高考數(shù)學(xué)概率知識(shí)復(fù)習(xí)訓(xùn)練150題（共5套含答案）

高考數(shù)學(xué)概率專題知識(shí)復(fù)習(xí)訓(xùn)練150題含答案

一'單選題

1.在區(qū)間口，1］上任取兩個(gè)數(shù)x、y,則滿足%2+y2<1的概率是（）

A.金B(yǎng)-IC-5D-?

2.在區(qū)間［-1,1］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線y=+3）與圓%2+y2=1相交

的概率為（）

A1n1c同■D&

A-23C-T0.至

3.某地市高三理科學(xué)生有15000名，在一次調(diào)研測(cè)試中，數(shù)學(xué)成績占服從正態(tài)分布N

（100,W）,已知p（80（a100）=0.35,若按成績分層抽樣的方式取100份試卷進(jìn)行

分析，則應(yīng)從120分以上的試卷中抽取（）

A.5份B.10份C.15份D.20份

4.已知某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為180,180,90.現(xiàn)采用分層抽

樣的方法從中抽取5名學(xué)生去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)，若再從這5人中抽取2人作為

負(fù)責(zé)人，則事件“抽取的2名同學(xué)來自不同年級(jí)”的概率是（）

A.|B.|C.|D.1

5.從三個(gè)小區(qū)中選取6人做志愿者，每個(gè)小區(qū)至少選取1人，則不同的選取方案數(shù)為

（）

A.10B.20C.540D.1080

6.已知函數(shù)f（%）=1，則函數(shù)y=f久）+1］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

、久2+2x,%<0

A.2B.3C.4D.5

7.現(xiàn)有4份不同的禮物，若將其全部分給甲、乙兩人，要求每人至少分得1份，則不同

的分法共有（）

A.10種B.14種C.20種D.28種

8.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每局比賽都沒有平局（必

須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是p，隨機(jī)變量X表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，若0<p<土

則（)

q711

A.F(X)=|B.E(X)>令C.D(X)>aD.D(X)<

20

81

二'填空題

9.已知服從正態(tài)分布N(|1,。2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(!!-◎,|1+。)，(|1-2o,］1+2?)和

(H-3o,(i+3o)內(nèi)取值的概率分別為68.26%,95.44%,和99.74%.某正態(tài)曲線的密

度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為

忐，則總體位于區(qū)間［-4,-2］的概率.

10.一個(gè)盒子中裝有8個(gè)小球，紅球有3個(gè)，白球有5個(gè)，每次從袋子不放回地抽取1

個(gè)小球，則在第一次抽取的球是紅球的條件下，第二次抽取的球?yàn)榘浊虻母怕?/p>

為.

11.設(shè)隨機(jī)變量白?N(四，/),且P(匕<-3)=P(&>1)=0.2,則P(-1<^<1)

12.下面給出三個(gè)游戲，袋子中分別裝有若干只有顏色不同的小球(大小，形狀，質(zhì)量

等均一樣)，從袋中無放回地取球，則其中不公平的游戲是.

游戲1游戲2游戲3

球數(shù)3個(gè)黑球和一個(gè)白球一個(gè)黑球和一個(gè)白球2個(gè)黑球和2個(gè)白球

取法取1個(gè)球，再取1個(gè)球取1個(gè)球取1個(gè)球，再取1個(gè)球

取出的兩個(gè)球同色一甲取出的球是黑球一甲取出的兩個(gè)球同色一甲

勝利月生勝月生

規(guī)則取出的兩個(gè)球不同色一取出的球是白球一乙取出的兩個(gè)球不同色一

乙勝月生乙勝

13.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時(shí)期較為盛行,

假設(shè)甲、乙是唐朝的兩位投壺游成參與者，且甲、乙每次投壺投中的概率分別為:金若每

人均投一次，則僅有一人投中的概率為;若每人均投壺3次，則甲比乙多投

中2次的概率為.

14.已知P為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且麗+方+4同=0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在

/ABC內(nèi)，則黃豆落在ABPC的概率為.

15.某單位舉辦演講比賽，最終來自4B,C,。四個(gè)部門共12人進(jìn)入決賽，把

4B,C,。四個(gè)部門進(jìn)入決賽的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本方差為2.5,且樣本數(shù)據(jù)

互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為.

16.從3臺(tái)甲型彩電和2臺(tái)乙型彩電中任取3臺(tái)，其中兩種品牌的彩電齊全的概率是一

17.現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)

數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于8的概率是.

18.若隨機(jī)變量X?B（5,p）,且以乂）=學(xué)，則D（2X）=；<X<

3二----------

19.已知a1a2...a10為數(shù)字0,1,2,9的一個(gè)排列，滿足+a2+a3=a4+a5+

a6=a7+a8+a9+a10,且的<,則這樣排列的個(gè)數(shù)為（用數(shù)

字作答）.

20.為了普及安全教育，某校組織了一次學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定每隊(duì)3人，每人回答

一個(gè)問題，答對(duì)得1分，答錯(cuò)得0分.在競(jìng)賽中，甲、乙兩班代表隊(duì)狹路相逢，假設(shè)甲隊(duì)

每人回答問題正確的概率均為|，乙隊(duì)每人回答問題正確的概率分別為1,j,1,

且兩隊(duì)各人回答問題正確與否互不影響，則乙隊(duì)總得分為3分的概率是,甲

隊(duì)總得分為2分且乙隊(duì)總得分為3分的概率是.

21.某射手射擊1次，命中目標(biāo)的概率為0.9,他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否命中

目標(biāo)相互之間沒有影響，有下列結(jié)論：

①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；

②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率為09X0.1；

③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-（0.1）4；

④他最后一次才擊中目標(biāo)的概率是Clx0.9x0.13

其中正確結(jié)論的序號(hào)是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

22.設(shè)無1、%2、冷、%4為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X和丫的分布列如下表，若

記DX,DY分別為X,Y的方差，則DXDY.（填〉，<,=）

X

%2%3%4

+%2%3+%4

Y%4

2222

P1111

4444

23.從1,2,3,4中任取兩個(gè)不同的數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率

是.

三'解答題

24.根據(jù)某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖:

甲乙

80

463125

368254

389316679

2449

150

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的成績更好？并說明理由;

(2)求24個(gè)得分的中位數(shù)m,并將所得分超過m和不超過m的得分?jǐn)?shù)填入下面的

列聯(lián)表：

超過m不超過m

甲

乙

(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每場(chǎng)比賽

得分有差異？

2

附./_______n(ad-bc)______

K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>fc0)0.150.100.05

kg2.0722.7063.841

2

25.已知數(shù)列｛a"的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，5.4Sn=an+2an-3.

(1)求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

(2)已知bn=2n,求Tn=aibl+a2b2+…+癡bn的值.

26.疫情期間，某社區(qū)成立了由網(wǎng)格員、醫(yī)療人員、志愿者組成的采樣組，上門進(jìn)行核

酸檢測(cè).某網(wǎng)格員對(duì)該社區(qū)需要上門核酸檢測(cè)服務(wù)的老年人的年齡(單位：歲)進(jìn)行了

統(tǒng)計(jì)調(diào)查，將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開區(qū)間)，得到的頻率分布直

方圖如圖所示.

(1)求m的值；

(2)估計(jì)需要上門核酸檢測(cè)服務(wù)的老年人年齡的中位數(shù)；

(3)估計(jì)需要上門核酸檢測(cè)服務(wù)的老年人年齡的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點(diǎn)值作為代表).

27.足球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)在學(xué)校廣泛開展、深受學(xué)生喜愛的體育項(xiàng)目，對(duì)提高學(xué)生的身心健

康具有重要的作用.某中學(xué)為了推廣足球運(yùn)動(dòng),成立了足球社團(tuán),該社團(tuán)中的成員分為A,

B,C三個(gè)層次，其中A,B,C三個(gè)層次的球員在1次射門測(cè)試中踢進(jìn)球的概率如表所

示，A,B,C三個(gè)層次的球員所占比例如圖所示.

層次ABC

概率211

324

(1)若從該社團(tuán)中隨機(jī)選1名球員進(jìn)行1次射門測(cè)試，求該球員踢進(jìn)球的概率；

(2)若從該社團(tuán)中隨機(jī)選1名球員，連續(xù)進(jìn)行5次射門測(cè)試，每次踢進(jìn)球與否相互

獨(dú)立，記踢進(jìn)球的次數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

28.已知函數(shù)久)=,尤2,g(x)=elnx.

(1)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-g(%),求FQr)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在常數(shù)/c,TH,使得f(%)N々％+根，對(duì)％€R恒成立，且g(%)<k%+m,

對(duì)lG(0,+8)恒成立,則稱直線y=kx+ni為函數(shù)f(%)與g(%)的“分界線”，試問：f(%)

與9(%)是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案解析部分

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】0.1359

10.【答案】1

11.【答案】0.3

12.【答案】游戲3

13.【答案】|；|

14.【答案】1

6

15.【答案】5

16.【答案】喘

17.【答案】|

18.【答案】等患

19.【答案】3456

20.【答案】|；1

21.【答案】①③

22.【答案】＞

23.【答案】|

24.【答案】（1）解：乙運(yùn)動(dòng)員的成績更好，理由如下：

（i）由莖葉圖可知：乙運(yùn)動(dòng)員的得分基本上是對(duì)稱的，葉的分布是“單峰”的，有工的

葉集中在莖3,4上；甲運(yùn)動(dòng)員的得分基本上也是對(duì)稱的，只有寺的葉集中在莖3,4上.所

以乙運(yùn)動(dòng)員的成績更好.

（ii）由莖葉圖可知：乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是36；甲運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是27.所

以乙運(yùn)動(dòng)員的成績更好.

（出）從葉在莖上的分布看，乙運(yùn)動(dòng)員的得分更集中于單峰值附近，這說明乙運(yùn)動(dòng)員的

發(fā)揮更穩(wěn)定.

以上給出3種理由，學(xué)生答出其中一種或其他合理理由均可得分.

（2）解：由莖葉圖可知7n==32,列聯(lián)表如下:

超過m不超過m

甲57

乙75

2

⑶解：由于八徵甑第2?0.67<2.706'

所以沒有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每場(chǎng)比賽得分有差異.

25.【答案】(1)解：當(dāng)n=l時(shí)，%=si=%+%—',解出ai=3,

又4Sn=an2+2an-3①

當(dāng)n>2時(shí)4sn-產(chǎn)an-F+2an-i-3②

222

①-②4aFan?-an-i+2(an-an-i),即an-an-i-2(an+an-i)=0,

??(Hn+an-1)(3.n-3.n-1-2)-0,

*.*an+ani>0/.an-an-i=2(n>2),

，數(shù)列｛an｝是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列，???an=3+2(n-1)=2n+l

(2)解：Tn=3x21+5x22+…+(2n+l)?2n@

又2Tn=3x22+5x23+(2n-1)?2n+(2n+l)2n+1(4)

④-③Tn=-3x21-2(22+23++2n)+(2n+l)2n+1-6+8-2-2nl+(2n+l)?2n+1=(2n-

1)?2n+2

26.【答案】(1)解：由圖可知，(0.012+m+0.032+0.040)X10=1,解得m=0.016

(2)解：???(0.016+0,032)X10=0.48<0.5,(0.016+0.032+0,040)X10=0.88>

0.5,

???中位數(shù)在［80,90)這一組，為80+鬻X10=80.5

二估計(jì)需要上門核酸檢測(cè)服務(wù)的老年人年齡的中位數(shù)為80.5歲

(3)解：由題可知0.16X65+0.32X75+0.4X85+0.12X95=79.8

.??估計(jì)需要上門核酸檢測(cè)服務(wù)的老年人年齡的平均數(shù)為79.8歲.

27.【答案】(1)解：從該社團(tuán)隨機(jī)選1人進(jìn)行一次射門測(cè)試，選自層次A,B,C的成

員踢進(jìn)球的事件分別記為事件A,B,C,

221111111

則尸(4)=-jgX=g>P(B)=2*2="P(C)=5x4=20,

因?yàn)槭录嗀,B,C為互斥事件，

所以PG4U5UC)=P(A)+P(B)+P(C)=4+7+577=4*

'□4zuz

故從該社團(tuán)中隨機(jī)選1名球員進(jìn)行1次射門測(cè)試，球員踢進(jìn)球的概率為今

(2)解：由(1)可知從該社團(tuán)中隨機(jī)選擇1人進(jìn)行1次射門測(cè)試，球員踢進(jìn)球的概率

為會(huì)每次踢進(jìn)球與否相互獨(dú)立，

所以X服從二項(xiàng)分布，即X?B(5,今，

P(X=0)=*)5=*,P(X=1)=程即=￡，p(x=2)=*)5=10,

P(X=3)=*)5=當(dāng)p(x=4)=*)5=,,p(x=5)=*)5=強(qiáng)

X的分布列為

X012345

11

p510105

323232323232

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=5xJ=2.5.

28.【答案】(1)解：F(%)=—elnx,則定義域?yàn)?0,+oo),F\X)=x

令F’(x)>0，解得%>正，令F’(x)<0，解得0<x<孤，

所以FQ)的單調(diào)減區(qū)間為(0,?),單調(diào)增區(qū)間為(低，+00).

(2)解：假設(shè)f(x)與g(x)存在“分界線”，

2

f(x)>kx+HI整理得m>o,則/=k+2m<。①，

g。）<kx+TH整理得elnx—kx—m<0,

設(shè)h(%)=elnx—kx—m,則h,Q)=~^+e>

當(dāng)k40時(shí)，?(%)>(),以%)單調(diào)遞增且存在大于0的值，不符合要求；

當(dāng)k>。時(shí)，令h(%)>0解得。<%<￡，令h(x)<0解得x>

所以以%)在(0,￡)單調(diào)遞增，(￡,+8)單調(diào)遞減，

在％=賁出取得最大值，八㈤max=h既)=el咪一k?竿一m=-elnk-m,

所以一elnk-m<0②，

④①+②得：我2—ein/c<0,

設(shè)t(k)=2攵2一e]n/c,由(1)得t(/c)之1(孤)=0,

所以—elnk=0,k-代入①②得zn=一*

所以/(%)與。(久)存在“分界線”，“分界線”的方程為：y=?x-§

高考數(shù)學(xué)概率專題知識(shí)復(fù)習(xí)訓(xùn)練150題含答案

一'單選題

1.某袋中有9個(gè)大小相同的球，其中有5個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任意取出1個(gè)，則

取出的球恰好是白球的概率為()

A-B-C-D-

八,5499

2.在腰長為2的等腰直角三角形內(nèi)任取一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到此三角形的直角頂點(diǎn)的距離

不大于1的概率為()

A-16B-5C-?D-5

3.概率論起源于博弈游戲.17世紀(jì)，曾有一個(gè)“賭金分配”的問題：博弈水平相當(dāng)?shù)募住?/p>

乙兩人進(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局.雙方約定，各出賭金48枚

金幣，先贏3局者可獲得全部賭金；但比賽中途因故終止了，此時(shí)甲贏了2局，乙贏了

1局?問這96枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率

"的知識(shí)，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是

A.甲48枚，乙48枚B.甲64枚，乙32枚

C.甲72枚，乙24枚D.甲80枚，乙16枚

4.算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古

代一項(xiàng)偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計(jì)算工具.“珠

算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時(shí)，經(jīng)緯三才."

北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一

部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個(gè)位、十位、百

位......上面一粒珠（簡稱上珠）代表5,下面一粒珠（簡稱下珠）是1,即五粒下

珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2

粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)

能夠被3整除的概率是（）

梁7一上珠

檔一

框;

下珠

A-1B-1c-1D-1

5.已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡.若顧客甲沒有

銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購物后,

恰好用了其中的三種結(jié)賬方式，那么他們結(jié)賬方式的可能情況有（）種

A.19B.7C.26D.12

6.已知ae[一8,4],則命題3x0>0,xl+ax0+1<0為假命題的概率（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

7.4名運(yùn)動(dòng)員參加4*100接力賽，根據(jù)平時(shí)隊(duì)員訓(xùn)練的成績，甲不能跑第一棒，乙不

能跑第四棒，則不同的出場(chǎng)順序有（）

A.12種B.14種C.16種D.24種

利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)和則方程工;=—2a-"有實(shí)根的

8.ab,X

概率為

A.iB.2C.1D.1

二、填空題

9.在區(qū)間,芻上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)無，則cos%的值在（0,手之間的概率為：

10.氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，6月1日泰州市下雨的概率為白，刮風(fēng)的概率為總，既刮風(fēng)又

下雨的概率為轉(zhuǎn)，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，則P(B|A)=.

11.若隨機(jī)變量X?N(3,M),且P(X>5)=0.2,則P(1WXW5)等于.

alla12a13

12.三行三列的方陣(。21a22。23)中有9個(gè)數(shù)%(i=1,2,3；7=1/2,3),從中任取

a31a32a33

三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)

13.甲、乙兩位同學(xué)下棋，若甲獲勝的概率為0.2,甲、乙下和棋的概率為0.5,則乙獲

勝的概率為.

14.在區(qū)間［1,5］和［2,4］分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n,則方程烏+號(hào)=1表示焦

點(diǎn)在X軸上的橢圓的概率是

15.五個(gè)數(shù)1,2,3,4,a的平均數(shù)是3,則a=,這五個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差是.

16.體育館內(nèi)裝籃球的箱子中有4個(gè)新籃球和2個(gè)用過的舊籃球，三名運(yùn)動(dòng)員各自從箱

子中隨機(jī)拿一個(gè)籃球進(jìn)行投籃訓(xùn)練，結(jié)束后三個(gè)籃球放回箱子中，此時(shí)箱子中用過的舊

籃球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，貝IJP(X=4)=；隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

E(X)=.

17.某射擊運(yùn)動(dòng)員每次擊中目標(biāo)的概率為0.8,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射

擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1

表示沒有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次

的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

7527029371409857034743738636694714174698

0371623326168045601136619597742476104281

根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為.

18.設(shè)隨機(jī)變量X滿足正態(tài)分布X?N(-1,4),若p(-3WxW-1)=04,則P(-3WxWl)

19.三名志愿者被分配到4個(gè)單位參加“關(guān)于二胎”的問卷調(diào)研，若一個(gè)單位有2個(gè)人去

調(diào)研，另一個(gè)單位有1個(gè)人去調(diào)研，則不同的分配方法有種.

20.高二某位同學(xué)參加物理、政治科目的學(xué)考，已知這位同學(xué)在物理、政治科目考試中

得A的概率分別為g、這兩門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1

個(gè)A的概率為.

21.小明在微信中給朋友發(fā)拼手氣紅包，1毛錢分成三份(不定額度，每份至少1分)，

若這三個(gè)紅包被甲、乙、丙三人搶到，則甲搶到5分錢的概率為.

22.1886年5月1日，芝加哥的二十一萬六千余名工人為爭取實(shí)行八小時(shí)工作制而舉行

大罷工，經(jīng)過艱苦的流血斗爭，終于獲得了勝利.為紀(jì)念這次偉大的工人運(yùn)動(dòng)，1889年7

月由恩格斯領(lǐng)導(dǎo)的第二國際在巴黎舉行代表大會(huì)，會(huì)議上宣布將五月一日定為國際勞動(dòng)

節(jié).五一勞動(dòng)節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人

至少值班1天，已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是.

23.設(shè)正方形ABCD的中心為0,在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)的三角形中任

意取出兩個(gè)，則它們面積相等的概率為

三'解答題

24.某校學(xué)生會(huì)對(duì)本校各學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)開展情況進(jìn)行調(diào)查，用分層抽樣方法從數(shù)理社，

文學(xué)社，足球社三個(gè)社團(tuán)學(xué)生中，抽取若干人組成調(diào)查小組，有關(guān)數(shù)據(jù)如表格(單位:人)

社團(tuán)名稱社團(tuán)人數(shù)抽取人數(shù)

數(shù)理社12X

文學(xué)社36y

足球社484

(1)求x,y的值;

(2)若從數(shù)理社，文學(xué)社兩個(gè)學(xué)生社團(tuán)所抽取的人中選2人作交流發(fā)言，求這2人

都來自文學(xué)社的概率。

25.“斯諾克(Snooker)”是臺(tái)球比賽的一種，意思是“阻礙、障礙”，所以斯諾克臺(tái)球有

時(shí)也被稱為障礙臺(tái)球，是四大“紳士運(yùn)動(dòng)”之一，隨著生活水平的提高，“斯諾克”也成為

人們喜歡的運(yùn)動(dòng)之一.現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行比賽比賽采用5局3勝制，各局比賽雙方輪流

開球(例如：若第一局甲開球，則第二局乙開球，第三局甲開球……)，沒有平局已知

在甲的“開球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為本在乙的“開球局”，甲獲得該局比賽

勝利的概率為表并且通過“猜硬幣”，甲獲得了第一局比賽的開球權(quán).

(1)求甲以3：1贏得比賽的概率；

(2)設(shè)比賽的總局?jǐn)?shù)為f,求E8).

26.某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米

收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民,

獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：

(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為

4元/立方米，w至少定為多少？

(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w=3時(shí)，估計(jì)該市

居民該月的人均水費(fèi).

27.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(滿分100

分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：［40,50),［50,60),…，［90,100］后

得到如圖的頻率分

布直方圖.

(1)求圖中實(shí)數(shù)a的值；

(2)若該校高一年級(jí)共有學(xué)生1000人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績不

低于60分的人數(shù).

(3)若從樣本中數(shù)學(xué)成績?cè)冢?0,50)與［90,100］兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2

名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值大于10的概率.

28.某地區(qū)為居民集體篩查新型傳染病毒，需要核酸檢測(cè)，現(xiàn)有k(kCN*,k22)份樣

本，有以下兩種檢驗(yàn)方案，方案一，逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)k次；方案二：混合檢驗(yàn),

將k份樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)一次，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則k份樣本均為陰性,

若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了確定k份樣本的陽性樣本，則對(duì)k份本再逐一檢驗(yàn).逐份檢驗(yàn)

和混合檢驗(yàn)中的每一次檢驗(yàn)費(fèi)用都是16元，且k份樣本混合檢驗(yàn)一次需要額外收20元

的材料費(fèi)和服務(wù)費(fèi).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的樣本中，每份樣本是否為陽性是相互獨(dú)立的，且

據(jù)統(tǒng)計(jì)每份樣本是陰性的概率為p(0<p<1).

參考數(shù)據(jù)：上2=0.7,ln3=1.1,ln7=1.9,InlO=2.3,Inll=2.4

(1)若k(k€N*,k22)份樣本采用混合檢驗(yàn)方案，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為X,求X

分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)①若k=5,p>W45,以檢驗(yàn)總費(fèi)用為決策依據(jù)，試說明該單位選擇方案二

的合理性；

②若p=京，采用方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望低于方案一，求k的最大值.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】|

10.【答案】|

1L【答案】0.6

12.【答案】

13.【答案】0.3

14.【答案】1

15.【答案】5；V2

16.【答案】|；4

17.【答案】0.75

18.【答案】0.8

19.【答案】36

20.【答案】|

21.【答案】±

22.【答案】|

23.【答案】1

24.【答案】⑴解:x=l,y=3o

（2）解：設(shè)數(shù)理社抽取的人記為甲，文學(xué)社抽取的人記為乙，丙，丁。從中選2人,

可能的結(jié)果為甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6種。其中這2人都來自文學(xué)社

的結(jié)果為乙丙，乙丁，丙丁共3種

由古典概型公式知：這2人都來自B文學(xué)社的概率為「=|=|

25.【答案】(1)解：設(shè)事件甲在第i局比賽獲勝為4”i=1,2,3,4,5,由已知可得

11111

P(/1)=W，2-PTPP(45)=

P(A2)=(4)=(4)=2,可

事件甲以3：1贏得比賽，則前3局中甲贏得了2局且第4局甲獲勝，

所以事件甲以3：1贏得比賽可表7K為力遇243,4+41"24344+

其中力I?!?4344，41“2”344，/1人24344互斥‘41,^29^39^49人5相互獨(dú)"*，

所以P(41424344+4142”3”4+424344)=P("l"2,3,4)+P(4l424344)+

P(4&匹44)

=PODP(&)P(4)PG44)+P(4)P④)P(&)P(4)+P(4)P(&)P(五)P(4)

2111,1111,11215

=3X2X3X2+3X2X3X2+3X2X3X2=36，

所以甲以3：1贏得比賽的概率為皋

(2)解：f的可能取值為3,4,5,

設(shè)甲獲勝的概率為P1，乙獲勝的概率為P2，

匕片=3)=/2、§=正；

P2(^=3)=jx^x|=^;

「紇=3)=克1+2|=%5

^=4)=|x|xlxl+|x|x|xl+|xlx|xl=A;

P2(f=4)=|xlx|xl+|x|x|x1+|x|x|x1=|；

八5.213

P(f=4)=希+弓=希；

r-1n-1o

則P(f=5)=i_p(f=3)_p(f=4)="得一.=J,

所以E(f)=3x得+4x1|+5x||=修

26.【答案】(1)解：由用水量的頻率分布直方圖知，

該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]內(nèi)的

頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.

所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%,用水量不超過2立方米的居民

占45%.依題意，w至少定為3

（2）解：由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率

分布表：

組

12345678

號(hào)

分

[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]

組

頻

0.10.150.20.250.150.050.050.05

率

根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：

4X0.1+6X0.15+8X0.2+10X0.25+12X0.15+17X0.05+22X0.05+27X

0.05=10.5（元）.

27.【答案】解：（1）由頻率分布直方圖，得：

0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=l,

解得a=0.03.

（2）數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85,

???數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為：

1000x0.85=850（人）.

（3）數(shù)學(xué)成績?cè)冢?0,50）的學(xué)生為40x0.05=2（人），數(shù)學(xué)成績?cè)冢?0,100］的學(xué)生人數(shù)

為40x0.1=4（人）,

設(shè)數(shù)學(xué)成績?cè)冢?0,50）的學(xué)生為A,B,數(shù)學(xué)成績?cè)冢?0,100］的學(xué)生為a,b,c,d,

從樣本中數(shù)學(xué)成績?cè)冢?0,50）與［90,100］兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，

基本事件有：{AB},{Aa},{Ab},{Ac},{Ad},{Ba},{Bb},{Be},{Bd},{ab},{ac},

{ad},{be},

{bd},{c,d},

其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值大于10的情況有：

{Aa},{Ab},{Ac},{Ad},{Ba},{Bb},{Be},{Bd},共8種,

.??這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值大于10的概率為白.

28.【答案】(1)解：X的可能值為1和k+1,

P[x=1)=pk,P(X=k+1)=i—pk,

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X1k+1

ppk1—pk

所以E(X)=1x+(fc+1)x[1—pk]—k+1—kpk.

(2)解：①設(shè)方案二總費(fèi)用為y,方案一總費(fèi)用為z,貝ijy=i6x+2o,

所以方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為：E(y)=16E(X)+20=16[k+1-kpk]+20,

又k=5,所以E(Y)=16[6-5P5]+20=-80p5+116,

又方案一的總費(fèi)用為Z=5x16=80,

所以Z-E(Y)=80-(—80p5+116)=80P5-36,

當(dāng)時(shí).0.45<p5<i,o<80p5-36,

所以Z>E(Y),所以該單位選擇方案二合理.

②由①方案二總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望E(y)=16E(X)+20=16[k+1-kpk]+20,

當(dāng)P=七時(shí)，E(Y)=16[/c+1-k嘯)k]+20=16(k+^-ke~7),

又方案一的總費(fèi)用為Z=16k,

令E(Y)<Z得：i6(k+1-keJ)<16k，

所以ke4>[,

即上(3一7)>上士所以仇女一號(hào)一仇弓>0,

、n,19

設(shè)/(%)=Inx—7一仇4，%G[2,+oo),

所以/(%)=]一;=分,xe[2,+00),

令/(久)>0得2<%<7,<0得久>7,

所以/(%)在區(qū)間[2,7)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(7,+8)上單調(diào)遞減，

f(x)max=/(7)=伍7-1-2(仇3—ln2)=0.1>0,/(8)=3ln2—y—2(/n3—m2)=

88999

5仇2—2仇3—y—1.3—7>0,f(9)=2bi3—y—2(加3—仇2)=21Tl2—=1.4一

10in11

0,f(10)-ZnlO—y—2(仇3—Z?i2)—1.5—可>0,f(11)=Znll—y—2(仇3—

111212

"2)=1.6—>0,y7(12)二仇12—y—2(Zn3—仇2)=4加2—Z?i3—斤—1.7—

12

芳V0,

所以k的最大值為n.

高考數(shù)學(xué)概率專題知識(shí)復(fù)習(xí)訓(xùn)練150題含答案

一'單選題

1.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，則擲得點(diǎn)數(shù)為1的概率是（）

A-IB-Ic-JD-I

2.已知C是正方形ABDE內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足ACIBC,AC=2BC,在正方形

ABDE內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圖中陰影部分內(nèi)的概率是（）

A.1B.|C.|D.1

3.2018年元旦期間，某高速公路收費(fèi)站的三個(gè)高速收費(fèi)口每天通過的小汽車數(shù)X（單

位：輛）均服從正態(tài)分布N（600,a2）,若P（500<X<700）=0.6,假設(shè)三個(gè)收費(fèi)口均

能正常工作，則這個(gè)收費(fèi)口每天至少有一個(gè)超過700輛的概率為（）

AJ-B11C旦D色

125125125125

4.口袋中裝有一些大小相同的紅球和黑球，從中取出2個(gè)球.兩個(gè)球都是紅球的概率

是|,都是黑球的概率是白，則取出的2個(gè)球中恰好一個(gè)紅球一個(gè)黑球的概率是

（）

5.某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD（邊長

為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行

走的單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為i（i=l,2,…，6）,則棋子就按逆時(shí)針方向行走i

個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處的所有不同走

法共有（）

B.24種C.25種D.27種

6.在區(qū)間［一兀，兀］內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a,b，則使得函數(shù)/（x）=x2+2ax-

力2+兀2有零點(diǎn)的概率為（）

A.1-JB.1-JC.1-5D.1一”

o4Z4

7.春節(jié)期間，5位同學(xué)各自隨機(jī)從“三峽明珠，山水宜昌”、“荊楚門戶，秀麗荊門”、“三

國故里，風(fēng)韻荊州”三個(gè)城市中選擇一個(gè)旅游，則三個(gè)城市都有人選的概率是（）

A50R20「81n27

A-8181125125

8.已知/（a）=Va2—%2dx-adx,a>0,則/（a）的最小值為（）

A.iB.--C.--D.-

TTnnTI

二'填空題

9.在區(qū)間（0,2）中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)小于1的概率是.

10.先后拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子兩次，觀察向上的點(diǎn)數(shù).在第一次向上點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的條

件下兩次點(diǎn)數(shù)和不小于5的概率為.

11.如果隨機(jī)變量X?N（100,（T2）,且P（90<X<100）=0.2,則P（X>

110）=.

12.在五個(gè)數(shù)字1,2,3,4,5中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的

概率是

（結(jié)果用數(shù)值表示）.

13.三支球隊(duì)中，甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.4,乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為0.5,丙隊(duì)勝甲隊(duì)的概

率為0.6.比賽順序是：第一局甲隊(duì)對(duì)乙隊(duì)，第二局是第一局中的勝者對(duì)丙隊(duì)，第三局

是第二局中的勝者對(duì)第一局中的敗者，第四局為第三局中的勝者對(duì)第二局中的敗者，則

乙隊(duì)連勝四局的概率是.

14.如圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率

15.已知一組數(shù)據(jù)xi,X2,X3,X4,X5的方差是2,另一組數(shù)據(jù)axi,ax2,ax3,ax4,axs

(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)差是2V2，則2=.

16.某學(xué)校為了提高學(xué)生的安全意識(shí)，防止安全事故的發(fā)生，學(xué)校擬在未來的連續(xù)7天

中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天中恰好僅有2天連續(xù)的概率為

17.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A="取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B="取

到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=.

is.在某市高二的聯(lián)考中，這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績f服從正態(tài)分布yv(ioo,ioo),隨機(jī)

抽取10位學(xué)生的成績，記X表示抽取的10位學(xué)生成績?cè)?80,120)之外的人數(shù)，則

P(X>1)=,X的數(shù)學(xué)期望EX=.

附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(%/)，則—2(7<Z<〃+2(r)=0.9544,

尸儂-3。<Z<〃+3。)=0.9974,取O.954410=0.6271，O.997410=0.9743.

19.6位同學(xué)在一次聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，

進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品。已知6位同學(xué)之間進(jìn)行了13次交換，且收到

4份紀(jì)念品的同學(xué)有2人，問收到5份紀(jì)念品的人數(shù)為

20.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑

球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以AltA2和人3表示由甲罐取出的球是

紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅

球的事件，則下列結(jié)論中正確的是(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)).

①P(B)=|;

②P(B|4)=尚;

③事件B與事件&相互獨(dú)立；

@A1,A2,A3是兩兩互斥的事件；

⑤P(B)的值不能確定，因?yàn)樗cA1，A2，A3中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)

21.從5名同學(xué)中任選3人擔(dān)任上海進(jìn)博會(huì)志愿者，貝！1“甲被選中，乙沒有被選中”的概

率是.

22.一個(gè)盒子里有6個(gè)相同的球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，i個(gè)綠球，每次從盒

中隨機(jī)取出一個(gè)且不放回，則紅球首先被全部取完的概率為;若紅球全部被

取出視為取球結(jié)束，記在此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為f,則E(f)=.

23.甲、乙、丙等五人在某景點(diǎn)站成一排拍照留念，則甲不站兩端且乙和丙相鄰的概

率是.

三、解答題

24.某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解人們對(duì)某個(gè)產(chǎn)品的使用情況是否與性別有關(guān)，在網(wǎng)上進(jìn)行了問卷

調(diào)查，在調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取了50份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2x2列聯(lián)表：

男性女性合計(jì)

使用15520

不使用102030

合計(jì)2525