新人教版高中物理必修第二冊(cè)學(xué)案：專(zhuān)題強(qiáng)化　圓周運(yùn)動(dòng)的綜合分析

新人教版高中物理必修第二冊(cè)PAGEPAGE1專(zhuān)題強(qiáng)化圓周運(yùn)動(dòng)的綜合分析[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.會(huì)分析豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，掌握輕繩、輕桿作用下圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法.2.掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的分析方法.一、豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕繩(過(guò)山車(chē))模型如圖1所示，甲圖中小球受繩拉力和重力作用，乙圖中小球受軌道的彈力和重力作用，二者運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同，現(xiàn)以甲圖為例.圖1(1)最低點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程：FT1－mg＝meq\f(v\o\al(2,1),L)所以FT1＝mg＋meq\f(v\o\al(2,1),L)(2)最高點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程：FT2＋mg＝meq\f(v\o\al(2,2),L)所以FT2＝meq\f(v\o\al(2,2),L)－mg(3)最高點(diǎn)的最小速度：由于繩不可能對(duì)球有向上的支持力，只能產(chǎn)生向下的拉力，由FT2＋mg＝eq\f(mv\o\al(2,2),L)可知，當(dāng)FT2＝0時(shí)，v2最小，最小速度為v2＝eq\r(gL).討論：當(dāng)v2＝eq\r(gL)時(shí)，拉力或壓力為零.當(dāng)v2>eq\r(gL)時(shí)，小球受向下的拉力或壓力.當(dāng)v2<eq\r(gL)時(shí)，小球不能到達(dá)最高點(diǎn).如圖2所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝0.4m的輕繩，系一小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球的質(zhì)量為m＝0.5kg，小球半徑不計(jì)，g取10m/s2，求：圖2(1)小球剛好通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大?。?2)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4m/s時(shí)，繩的拉力大??；(3)若輕繩能承受的最大張力為45N，小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度的最大值.答案(1)2m/s(2)15N(3)4eq\r(2)m/s解析(1)小球剛好能夠通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝meq\f(v\o\al(2,1),L)，解得v1＝eq\r(gL)＝2m/s.(2)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為4m/s時(shí)，拉力和重力的合力提供向心力，則有FT＋mg＝meq\f(v\o\al(2,2),L)，解得FT＝15N.(3)分析可知小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)繩張力最大，在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得FT′－mg＝eq\f(mv\o\al(2,3),L)，將FT′＝45N代入解得v3＝4eq\r(2)m/s，即小球的速度不能超過(guò)4eq\r(2)m/s.2.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的輕桿(管)模型如圖3所示，細(xì)桿上固定的小球和光滑管形軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球在重力和桿(管道)的彈力作用下做圓周運(yùn)動(dòng).圖3(1)最高點(diǎn)的最小速度由于桿和管在最高點(diǎn)處能對(duì)小球產(chǎn)生向上的支持力，故小球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的最小速度v＝0，此時(shí)小球受到的支持力FN＝mg.(2)小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)小球的彈力情況①v>eq\r(gL)，桿或管的外側(cè)對(duì)球產(chǎn)生向下的拉力或彈力，mg＋F＝meq\f(v2,L)，所以F＝meq\f(v2,L)－mg，F(xiàn)隨v增大而增大；②v＝eq\r(gL)，球在最高點(diǎn)只受重力，不受桿或管的作用力，F(xiàn)＝0，mg＝meq\f(v2,L)；③0<v<eq\r(gL)，桿或管的內(nèi)側(cè)對(duì)球產(chǎn)生向上的彈力，mg－F＝meq\f(v2,L)，所以F＝mg－meq\f(v2,L)，F(xiàn)隨v的增大而減小.如圖4，長(zhǎng)為0.5m的輕桿OA繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，A端連著一個(gè)質(zhì)量m＝2kg的小球(半徑不計(jì)).求在下述的兩種情況下，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)小球?qū)U的作用力的大小和方向(g取10m/s2，取π2＝10)：圖4(1)桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為2r/s；(2)桿做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速為0.5r/s.答案(1)140N方向豎直向上(2)10N方向豎直向下解析假設(shè)小球在最高點(diǎn)受到輕桿的作用力豎直向下，則小球受力如圖所示：(1)桿的轉(zhuǎn)速為2r/s時(shí)，ω＝2π·n＝4πrad/s，由牛頓第二定律得F＋mg＝mLω2，故小球所受桿的作用力F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N＝140N，即桿對(duì)小球有140N的拉力，由牛頓第三定律可知，小球?qū)U的拉力大小為140N，方向豎直向上.(2)桿的轉(zhuǎn)速為0.5r/s時(shí)，ω′＝2π·n′＝πrad/s，同理可得小球所受桿的作用力F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N＝－10N.力F′為負(fù)值表示它的方向與受力分析中假設(shè)的方向相反，即桿對(duì)小球有10N的支持力，由牛頓第三定律可知，小球?qū)U的壓力大小為10N，方向豎直向下.二、圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，若物體的線速度大小、角速度發(fā)生變化，會(huì)引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)發(fā)生變化，進(jìn)而出現(xiàn)某些物理量或運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突變，即出現(xiàn)臨界狀態(tài)，分析圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn)題的方法是讓角速度或線速度從小逐漸增大，分析各量的變化，找出臨界狀態(tài).通常碰到較多的是涉及如下三種力的作用：(1)與繩的彈力有關(guān)的臨界條件：繩彈力恰好為0.(2)與支持面彈力有關(guān)的臨界條件：支持力恰好為0.(3)因靜摩擦力而產(chǎn)生的臨界問(wèn)題：靜摩擦力達(dá)到最大值.如圖5所示，用一根長(zhǎng)為l＝1m的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為m＝1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí)，細(xì)線的張力為FT.(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，結(jié)果可用根式表示)圖5(1)若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？(2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？答案(1)eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s(2)2eq\r(5)rad/s解析(1)若要小球剛好離開(kāi)錐面，則小球只受到重力和細(xì)線的拉力，受力分析如圖所示.小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mω02lsinθ解得ω0＝eq\r(\f(g,lcosθ))＝eq\f(5,2)eq\r(2)rad/s(2)同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時(shí)，小球已離開(kāi)錐面，由牛頓第二定律及向心力公式得mgtanα＝mω′2lsinα解得ω′＝eq\r(\f(g,lcosα))＝2eq\r(5)rad/s(2019·鄭州市高一下學(xué)期期末)如圖6甲所示，水平轉(zhuǎn)盤(pán)上放有質(zhì)量為m的物塊，物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r，物塊和轉(zhuǎn)盤(pán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，設(shè)物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，已知重力加速度為g.圖6(1)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤(pán)以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊與轉(zhuǎn)盤(pán)剛好能相對(duì)靜止，求ω1的值；(2)如圖乙，將物塊和轉(zhuǎn)軸用細(xì)繩相連，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度ω2＝eq\r(\f(μg,3r))時(shí)，求細(xì)繩的拉力FT2的大??；(3)將物塊和轉(zhuǎn)軸用細(xì)繩相連，當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)的角速度ω3＝eq\r(\f(5μg,3r))時(shí)，求細(xì)繩的拉力FT3的大小.答案(1)eq\r(\f(μg,r))(2)0(3)eq\f(2,3)μmg解析(1)當(dāng)水平轉(zhuǎn)盤(pán)以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊與轉(zhuǎn)盤(pán)剛好能相對(duì)靜止，則此時(shí)物塊所需向心力恰好完全由最大靜摩擦力提供，則μmg＝mrω12解得：ω1＝eq\r(\f(μg,r))(2)由于ω2<ω1，物塊受到的最大靜摩擦力大于所需向心力，此時(shí)繩對(duì)物塊沒(méi)有拉力，故FT2＝0.(3)由于ω3>ω1，物塊受到的最大靜摩擦力不足以提供所需的向心力，此時(shí)繩對(duì)物塊有拉力，則μmg＋FT3＝mω32r，可得此時(shí)繩子對(duì)物塊拉力的大小為FT3＝eq\f(2,3)μmg.1.(輕繩模型)雜技演員表演“水流星”，在長(zhǎng)為1.6m的細(xì)繩的一端，系一個(gè)與水的總質(zhì)量為m＝0.5kg的大小不計(jì)的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖7所示，若“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速率為4m/s，則下列說(shuō)法正確的是(g取10m/s2)()圖7A.“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，有水從容器中流出B.“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零C.“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用D.“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力大小為5N答案B解析“水流星”在最高點(diǎn)的臨界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知繩的拉力恰好為零，且水恰好不流出，故選B.2.(過(guò)山車(chē)模型)(多選)如圖8所示，質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng).圓環(huán)半徑為R，小球半徑不計(jì)，小球經(jīng)過(guò)圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點(diǎn)時(shí)剛好不脫離圓環(huán)，則其通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)下列表述正確的是()圖8A.小球?qū)A環(huán)的壓力大小等于mgB.重力mg充當(dāng)小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力C.小球的線速度大小等于eq\r(gR)D.小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因?yàn)樾∏蚪?jīng)過(guò)圓環(huán)內(nèi)側(cè)最高點(diǎn)時(shí)剛好不脫離圓環(huán)，故在最高點(diǎn)時(shí)小球?qū)A環(huán)的壓力為零，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；此時(shí)小球只受重力作用，即重力mg充當(dāng)小球做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，則有mg＝meq\f(v2,R)＝ma，即v＝eq\r(gR)，a＝g，選項(xiàng)B、C、D正確.3.(輕桿模型)如圖9所示，質(zhì)量為m的小球固定在桿的一端，在豎直面內(nèi)繞桿的另一端O做圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，瞬時(shí)速度大小為v＝eq\r(\f(1,2)Lg)，L是球心到O點(diǎn)的距離，則球?qū)U的作用力是()圖9A.eq\f(1,2)mg的拉力 B.eq\f(1,2)mg的壓力C.零 D.eq\f(3,2)mg的壓力答案B解析當(dāng)重力完全充當(dāng)向心力時(shí)，球?qū)U的作用力為零，所以mg＝meq\f(v′2,L)，解得：v′＝eq\r(gL)，而eq\r(\f(1,2)gL)<eq\r(gL)，故桿對(duì)球的作用力是支持力，即mg－FN＝meq\f(v2,L)，解得FN＝eq\f(1,2)mg，由牛頓第三定律可知，球?qū)U的作用力是壓力，B正確，A、C、D錯(cuò)誤.4.(圓周運(yùn)