淺談如何提升學生的數(shù)形結(jié)合能力

淺談如何提升學生的數(shù)形結(jié)合能力【摘

要】數(shù)與形是數(shù)學研究的兩個重要方面，二者之間有緊密的聯(lián)系。在人教版教材六年級上冊《數(shù)與形》一課的教學實踐中，教師將教學重點放在引導學生親歷過程、探尋聯(lián)系上，讓學生經(jīng)歷“以形助數(shù)，自主表征；溝通對比，建立聯(lián)系；數(shù)形互譯，融會貫通；回顧拓展，感悟外化”四個步驟，感悟數(shù)與形之間的關(guān)系。由此，提升學生的數(shù)形結(jié)合能力，發(fā)展學生的素養(yǎng)?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)與形；數(shù)形結(jié)合；圖形表征；數(shù)列數(shù)與形是數(shù)學研究的兩個重要方面。華羅庚先生“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”的表達，形象地描述了數(shù)與形之間的關(guān)系。數(shù)形結(jié)合往往可將復雜的問題變簡單，將抽象的問題變形象，達到優(yōu)化解題途徑的目的。學習中，學生需要親歷數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程，在數(shù)形聯(lián)系的探究中發(fā)展思維，提升應用意識。小學數(shù)學教材中體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容有很多，人教版教材六年級上冊的《數(shù)與形》是其中非常有代表性的內(nèi)容之一。在這節(jié)課的教學中，教師要引導學生親身經(jīng)歷數(shù)與形的溝通過程，讓他們主動探尋二者之間的聯(lián)系，從而體會如何“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”，感受數(shù)與形之間的廣泛聯(lián)系。一、基于教前分析，確定教學目標教學前，教師需要從教學內(nèi)容、學生情況兩方面出發(fā)，找準教學起點與終點，確定教學目標。（一）教學內(nèi)容分析《數(shù)與形》一課由兩個例題組成。例1將“1+3+5+……+（2n-1）”與方格圖聯(lián)系起來，讓學生通過觀察圖，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果可以直接用n2表示。例2借助正方形（單位1）的分割，聯(lián)系“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+……”與正方形不斷二分所形成的圖，讓學生同樣借助觀察發(fā)現(xiàn)結(jié)果。如果按照教材呈現(xiàn)的方式，直接讓學生觀察、理解這兩題中數(shù)與形的關(guān)系，只要學生能夠體會到形的表征能讓這兩道題變得清晰、簡單，就已經(jīng)達到了基本的教學要求。但若深入分析教材，會發(fā)現(xiàn)這兩幅圖均具有一定的“個性”，并非解決問題的“通法”，學生能夠在學習的過程中體會到數(shù)形結(jié)合的神奇，也容易陷入只有這兩道題或特殊的題目才適合采用數(shù)形結(jié)合的方法解決的誤區(qū)。如果不僅僅將體會“數(shù)形結(jié)合”的方法當作教學目標，而是更進一步，將引導學生主動采用“數(shù)形結(jié)合”的方法解決問題看作教學目標的話，就要讓學生在學習的過程中放慢發(fā)現(xiàn)的腳步，拓展學習的內(nèi)容。如帶領(lǐng)學生思考：從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和可以借助圖形找到答案，從2開始的連續(xù)偶數(shù)、從1開始的連續(xù)自然數(shù)等數(shù)列的和也能借助圖形找到答案嗎？這樣的思考，能夠幫助學生更加深入地分析數(shù)與形之間的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合帶來的便利。（二）學生情況分析前測是分析學情的重要方式。筆者采用不給任何提示，直接讓學生求例1和例2兩道題結(jié)果的方式，對某班學生進行了第一次前測。前測結(jié)果表明：被測班級的45名學生，多數(shù)采用“算”的方法求算式的結(jié)果，很少有學生會想到借助“形”。計算例1和例2，學生的正確率分別是95%和80%。接著，筆者增加了“用圖形表征算式”的要求，以另一個平行班的45名學生為對象進行了第二次前測。從計算的結(jié)果上看，該班正確得出兩道題結(jié)果的人數(shù)均略高于第一個班級。其中，對例1的圖形表征，有9%左右的學生采用橫向擺放的“一字形”，80%左右的學生采用縱向擺放的“三角形”，11%左右的學生想到擺“正方形”。學生獨立用圖形表征例2時略感困難，但經(jīng)過教師提醒，能用正方形、線段、圓形等圖形正確表征的學生達到了78%。以上測試表明學生有較強的計算能力，有用圖形表示算式意義的基礎(chǔ)，但主動聯(lián)系數(shù)與形的意識不強。因此，教學中需要讓學生花更多的時間經(jīng)歷主動探究過程，在自主解決問題的過程中獲得對數(shù)形結(jié)合思想方法的感悟。（三）確定學習目標針對以上分析，確定本節(jié)課的主要任務(wù)不是讓學生借助觀察“發(fā)現(xiàn)、應用規(guī)律”，而是讓學生在探究過程中，感受如何用數(shù)形結(jié)合的方式幫助自己解決問題，積累數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗。因此，本節(jié)課的學習目標確定為以下三點。1.通過數(shù)與形的對照，感受形能直觀表示數(shù)的規(guī)律，數(shù)能精確反映形的本質(zhì)。2.經(jīng)歷探索數(shù)形之間聯(lián)系的過程，打通數(shù)與形之間的屏障，感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法。3.體會運用數(shù)形結(jié)合的方法解決較復雜問題的優(yōu)越性，增強分析、觀察、解決問題的能力。二、精準實施教學，引導學生親歷過程精心設(shè)計的學習任務(wù)，能夠幫助學生探尋數(shù)與形之間、形與形之間、不同算式用同一圖形表征等的關(guān)系。教師在教學中要讓學生多思考、多表達，在不斷操作、觀察、試錯的過程中，打通“數(shù)”與“形”之間的“隔閡”，理解它們之間的關(guān)系。（一）以形助數(shù)，自主表征課始，教師出示學習任務(wù)：請用正方形學具卡片表示出“1+3+5+7+9”。同桌合作用卡片擺“1+3+5+7+9”的圖形時，教師現(xiàn)場拍攝學生有代表性的“三角形”（如圖1）、“湊十”（如圖2）、“正方形”（如圖3）三種擺法，并逐幅展示、分析。師：這三種方法你看得懂嗎？學生均輕輕點頭。師：它們有什么共同的地方？生：它們都可以直觀表示數(shù)列，也都能很方便地呈現(xiàn)答案。師：看來同一個數(shù)列可以用多種不同的形來表示。如果請你繼續(xù)用圖形表示出“1+3+5+7+9+11”，或者更多奇數(shù)的和，你會用哪種方法？生：三種方法應該都可以。本學習任務(wù)對學生來說不難，但教師給了學生獨立表征的時間與空間，讓學生可以有不同的表征方法。這是學生后繼溝通、比較的基礎(chǔ)。（二）溝通對比，建立聯(lián)系數(shù)與形之間有緊密的聯(lián)系，但數(shù)與形并不存在簡單的對應關(guān)系。能夠根據(jù)現(xiàn)實情況選擇不同的表征方式，是學生真正形成數(shù)形結(jié)合思想的重要標志。教師要引導學生充分經(jīng)歷溝通對比的過程，幫助他們深入體會數(shù)與形之間的聯(lián)系。1.多種表征，理解圖式師：大家都有自己的猜想，很好！那就根據(jù)自己的想法，動手擺一擺吧。學生在操作中，有小組用“三角形”擺法繼續(xù)擺，還在不斷討論著；有小組先用“湊十”的擺法，后來又調(diào)整為“正方形”或“三角形”擺法……匯報時，教師問大家選擇哪種圖形繼續(xù)研究，全班同學選擇的圖形由原來的三種變?yōu)閮煞N。生1：我們原來用“湊十”法擺，隨著奇數(shù)越來越多，圖形變得沒有規(guī)律，像11要拆成10和1，這個1要和原來的5擺在一起，感覺越擺越亂。生2：我們組原來用“三角形”法，奇數(shù)變大，只要在三角形的底部再加一層，就可以直觀表示數(shù)列了，但數(shù)越大，計算到底有幾層就越麻煩。生3：我們對他們組（生2）有補充，因為是等差數(shù)列，所以層數(shù)=（11-1）÷2+1=6。生4：聽了他們的發(fā)言，我們有個發(fā)現(xiàn)。由于第一個數(shù)是1，所以求這個數(shù)列的層數(shù)還有更簡便的方法，即層數(shù)=（1+11）÷2=6。學生對這兩種方法進行討論后發(fā)現(xiàn)：兩種方法都可以，第二種比第一種更簡便。生5：我們覺得“正方形”擺法更好。用這種擺法，多一個奇數(shù)就在外面增加一層“L”，讓原來的正方形變成更大的正方形就行了。這樣不僅可以直接看出數(shù)列，還可以很快算出答案?！?+3+5+7+9+11”就是邊長為6的正方形（如圖4）。2.一式多圖，建立聯(lián)系教師追問：大家認為“正方形”與“三角形”兩種圖形都可以直觀表示“1+3+5+7+9+11”以及更多連續(xù)奇數(shù)相加的和，其中有什么奧秘嗎？這兩種圖形之間有什么關(guān)系嗎？生1：我們組研究用“正方形”表示，發(fā)現(xiàn)每加一個奇數(shù)就是在原來的正方形外面多加個“L”形。因為有重疊部分，所以這個“L”形表示的正方形數(shù)量就比兩條邊上的正方形數(shù)量少1，像“1+3+5+7+9+11+13”就是“（13+1）÷2=7”，答案“7”就表示這個數(shù)列可以拼成邊數(shù)為7的正方形。生1團隊的發(fā)現(xiàn)引起了很多學生的共鳴，大家頻頻點頭。師追問：為什么要先“+1”再“÷2”呢？生2：“13+1”是變成新的正方形時，兩條邊上增加的正方形的總數(shù)，“14÷2”是新正方形的邊長。生3：我來補充。這種方法還可以求更多奇數(shù)的和，如從1加到19，就是邊長為10的正方形。教師根據(jù)學生的回答形成板書：“19→（19+1）÷2=10”。生4：我們組研究用“三角形”表示，“三角形”圖也能幫助我們很方便地找到答案。找答案時最主要的是找到層數(shù)。層數(shù)=（頭+尾）÷2。生5：我有個重要發(fā)現(xiàn)。用“三角形”和“正方形”兩種圖形幫助求和，方法其實是一樣的（如圖5）。用“正方形”幫助計算時，最后一個奇數(shù)加1，與用“三角形”幫助計算時的“頭+尾”是一樣的。“三角形”的層數(shù)就是“正方形”的邊數(shù)，比如：“1+3+5+7+9+11+13”用“三角形”表征時，層數(shù)=（1+13）÷2=7；用“正方形”表征時，邊數(shù)=（1+13）÷2=7。生6：我聽明白生5的想法了?！罢叫巍泵總€“L”形拉直就是“三角形”的最后一層，“三角形”求和公式=（頭+尾）×層數(shù)÷2，其實就是（頭+尾）÷2×層數(shù)=層數(shù)×層數(shù)=邊數(shù)×邊數(shù)。上述教學過程中，教師沒有直接聚焦教材中提倡的“正方形”擺法，而是給足學生時間，讓他們根據(jù)自己的意愿探索不同擺法與數(shù)列之間的關(guān)系。經(jīng)過探究，學生理解了“三角形”擺法也就是等差數(shù)列求和法，從而將“正方形”和“三角形”兩種圖形聯(lián)結(jié)在一起，感受到方法的多樣性和共性，自然而然地加深了對“數(shù)”與“形”關(guān)系的感悟。3.變式拓展，表征優(yōu)化類比是一種推理思維。以“從1開始連續(xù)若干個奇數(shù)的和”為基點，學生主動提出：“正方形”和“三角形”兩種圖形能表示“從2開始連續(xù)偶數(shù)相加的和”和“從1開始連續(xù)自然數(shù)相加的和”嗎？面對學生強烈的探知欲，教師不再提供實物輔助，而引導學生在頭腦中想象，再逐個討論解決。學生發(fā)現(xiàn)，“三角形”擺法能表征“從2開始連續(xù)偶數(shù)相加的和”（如圖6），而按“正方形”擺法形成的圖形是“長方形”，如“2+4+6+8+10+12+14”會形成圖7。“三角形”與“長方形”擺法之間同樣存在聯(lián)系。對于“從1開始連續(xù)自然數(shù)相加的和”，學生經(jīng)過討論，發(fā)現(xiàn)“正方形”或“長方形”擺法都不能表示，只有“三角形”擺法可行。思辨后發(fā)現(xiàn)，“三角形”擺法是最適用等差數(shù)列的表征圖形。以上教學，教師通過三個層次的學習活動，讓學生在不斷想象、對比、思辨中，對比、優(yōu)化不同圖形的適用范圍，深刻體驗數(shù)與形之間的聯(lián)系。（三）數(shù)形互譯，融會貫通有了前面深刻體驗“以形助數(shù)”的過程，學生見到數(shù)式，不再局限于直接計算數(shù)式結(jié)果的方法，而會選擇用圖形來表示過程，看“圖”知結(jié)果。同樣面對形，學生會想到用數(shù)式來具體刻畫，從而初步感知“數(shù)形一體”，感受到數(shù)與形結(jié)合的美妙與和諧。1.一式多圖，化繁為簡教師出示“[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]”，請學生快速求出結(jié)果，并寫出思考過程。在匯報時，教師驚喜地發(fā)現(xiàn)，采用“通分”方法算出答案的學生只有5人，其余學生均用正方形、線段、圓形等圖形表示算式的意義，并計算出結(jié)果。交流時，學生達成共識。用什么圖形不重要，只要確定一個圖形作為單位一，并將它二等分六次，去掉最后一小部分后，都可以表征這個數(shù)列，而且容易“看”出結(jié)果。2.以數(shù)解形，數(shù)形互補師：以正方形為例（如圖8），它可以幫助我們看出[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]的結(jié)果。在這幅圖中，你還能看出其他算式的結(jié)果嗎？生：可以求空白部分是多少，也就是求1-[12]-[14]-[18]-[116]-[132]-[164]的結(jié)果。師：同一個“形”中藏著不同的數(shù)的運算規(guī)律，真奇妙！如果在這個圖形的基礎(chǔ)上，再把空白部分均分，還能解決什么問題？你能寫出一個算式并算出結(jié)果嗎？生：可以解決兩個問題，分別求涂色部分和空白部分是多少。算式分別為：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]+[1128]、1-[12]-[14]-[18]-[116]-[132]-[164]-[1128]。3.多圖比較，尋找共性教師示本節(jié)課出現(xiàn)的正方形、三角形、長方形圖（如圖9），并提問：看著這些圖，你有什么想說的嗎？引導學生在觀察比較中進一步體會，借助圖形能直觀地表示出不同數(shù)列的意義，能直觀地得出計算結(jié)果。（四）回顧拓展，感悟外化溝通、聯(lián)系是重要能力。教師呈現(xiàn)一組學生曾經(jīng)接觸過以及將要接觸的數(shù)與形材料（圖10），讓學生邊回憶邊思考“數(shù)與形有怎樣的關(guān)系”。因為經(jīng)歷了前面深刻探尋聯(lián)系的過程，學生回答的關(guān)鍵詞緊緊圍繞“密不可