小學(xué)生分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)路徑的重構(gòu)

【摘

要】分?jǐn)?shù)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。分?jǐn)?shù)起源于分物與測量，擴(kuò)展于計數(shù)，歸根于運(yùn)算。對分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)要體現(xiàn)與整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)認(rèn)識上的一致性，實現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知過程與分?jǐn)?shù)演變過程的一致性。教師可利用“分一分1、分一分2、比一比、數(shù)一數(shù)、算一算、化一化”等數(shù)學(xué)活動，對學(xué)生的分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行重構(gòu)，以實現(xiàn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念的理解水平與學(xué)生認(rèn)知水平的和諧發(fā)展?！娟P(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)概念；學(xué)習(xí)路徑；除法；計數(shù)單位分?jǐn)?shù)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，其教學(xué)通過兩個階段完成。然而，從教學(xué)效果看，學(xué)生常存在以下困惑：一是感受不到分?jǐn)?shù)是一個具體數(shù)量，二是認(rèn)識不到分?jǐn)?shù)可以利用計數(shù)單位“數(shù)”出來，三是體會不到分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。為解答學(xué)生的這些困惑，筆者以人教版教材為例，聚焦“如何重組教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)認(rèn)識上的一致性”“如何重構(gòu)學(xué)習(xí)路徑實現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知過程與分?jǐn)?shù)演變過程的一致性”兩大問題，對分?jǐn)?shù)概念進(jìn)行整體分析，從而幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、對他們未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化知識體系。一、重構(gòu)分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)路徑分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的歷程。分?jǐn)?shù)起源于分物與測量，擴(kuò)展于計數(shù)，歸根于運(yùn)算。分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)要體現(xiàn)與整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)認(rèn)識上的一致性，實現(xiàn)學(xué)生認(rèn)知過程與分?jǐn)?shù)演變過程的一致性。為此，筆者重組了人教版教材三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”單元和五年級下冊“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元的分?jǐn)?shù)概念教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而形成6個數(shù)學(xué)活動，如表1所示?；趯ι鲜?個數(shù)學(xué)活動及其教學(xué)內(nèi)容的分析，筆者對學(xué)生的分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行了重構(gòu)（如圖1），以實現(xiàn)學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念的理解水平與學(xué)生認(rèn)知水平的和諧發(fā)展?？傮w而言，重構(gòu)后的學(xué)習(xí)路徑增加了分?jǐn)?shù)的“度量意義”和“比值意義”的教學(xué)內(nèi)容，從而豐富了各種意義（方法）之間的聯(lián)系與溝通。具體思路如下：首先，分?jǐn)?shù)源于自然數(shù)除法的推廣。從自然數(shù)除法看，分?jǐn)?shù)是不能整除而得到的結(jié)果。“分一分1”和“分一分2”是利用等分除法模型理解分?jǐn)?shù)概念，“比一比”是利用倍比除法模型理解分?jǐn)?shù)概念?；诖?，可建構(gòu)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。因此，教師可以讓學(xué)生在“算一算”活動中，借助之前在“分一分”“比一比”活動中積累的基本活動經(jīng)驗，建立除法過程與分?jǐn)?shù)結(jié)果的關(guān)系，從而突出“分?jǐn)?shù)是一個商”的概念。其次，分?jǐn)?shù)是基于計數(shù)單位建構(gòu)的。在初步認(rèn)識階段，教師可以讓學(xué)生通過直觀圖式來積累“m個[1n]是[mn]”的基本活動經(jīng)驗。接著在深入理解階段，讓學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)單位的基礎(chǔ)上，使用“m個[1n]是[mn]”在數(shù)線上數(shù)出分?jǐn)?shù)，從而把分?jǐn)?shù)從真分?jǐn)?shù)拓展至假分?jǐn)?shù)，并構(gòu)造出新的分?jǐn)?shù)單位[1n]（1÷n=[1n）]，然后運(yùn)用“m個[1n]是[mn]”，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。最后，分?jǐn)?shù)具有份數(shù)、比值、度量、運(yùn)算和集合等意義。在“分一分1”“分一分2”“比一比”和“數(shù)一數(shù)”的活動中，分?jǐn)?shù)分別從等分、倍比和度量的過程中產(chǎn)生，體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，也讓學(xué)生學(xué)會了用份數(shù)來表征分?jǐn)?shù)的意義?！八阋凰恪睆牡确趾捅侗葍煞N數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)是除法運(yùn)算的過程，也是除法運(yùn)算的結(jié)果，從而建構(gòu)“被除數(shù)÷除數(shù)=[被除數(shù)除數(shù)]”這一基本模型?！盎换眲t通過研究“相等的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)單位不同，數(shù)值大小相等”的特點，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，即“形變而值不變”。二、數(shù)學(xué)活動的設(shè)計與教學(xué)策略學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念的數(shù)學(xué)活動，以教學(xué)任務(wù)為驅(qū)動，體現(xiàn)教學(xué)策略的有效性。（一）“分一分1”數(shù)學(xué)活動

教學(xué)任務(wù)1：用幾分之一表示等分一個物體的結(jié)果把9塊月餅平均分給4人，每人分得幾塊？學(xué)生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，容易得到“每人分到2塊月餅，還多1塊”的結(jié)論。這時教師提問：剩下的這1塊月餅還能繼續(xù)分嗎？每人能分到這塊月餅的多少？引導(dǎo)學(xué)生用1÷4來表示這個分的過程。學(xué)生的疑惑之處在于：分到的部分應(yīng)該用怎樣一個數(shù)來表示？對學(xué)生而言，這是一個“發(fā)明”的過程。

教學(xué)任務(wù)2：幾分之幾的產(chǎn)生觀察圖形，填上合適的分?jǐn)?shù)，并說明理由。把一個物體平均分成若干份，每份可以表示成[1□]，那么2份、3份……又該怎么表示呢？前者的本質(zhì)是分?jǐn)?shù)單位，反映了樸素的分?jǐn)?shù)計數(shù)單位；后者則擴(kuò)展了分?jǐn)?shù)的份數(shù)意義，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念奠定基礎(chǔ)。（二）“分一分2”數(shù)學(xué)活動

教學(xué)任務(wù)1：用幾分之一表示等分一群物體的結(jié)果把圖形平均分成3份，陰影部分表示總數(shù)的幾分之幾？本任務(wù)通過已有經(jīng)驗與新知識的對比，為學(xué)生的認(rèn)識從“用分?jǐn)?shù)表示等分一個物體的結(jié)果”向“用分?jǐn)?shù)表示等分一群物體的結(jié)果”遷移創(chuàng)造條件，同時使學(xué)生認(rèn)識到，除了可以用份數(shù)理解分?jǐn)?shù)，還可以用數(shù)量展示分?jǐn)?shù)。

教學(xué)任務(wù)2：用幾分之幾表示等分一群物體的結(jié)果（1）照樣子，分一分，涂一涂，表示出各圖的[23]。（2）三幅圖都是把物體平均分成（

）份，然后涂出其中的（

）份。（3）第一個[23]代表（

）個圓，第二個[23]代表（

）個圓，第三個[23]代表（

）個圓。與等分一個物體不同，把一群物體等分后，每份的數(shù)量從1到n不等。本任務(wù)中，第（1）題和第（2）題著重體現(xiàn)“只要分的份數(shù)與涂的份數(shù)相同，就可以用同樣的分?jǐn)?shù)表示”，第（3）題則是幫助學(xué)生感悟“用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量之間的關(guān)系”。（三）“比一比”數(shù)學(xué)活動

教學(xué)任務(wù)1：用分?jǐn)?shù)表示倍比的結(jié)果請你用一個數(shù)表示三角形個數(shù)與正方形個數(shù)的關(guān)系。本任務(wù)通過研究兩個量的關(guān)系完善表示率的分?jǐn)?shù)。先借助兩個量的倍數(shù)關(guān)系和分?jǐn)?shù)的部分與整體關(guān)系得出兩個量的比值，再比較“數(shù)量比”與“份數(shù)比”，體會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，積累“相等分?jǐn)?shù)”的基本活動經(jīng)驗。

教學(xué)任務(wù)2：用份數(shù)意義解構(gòu)兩個量的比值已知三角形個數(shù)是正方形個數(shù)的[23]，請據(jù)此把圖形補(bǔ)充完整。相較于“數(shù)量比”，“份數(shù)比”能更簡約地表示分?jǐn)?shù)。本任務(wù)在表示率的分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逆向解構(gòu)分?jǐn)?shù)，通過不同圖式的表征方式，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的比值意義。（四）“數(shù)一數(shù)”數(shù)學(xué)活動

教學(xué)任務(wù)1：用分?jǐn)?shù)表示度量的結(jié)果張大伯有一塊地，他用步長量了一下，發(fā)現(xiàn)這塊地的長度大約比30步多（

）步?！?dāng)度量的結(jié)果不能用整數(shù)來表示時，可以把度量單位分為n等份，取其中的1份作為新的度量單位去量剩余部分。假如剛好m次量盡，那剩余部分就可用[mn]來表示。本任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生通過度量過程體驗分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生，為學(xué)生“用分?jǐn)?shù)單位數(shù)出分?jǐn)?shù)”積累基本活動經(jīng)驗。

教學(xué)任務(wù)2：數(shù)出大于1的分?jǐn)?shù)如圖，你能數(shù)出更多分?jǐn)?shù)嗎？有了用分?jǐn)?shù)單位數(shù)出小于等于1的分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗，學(xué)生基本掌握了“m個[1n]是[mn]”的分?jǐn)?shù)計數(shù)方法。在此基礎(chǔ)上，本任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生先按兩條線索數(shù)出大于1的分?jǐn)?shù)：一是4個[13]是[43]，5個[13]是[53]……二是比1多1個[13]是[113]，比1多2個[13]是[123]……再區(qū)分真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)。（五）“算一算”數(shù)學(xué)活動

教學(xué)任務(wù)1：認(rèn)識分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系請根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系寫出算式，并用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。（1）把3塊月餅平均分給4人，每人分得幾塊月餅？（2）小新家有4只雞和3只鴨，雞的只數(shù)是鴨的只數(shù)的多少？分?jǐn)?shù)源于自然數(shù)除法的推廣。學(xué)生在“分一分1”和“分一分2”活動中理解了“等分除的結(jié)果可以用分?jǐn)?shù)表示”，在“比一比”活動中理解了“倍比除的結(jié)果也可以用分?jǐn)?shù)表示”。本任務(wù)在此基礎(chǔ)上，通過解決問題中的數(shù)量關(guān)系，建構(gòu)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，從而幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的“商意義”，同時建立真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。

教學(xué)任務(wù)2：整體建構(gòu)“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”先觀察前面四個除法等式的特點，再試著寫出字母算式的商。3÷4=[34]

4÷3=[43]

3÷2=[32]

4÷5=[45]

ɑ÷b=（

）本任務(wù)可以較好地幫助學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)”與“除法”之間存在著一般性的關(guān)系，即“被除數(shù)”“除數(shù)”和“分子”“分母”的關(guān)系，構(gòu)建“被除數(shù)÷除數(shù)=[被除數(shù)除數(shù)]”的模型，從而完善“分?jǐn)?shù)的商意義”。（六）“化一化”數(shù)學(xué)活動

教學(xué)任務(wù)1：研究相等分?jǐn)?shù)請你從分?jǐn)?shù)墻中至少找出3對相等分?jǐn)?shù)，并研究一下它們的特點。相等分?jǐn)?shù)就是值相等的分?jǐn)?shù)的集合，如[12=24=48=]……學(xué)生在“分一分1”“分一分2”“比一比”“數(shù)一數(shù)”等數(shù)學(xué)活動的學(xué)習(xí)中，通過對“數(shù)量比”“份數(shù)比”的比較認(rèn)識，已經(jīng)積累了一些對相等分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。但是，學(xué)生還沒有脫離情境去探究這些相等分?jǐn)?shù)是否有規(guī)律，有什么規(guī)律。這個集合中的分?jǐn)?shù)雖然表征同一事件，卻呈現(xiàn)出不同的結(jié)果。本教學(xué)任務(wù)的目的就是要將相等分?jǐn)?shù)變化的特點顯性化。

教學(xué)任務(wù)2：構(gòu)造相等分?jǐn)?shù)請你根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，找出已知分?jǐn)?shù)的相等分?jǐn)?shù)。（1）[13=2×

3×5=

15]（2）[1024=10÷

24÷

=

12]（3）[23=2+43+

]第（1）題和第（2）題是對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的直接應(yīng)用，第（3）題則是對分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的