浙江省北斗星盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期適應(yīng)性聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，若與垂直，則等于（）A. B. C.3 D.64.已知數(shù)列滿足，則“為等比數(shù)列”是“（，）”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件5.在對某校高三學(xué)生體質(zhì)健康狀況某個(gè)項(xiàng)目的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計(jì)樣本的方差不可能為A.11 B.13 C.15 D.176.若，則（）A. B.C. D.7.如圖，假定兩點(diǎn)，以相同的初速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)沿直線作勻速運(yùn)動(dòng)，；點(diǎn)沿線段（長度為單位）運(yùn)動(dòng)，它在任何一點(diǎn)的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離（）.令與同時(shí)分別從，出發(fā)，定義為的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)符號來敘述，與的對應(yīng)關(guān)系就是（），當(dāng)點(diǎn)從線段靠近的三等分點(diǎn)移動(dòng)到靠近的三等分點(diǎn)，經(jīng)過的時(shí)間為（）A. B. C. D.8.設(shè)雙曲線：（，）的左焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，，則的離心率為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖像關(guān)于對稱C.在上單調(diào)遞減 D.當(dāng)時(shí)，10.已知，，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的三個(gè)事件，且，，下列說法正確的是（）A.若與互斥，則與不相互獨(dú)立B.若與相互獨(dú)立，則與不互斥C.若，且，則與相互獨(dú)立D.若，則，，兩兩獨(dú)立11.已知正方體的棱長為1，點(diǎn)滿足，其中，，則（）A.當(dāng)時(shí)，則的最小值為B.過點(diǎn)在平面內(nèi)一定可以作無數(shù)條直線與垂直C.若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線D.當(dāng)，時(shí)，正方體經(jīng)過點(diǎn)、、的截面面積的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)為______.13.已知圓：和圓：，過圓上一動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，交圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積最大時(shí)，滿足條件的切線方程為______.（寫出一條即可）14.已知函數(shù)，，對任意，存在使得不等式成立，則滿足條件的的最大整數(shù)為______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有線段，已知點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，……，點(diǎn)是線段（，）上靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，，求的通項(xiàng)公式.16.（15分）在四棱錐中，，，，，、分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn).（1）若異面直線與所成的角為45°，判斷與是否具有垂直關(guān)系并說明理由；（2）若，，求直線與平面所成角的最大值.17.（15分）將除顏色外完全相同的紅球2個(gè)、白球3個(gè)放入一盲盒（一種具有隨機(jī)屬性的玩具盒子），現(xiàn)從中不放回取球.（1）若每次取一個(gè)球，求：（?。┣皟纱尉〉郊t球的概率；（ⅱ）第2次取到紅球的概率；（2）若從中取出兩個(gè)球，已知其中一個(gè)球?yàn)榧t球，求：（?。┝硪粋€(gè)也為紅球的概率；（ⅱ）若你現(xiàn)在可以選擇從剩下的球中隨機(jī)取一個(gè)球來替換另一個(gè)球，如果從提高取到紅球的可能性出發(fā)，你是選擇換還是不換？試說明理由.18.（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，為動(dòng)點(diǎn)，滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，連接，.（?。┯浿本€，的斜率分別為，，求證：為定值；（ⅱ）直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，求的最小值.19.（17分）莫比烏斯函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家莫比烏斯提出，數(shù)學(xué)家梅滕斯首先使用作為莫比烏斯函數(shù)的記號，其在數(shù)論中有著廣泛應(yīng)用.所有大于1的正整數(shù)都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，，），例如：，對應(yīng)，，，，，，.現(xiàn)對任意，定義莫比烏斯函數(shù).（1）求，；（2）已知，記（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，，）的所有因數(shù)從小到大依次為，，…，.（ⅰ）證明：；（ⅱ）求的值（用（）表示）.

2023學(xué)年第二學(xué)期北斗星盟高三適應(yīng)性聯(lián)考高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.D2.C3.B4.B5.A6.C7.A8.B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.CD10.ABC11.ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.280；13.或或；14.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.解：（1）由題意所以，所以，又，所以所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）因?yàn)椋?，所?因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以時(shí)，.由累加法可得時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以.16.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，①當(dāng)時(shí)，在中，，，由余弦定理可知，故，，所以，又，，，平面，所以平面，.②當(dāng)，假設(shè)，則有平面，因?yàn)槠矫?，所以，，這與相矛盾，故此時(shí)與不垂直.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，與不垂直.（2）由，可得，故，，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.故，，，，.因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為，則有設(shè)，則，又，所以有令，則，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“＝”）.又，所以.綜上所述，直線與平面所成角的最大值為60°.17.記事件（）為第次取到紅球，事件（）為第次取到白球.（1）（?。┣皟纱尉〉郊t球即為事件，.（ⅱ）.（2）（?。┦录浩渲杏幸粋€(gè)球?yàn)榧t球的“對立事件”為：兩個(gè)球均為白球，即為事件，，所以在一個(gè)球?yàn)榧t球的前提下另一個(gè)球也為紅球的概率.（ⅱ）若不換：在取到的一個(gè)球?yàn)榧t球的前提下取到的另一個(gè)球也為紅球的概率記為；若換：換后取到紅球的概率記為；由于，所以交換后摸到紅球的概率更大，選擇交換.說明：本題亦可以用古典概型來解決，18.解：（1）因?yàn)?，所以根?jù)雙曲線的定義可知點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，由，，得，，所以的方程為.（2）（?。┰O(shè)直線：（）因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以.變形可得，即所以整理得（*）設(shè)，則（*）式除以得此時(shí)，是方程的兩根，所以，所以.（ⅱ）設(shè)直線：，由，可得；設(shè)直線：，同理可得；1.由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故的最小值為.19.解：（1）因?yàn)?，因?yàn)?的指數(shù)，所以；又，易知，，，，，所以；（2）（?。ǎ┑囊驍?shù)中如有平方數(shù)，根據(jù)莫比烏斯函數(shù)的定義，因此的所有因數(shù)除1之外，只考慮，，…，中的若干個(gè)數(shù)的乘積構(gòu)成的因數(shù)，從個(gè)