng)過〃層棉濾芯過濾后的大顆粒雜質(zhì)含量為y,則y=80x[l-=80x[g],

令80X[2]<2,解得[2]<—,兩邊取常用對(duì)數(shù)得〃lg=Wlg4，即〃坨。2炮40

UJU)403402

即〃(lg3—Ig2)2l+21g2,因?yàn)閘g2Po.30,lg3?0.48,

所以(0.48—0.30)〃21.60,解得北與，因?yàn)椤癳N*,所以〃的最小值為9.

故選：A

8.設(shè)函數(shù)/(x)=Qx2—4x+Mnx,若函數(shù)y=/(無(wú))存在兩個(gè)極值點(diǎn)否,且不等式

/(石)+/(>2)2%+%2+/恒成立，則/的取值范圍為()

/e2

A.(-co,-l]B.00,-16-81112]—00,----4eD.(TO,—13]

2

【答案】D

【分析】先求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和極值點(diǎn)的關(guān)系求出石+々,石々及。的范圍，然后代入

/(%)+/(%)—(七+馬)，構(gòu)造函數(shù)求最值即可.

【詳解】函數(shù)/⑺定義域?yàn)?0,+"),fXx)=x-4+-=r~4x+a,x>0,

XX

又函數(shù)y=/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)%px2,

所以方程f—4x+a=0在(0,+8)上有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,

A=16-4ti>0

則<石+%2=4〉0,解得0va<4,

xrx2=a>0

2-|1

+z)—2玉％2-5(玉+x2)+6zln(x1x2)=-[16—2。]-20+〃1口。=a\na-a-12

2—2

設(shè)/z(“)="lnQ-Q-12,0<Q<4,

則"(a)=Ina,

當(dāng)Ovavl時(shí)，”(a)vO,單調(diào)遞減,

當(dāng)l<a<4時(shí)，"(a)>0,/z(a)單調(diào)遞增加,

.嘰尸⑴一3

因?yàn)椴坏仁?(-^1)+/(X,)>%1+%+f恒成立,

即Z(^)+/(X2)-(X1+々)之方恒成立，

所以13.

故選：D.

二、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

9.下列命題正確的是()

A.若樣本數(shù)據(jù)X],9,.,天的方差為2,則數(shù)據(jù)2萬(wàn)-1,2%-1,.,2%-1的方差為7

2

B.若P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(A|B)=0.5,則P(B|A)=j.

C.在一組樣本數(shù)據(jù)(X],%),(%2,%)，…，(%,")，(n>2,xx,x2,--,xn,不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有

樣本點(diǎn)(4％)(，=1,2,/)都在直線y=-gx+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為-；

D.以模型y=ceh去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=lny,求得線性回歸方程為

z=4x+0.3,則c,k的值分別是e°3和4

【答案】BD

【分析】利用方差的概念，條件概率公式，線性回歸分析等知識(shí)分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若樣本數(shù)據(jù)石,々，…，毛的方差為2,則數(shù)據(jù)2%-1,2々-L,2%-1的方差為

22x2=8/7，故A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：若尸04)=0.6,「(3)=0.8,尸(4|3)=。.5,則

P(5|A)=2=PG)P(4|3)=2^2

§,故B正確;

P(A)P(A)0.6

對(duì)于選項(xiàng)C：在一組樣本數(shù)據(jù)(石,%),(4,%)=，(5,%)，(H>2,^,%2,,xn,不全相等)的散點(diǎn)圖

中，若所有樣本點(diǎn)(x”y)a=L2,,〃)都在直線丁=-；x+l上，其中-；是線性回歸方程的一次項(xiàng)系

數(shù)，不是相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度一個(gè)量，范圍是[T,1],當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時(shí)呈

正相關(guān)關(guān)系，為負(fù)時(shí)呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：以模型>=。6玄去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)z=lny,

則z=lny=lnc+lnek=lnc+依，由題線性回歸方程為2=4x+0.3,則lnc=0.3次=4,故c,左的值

分別是e03和4,故D正確.

故選：BD.

10.己知函數(shù)/'(￡)=Asin(0x+e)[A〉O,0〉O,[d<])的部分圖象如圖所示.則()

A./W的圖象關(guān)于,0j中心對(duì)稱

5兀

B.Ax)在區(qū)間可，2兀上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(%)的圖象向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象

D.將函數(shù)/(x)圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的;，得到函數(shù)〃(x)=2sin(4x+四)的圖象

/6

【答案】ABD

【分析】由題意首先求出函數(shù)/(九)表達(dá)式，對(duì)于A,直接代入檢驗(yàn)即可；對(duì)于B,由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、

正弦函數(shù)單調(diào)性判斷即可；對(duì)于CD,直接由三角函數(shù)的平移、伸縮變換法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

T5it7112兀

【詳解】由圖象可知A=2,—=--------=—x—,解得T=TI,G=2,

41264G

又了(2=2,所以2sin(5+“=2,即g+0='+2E,左eZ,結(jié)合憫v],可知左=0,0=已，

所以函數(shù)/(%)的表達(dá)式為/(x)=2sin(2x+t],

對(duì)于A,由于/[―5]=2sin[—弓+2]=0,即Ax)的圖象關(guān)于1—],()]中心對(duì)稱，故A正確；

5兀Ji7兀25兀7兀9兀

對(duì)于B,當(dāng)工￡——,2n時(shí)，t=2x+—e—,屋—，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/(九)在區(qū)間

可,2兀上單調(diào)遞增，故B正確；

對(duì)于C,函數(shù)/(%)的圖象向右平移百個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)

6

g(x)=2sin2x--^+―=2sin2%-—^,故C錯(cuò)誤；

_I6J6JI6J

對(duì)于D,將函數(shù)Ax)的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的得到函數(shù)/z(x)=2sin(4x+C)的圖象，故D

~6

正確.

故選：ABD.

11.已知圓。：l2+y2=4與圓C：f+y2—2x+4y+4=0相交于A,8兩點(diǎn),直線

/:x—2y+5=0,點(diǎn)尸為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，過P作圓。的切線PM,PN,(M,N為切點(diǎn))，則說法正

確的是()

A,直線AB的方程為x—2y+4=0B.線段AB的長(zhǎng)為遞

5

C.直線過定點(diǎn),gg)D.的最小值是1.

【答案】BCD

【分析】利用兩圓方程相減即可得到公共弦所在直線方程來(lái)判斷選項(xiàng)A；聯(lián)立兩圓方程，求出公共點(diǎn)坐標(biāo),

即可求出線段A3的長(zhǎng)，判斷選項(xiàng)B；設(shè)A/（4X）,N（X2，%），可得直線尸凹方程和直線PN的方程，用

點(diǎn)P坐標(biāo)表示出直線肱V的方程，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo)判斷選項(xiàng)C；當(dāng)|尸。|最小時(shí)，|「加|最小，利用點(diǎn)到直

線距離公式和勾股定理求解即可判斷選項(xiàng)D.

X2+y2=4

【詳解】由題知，聯(lián)立《

x2+y1一2x+4y+4=0

兩式相減得x_2y_4=0,

即直線A8的方程為龍一2,一4=0,A錯(cuò);

f+y2=4

聯(lián)立《

X2+y2-2x+4y+4=0

對(duì)于C,設(shè)，

因?yàn)镸,N為圓。的切點(diǎn),

所以直線尸M方程叫+孫=4,

直線PN的方程為xx2+yy2=4,

又設(shè)〃（飛，九），

玉玉+%%=4

所以“，

%0%2+%%=4

故直線MN的方程為4,

又因?yàn)?-2%+5=0,

所以（2x+y）y（）—5x—4=0,

4

x=-

\2x+y=05

田V得《

-5x-4=08

y

即直線MN過定點(diǎn)C正確;

因?yàn)?=po2,

所以當(dāng)1PM最小時(shí)，|P0|最小,

|0-0+5|

且「。|最小為了百

2

所以此叫=岔）—4=1,D正確.

故選：BCD

12.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動(dòng)是指：從某一格開始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或

右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如從1移動(dòng)到9,1—>3-4—>5T6T7―>8f9就是一條移動(dòng)

路線，（）

A.從1移動(dòng)到9,一共有34條不同的移動(dòng)路線

B.從1移動(dòng)到9過程中，恰好漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線有15條.

C.若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，則移動(dòng)過程中恰好跳過4的概率為:

8

D.若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，記「⑺為經(jīng)過i的概率，則P⑺〉尸（8）>P（9）

【答案】AB

【分析】畫出樹狀圖，結(jié)合圖形及古典概型即可求解.

【詳解】畫出樹狀圖，結(jié)合圖形

里

申申

則從1移動(dòng)到9,一共有34條不同的移動(dòng)路線，A正確;

從1移動(dòng)到9過程中，恰好漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線，

即上圖倒數(shù)第三行有9的路線，有15條，B正確；

若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，則移動(dòng)過程中恰好跳過4的路線共有10條，

則其概率為』，C錯(cuò)誤；

17

若每次移動(dòng)都是隨機(jī)的，記P?）為經(jīng)過i的概率，則P（9）=l為最大值，尸（7）＜1,D錯(cuò)誤.

故選：AB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（爐+1）（》-2廣展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為

【答案】8

【分析】由題意利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得（3+1）（》-2）4展開式中項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】由題意可知：（%—2）4展開式的通項(xiàng)公式為7；+1=（21]4，（—2）二廠=0,1,2,3,4,

所以（三+1）（工—2）4展開式中d項(xiàng)的系數(shù)為C：X（—2）4+C；X（—2）=16—8=8.

故答案為：8.

14.ABC^,4（7,8）,5（10,4）,。（2,汽），則S.c為.

【答案】28

【分析】用向量的方法，借助平面向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算求角A,然后用三角形的面積公式求解.

【詳解】因?yàn)椋篈B=（3,T）,AC=（-5,-12）,

所以：|A@=5,卜4=13,ABAC=3x（-5）+（^）x（-12）=33,

所以：cos（AB,AC）=-----=—,所以為銳角，且sin（礪，衣）=.

5x136565

所以：S11AB|-|AC|-sinAB,AC^=IX5X13X||=28.

故答案為：28

15.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為石，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為

%和丫乙.若?=2,貝1］白=__________.

J乙V乙

【答案】^##-75

55

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為心乙圓錐底面圓半徑為弓，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得

〃=2々，再結(jié)合圓心角之和可將分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的

體積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為G，

則"_=馬|=工=2,所以彳=2々，

S乙;rr2l々

又泡+濁*,則X」所以1的

II2I424

所以甲圓錐的高4=,/―；/2=爭(zhēng),

故答案為：?

16.在數(shù)列求和中，裂項(xiàng)相消法是很常用的方法.例如在計(jì)算5.=1+2+3+……+”的過程中，可以選

擇將通項(xiàng)作如下處理：4=〃=——1）〃—+,從而求出

Sn=-1［0xl-lx2+lx2-2x3+...+（H-l）n-H（H+l）］=^t^，類比上述方法，計(jì)算

S?=lx2+2x3+...+?（?+1）=,并由此結(jié)果推導(dǎo)出自然數(shù)的平方和公式

I2+22+32+...+n2=

【答案】①.—n（n+l）（n+2）②.—n（n+l）（2n+l）

36

【分析】根據(jù)題設(shè)的方法，M〃+l）=—g■〃—+—〃（〃+1）仇+2）],可求空①，進(jìn)而

然后利用/=〃+求空②.

【詳解】對(duì)于S〃=lx2+2x3+...+〃(〃+l),

其中求和項(xiàng)%=〃(幾+1)=+++

〃(〃+1)(〃+2)

?,?S”=-牙0x1x2-Ix2x3+lx2x3-2x3x4++(〃-1)〃(九+1)-〃(〃+1)(〃+2)]=

〃3L3

又?:/=〃(〃+1)一〃,

+2~+32+...+〃2=1x2—1+2x3—2++〃(〃+1)—n

=1X2+2X3+...+M(?+1)-(1+2+...+?)=+2)_"(；1)

n（n+l）（2n+l）

―6,

故答案為：-n（H+l）（?+2）；-n（?+l）（2?+l）.

36

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

，、fa-2,n<6

17.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足aa+i=1,/6?4*且。，+。9=0.

[3a“,n>7

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式a”；

（2）求數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和公式S,.

13—2〃,H<7

【答案】（1）

一3"-7,n>7

-〃2+12〃,n<7

⑵sn=\73-3"-6

n>7

、-2-，

【分析】（1）根據(jù)遞推公式判斷數(shù)列是否等差、等比，再根據(jù)等差、等比求通項(xiàng);

（2）分段求數(shù)列的前九項(xiàng)和.

【小問1詳解】

由題意：數(shù)列｛4｝的前7項(xiàng)成等差數(shù)列，公差d=-2,從第7項(xiàng)起成等比數(shù)列，公比q=3.

%+%=°n%—5d+07g2=o=%=-1

當(dāng)〃《7時(shí),61tl=3+(〃—7)d=—2rl+13

當(dāng)〃>7時(shí),

—2〃+13,n<7

所以：a=

n—3"-7,n>7

【小問2詳解】

當(dāng)時(shí)，S=」4+12”,

"2

73—3"6

當(dāng)”>7時(shí)，Sn—S-,+as+a9—\-an=35H__~

1-32

—n2+12〃n<7

所以：5〃=<73—3〃一6

n>7

、2

sinB+sinCcosB-cosA

18.在一ABC中,a=A/19，n

cosB+cosAsinC

（1）求角A；

（2）若點(diǎn)。為BC邊上一點(diǎn)，殷=3且AOLAC,求的面積.

DC4

2兀

【答案】（1）—

3

⑵亭

*+2_21

【分析】Q）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系和正弦定理化簡(jiǎn)原式’結(jié)合余弦定理求解=進(jìn)

而得到答案;

（2）根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，通過向量數(shù)量積運(yùn)算得到2c=3b,結(jié)合余弦定理得到

3

19^b2+c2+bc兩式聯(lián)立得到b=2,c=—匕=3,結(jié)合三角形面積公式即可得到答案.

2

【小問1詳解】

,,?sin3+sinCcosB-cosA

因?yàn)?-----------=-------------,

cosB+cosAsinC

所以sin5sinC+sin?C=cos25-cos2A，

即sinBsinC+sin2C=(1—sin25)—(l-sin?A)=sin2A-sin2B,

在一ABC中，由正弦定理得，bc+e=a1-^,即匕2+。2—/=_人。,

在，ABC中，由余弦定理得，cosA==」,

2bc2

2TL

又因?yàn)?<4<兀，所以A=

【小問2詳解】

如圖所示,

A

BDC

一3-3（-43

所以AD=43+及3。=43+及AC—AB）=—AB+及AC

77、>77

因?yàn)锳DLAC,所以AD-AC=O，

所以+=

43

所以一AB-AC+—AC-AC=O,

77

gp|&cx^-1^+|xZ22=0,即2cb=3^2,

又因?yàn)閎wO,所以2c=3/7,

在,?16。中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2Z?ccosA，

BP19=/?2+C2+Z?C，

3

代入。=—b,解得b=9（負(fù)值舍去），

2

3

所以b=2,c=—匕=3,

2

所以S/XABC=；bcsinA=gx2x3x?

19.如圖，直三棱柱ABC-a用G中，一A5c為等腰直角三角形，CA=CB,E,尸分別是棱A4，CG

上的點(diǎn)，平面班/，平面ABBIA，M是A5的中點(diǎn).

AllCl

p

B

(1)證明：CM〃平面BEF；

(2)若AC=A￡=2,求平面5石戶與平面ABC所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵逅

3

【分析】(1)過F作FDLEB交BE于D,應(yīng)用垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行可證CM//ED即可;

(2)以CA,C5,CG為龍，》z軸建系，應(yīng)用空間向量求二面角的余弦值.

【小問1詳解】

過F作FDLEB交BE于D,因?yàn)槠矫?跖，平面公5與人，

平面BEFI平面ABB^=BE,

FDu平面BEF,則EDL5石，

.?.EDJ_平面A54A,

M為中點(diǎn)，且C4=CB,.?.O/LAB,

又A4,JL平面ABC,CMu平面ABC,

A4j1CM,又AB,AA]u平面ABBXAX,

ABc"=A,CM，平面ABB】A,

:.CM//FD,QWa平面5ER,FDu平面BEF,

.?.。///平面5即.

【小問2詳解】

CM//DF,

???可確定一平面CMDF,

CF//A4,CF平面ABB〕A,A&u平面ABB^

：.CF//平面ABB{AX,CFu平面CMDF,

平面CMDFc平面ABB]A=MD,

:.CF//MD,

.,?四邊形CMDE為平行四邊形，

AE

CF=MD=—=1

2

以CA,C3,CC］為無(wú)，》z軸建系，

則3(0,2,0),E(2,0,2),下(0,0,1),

設(shè)加=(尤,y,z)為平面5防的法向量，

EF=(-2,0,-1),6^=(0,-2,1),

m-EF=0f2x+z=0

則〈，即、八，令1=1,則y=—l,z=-2,

m-BF=012y—z=0

.?.m=(L—L—2)是平面5一所的一個(gè)法向量，

〃=(0,0,1)為平面ABC的一個(gè)法向量，

小依小旃，/

平面BEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為好.

3

6,且經(jīng)過點(diǎn)C(l,

2

(1)求橢圓方程

(2)點(diǎn)A為橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)3(—1,。)的直線/交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ分別交x軸于點(diǎn)

M,N,若|MN|=4j7,求直線/的方程

2

【答案】(1)—+y2=l

4-

(2)尤一2y+l=0或3x-y+3=0

【分析】(1)根據(jù)題意列式求片力2,即可得結(jié)果;

(2)分類討論直線/是否為x軸，設(shè)/方程為x=/ny-1,P(%,%),。(々，%),根據(jù)題意整理得

\MN\=G"D(x-%),聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理分析求解.

1—(%+%)+%%

【小問1詳解】

因?yàn)?=F=[_]---=—,可得〃2=4/，

CTCT4

又因?yàn)辄c(diǎn)1,一相|在橢圓上，則下+“7=1，

聯(lián)立解得/=4,/=1,

所以橢圓方程為工+V=L

4-

【小問2詳解】

若直線/為無(wú)軸時(shí)，|跖V|=4不符合條件;

若直線不與x軸平行時(shí)，設(shè)/方程為x=—，

同理可得/=丁a-

1-%

所以|“v|=工一上=蟹二1—鱉二1(相一1)(必一%)

i—必］一%i—yI—%1-(%+%)+%%

x=my-1

聯(lián)立方程<尤2,消去x得O2+4)y2_2zny-3=0,

——+y=1

14

則A=4m2-4(m2+4)(-3)=48+16m2>0,

—r/日2m-3

可得X+%=乂%，

m+4m+4

-

miN?If2mY124冊(cè)2+3

人口…2|=心口|

4dm2+3m-1|

可得------nr±A--------=477，整理得3m2—7〃z+2=0，解得=2或〃2=；,

.2m-3

1——5——+—;-

m+4m"+4

所以所求直線方程為x—2y+l=0或3x—y+3=0.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系

時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求

解.

21.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=f+。

(1)若函數(shù)y=/(x)與y=g(x)的圖象存在公切線，求。的取值范圍

(2)若函數(shù)b(x)=/(x)—g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)和％2(芯＜々)，求證：%+々＞夜.

「l+ln2、

【答案】(1)ae-------,+℃；

(2)證明見解析.

【分析】(1)設(shè)公切線與y=/(x),y=g(x)分別相切于?,ln再),(%2,君+外，寫出對(duì)應(yīng)切線方程，根據(jù)

,1,

公切線列方程得到。=1叫+彳-1在(0,+co)上有解,構(gòu)造中間函數(shù)研究參數(shù)范圍;

五+1x

(2)分析法，將問題化為證三一In(土)＞2,應(yīng)用換元法及導(dǎo)數(shù)證明不等式即可.

A-1々

x2

小問1詳解】

設(shè)公切線與y=f(x),y=g(x)分別相切于(芯,In%),(%2,考+a),

則直線＞一In%'(x-X])與直線y—龍；—。=2馬(x—%)為同一條直線，

xl

--二2々1

石',消去巧得a=]%+北7_1，

Inx；-1=a-'

要有公切線存在，即上述關(guān)于占的方程在(0,+8)上有解,

設(shè)/z(x)=lnx+工一1且xe(0,+s),則〃(％)=工—-L=

4/x2x32%3

交庠+8)

(。去2

"(X)—0+

h(x)單調(diào)減極小值單調(diào)增

所以力(X)min=必孝)l+ln2l+ln2

------,即nn。e,+oo

22

【小問2詳解】

由王,馬是E(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則出西=k+a,ln%2=其+4，

五+1

則(%+X)2=五*ln(%)=^ln(2)

兩式相減得1no=(%1-x2)(%1+%),2

%—%2%2五_1%2

x2

1+1X

要證為+%2>8，%%均為正數(shù)，只需(%+%)2>2，即證%—ln(五)〉2,

A-1%2

%2

%/I12._2