多角度探尋規(guī)律深度理解“分”與“配”

【摘

要】“乘法分配律”的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生鞏固已有的運算定律知識，建立乘法與加法的聯(lián)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，對提高學(xué)生的知識技能，實現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)化有很大幫助。教師從德育、智育、美育三個維度深挖教材信息，并進(jìn)行整體化處理，遵循“數(shù)學(xué)思考—數(shù)學(xué)創(chuàng)造—數(shù)學(xué)欣賞—數(shù)學(xué)應(yīng)用”的模式設(shè)計并實施了“乘法分配律”的教學(xué)；利用數(shù)學(xué)文化搭橋，聚焦核心素養(yǎng)和四基四能，提升了活動探究的“含金量”，切實激活并保持了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，實現(xiàn)了知識的結(jié)構(gòu)化?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化；乘法分配律；德育；智育；美育【教學(xué)思考】“乘法分配律”是人教版教材四年級下冊“運算律”單元中的教學(xué)內(nèi)容，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)四則運算以及加法、乘法交換律與結(jié)合律的基礎(chǔ)上，對運算定律的進(jìn)一步探究。乘法分配律的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生鞏固已有的運算定律知識，建立乘法與加法的聯(lián)系，為后續(xù)運算定律在小數(shù)、分?jǐn)?shù)中的應(yīng)用，小數(shù)、分?jǐn)?shù)混合運算（簡便運算），式與方程等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，對提高學(xué)生的知識技能，實現(xiàn)知識的結(jié)構(gòu)化有很大幫助。教材編排了“分組植樹活動”的教學(xué)情境，以“一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動”為核心問題展開討論。接著展示了兩種不同的計算思路，一種是先計算小組人數(shù)再乘以組數(shù)，另一種是分別計算植樹與澆樹的人數(shù)再算總?cè)藬?shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析兩種運算算式的特征及意義，引出乘法分配律，并嘗試用字母表示規(guī)律。在練習(xí)環(huán)節(jié)，“做一做”中設(shè)置了2道題目：第1題為判斷題，注重形式表達(dá)的認(rèn)識與強(qiáng)化，其中前2個算式分別設(shè)置了去括號時沒有正確分配、改變運算符號等錯誤，第3個算式為乘法分配律的逆運算；第2題是結(jié)合兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算過程，思考其中蘊(yùn)含的乘法分配律?；趯?shù)學(xué)文化教學(xué)資源的理解，筆者對本內(nèi)容中的數(shù)學(xué)文化元素進(jìn)行了相應(yīng)的挖掘和處理。首先，教材呈現(xiàn)了觀察、歸納、總結(jié)規(guī)律的過程，可以引導(dǎo)學(xué)生意識到數(shù)學(xué)知識的獲得需要經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)且有邏輯的探究，這屬于德育資源中的理性精神。其次，教材引導(dǎo)學(xué)生通過列算式解決問題，發(fā)現(xiàn)兩種運算算式的意義關(guān)聯(lián)，體驗由具體到一般的抽象過程，從而引出乘法分配律，提升學(xué)生的數(shù)感和符號意識素養(yǎng)；引導(dǎo)學(xué)生通過練習(xí)題進(jìn)行辨析，分析筆算乘法與乘法分配律的步驟、算理，發(fā)現(xiàn)二者的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對乘法分配律的深入理解，滲透歸納、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)系的數(shù)學(xué)思想，這些屬于智育資源。最后，用字母表示乘法分配律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號語言的簡潔美，這屬于美育資源。在學(xué)習(xí)加乘法交換律和結(jié)合律時，學(xué)生積累了“具體例子—表象化模型—符號表征”的探究經(jīng)驗，為本內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)?？紤]到該階段的學(xué)生正處于從具體思維向抽象思維過渡的關(guān)鍵時期，需要借助直觀具體來歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，筆者綜合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出的“探索并理解乘法對加法的分配律，能用字母表示運算律”的內(nèi)容要求，制訂了本內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)。1.德育目標(biāo)：在發(fā)現(xiàn)、驗證乘法分配律的過程中，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的嚴(yán)謹(jǐn)與理性，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)縝密的思維習(xí)慣，培育理性精神。2.智育目標(biāo)：（1）通過列式、觀察、猜想，發(fā)現(xiàn)乘法分配律并用符號表示，發(fā)展數(shù)感、符號意識等核心素養(yǎng)；（2）多角度理解乘法分配律，并會應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行一些簡便運算，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化。3.美育目標(biāo)：列算式找規(guī)律，結(jié)合乘法交換律、結(jié)合律等知識，類比歸納出乘法分配律的符號表征，感受數(shù)學(xué)的美觀?！窘虒W(xué)過程】v教學(xué)模塊1：數(shù)學(xué)思考受《數(shù)學(xué)文化讀本》中“裝修衛(wèi)生間”情境的啟發(fā)，且教學(xué)對象是佛山本地學(xué)生，筆者對“分組植樹活動”這一教學(xué)情境進(jìn)行了二度創(chuàng)造，將陶瓷這一當(dāng)?shù)靥厣a(chǎn)業(yè)作為教學(xué)背景，創(chuàng)設(shè)了“校園鋪瓷磚”教學(xué)情境，圍繞教學(xué)目標(biāo)，開展計算瓷磚數(shù)量的活動。一方面，突出學(xué)生的校園主人翁意識；另一方面，便于學(xué)生利用幾何圖形直觀感受乘法分配律的意義，凸顯數(shù)形結(jié)合思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義。由此制訂了任務(wù)1和任務(wù)2。任務(wù)1：創(chuàng)設(shè)“校園鋪瓷磚”教學(xué)情境，借助主題圖引導(dǎo)學(xué)生提出問題、解決問題，初步感知數(shù)形結(jié)合思想。師：如果邀請你當(dāng)佛山的宣傳大使，你會介紹佛山的哪些特色呢？生：陶瓷、瓷磚、舞獅、詠春、粵劇，還有特色小吃雙皮奶。師：今天我們就從佛山有名的陶瓷展開學(xué)習(xí)。為了把校園裝飾得更加美麗，學(xué)校從瓷磚廠購進(jìn)一批黃色瓷磚，用以裝飾校園文化墻。如圖1所示，工人師傅已經(jīng)鋪好了一部分。仔細(xì)觀察這幅圖，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？生：一共鋪了多少塊瓷磚？生：已經(jīng)鋪了多少塊瓷磚？生：還需要鋪多少塊瓷磚？生：校園文化墻一共要鋪多少塊瓷磚？［核心問題1］已經(jīng)鋪好的兩面墻一共鋪了多少塊瓷磚？師：你是怎么想的？生：我先算左面墻的瓷磚數(shù)：[6×5=30]（塊）。再加上右面墻的瓷磚數(shù)：[8×5=40]（塊），然后把兩個部分相加：[30+40=70]（塊）。生：把左、右兩面墻已鋪瓷磚的列數(shù)相加：[6+8=14]（列）。再乘每一列的瓷磚數(shù)，得出一共鋪了[14×5=70]（塊）。任務(wù)2：引導(dǎo)學(xué)生觀察兩個算式，尋找關(guān)聯(lián)，分析“算式不同，結(jié)果相等”的原因，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。師：仔細(xì)觀察這兩個算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？[6×5+8×5=70]

（6+8）[×5=70]生：兩個算式不一樣，但計算結(jié)果是一樣的。［核心問題2］為何兩個算式不同，所得的結(jié)果卻相等，你能嘗試分析這兩個式子的結(jié)果相等的原因嗎？生：因為[6×5]可以表示6個5相加，而[8×5]可以表示8個5相加。[6+8=14]，相當(dāng)于14個5相加。師：他運用了乘法意義和乘法交換律來解釋，還有哪個小組有不一樣的想法？生：右邊的算式是把文化墻看成一個整體，然后直接把整體算出來。而左邊的算式是把它拆成兩部分，分別算出來再相加。師：所以把它看成整體和拆成兩塊計算已鋪的瓷磚數(shù)有什么關(guān)系？生：結(jié)果是一樣的。師：同學(xué)們結(jié)合圖形解釋了兩個算式不同，但得數(shù)卻一樣，即（6+8）[×5=6×5+8×5]。在這里我們利用圖形將問題直觀化了，這能輔助我們更好地分析問題。這個過程中運用到了數(shù)形結(jié)合思想。實施效果：以瓷磚這一本土文化為背景提出數(shù)學(xué)問題，極大地激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，拉近了數(shù)學(xué)與生活的距離。課堂中，學(xué)生踴躍提出自己的數(shù)學(xué)問題，結(jié)合抽象出的幾何圖形，從整體和部分兩個角度解決了“為何兩個算式不同，所得的結(jié)果卻相等”這一核心問題，并在過程中運用乘法的意義進(jìn)行解釋，建立起新舊知識之間的聯(lián)系。這在一定程度上提升了學(xué)生分析問題的能力，實現(xiàn)了“習(xí)得知識技能”“滲透思想方法”“發(fā)展核心素養(yǎng)”的智育目標(biāo)。v教學(xué)模塊2：數(shù)學(xué)創(chuàng)造小學(xué)四年級學(xué)生的思維正處于由具體向抽象過渡的階段，教學(xué)模塊1基于兩個具體算式之間的聯(lián)系，結(jié)合圖形引導(dǎo)學(xué)生思考等式兩邊算式的意義。教材展示了根據(jù)一組具體算式探究乘法分配律的過程，基于此，筆者對教材進(jìn)行二度創(chuàng)造，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)列算式，尋找共性，歸納規(guī)律，充分體現(xiàn)合情推理的過程，重視學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、理性思維的培養(yǎng)。圍繞教學(xué)目標(biāo)，滲透理性思維，使學(xué)生經(jīng)歷從解決具體問題到找到“抽象化”“一般化”規(guī)律的過程，從而理解乘法分配律的實質(zhì)。由此制訂了任務(wù)3和任務(wù)4。任務(wù)3：繼續(xù)鋪瓷磚，引導(dǎo)學(xué)生列等式找規(guī)律，滲透“聯(lián)系”的思想。師：如果工人師傅繼續(xù)鋪瓷磚，類似這樣的等式還有沒有呢？請你列出等式。生：（6+9）[×5=75]（塊）。生：[6×5+9×5=75]（塊）。生：也就是（6+9）[×5=6×5+9×5]。師：工人叔叔繼續(xù)鋪瓷磚。說說你列的等式是什么樣子的。生：（6+9）[×5=6×5+9×5]。生：（6+10）[×5=6×5+10×5]。生：（6+11）[×5=6×5+11×5]。［核心問題3］請你仔細(xì)觀察這些等式，它們有什么規(guī)律？（學(xué)生獨立思考，教師巡視指導(dǎo)，小組交流發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）生：兩邊得數(shù)依次加5。師：兩邊得數(shù)依次加5的原因是什么？生：因為多了一列。師：剛才的同學(xué)通過縱向觀察得到了規(guī)律，那橫向有沒有什么規(guī)律？生：都有乘5。生：算式的左邊都是把6和另一個數(shù)加起來再乘5，而右邊是把括號里面的數(shù)拆開，然后依次乘5。生：我發(fā)現(xiàn)右邊的算式比左邊的算式更簡便一些。因為左邊的算式是兩位數(shù)乘一位數(shù)，而右邊的算式是一位數(shù)乘一位數(shù)再相加。任務(wù)4：總結(jié)規(guī)律，感知乘法分配律，結(jié)合實例體會乘法分配律的實質(zhì)。師：來看看這個等式，（6+9）[×5=6×5+9×5]。兩個數(shù)的和，是誰和誰的和？生：6和9的和。師：和同誰相乘？生：同5相乘。師：把這兩個加數(shù)拆開，依次和誰相乘？生：依次和5相乘，然后再相加。（同桌互相說說其他算式的計算規(guī)律，教師巡視指導(dǎo)）師：我們可以說，兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再相加，結(jié)果不變。實施效果：教師通過繼續(xù)列舉鋪瓷磚的算式，讓學(xué)生在縱向和橫向觀察中發(fā)現(xiàn)等式左右兩邊的規(guī)律，初步感知“分”與“配”，初步引出乘法分配律的雛形，并感受到因“創(chuàng)造”知識而獲得的快樂，實現(xiàn)“培育理性精神”的德育目標(biāo)。v教學(xué)模塊3：數(shù)學(xué)欣賞數(shù)學(xué)語言能夠?qū)?fù)雜的文字簡單化。在前面的探究中，學(xué)生都是采用較為復(fù)雜的文字語言和圖形語言對規(guī)律進(jìn)行說明。本教學(xué)模塊在教材直接給出用字母表示的基礎(chǔ)上，活用教材，圍繞教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計開放題，引領(lǐng)學(xué)生用喜歡的方式表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并通過類比舊知的方法，引導(dǎo)他們用字母表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。由此制訂了任務(wù)5和任務(wù)6。任務(wù)5：用多種方式表達(dá)規(guī)律，通過類比獲得乘法分配律的字母表達(dá)式。［核心問題4］你能在練習(xí)紙上用你喜歡的方式表示這個規(guī)律嗎？（學(xué)生獨立表示規(guī)律，教師巡視搜集學(xué)生作品，如圖2所示）師：大家很聰明，用文字、符號和字母等不同的方式表示出了規(guī)律。這個規(guī)律就是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的乘法分配律。師：我們來一起觀察這幾種表達(dá)式，哪一種方式最簡單呢？生：用字母表示最簡單。師：想想前面所學(xué)的乘法交換律和結(jié)合律都是用什么表示的。生：用小寫字母。師：如果用小寫字母表示乘法分配律，應(yīng)該怎么寫？生：（a+b）[×c=ɑ×c+b×c]。師：通過對算式的觀察有所發(fā)現(xiàn)，總結(jié)規(guī)律，得到乘法分配律的表達(dá)式為：（a+b）[×c=][ɑ×c+b×c]。任務(wù)6：用乘法分配律進(jìn)行運算，加深理解，感悟數(shù)學(xué)符號語言的簡潔美。練習(xí)1：下面哪些算式是正確的？正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。①（19+28）[×56=19×56+28]

（

）②32×（7×3）[=32×7+32×3]

（

）③[64×64+36×64=]（64+36）[×64]（

）練習(xí)2：運用乘法分配律進(jìn)行計算。（4+2）[×25]（4+8）[×125][16×91][125×81]練習(xí)3：[25×12]，請大家列豎式計算。（學(xué)生獨立完成練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，對練習(xí)3進(jìn)行討論）師：利用乘法分配律，[25×12]可以寫成什么形式？生：[25×2+25×10]。生：[25×（2+10）]。師：觀察[25×12]的豎式運算和乘法分配律的運算形式，你發(fā)現(xiàn)了什么？（學(xué)生進(jìn)行小組交流，表達(dá)自己的想法）生：[25×12=25×]（2+10）[=25×2][+25×][10]，其中，25×2、25×10的計算，和豎式運算中把12分成10和2分別去乘25是一樣的（如圖3）。實施效果：學(xué)生都用自己喜歡的方式表示了所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并成功類比乘法交換律、結(jié)合律的表達(dá)式，選擇用字母表達(dá)式表示乘法分配律。在練習(xí)中，練習(xí)1、練習(xí)2在數(shù)學(xué)應(yīng)用中強(qiáng)化學(xué)生對乘法分配律的辨識，大多數(shù)學(xué)生都能夠很好地完成，可見學(xué)生頭腦中已經(jīng)形成了對乘法分配律的穩(wěn)定認(rèn)知；練習(xí)3是通過師生互動一起完成的，學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)了乘法筆算與乘法分配律的關(guān)系，實現(xiàn)了“感受美觀”的美育目標(biāo)和“發(fā)展核心素養(yǎng)”“習(xí)得知識技能”的智育目標(biāo)。v教學(xué)模塊4：數(shù)學(xué)應(yīng)用在學(xué)習(xí)運算定律的基礎(chǔ)上，面對實際問題，如何正確選擇合適的方法解決問題對學(xué)生來說極為重要。因此，圍繞教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計了可以自行選擇運算方法的題目，讓學(xué)生通過對比解決問題的不同方法，明白不同的運算方法適用于不同的情境，需要根據(jù)實際情況選擇最優(yōu)的方法，從而達(dá)到完善學(xué)生知識體系的效果。由此制訂了任務(wù)7和任務(wù)8。任務(wù)7：以例題比較乘法分配律和豎式運算，感悟解題方法的多樣性，引導(dǎo)學(xué)生擇優(yōu)解題，培養(yǎng)理性精神。教師出示題目：125×16；102×22；146×34。師：看看這些題目，猜一猜用乘法分配律和用豎式計算哪種方法算得更快?，F(xiàn)在請兩名同學(xué)上臺來，一個直接使用豎式計算，另一個運用乘法分配律計算，看看他們誰算得快。師：兩名同學(xué)分別用兩種不同的方式計算這些題目，從中你有什么發(fā)現(xiàn)？生：“125×16”運用乘法分配律計算更快，125×16=125×（10+6）=125×10+125×6；“102×22”使用兩種方法差不多快；“146×34”使用乘法分配律后還要進(jìn)行兩次豎式計算，因此用豎式計算比較快。師：125×16還可以用什么方法來計算？生：125×16=125×（8×2）。師：用到了乘法結(jié)合律。因此，在做計算題時，我們要依據(jù)題目的特征選擇最為簡便的計算方法。任務(wù)8：談收獲提猜想，發(fā)散思維，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。師：這節(jié)課我們一起學(xué)習(xí)了什么？誰來分享一下你的收獲？生：學(xué)習(xí)了乘法分配律。生：學(xué)會了歸納、數(shù)形結(jié)合、聯(lián)系的數(shù)學(xué)思想。師：結(jié)合乘法分配律，你還有哪些大膽的猜想？生：有乘法分配律，那么有除法和減法分配律嗎？師：這是一個很大膽的猜想，這個問題我們課后一起研究。實施效果：比賽游戲成功激發(fā)了學(xué)生的競爭意識。學(xué)生從比賽游戲中感悟到了不同運算方法的便捷之處，從而明白在解題的時候要選擇最優(yōu)的方法。在課堂總結(jié)中，學(xué)生積極分享收獲，繼續(xù)進(jìn)行發(fā)散性思考，并提出了新的猜想，為以后的學(xué)習(xí)埋下伏筆，實現(xiàn)了“培育理性精神”的德育目標(biāo)和“滲透思想方法”的智育目標(biāo)?！窘虒W(xué)意蘊(yùn)解析】這是一節(jié)以“校園鋪瓷磚”情境引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)并提出問題—解決問題—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—歸納總結(jié)—認(rèn)知結(jié)構(gòu)化”過程的數(shù)學(xué)文化課。整節(jié)課以4個核心問題為主線，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并從乘法的意義、圖形面積等角度理解乘法分配律，通過類比乘法交換律、結(jié)合律的字母表達(dá)式，將乘法分配律符號化、數(shù)學(xué)化，借助對比運算的游戲，發(fā)現(xiàn)乘法筆算與乘法分配律的內(nèi)在聯(lián)系。本教學(xué)適當(dāng)對教材進(jìn)行了二度創(chuàng)造，并深入挖掘了教材中蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)文化元素。比如，運用字母表達(dá)乘法分配律可進(jìn)一步挖掘美育資源，即啟發(fā)學(xué)生用文字、圖形、符號等自己喜歡的方式來表達(dá)規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造才能，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)